1、2021 届高考适应性月考届高考适应性月考数学数学试试卷卷( (二二) ) 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填 写清楚写清楚 2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效 3考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分考试结束后，请将本试卷和答题
2、卡一并交回，满分 150分，考试用时分，考试用时 l20 分钟分钟 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的) ) 1. 设集合 280 x Ax ， 2 7100Bx xx ，则AB ( ) A. 23xx B. 35xx C. 5x x D. 2x x 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简集合,A B，再根据交集运算求解即可 【详解】2803 x Axx x ， 2 710025Bx xxxx ， 故35ABxx 故选：B
3、【点睛】本题考查集合的交集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题 2. 设i为虚数单位，已知 12 i z i ，则z的虚部为( ) A. 2 5 B. 2 5 C. 1 5 D. 1 5 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算可得 21 55 zi，即可得答案； 【详解】 12 21 55 i iz i ，z的虚部为 1 5 ， 故选：C. 【点睛】本题考查复数的虚部概念以及复数的除法，属于基础题. 3. “ 0AB AC ”是“ABC为锐角三角形”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 以
4、A为起点的两个向量数量积大于零，说明它两个的夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，当三角形是 锐角三角形时，以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零 【详解】解：以A为起点的两个向量数量积大于零， 夹角A是锐角，但不能说明其他角的情况， 在 ABC中，“0AB AC ”不能推出“ABC为锐角三角形”， ABC为锐角三角形， 0AB AC ， 前者是后者的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可 负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定 4. 交通运输部发布了城市轨道交通客运组织与服务管理办法 ，对乘客在地铁内一系列行为
5、进行规范，其 中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”该办法已于 2020 年 4 月开 始施行通常我们以分贝dB为单位来表示声音大小的等级，30 40分贝为安静环境，超过 50 分贝将对 人体有影响，90 分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病如果强度为v的声音对应的分 贝数为 f v dB，那么满足： 12 10 lg 1 10 v f v 若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢 内的声音的分贝能达到90dB，则90dB的声音与50dB的声音强度之比为( ) A. 40 B. 100 C. 40000 D. 10000 【答案】D 【解析】
6、 【分析】 直接把数值代入，两式作除法运算可得比值. 【详解】由公式 12 10 lg 1 10 v f v 可知， 9 1 12 10 1 10 v ， 5 2 12 10 1 10 v ， 所以 1 2 10000 v v ， 故选：D 【点睛】本题考查对数函数模型的应用，属于基础题. 5. 设单位向量a，b满足： 21ab，则2ab( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件对|2 | 1ab两边平方，进行数量积的运算即可求出1a b ，然后根据 2 |2|(2)abab即可 求出答案 【详解】解：| | 1,|2 | 1abab， 1 441
7、a b，1a b ， 222 |2|(2)444143abababa b 故选：C 【点睛】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础 题 6. 某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择， 学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有( )种不同的结果 A. 36 B. 27 C. 24 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】 甲空掉足球，乙空掉篮球，再结合分步计数乘法原理求解即可 【详解】由于甲不选足球，共有 1 3 C种选法，乙不选篮球，共有 1 3 C种选法，丙共有 1 4 C种选法
8、，故共有 111 334 36CCC种选法 故选：A 【点睛】本题考查排列组合公式的应用，属于基础题 7. 5 2 2 x x 的展开式中，含x项的系数为( ) A. 60 B. 60 C. 80 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二项式定理写出通项公式，再令x的幂为 1 即可求解 【详解】 5 2 2 x x 的展开式中，第1r 项为 5 210 3 55 C2C2 r rr rrrr xxx ，令10 31r，即3r 时，含x项的系数为80， 故选：C 【点睛】本题考查二项式定理中具体项的系数求解，属于基础题 8. 设函数 * sin N sin nx f xn x ，则下列
9、说法正确的是( ) A. f x是奇函数 B. f x是周期函数 C. f x的图象关于点 ,0 2 对称 D. 1f x 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论 【详解】解：对于函数 * sin ( )() sin nx f xnN x ， 当1n 时，函数 ( )1f x ，为常数函数，显然不是奇函数，故A错误； 由于 sin (2 )sin (2 )( ) sin(2 )sin n xnx f xf x xx ，故该函数为周期函数，故B正确 当 2 x 时， sin 2 ( )sin 2 sin 2 n n f x ，不一定等
