2021届天津市十二区县重点学校高三毕业班联考数学试卷(二)含答案

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1、2021 年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷(二)(二模)年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷(二)(二模) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 5 分)分) 1已知集合 U1,0,1,2,3,A1,2,3,B0,1,则(UA)B( ) A B0,1 C0 D1 2“0”是“|2x1|3”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3函数 f(x)的图象大致为( ) A B C D 4已知 a20210.2,b0.22021,clog20210.2,则( ) Aabc Bbac Ccba Dacb 5某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分

2、布直方图如图,数据的分组依次为20,40),40,60), 60,80),80,100若高于 60 分的人数是 35 人,则该班的学生人数是( ) A45 B50 C55 D60 6已知三棱锥 SABC 外接球的球心 O 在线段 SA 上,若ABC 与SBC 均为面积是的等边三角形, 则三棱锥 SABC 外接球的体积为( ) A B C D 7已知函数,给出下列结论: ; 点(,0)是曲线 f(x)的对称中心; 函数 f(x)在区间,上单调递增; 把函数 ysinx 的图象上所有点向左平移个单位长度,得到 f(x)图象 其中正确的结论个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8已知

3、双曲线1 的左顶点与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线 与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的方程为( ) A B C D 9已知函数 f(x),(e 为自然对数的底数),若 f(x)+f(x)0 恒成立,则 实数 t 的取值范围是( ) Ae,+) B0,+) C0,e D0,2e 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分把答案填在答题卡中的相应横线上)分把答案填在答题卡中的相应横线上) 10i 是虚数单位,复数 z,则 为 11在( x2)6的展开式中,常数项为 12已知直线 l:mx+y2

4、m20 与圆 C:x2+y28y0 交于 A,B 两点,若,则直线 l 的方程 为 13受新冠肺炎疫情的影响,2020 年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式,将线下招聘改为线 上招聘某企业的线上招聘方式分为资料初审、笔试、面试这三个环节进行,资料初审通过后才能进行 笔试,笔试合格后才能参加面试,面试合格后便正式录取,且这几个环节能否通过相互独立现有甲、 乙两名大学生报名参加了该企业的线上招聘,并均已通过了资料初审环节若甲、乙通过笔试的概率分 别为和,甲、乙通过面试的概率分别为和,则甲被正式录取的概率为 ;若 甲、乙被正式录取的人数之和为变量 ,则 的数学期望 E() 14已知 a,b,

5、cR+,且 ab+2ac4,则的最小值是 15已知平面四边形 ABCD,AB2,BC3,ABC90,点 E 在线段 BC 上,ADE90,且 , 则实数 为 , 则的取值范围为 三、解答题(本大题三、解答题(本大题 5 小题,共小题,共 75 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 16在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若且ABC 的面积为,a c1 ()求角 B 的大小及 b; ()求 sin(2A+B)的值 17如图,在四棱锥 EABCD 中,平面 ABCD平面 ABE,ABCD,ABBC,AB2BC2CD2,AE

6、 BE,点 M 为 BE 的中点 ()求证:CM平面 ADE; ()求二面角 EBDC 的正弦值; ()在线段 AD 上是否存在一点 N,使直线 MD 与平面 BEN 所成的角正弦值为,若存在求出 AN 的长,若不存在说明理由 18已知点 F(2,0)为椭圆的焦点,且点 P(2,)在椭圆上 ()求椭圆的方程; ()已知直线 l 与椭圆交于 M,N 两点,且坐标原点 O 到直线 l 的距离为,MON 的大小是否为 定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由 19已知数列an中,a12,an2(n2,nN*),设数列bn满足:b1+2b2+22b3+.+2n1bn (nN*) ()求证:数列是等差

