1、2021 年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷（二）（二模）年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷（二）（二模） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分） 1已知集合 U1，0，1，2，3，A1，2，3，B0，1，则（UA）B（ ） A B0，1 C0 D1 2“0”是“|2x1|3”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 4已知 a20210.2，b0.22021，clog20210.2，则（ ） Aabc Bbac Ccba Dacb 5某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分
2、布直方图如图，数据的分组依次为20，40），40，60）， 60，80），80，100若高于 60 分的人数是 35 人，则该班的学生人数是（ ） A45 B50 C55 D60 6已知三棱锥 SABC 外接球的球心 O 在线段 SA 上，若ABC 与SBC 均为面积是的等边三角形， 则三棱锥 SABC 外接球的体积为（ ） A B C D 7已知函数，给出下列结论： ； 点（，0）是曲线 f（x）的对称中心； 函数 f（x）在区间，上单调递增； 把函数 ysinx 的图象上所有点向左平移个单位长度，得到 f（x）图象 其中正确的结论个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8已知
3、双曲线1 的左顶点与抛物线 y22px（p0）的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线 与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的方程为（ ） A B C D 9已知函数 f（x），（e 为自然对数的底数），若 f（x）+f（x）0 恒成立，则 实数 t 的取值范围是（ ） Ae，+） B0，+） C0，e D0，2e 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在答题卡中的相应横线上）分把答案填在答题卡中的相应横线上） 10i 是虚数单位，复数 z，则 为 11在（ x2）6的展开式中，常数项为 12已知直线 l：mx+y2
4、m20 与圆 C：x2+y28y0 交于 A，B 两点，若，则直线 l 的方程 为 13受新冠肺炎疫情的影响，2020 年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线 上招聘某企业的线上招聘方式分为资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行 笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立现有甲、 乙两名大学生报名参加了该企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节若甲、乙通过笔试的概率分 别为和，甲、乙通过面试的概率分别为和，则甲被正式录取的概率为 ；若 甲、乙被正式录取的人数之和为变量 ，则 的数学期望 E（） 14已知 a，b，
5、cR+，且 ab+2ac4，则的最小值是 15已知平面四边形 ABCD，AB2，BC3，ABC90，点 E 在线段 BC 上，ADE90，且 ， 则实数 为 ， 则的取值范围为 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若且ABC 的面积为，a c1 （）求角 B 的大小及 b； （）求 sin（2A+B）的值 17如图，在四棱锥 EABCD 中，平面 ABCD平面 ABE，ABCD，ABBC，AB2BC2CD2，AE
6、 BE，点 M 为 BE 的中点 （）求证：CM平面 ADE； （）求二面角 EBDC 的正弦值； （）在线段 AD 上是否存在一点 N，使直线 MD 与平面 BEN 所成的角正弦值为，若存在求出 AN 的长，若不存在说明理由 18已知点 F（2，0）为椭圆的焦点，且点 P（2，）在椭圆上 （）求椭圆的方程； （）已知直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，且坐标原点 O 到直线 l 的距离为，MON 的大小是否为 定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 19已知数列an中，a12，an2（n2，nN*），设数列bn满足：b1+2b2+22b3+.+2n1bn （nN*） （）求证：数列是等差
7、数列，并求数列an的通项公式； （）求数列bn的通项公式； （）若数列cn满足 cn（mN*，nN*），求数列cn的前 n 项和 Sn 20（16 分）设函数 f（x）x2（m2）xmlnx，其中 m0 （）求 f（x）的单调区间； （）设 1m2，g（x）f（x）+（2m1）x，求证：x1，x21，m，恒有|g（x1）g（x2） | （）函数 x1，x2有两个零点 x1，x2，（x1x2），求证 f（x1+ ）0 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分） 1已知集合 U1，0，1，2，3，A1，2，3，B0，1，则（UA）B（ ） A B0，1 C0 D1 解：集
8、合 U1，0，1，2，3，A1，2，3，B0，1， UA1，0， 则（UA）B0 故选：C 2“0”是“|2x1|3”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：，x2 或 x1， |2x1|3，2x13 或 2x13，x2 或 x1， x|x2 或 x1x|x2 或 x1， 是|2x1|3 的充分不必要条件 故选：A 3函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 解：根据题意，f（x）， 则 f（1），排除 AB， 又由 f（1）3，排除 C， 故选：D 4已知 a20210.2，b0.22021，clog20210.2，则（ ） Aabc
