1、 专题专题 02 整式的运算整式的运算 本专题主要介绍整式的加、减、乘、除以及混合运算需要掌握的基本概念、规律。通过例题讲解和训 练抓住解决问题的思维方法，以便快速提高大家解决问题能力。 一、整式的基本概念一、整式的基本概念 1.单项式 (1)由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也是单项式。 (2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 (3)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式 (1)几个单项式的和叫做多项式。 (2)其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 (3)多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。 3.整
2、式 单项式与多项式统称整式。 二、整式的加减二、整式的加减 1.同类项概念：含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3.合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变. 4.去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 5.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 三、整式的乘除三、整式的乘除 1.基本运算 (1)同底数幂的乘法法则： nmnm aaa (nm
3、,都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 (2)幂的乘方法则： mnnm aa)(nm,都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 幂的乘方法则可以逆用：即 mnnmmn aaa)()( (3)积的乘方法则： nnn baab)(n是正整数)。 积的乘方，等于各因数乘方的积。 (4)同底数幂的除法法则： nmnm aaa (nma, 0都是正整数，且)nm 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 (5)零指数：任何不等于零的数的零次方等于 1。即1 0 a(a0) (6)负整数指数：任何不等于 0 的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的 p 次幂的倒数, 即( a0,p 是正整
4、数)。 2.整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式。 (2)单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， p p a a 1 即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式)。 (3)多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 (4)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 即 22 )(bababa (5)完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的 2 倍。 即：(a+b) 2=a
5、2+b2+2ab (6)完全平方差公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减上这两个的积的 2 倍。 即：(a-b) 2=a2+b2-2ab 3.整式的除法 (1)同底数幂的除法： mnm n aaa (2)单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有 的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 (3)多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的 商相加。 (4)添括号法则： 括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号。 括号前面是号，放进括号里面的每一项都要变号。 【例题【例题 1 1】(20
6、20(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )若 7a xb2与a3by 和为单项式，则 y x_ 【答案】8 【解析】直接利用合并同类项法则进而得出 x，y 的值，即可得出答案 因为 7a xb2与a3by的和为单项式，所以 7axb2与a3by是同类项，所以 x3，y2，所以 yx238，因此本 题答案为 8 【点拨】此题主要考查了单项式，正确得出 x，y 的值是解题关键 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 贵州黔西南州贵州黔西南州) )如果 3ab 2m1与 9abm+1是同类项，那么 m等于( ) A2 B1 C1 D0 【答案】A 【解析】根据题意，得：2m1m+1，解得m2故
7、选：A 【例题【例题 2 2】(2020(2020凉山州凉山州) )化简求值：(2x+3)(2x3)(x+2) 2+4(x+3)，其中 x= 2 【答案】见解析。 【解析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简 原式，继而将x的值代入计算可得答案 原式4x 29(x2+4x+4)+4x+12 4x 29x24x4+4x+12 3x 21， 当x= 2时， 原式3(2) 21 321 61 5 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 吉林省吉林省) )先化简，再求值：(a-1) 2+a(a+2),其中 a= 2 【答案】5 【解析】整式的运算。
8、将原代数式化简求值即可 【解题过程】解： 原式=a 2-2a+1+a2+2a=2a2+1, 当 a= 2时， 原式= 2 2212 2 15 （） 【例题【例题 3 3】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )下列运算正确的是( ) A. a 3a2a5 B. a 3aa3 C. a 2a3a5 D. (a 2)4a6 【答案】C 【解析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底 数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各 选项分析判断后即可求解 A.a 3、a2不是同类项，不能合并，故 A错