7、数列,并求数列an的通项公式; ()求数列bn的通项公式; ()若数列cn满足 cn(mN*,nN*),求数列cn的前 n 项和 Sn 20(16 分)设函数 f(x)x2(m2)xmlnx,其中 m0 ()求 f(x)的单调区间; ()设 1m2,g(x)f(x)+(2m1)x,求证:x1,x21,m,恒有|g(x1)g(x2) | ()函数 x1,x2有两个零点 x1,x2,(x1x2),求证 f(x1+ )0 参考答案参考答案 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 5 分)分) 1已知集合 U1,0,1,2,3,A1,2,3,B0,1,则(UA)B( ) A B0,1 C0 D1 解:集

8、合 U1,0,1,2,3,A1,2,3,B0,1, UA1,0, 则(UA)B0 故选:C 2“0”是“|2x1|3”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解:,x2 或 x1, |2x1|3,2x13 或 2x13,x2 或 x1, x|x2 或 x1x|x2 或 x1, 是|2x1|3 的充分不必要条件 故选:A 3函数 f(x)的图象大致为( ) A B C D 解:根据题意,f(x), 则 f(1),排除 AB, 又由 f(1)3,排除 C, 故选:D 4已知 a20210.2,b0.22021,clog20210.2,则( ) Aabc

9、 Bbac Ccba Dacb 解:20210.2202101,00.220210.201,log20210.2log202110, abc 故选:A 5某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为20,40),40,60), 60,80),80,100若高于 60 分的人数是 35 人,则该班的学生人数是( ) A45 B50 C55 D60 解:由频率分布直方图得高于 60 分的频率为: (0.020+0.015)200.7, 高于 60 分的人数是 35 人, 该班的学生人数是:50 故选:B 6已知三棱锥 SABC 外接球的球心 O 在线段 SA 上,若ABC

10、 与SBC 均为面积是的等边三角形, 则三棱锥 SABC 外接球的体积为( ) A B C D 解:如图,依题意,O 为三棱锥 SABC 外接球的球心,则 OAOSOBOC, ABC 与SBC 均为正三角形,且有公共边 BC, ACSC, ACS 为等腰三角形, OCAS, 又 OCOAOS, RtACS 为等腰直角三角形, 设ABC 边长为 a,则其面积,故,解得 a4, AC4, ,即外接球半径为,体积为 故选:D 7已知函数,给出下列结论: ; 点(,0)是曲线 f(x)的对称中心; 函数 f(x)在区间,上单调递增; 把函数 ysinx 的图象上所有点向左平移个单位长度,得到 f(x)

11、图象 其中正确的结论个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解:函数, 对于,故错误; 对于,当 x时,f()cos()0,故点(,0)是曲线 f(x)的对称中心, 故正确; 由于,故,函数 f(x)在区间,上不单调,函数 的单调性应该是先增后减,故错误; 把函数 ysinx 的图象上所有点向左平移个单位长度, 得到 f (x) sin (x+) cos () cos(x)图的图象,故正确 故选:B 8已知双曲线1 的左顶点与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线 与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的方程为( ) A B C D 解:双曲线

12、的左顶点(a,0)与抛物线 y22px(p0)的焦点 F(, 0)的距离为 4,+a4; 又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),渐近线的方程应是 yx,而抛 物线的准线方程为 x,因此1(2),2, 联立得,解得 a2,b1,p4 故双曲线的标准方程为: 故选:C 9已知函数 f(x),(e 为自然对数的底数),若 f(x)+f(x)0 恒成立,则 实数 t 的取值范围是( ) Ae,+) B0,+) C0,e D0,2e 解:函数 g(x)f(x)+f(x)0, 由 g(x)g(x), 可得 g(x)是偶函数, 当 x0 时,g(x)0, 即 当 x时,式恒成立,此时 t

13、R 当 0 x时,由式可得 ,令, 可得 h(x), 那么 h(x)在(0,)单调递减,h(0)0, t0; 当 x时,由式可得 ,同理解得 h(x), 令 g(x)2x2x1, 那么 g(x)4x1,可得 g(x)在(,+)单调递增 g(x)g()1当 x1 时,g(1)0, h(x)在(,1)单调递减在(1,+)单调递增; th(1)2e 综合可得实数 t 的取值范围为0,2e 故选:D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分把答案填在答题卡中的相应横线上)分把答案填在答题卡中的相应横线上) 10i 是虚数单位,复数 z,则 为