9、 Bbac Ccba Dacb 解：20210.2202101，00.220210.201，log20210.2log202110， abc 故选：A 5某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20，40），40，60）， 60，80），80，100若高于 60 分的人数是 35 人，则该班的学生人数是（ ） A45 B50 C55 D60 解：由频率分布直方图得高于 60 分的频率为： （0.020+0.015）200.7， 高于 60 分的人数是 35 人， 该班的学生人数是：50 故选：B 6已知三棱锥 SABC 外接球的球心 O 在线段 SA 上，若ABC
10、 与SBC 均为面积是的等边三角形， 则三棱锥 SABC 外接球的体积为（ ） A B C D 解：如图，依题意，O 为三棱锥 SABC 外接球的球心，则 OAOSOBOC， ABC 与SBC 均为正三角形，且有公共边 BC， ACSC， ACS 为等腰三角形， OCAS， 又 OCOAOS， RtACS 为等腰直角三角形， 设ABC 边长为 a，则其面积，故，解得 a4， AC4， ，即外接球半径为，体积为 故选：D 7已知函数，给出下列结论： ； 点（，0）是曲线 f（x）的对称中心； 函数 f（x）在区间，上单调递增； 把函数 ysinx 的图象上所有点向左平移个单位长度，得到 f（x）
11、图象 其中正确的结论个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解：函数， 对于，故错误； 对于，当 x时，f（）cos（）0，故点（，0）是曲线 f（x）的对称中心， 故正确； 由于，故，函数 f（x）在区间，上不单调，函数 的单调性应该是先增后减，故错误； 把函数 ysinx 的图象上所有点向左平移个单位长度， 得到 f （x） sin （x+） cos （） cos（x）图的图象，故正确 故选：B 8已知双曲线1 的左顶点与抛物线 y22px（p0）的焦点的距离为 4，且双曲线的一条渐近线 与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的方程为（ ） A B C D 解：双曲线
12、的左顶点（a，0）与抛物线 y22px（p0）的焦点 F（， 0）的距离为 4，+a4； 又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），渐近线的方程应是 yx，而抛 物线的准线方程为 x，因此1（2），2， 联立得，解得 a2，b1，p4 故双曲线的标准方程为： 故选：C 9已知函数 f（x），（e 为自然对数的底数），若 f（x）+f（x）0 恒成立，则 实数 t 的取值范围是（ ） Ae，+） B0，+） C0，e D0，2e 解：函数 g（x）f（x）+f（x）0， 由 g（x）g（x）， 可得 g（x）是偶函数， 当 x0 时，g（x）0， 即 当 x时，式恒成立，此时 t
13、R 当 0 x时，由式可得 ，令， 可得 h（x）， 那么 h（x）在（0，）单调递减，h（0）0， t0； 当 x时，由式可得 ，同理解得 h（x）， 令 g（x）2x2x1， 那么 g（x）4x1，可得 g（x）在（，+）单调递增 g（x）g（）1当 x1 时，g（1）0， h（x）在（，1）单调递减在（1，+）单调递增； th（1）2e 综合可得实数 t 的取值范围为0，2e 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在答题卡中的相应横线上）分把答案填在答题卡中的相应横线上） 10i 是虚数单位，复数 z，则 为
14、解：z+ ， 故答案为： 11在（ x2）6的展开式中，常数项为 60 解：（x2）6的展开式的通项公式为 Tr+1（1）r x3r 6， 令 3r60，求得 r2， 可得展开式的常数项为 60， 故答案为：60 12已知直线 l：mx+y2m20 与圆 C：x2+y28y0 交于 A，B 两点，若，则直线 l 的方程 为 x+y40 解：直线 l：mx+y2m20 与圆 C：x2+y28y0 交于 A，B 两点， 圆的圆心（0，4）， ，AB 是圆的直径，所以圆的圆心在直线 l 上， 可得 42m20，解得 m1， 所以直线 l 的方程为：x+y40 故答案为：x+y40 13受新冠肺炎疫情
15、的影响，2020 年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线 上招聘某企业的线上招聘方式分为资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行 笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立现有甲、 乙两名大学生报名参加了该企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节若甲、乙通过笔试的概率分 别为和，甲、乙通过面试的概率分别为和，则甲被正式录取的概率为 ；若甲、乙被正式 录取的人数之和为变量 ，则 的数学期望 E（） 解：设事件 A 表示甲被正式录取，事件 B 表示乙被正式录取， 甲被正式录取的概率为： P（A） 乙被正式录取的概率为：
16、 P（B）， 甲、乙被正式录取的人数之和为变量 ，则 的可能取值为 0，1，2， P（0）P（）， P（1）P（）， P（2）P（AB）， 的数学期望 E（） 故答案为：， 14已知 a，b，cR+，且 ab+2ac4，则的最小值是 4 解：根据题意，+24，当且仅 当 a+b+2c4 时等号成立， 则的最小值是 4， 故答案为：4 15已知平面四边形 ABCD，AB2，BC3，ABC90，点 E 在线段 BC 上，ADE90，且 ，则实数 为 ，则的取值范围为 （12，4） 解：建立平面直角坐标系如图， 则 A（0，2），B（0，0），C（3，0）， ，E（3，0）， 则（3，2）（3，2）