9、误； B.a 3aa2，故 B错误； C.a 2a3a5，故 C正确； D.(a 2)4a8，故 D错误 【点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法 则是解题的关键 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 四川省雅安市四川省雅安市) )下列计算中，正确的是( ) Aa 4+a4=a8 Ba4a4=2a4 C(a3)4a2=a14 D(2x2y)36x3y2=x3y 【答案】C 【解析】直接利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简，A 中应为 2a 4，不正确，B 中应为 a8，不正确，C 中(a3)4a2=a
10、12a2= a14 ，正确，D 中(2x2y)36x3y2=8 x6y36x3y2=4 3 x 3y，不正确，故选 C 【例题【例题 4 4】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为 625，则第 2020 次输 出的结果为_ 【答案】1 【解析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案 【详解】当 x625 时， 1 5 x125， 当 x125 时， 1 5 x25， 当 x25 时， 1 5 x5， 当 x5 时， 1 5 x1， 当 x1 时，x+45， 当 x5 时， 1 5 x1， 依此类推，以 5，1 循环，
11、(20202)21010， 即输出的结果是 1 【点拨】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键 【对点练习】【对点练习】(2020(2020枣庄模拟枣庄模拟) )图(1)是一个长为 2a，宽为 2b(ab)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴) 剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空余的部分 的面积是( ) Aab B(a+b) 2 C(ab) 2 Da 2b2 【答案】C 【解析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得 中间部分的四边形是正方形，边长是a+b2bab， 则面积是(ab) 2 一、选择题一、选
12、择题 1(2020(2020遂宁遂宁) )下列计算正确的是( ) A7ab5a2b B(a+ 1 ) 2a2+1 2 C(3a 2b)26a4b2 D3a 2bb3a2 【答案】D 【解析】7ab与5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确； 根据完全平方公式可得(a+ 1 ) 2a2+1 2 +2，因此选项B不正确； (3a 2b)29a4b2，因此选项 C不正确； 3a 2bb3a2，因此选项 D正确； 【点拨】根据整式的加减、乘除分别进行计算，再判断即可 2(2020(2020泸州泸州) )下列各式运算正确的是( ) Ax 2+x3x5 Bx 3x2x Cx 2x3x6 D(x 3)2x
13、6 【答案】D 【解析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可 Ax 2与 x 3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； Bx 3与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； Cx 2x3x5，故本选项不合题意； D(x 3)2x6，故本选项符合题意 3(2020(2020德州德州) )下列运算正确的是( ) A6a5a1 Ba 2a3a5 C(2a) 24a2 Da 6a2a3 【答案】B 【解析】利用整式的四则运算法则分别计算，可得出答案 6a5aa，因此选项A不符合题意； a 2a3a5，因此选项 B符合题意； (2a) 24a2，因此选项
14、 C不符合题意； a 6a2a62a4，因此选项 D不符合题意； 4(2020(2020苏州苏州) )下列运算正确的是( ) Aa 2a3a6 Ba 3aa3 C(a 2)3a5 D(a 2b)2a4b2 【答案】D 【解析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方，积的乘方的意义和计算方法，分别进行计算，做出判断和选 择 a 2a3a2+3a5，因此选项 A不符合题意； a 3aa31a2，因此选项 B不符合题意； (a 2)3a23a6；因此选项 C不符合题意； (a 2b)2a4b2，因此选项 D符合题意； 5(2020(2020黔东南州黔东南州) )下列运算正确的是( ) A(x+y) 2x2+
15、y2 Bx 3+x4x7 Cx 3x2x6 D(3x) 29x2 【答案】D 【解析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出 答案 A.(x+y) 2x2+2xy+y2，故此选项错误； B.x 3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误； C.x 3x2x5，故此选项错误； D.(3x) 29x2，正确 6(2020(2020杭州杭州) )(1+y)(1y)( ) A1+y 2 B1y 2 C1y 2 D1+y 2 【答案】C 【解析】直接利用平方差公式计算得出答案 (1+y)(1y)1y 2 7(2020(2020宁波宁波) )下列计算正确的是
16、( ) Aa 3a2a6 B(a 3)2a5 Ca 6a3a3 Da 2+a3a5 【答案】C 【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案 A.a 3a2a5，故此选项错误； B.(a 3)2a6，故此选项错误； C.a 6a3a3，正确； D.a 2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误； 8.(20198.(2019 贵州遵义贵州遵义) )下列计算正确的是( ) (A)( a+b) 2=a2+b2 (B) -(2a2)2=4a4 (C) a2+ a3=a5 (D) 336 aaa 【答案】D 【解析】选项 A 少了乘积的 2 倍，选项 B
17、少了负号，选项 C 不是同类项不能合并，选项 D 同底数幂的除法， 底数不变指数相减。所以选 D 9 9(2019(2019 湖南怀化湖南怀化) )单项式5ab的系数是( ) A5 B5 C2 D2 【答案】B. 【解析】单项式5ab的系数是5， 故选：B 1010(2019(2019 湖南株洲湖南株洲) )下列各式中，与 3x 2y3是同类项的是( ) A2x 5 B3x3y2 Cx 2y3 Dy 5 【答案】C 【解析】 A.2x 5与 3x2y3不是同类项，故本选项错误； B.3x 3y2与 3x2y3不是同类项，故本选项错误； C.x 2y3与 3x2y3是同类项，故本选项正确； D.