10、于零，故C错误； 当2n， 6 x 时， sin 3 ( )31 sin 6 f x ，故D不正确， 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题 9. 设0,，若 22 coscos 21，则( ) A. 5 , 66 B. , 6 3 C. , 6 3 2 D. 5 , 6 26 【答案】D 【解析】 【分析】 结合余弦二倍角公式化简即可求解 【详解】结合题干，由 2 cos22cos1可得 2 22 cos2cos11， 即 22 cos4cos30 ，所以cos0或 3 cos 2 ， 故选：D 【点睛】本题考查二倍角余弦公式的使用，属于基础题 10. 设ABC中角A
11、，B，C所对的边分别为a，b，c，下列式子一定成立的是( ) A. tantantantantantanABCABC B. 222 2cosabcbcA C. 222 coscoscos2coscoscos1ABCABC D. 22 coscoscosbcabCacBbcA 【答案】C 【解析】 【分析】 A 项不妨令60ABC， 可判断错误；B 项 由余弦定理判断错 误； C 先采用边化角 得 222 sinsinsin2sinsincosABCBCA ，再结合同角三角函数代换关系将正弦化余弦可求证；D项结 合sinsinABC角化边得coscosabCcB，再结合余弦定理两式代换 2 a可
12、判断错误 【详解】对 A，令60ABC，可判断tantantantantantanABCABC等式不成立，故 A 错误； 对 B,由余弦定理可得 222 2cosabcbcA，故 B错误； 对于 C选项，由 222 2cosabcbcA可得 222 sinsinsin2sinsincosABCBCA ， 即 222 1 cos1 cos1 cos2 coscoscoscosABCBCBCA ， 整理得 2222 coscoscos1 2cos2coscoscosBCAABCA ，移项可得 C选项，故 C 正确； 对于 D选项，由sinsinABC，有coscosabCcB， 2 coscosa
13、abCacB，而 222 2cosabcbcA， 可得 22 cos2cosabBbcbcA，故 D 错误， 故选：C 【点睛】本题考查由正弦定理和余弦定理进行公式推导证明，考查了数学运算的核心素养，属于中档题 11. 为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路(如图中虚线处)，要求该道路与两 条直线道路平滑连接(注：两直线道路： 1 2yx ， 2 39yx分别与该曲线相切于0,0，3,0，已知 该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为( ) A. 32 15 2 33 fxxxx B 32 11 2 33 f xxxx C. 32 11 2 93 f xxxx D.
14、 32 1 2 3 f xxxx 【答案】C 【解析】 【分析】 先设函数解析式，再求导，根据导数几何意义列方程，解得结果. 【详解】由题意得三次函数过两点0,0，3,0，所以可设 (3)()f xax xxb (3)()()(3)fxa xxbax xbax x Q 又(0)2,(3)3ff ，所以 1 32,333,6, 9 ababba 32 11 2 93 f xxxx 故选：C 【点睛】本题考查求函数解析式、导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 如图，设在ABC中，ABBCAC，从顶点A连接对边BC上两点D，E，使得 30DAE， 若16BD，5CE ，则边长AB
15、( ) A. 38 B. 40 C. 42 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】 结合正弦定理，设ABx，BAD，对BAD可得 16 sin 60sin x ，同理对EAC可得 5 sin 90sin 30 x ，联立解方程即可求解；也可对BAD和EAC使用余弦定理求得 22 ,ADAE，再对ADE使用正弦定理面积公式和余弦定理，联立方程即可求解 【详解】方法一：设ABx，BAD，在BAD中，由正弦定理： 16 sin 60sin x ，可以化简 得 3 cos 1 2 16sin2 x ， 在EAC中 ， 由 正 弦 定 理 ： 5 sin 90sin 30 x ， 可 以 化 简 得
16、 3 sin 51 2 cos2x ，联立可得 1513 16224 x x ，可以化简得 2 42800 xx ，解得40 x， 2x(舍去)，故选 B 方法二：利用余弦定理得ABx， 222 1616ADxx， 222 55AExx，而ADE的面积 131 21sin30 222 SxxAD AE，则 321AD AEx x，则在ADE中，由余弦定理得 2 22 212cos30 xADAEAD AE， 222222 4221161655321xxxxxxx x， 简化整理得 2 42800 xx，即40 x，2x(舍)， 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的具体应用
17、，数学运算的核心素养，属于中档题 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) ) 13. 设向量3,2a ，2,bm ，若ab ，则m_ 【答案】3 【解析】 【分析】 根据ab，由 0a b ，利用坐标运算求解. 【详解】向量3,2a ，2,bm ， 因为ab， 所以 0a b ，即3220m ， 解得 3m 故答案为：3 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，属于基础题. 14. 设函数 3sin 21 3 f xx ，则 f x在 0, 2 x 上的最大值为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 由 0, 2 x ，得到 2 2