17、9+1218， 则 E（2，0），AE4，且 AE 的中点坐标为（1，），ADE90， D 在以（1，）为圆心，以 2 为半径的圆上， 设 D（2cos+1，2sin+）， （2，2）（2cos+1，2sin+）4cos4sin48cos（+）4， D 与 A，E 不重合，cos（+）（1，1）， （12，4） 故答案为：，（12，4） 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若且ABC 的面积为，a c1 （）求角
18、 B 的大小及 b； （）求 sin（2A+B）的值 解：（）， ， ， ， cosA0，sin（A+B）sinC0， ， B（0，）， ， ， ac6， ac1， （）由正弦定理可知， ， ， ， ， 17如图，在四棱锥 EABCD 中，平面 ABCD平面 ABE，ABCD，ABBC，AB2BC2CD2，AE BE，点 M 为 BE 的中点 （）求证：CM平面 ADE； （）求二面角 EBDC 的正弦值； （）在线段 AD 上是否存在一点 N，使直线 MD 与平面 BEN 所成的角正弦值为，若存在求出 AN 的长，若不存在说明理由 【解答】证明：（）取 AE 的中点 P，连接 MP，DP，A
19、EBE， ABE 是等腰三角形， 点 M 为 BE 的中点 MPAB，MPAB， 可得四边形 EFPM 是平行四边形， CMDP； DP面 ADE，CM面 ADE， CM平面 ADE； 解：（）取 AB 的中点 O，连接 DO，EO，利用向量法，即可求解二面角 EBDC 的正弦值； 平面 ABCD平面 ABE，ABCD，ABBC，AB2BC2CD2，ABC90 DO平面 ABE，EOAB， 以 O 为原点，建立空间直角坐标系，如图，B（0，1，0）；E（，0，0）；C（0，1，1）；D（0，0， 1）； 易知平面 CBD 的一个法向量为.，； 设平面 EBD 的法向量为， 则，取 x1，可得；
20、 设二面角 EBDC 的平面角为 ， |cos|， 那么二面角 EBDC 的平面角的正弦值 sin； 解（）：假设存在线段 AD 上一点 N，设（01）， 则 N（0，1，）， 设平面 EBN 的法向量为， 则，取 b，则，c2 直线 MD 与平面 BEN 所成的角的平面角为 ，由 sin， 即|cos（90）|， 即 16234+130， 解得或（舍去）， 故得到 AN 的长为：ANAD 18已知点 F（2，0）为椭圆的焦点，且点 P（2，）在椭圆上 （）求椭圆的方程； （）已知直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，且坐标原点 O 到直线 l 的距离为，MON 的大小是否为 定值？若是，求出该
21、定值；若不是，请说明理由 解：（）因为点 F（2，0）为椭圆的焦点所以 c2.（1 分） 又因为在椭圆上，所以 a25，b1，. 所以椭圆的方程为：. （） 当直线 l 的斜率不存在时，由原点 O 到直线 l 的距离为， 可得直线 l 的方程为：， 代入椭圆可得 M（，），N（，）或 M（，）N（，）， 可得，所以MON 为. 当直线 l 的斜率存在时，设直线的方程为：ykx+m， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），由原点 O 到直线 l 的距离为 ， 可得，可得 6m25（1+k2）. 直线与椭圆联立，整理可得 （1+5k2）x2+10kmx+5m250. 所以，. 因为，所以.（12
22、 分） ，. 所以MON； 综上所述MON恒成立. 19已知数列an中，a12，an2（n2，nN*），设数列bn满足：b1+2b2+22b3+.+2n1bn （nN*） （）求证：数列是等差数列，并求数列an的通项公式； （）求数列bn的通项公式； （）若数列cn满足 cn（mN*，nN*），求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】（）证明：an2（n2，nN*）， ， 且 a12， 数列是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列， ，则； （）解：b1+2b2+22b3+.+2n1bn ， n2 时，b1+2b2+22b3+.+2n2bn1 ， 两式作差可得，即（n2）， 又 n1 时，适
23、合上式， ； （）解：（m，nN*）， 当 n3k（kN*）时， SnS3k. +（3+6+.+3k） ； 当 n3k+1（kN）时， ； 当 n3k+2（kN）时， 综上所述，（kN） 20（16 分）设函数 f（x）x2（m2）xmlnx，其中 m0 （）求 f（x）的单调区间； （）设 1m2，g（x）f（x）+（2m1）x，求证：x1，x21，m，恒有|g（x1）g（x2） | （）函数 x1，x2有两个零点 x1，x2，（x1x2），求证 f（x1+ ）0 解：（）（x0）， 因为 m0 时，由 f（x）0，解得，由 f（x）0，解得， 所以函数 f（x）在区间上单调递减，在区间上单
24、调递增 （）证明：由题意，x1，m， ，因为 x1，m， 所以 g（x）0，g（x）在 x1，m单调递减， ，只需即可， ， 令 h（m）m1lnm， 由已知 1m2，所以 h（m）0，h（m）在 m（1，2）单调递增且 h（1）0， 所以 h（m）0，所以，h（m）单调递增，m（1，2）， 所以恒有 （III）证明：由题意，f（x）x2（m2）xmlnx 有两个零点 x1，x2，x1x2， 则有， 由，得， 由（）可知 f（x）在区间上单调递增， 要证，只需证.，因为， 即需证 x1+x2m，只需证 ， 整理得：（x1+x2）（lnx2lnx1）2（x2x1）， 即证，令，不妨设，只需证 h（t） 0， 易得，所以函数 h（t）在区间（1，+）上单调递增， 所以 h（t）h（1）0，故有