18、y 5与 3x2y3是同类项，故本选项错误。 11.11.(2019(2019 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨) )下列运算一定正确的是( ) A 2 222aaa B 632 aaa C 632 6)2(aa D 22 )(bababa 【答案】【答案】D D 【解析】【解析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可； 2a+2a4a，A错误； a 2a3a5，B 错误； (2a 2)38a6，C 错误； 故选D 1212(2019(2019湖南娄底湖南娄底) )下列运算正确的是( ) Ax2x3=x6 B(x 3)3=x9 Cx2+x2=x4 Dx6x3=x2 【答案】B
19、【解析】A.x2x3=x5，故原题计算错误； B.(x3)3=x9，故原题计算正确； C.x2+x2=2x2，故原题计算错误； D.x6x3=x3，故原题计算错误。 13.(201913.(2019 年广西柳州年广西柳州) )计算 x(x 21)=( ) Ax 31 Bx3x Cx3+x D x2x 【答案】B 【解析】根据单项式乘多项式的法则，把单项式与多项式的每一项相乘，x(x 21)= x3x，故选 B 14.14.(2019(2019 黑龙江龙东地区黑龙江龙东地区) ) 下列各运算中，计算正确的是( ) Aa 22a23a4 Bb 10b2b5 C(mn) 2m2n2 D(2x 2)3
20、8x6 【答案】D 【解析】 根据整式的运算法则及乘法公式逐个判断即可.对于 A，a 22a23a3； 对于 B， b 10b2b8； 对于 C， (mn) 2m22mn+n2；对于 D，(2x2)38x6.可见，A,B,C 三个选项均错误，D 正确，故选 D. 15. (201915. (2019山山东滨州东滨州)若 8x my 与 6x 3yn的和是单项式，则(m+n)3的平方根为( ) A4 B8 C4 D8 【答案】D 【解析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可 得m、n的值，再代入计算可得答案 由 8x my 与 6x 3yn的和是单
21、项式，得 m3，n1 (m+n) 3(3+1)364，64 的平方根为8 二、填空题二、填空题 16(2020(2020重庆重庆) )计算：(1) 0+|2| 【答案】3 【解析】(1) 0+|2|1+23 【点拨】根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可 17.17.(2019(2019 江苏常州江苏常州) )如果ab20，那么代数式 12a2b的值是_ 【答案】5 【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值ab2 0，ab212a2b12(ab)1225，因此本题答案为 5 18. (201918. (2019 黑龙江大庆黑龙江大庆) )a 5a3_.