14、解:z+ , 故答案为: 11在( x2)6的展开式中,常数项为 60 解:(x2)6的展开式的通项公式为 Tr+1(1)r x3r 6, 令 3r60,求得 r2, 可得展开式的常数项为 60, 故答案为:60 12已知直线 l:mx+y2m20 与圆 C:x2+y28y0 交于 A,B 两点,若,则直线 l 的方程 为 x+y40 解:直线 l:mx+y2m20 与圆 C:x2+y28y0 交于 A,B 两点, 圆的圆心(0,4), ,AB 是圆的直径,所以圆的圆心在直线 l 上, 可得 42m20,解得 m1, 所以直线 l 的方程为:x+y40 故答案为:x+y40 13受新冠肺炎疫情

15、的影响,2020 年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式,将线下招聘改为线 上招聘某企业的线上招聘方式分为资料初审、笔试、面试这三个环节进行,资料初审通过后才能进行 笔试,笔试合格后才能参加面试,面试合格后便正式录取,且这几个环节能否通过相互独立现有甲、 乙两名大学生报名参加了该企业的线上招聘,并均已通过了资料初审环节若甲、乙通过笔试的概率分 别为和,甲、乙通过面试的概率分别为和,则甲被正式录取的概率为 ;若甲、乙被正式 录取的人数之和为变量 ,则 的数学期望 E() 解:设事件 A 表示甲被正式录取,事件 B 表示乙被正式录取, 甲被正式录取的概率为: P(A) 乙被正式录取的概率为:

16、 P(B), 甲、乙被正式录取的人数之和为变量 ,则 的可能取值为 0,1,2, P(0)P(), P(1)P(), P(2)P(AB), 的数学期望 E() 故答案为:, 14已知 a,b,cR+,且 ab+2ac4,则的最小值是 4 解:根据题意,+24,当且仅 当 a+b+2c4 时等号成立, 则的最小值是 4, 故答案为:4 15已知平面四边形 ABCD,AB2,BC3,ABC90,点 E 在线段 BC 上,ADE90,且 ,则实数 为 ,则的取值范围为 (12,4) 解:建立平面直角坐标系如图, 则 A(0,2),B(0,0),C(3,0), ,E(3,0), 则(3,2)(3,2)

17、9+1218, 则 E(2,0),AE4,且 AE 的中点坐标为(1,),ADE90, D 在以(1,)为圆心,以 2 为半径的圆上, 设 D(2cos+1,2sin+), (2,2)(2cos+1,2sin+)4cos4sin48cos(+)4, D 与 A,E 不重合,cos(+)(1,1), (12,4) 故答案为:,(12,4) 三、解答题(本大题三、解答题(本大题 5 小题,共小题,共 75 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 16在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若且ABC 的面积为,a c1 ()求角

18、 B 的大小及 b; ()求 sin(2A+B)的值 解:(), , , , cosA0,sin(A+B)sinC0, , B(0,), , , ac6, ac1, ()由正弦定理可知, , , , , 17如图,在四棱锥 EABCD 中,平面 ABCD平面 ABE,ABCD,ABBC,AB2BC2CD2,AE BE,点 M 为 BE 的中点 ()求证:CM平面 ADE; ()求二面角 EBDC 的正弦值; ()在线段 AD 上是否存在一点 N,使直线 MD 与平面 BEN 所成的角正弦值为,若存在求出 AN 的长,若不存在说明理由 【解答】证明:()取 AE 的中点 P,连接 MP,DP,A

19、EBE, ABE 是等腰三角形, 点 M 为 BE 的中点 MPAB,MPAB, 可得四边形 EFPM 是平行四边形, CMDP; DP面 ADE,CM面 ADE, CM平面 ADE; 解:()取 AB 的中点 O,连接 DO,EO,利用向量法,即可求解二面角 EBDC 的正弦值; 平面 ABCD平面 ABE,ABCD,ABBC,AB2BC2CD2,ABC90 DO平面 ABE,EOAB, 以 O 为原点,建立空间直角坐标系,如图,B(0,1,0);E(,0,0);C(0,1,1);D(0,0, 1); 易知平面 CBD 的一个法向量为.,; 设平面 EBD 的法向量为, 则,取 x1,可得;

