1、 专题专题 43 43 整体思想运用整体思想运用 1.1.整体思想的含义整体思想的含义 整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析， 找出整体与局部的联系， 从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时， 可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 2.2.整体思想方法具体应用范围整体思想方法具体应用范围 (1)在代数式求值中的应用 (2)在因式分解中的应用 (3)在解方程及其方程组中的应用 (4)在解决几何问题中的应用 (5)在解决函数问题中的应用 【例题【例题 1 1】(
2、2020(2020成都成都) )已知a73b，则代数式a 2+6ab+9b2的值为 【答案】49 【解析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案 a73b， a+3b7， a 2+6ab+9b2(a+3b)27249 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 内蒙古呼和浩特内蒙古呼和浩特) )若x1，x2是一元二次方程x 2+x30 的两个实数根，则 x2 24x 1 2+17 的值为( ) A2 B6 C4 D4 【答案】D 【解析】x1，x2是一元二次方程x 2+x30 的两个实数根， x1+x21，x1x23，x1 2+x 13， x2 24x 1 2+17 =x1 2+x 2
3、 25x 1 2+17 =(x1+x2) 22x 1x25x1 2+17 (1) 22(3)5x 1 2+17 245x2 2 =245(1x1) 2 =245(x1 2+x 1+1) 245(3+1) 4 【例题【例题 2 2】(2020(2020衢州衢州) )定义aba(b+1)，例如 232(3+1)248则(x1)x的结果 为 【答案】x 21 【解析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可 根据题意得： (x1)x(x1)(x+1)x 21 【对点练习】【对点练习】分解因式：a 22a(b+c)+(b+c)2 【答案】(abc) 2 【解析】分解因式：a 22a(b+c)
4、+(b+c)2a(b+c)2(abc)2 【例题【例题 3 3】(2020(2020天水天水) )已知a+2b= 10 3 ，3a+4b= 16 3 ，则a+b的值为 【答案】1 【分析】用方程 3a+4b= 16 3 减去a+2b= 10 3 ，即可得出 2a+2b2，进而得出a+b1 【解析】a+2b= 10 3 ，3a+4b= 16 3 ， 得 2a+2b2， 解得a+b1 【对点练习】【对点练习】(2019 辽宁本溪)先化简，再求值()，其中a满足a 2+3a20 【答案】见解析。 【解析】() () ， a 2+3a20， a 2+3a2， 原式1 一、选择题一、选择题 1.(202
5、01.(2020无锡无锡) )若x+y2，zy3，则x+z的值等于( ) A5 B1 C1 D5 【答案】C 【解析】已知两等式左右两边相加即可求出所求 x+y2，zy3， (x+y)+(zy)2+(3)， 整理得：x+y+zy23，即x+z1， 则x+z的值为1 2(2020泰州)点P(a，b)在函数y3x+2 的图象上，则代数式 6a2b+1 的值等于( ) A5 B3 C3 D1 【答案】C 【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出 3ab2代入 2(3ab)+1 即可 【解析】点P(a，b)在函数y3x+2 的图象上， b3a+2， 则 3ab2 6a2b+12(3ab)+14+1
6、3 3.一个六边形ABCDEF的六个内角都是 120，连续四边的长依次为AB1，BC3，CD3，DE2，那么这 个六边形ABCDEF的周长是( ) A12 B13 C14 D15 【答案】D 【解析】如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P 六边形ABCDEF的六个角都是 120， 六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是 60 APF、BGC、DHE、GHP都是等边三角形 GCBC3，DHDE2 GH3+3+28，FAPAPGABBG8134，EFPHPFEH8422 六边形的周长为 1+3+3+2+4+215 4 如图所示， 正方形ABCD的边长为2，H在
7、CD的延长线上， 四边形CEFH也为正方形， 则DBF的面积为 ( ) A4 B2 C22 D2 【答案】D 【解析】设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果 设正方形CEFH的边长为a，根据题意得： SBDF4+a 2-4/2-a(a2)/2-a(a+2)/2 2+a 2-a2/2+a-a2/2-a 2 二、填空题二、填空题 5(2020(2020杭州杭州) )设Mx+y，Nxy，Pxy若M1，N2，则P 【答案】 3 4 【解析】根据完全平方公式得到(x+y) 2x2+2xy+y21，(xy)2x22xy+y24，两式相减即可求解 (x+y) 2x2+2
8、xy+y21，(xy)2x22xy+y24， 两式相减得 4xy3， 解得xy= 3 4， 则P= 3 4 6(2020(2020枣庄枣庄) )若a+b3，a 2+b27，则 ab 【答案】1 【解析】根据完全平方公式，可得答案 (a+b) 2329， (a+b) 2a2+b2+2ab9 a 2+b27， 2ab2， ab1 7.7.若+2，则分式的值为 【答案】4； 【解析】 +2，可得m+n2mn， 4； 故答案为4； 8已知 x=2y+3，则代数式 4x8y+9 的值是_ 【答案】21 【解析】考点是代数式的整体思想。 由已知条件得 x-2y=3，原式=4(x-2y)+9=12+9=21
9、. 9 9(2019(2019 湖南常德湖南常德) )若x 2+x1，则 3x4+3x3+3x+1 的值为 【答案】4 【解析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案 x 2+x1， 3x 4+3x3+3x+13x2(x2+x)+3x+13x2+3x+13(x2+x)+13+14 1010(2019(2019 江苏常熟江苏常熟) )如果ab20，那么代数式 1+2a2b的值是 【答案】5 【解析】将所求式子化简后再将已知条件中ab2 整体代入即可求值； ab20， ab2， 1+2a2b1+2(ab)1+45 三、解答题三、解答题 11已知x 2+5x9980，试求代数式 x 3+6
10、x2993x+1017 的值 【解析】由x 2+5x9980，得出 x 2+5x998，进一步分组整理代数式 x 3+6x2993x+1017 求得数值即可 x 2+5x9980， x 2+5x998， 原式x(x 2+5x)+x2993x+1017 998x+x 2993x+1017 x 2+5x+1017 998+1017 2015 12已知：abbc1，a 2+b2+c22，则 ab+bc+ac的值等于 【答案】-1 【解析】abbc1， ac2， a 2+b2+c2abbcac =(2a 2+2b2+2c22ab2bc2ac)/2= (ab)2+(bc)2+(ca)2/23， ab+b
11、c+aca 2+b2+c23231； 故答案为：1 13.分解因式：4(a2b) 29(2a+b)2 【答案】(4a+7b)(8ab) 【解析】原式2(a2b)+3(2a+b)2(a2b)3(2a+b)(4a+7b)(8ab) 14.设a，b，c是一个三角形的三边长，试判断：a 2b2c22bc 的值的正负，并说明理由 【答案】见解析。 【解析】先分组，再利用公式法分解得到a 2b2c22bc(a+b+c)(abc)，然后根据三角形三边的关 系确定积的符号即可 代数式的值为负数理由如下： a 2b2c22bca2(b2+c2+2bc) a 2(b+c)2 (a+b+c)(abc)， a，b，c是一个三角形的三边长， a+b+c0，abc0， a 2b2c22bc0 15.解方程组 3( 3) + 10(2 3 + ) = 13 22( 3) + 5(2 3 + ) = 27 【答案】见解析。 【解析】设x3u，2/3+yv，方程组变形后求出u与v的值，即可确定出x与y的值 方程组变形得： 3 + 10 = 13 22 + 5 = 27， 2得：41u41，即u1， 把u1 代入得：v1， 3 = 1 2 3 + = 1， 解得： = 4 = 1 3