22、【答案】a 2 【解析】同底数幂的除法 a 5a3a53a2 1919(2109(2109 湖南怀化湖南怀化) )当a1，b3 时，代数式 2ab的值等于 【答案】5 【解析】解：当a1，b3 时，2ab2(1)35 20. (201920. (2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )计算:(m 3)2m4_. 【答案】【答案】m 2 【解析】【解析】幂的乘方,同底数幂的除法 (m 3)2m4m6m4m2. 2121(2019(2019 湖南岳阳湖南岳阳) )已知x32，则代数式(x3) 22(x3)+1 的值为 【答案】1. 【解析】解：x32， 代数式(x3) 22(x3)+1(x31)2 (
23、21) 21 三、三、解答题解答题 22(2020(2020温州温州) )(1)计算：4 |2|+(6) 0(1) (2)化简：(x1) 2x(x+7) 【答案】见解析。 【分析】(1)直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案； (2)直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案 【解析】(1)原式22+1+12； (2)(x1) 2x(x+7) x 22x+1x27x 9x+1 23(2020(2020绍兴绍兴) )(1)计算：8 4cos45+(1) 2020 (2)化简：(x+y) 2x(x+2y) 【答案】见解析。 【分析】(1)直接利用特
24、殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案； (2)直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案 【解析】(1)原式22 4 2 2 +1 22 22 +11； (2)(x+y) 2x(x+2y) x 2+2xy+y2x22xy y 2 24(2020(2020新疆新疆) )先化简，再求值：(x2) 24x(x1)+(2x+1)(2x1)，其中 x= 2 【答案】见解析。 【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化 简后的式子即可解答本题 (x2) 24x(x1)+(2x+1)(2x1) x 24x+44x2+4x+4x
25、21 x 2+3， 当x= 2时，原式(2) 2+35 25(2020(2020齐齐哈尔齐齐哈尔) )(1)计算：sin30+16 (33) 0+|1 2| 【答案】见解析。 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案。 【解析】(1)sin30+16 (33) 0+|1 2| = 1 2 +41+ 1 2 4 26(2020(2020重庆重庆) )在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数， 现在我们利用整数的除法运算来研究一种数“差一数” 定义：对于一个自然数，如果这个数除以 5 余数为 4，且除以 3 余数为 2，
26、则称这个数为“差一数” 例如：14524，14342，所以 14 是“差一数” ； 19534，但 19361，所以 19 不是“差一数” (1)判断 49 和 74 是否为“差一数”？请说明理由； (2)求大于 300 且小于 400 的所有“差一数” 【答案】见解析。 【分析】(1)根据“差一数”的定义即可求解； (2)根据“差一数”的定义即可求解 【解析】(1)49594，但 493161，所以 49 不是“差一数” ； 745144，743242，所以 74 是“差一数” (2)大于 300 且小于 400 的数除以 5 余数为 4 的有 304，309，314，319，324，329
27、，334，339，344，349， 354，359，364，369，374，379，384，389，394，399， 其中除以 3 余数为 2 的有 314，329，344，359，374，389 故大于 300 且小于 400 的所有“差一数”有 314，329，344，359，374，389 27(2020(2020济宁济宁) )先化简，再求值：(x+1)(x1)+x(2x)，其中x= 1 2 【答案】见解析。 【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案 【解析】原式x 21+2xx2 2x1， 当x= 1 2时， 原式2 1 2 10 28.笔记本的单价是 x 元，
28、圆珠笔的单价是 y 元。小红买 3 本笔记本，2 支圆珠笔；小明买 4 本笔记本，3 支圆珠笔。买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 【答案】(3x+2y)+(4x+3y)=7x+5y 【解析】小红买笔记本和圆珠笔共花费(3x+2y)元，小红买笔记本和圆珠笔共花费(4x+3y)元。小红和小明 一共花费钱数为：(3x+2y)+(4x+3y)=7x+5y 2929(2019(2019 湖南张家界湖南张家界) )阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一 项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n
29、位的数称为第n项，记为an所 以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an， 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示如：数列 1，3，5，7，为等差数列，其中a11，a2 3，公差为d2 根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列 5，10，15，的公差d为 ，第 5 项是 (2)如果一个数列a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2a1d，a3a2 d，a4a3d，anan1d， 所以 a2a1+d a3a2+d(a1+d)+da1+2d， a4a3+d(
30、a1+2d)+da1+3d， 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：ana1+( )d (3)4041 是不是等差数列5，7，9的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1)5，25；(2)n1；(3)4041 是等差数列5，7，9的项，它是此数 列的第 2019 项 【解析】(1)根据题意得，d1055； a315， a4a3+d15+520， a5a4+d20+525， 故答案为：5；25 (2)a2a1+d a3a2+d(a1+d)+da1+2d， a4a3+d(a1+2d)+da1+3d， ana1+(n1)d 故答案为：n1 (3)根据题意得， 等差数列5，7，9的项的通项公式为：an52(n1)， 则52(n1)4041， 解之得：n2019 4041 是等差数列5，7，9的项，它是此数列的第 2019 项