20、 设二面角 EBDC 的平面角为 , |cos|, 那么二面角 EBDC 的平面角的正弦值 sin; 解():假设存在线段 AD 上一点 N,设(01), 则 N(0,1,), 设平面 EBN 的法向量为, 则,取 b,则,c2 直线 MD 与平面 BEN 所成的角的平面角为 ,由 sin, 即|cos(90)|, 即 16234+130, 解得或(舍去), 故得到 AN 的长为:ANAD 18已知点 F(2,0)为椭圆的焦点,且点 P(2,)在椭圆上 ()求椭圆的方程; ()已知直线 l 与椭圆交于 M,N 两点,且坐标原点 O 到直线 l 的距离为,MON 的大小是否为 定值?若是,求出该

21、定值;若不是,请说明理由 解:()因为点 F(2,0)为椭圆的焦点所以 c2.(1 分) 又因为在椭圆上,所以 a25,b1,. 所以椭圆的方程为:. () 当直线 l 的斜率不存在时,由原点 O 到直线 l 的距离为, 可得直线 l 的方程为:, 代入椭圆可得 M(,),N(,)或 M(,)N(,), 可得,所以MON 为. 当直线 l 的斜率存在时,设直线的方程为:ykx+m, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),由原点 O 到直线 l 的距离为 , 可得,可得 6m25(1+k2). 直线与椭圆联立,整理可得 (1+5k2)x2+10kmx+5m250. 所以,. 因为,所以.(12

22、 分) ,. 所以MON; 综上所述MON恒成立. 19已知数列an中,a12,an2(n2,nN*),设数列bn满足:b1+2b2+22b3+.+2n1bn (nN*) ()求证:数列是等差数列,并求数列an的通项公式; ()求数列bn的通项公式; ()若数列cn满足 cn(mN*,nN*),求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】()证明:an2(n2,nN*), , 且 a12, 数列是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列, ,则; ()解:b1+2b2+22b3+.+2n1bn , n2 时,b1+2b2+22b3+.+2n2bn1 , 两式作差可得,即(n2), 又 n1 时,适

23、合上式, ; ()解:(m,nN*), 当 n3k(kN*)时, SnS3k. +(3+6+.+3k) ; 当 n3k+1(kN)时, ; 当 n3k+2(kN)时, 综上所述,(kN) 20(16 分)设函数 f(x)x2(m2)xmlnx,其中 m0 ()求 f(x)的单调区间; ()设 1m2,g(x)f(x)+(2m1)x,求证:x1,x21,m,恒有|g(x1)g(x2) | ()函数 x1,x2有两个零点 x1,x2,(x1x2),求证 f(x1+ )0 解:()(x0), 因为 m0 时,由 f(x)0,解得,由 f(x)0,解得, 所以函数 f(x)在区间上单调递减,在区间上单

24、调递增 ()证明:由题意,x1,m, ,因为 x1,m, 所以 g(x)0,g(x)在 x1,m单调递减, ,只需即可, , 令 h(m)m1lnm, 由已知 1m2,所以 h(m)0,h(m)在 m(1,2)单调递增且 h(1)0, 所以 h(m)0,所以,h(m)单调递增,m(1,2), 所以恒有 (III)证明:由题意,f(x)x2(m2)xmlnx 有两个零点 x1,x2,x1x2, 则有, 由,得, 由()可知 f(x)在区间上单调递增, 要证,只需证.,因为, 即需证 x1+x2m,只需证 , 整理得:(x1+x2)(lnx2lnx1)2(x2x1), 即证,令,不妨设,只需证 h(t) 0, 易得,所以函数 h(t)在区间(1,+)上单调递增, 所以 h(t)h(1)0,故有

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