18、, 333 x ，然后再利用正弦函数的最值求解. 【详解】已知函数 3sin 21 3 f xx ， 因为 0, 2 x ， 所以 2 2, 333 x ， 所以 3 sin 2,1 32 x ， 所以 f x在 0, 2 x 上的最大值为 2 故答案为：2 【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 15. 去年底，新一代的无线网络技术WIFI6发布.相比于上一代，WIFI6加入了新的OFDMA技术，支持 多个终端同时并行传输，有效提升了效率并降低延时，小明家更换了支持WIFI6的新路由器，设在某一时 刻，家里有n个设备接入该路由器的概率为 P n，且
19、 1 0,13, 3 0,4, n Pn P n n 那么没有设备接入 的概率 0P_ 【答案】 27 40 【解析】 【分析】 由题意可列出 101234PPPPP n，再结合 P n计算公式代值计算即可 【详解】由 101234PPPPP n，且 1 0,13, 3 n P nPn ， 所以有 111 1010 3927 P ，可求得 27 0 40 P 故答案为： 27 40 【点睛】本题考查具体问题中概率求解问题，属于基础题 16. 函数 yx称为取整函数，也称高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，例如： 1.31， 设函数 x e f xx x ， 则函数 g xf
20、x 在 2,3x的值域为_ (其中：2.718e， 2 7.389e ， 3 20.086e ) 【答案】1,2,3 【解析】 【分析】 求导得 2 2 (1) ( ) x xex fx x ，令 2 ( )(1) x h xxex，再次求导后可推出( ) h x在2，3上单调递增，故 有( )0h x ，从而得 ( )f x在2，3上单调递增，再求出( )f x在2，3上的最大值和最小值即可 【详解】解：( ) x e f xx x ， 2 2 (1) ( ) x xex fx x ， 令 2 ( )(1) x h xxex，则( )(2) x h xx e， 2x ，3，( )0h x ，
21、即( )h x在2，3上单调递增， ( )h xh(2) 2 2(2)0e，即 ( )0fx ， ( )f x 在2，3上单调递增， ( )(2) min f xf 2 21.69 2 e ； ( )(3) max f xf 3 33.70 3 e ， ( ) ( )g xf x 在 2x ，3上的值域为1，2，3 故答案为：1，2，3 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，需要构造函数，多次求导来确定函数的单调性，考查学生的 转化思想、逻辑推理能力和运算能力. 三、解答题三、解答题( (共共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ) 17
22、. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2 1cos2cos20BC (1)求sin:sinBC的值； (2)若15a ，且ABC为锐角三角形，求c的取值范围 【答案】(1)sin:sin2BC ；(2)35c. 【解析】 【分析】 (1)结合二倍角公式将cos2C代换，再全部转化为关于sin,sinBC的表达式即可； (2)由ABC为锐角三角形，再结合(1)知，cos0A且cos0B ，结合余弦定理解关于c的不等式组即 可求解 【详解】(1)因为 2 1 cos2cos20BC， 则 22 cos4sin10BC ，即 22 4sinsinCB， 因sin0B，sin0C ，
23、则sin2sinBC，sin:sin2BC (2)因为15a ，2bc，且ABC为锐角三角形，则角C一定为锐角， 因为cos0A，所以 222 0bca，即 2 515c ，3c ， 又cos0B ，所以 222 0acb， 2 315c ，即5c ， 综上所述，c的取值范围是35c 【点睛】本题考查二倍角公式的使用，余弦定理解三角形的具体应用，属于中档题 18. 甲、 乙两名同学进行乒乓球比赛， 规定每一局比赛获胜方记 1分， 失败方记 0分， 谁先获得 5分就获胜， 比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是 1 2 (1)求比赛结束时恰好打了 7局的概率； (2)若现在的比分是 3比 1甲领
24、先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望 【答案】(1) 15 64 ；(2)分布列见解析， 7 2 . 【解析】 【分析】 (1)利用事件的独立性，分两种情况，恰好打了 7 局甲获胜和恰好打了 7局乙获胜，再将概率相加，即可得 答案； (2)记的可能取值为2,3,4,5，利用二项分布求出分布列，即可得答案； 【详解】解：(1)恰好打了 7局甲获胜的概率是 6 4 16 1115 C 22128 P ， 恰好打了 7 局乙获胜的概率是 6 4 26 1115 C 22128 P ， 故比赛结束时恰好打了 7局的概率 12 15 64 PPP (2)的可能取值为2,3,4,5， 2 11
25、 2 24 P ， 2 1 2 111 3C 224 P ， 34 14 34 1111 4CC 2224 P ， 3 1 4 111 5C1 224 P ， 故的分布列为 2 3 4 5 P 1 4 1 4 1 4 1 4 则的数学期望 11117 2345 44442 E 【点睛】本题考查相互独立事件和二项分布的概率计算，考查运算求解能力，求解时注意识别概率模型. 19. 已知 2sin3cossin10f xxxx (1)若函数 f x的最小正周期为，求的值及 f x单调递增区间； (2)若 0, 3 x 时，方程 1f x 恰好有两个解，求实数的取值范围 【答案】(1)1， , 36
26、kk ，Zk；(2)34. 【解析】 【分析】 (1)由二倍角公式和辅助角公式化简得 2sin 2 6 fxx ，根据最小正周期可求出1，再令 2 22 262 kxkkZ可解出单调递增区间； (2)可知 1 sin 2 62 x 恰好有两个解，可得 132 17 6366 ，解出即可. 【详解】(1) 2 2 3sincos2sin1f xxxx， 所以 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx ， 因为最小正周期 2 2 T ，又0， 所以1，即 2sin 2 6 f xx ， 所以 2 22 262 kxk，解得 36 kxk，Zk， 所以 f x的单调递增区间为 , 36 kk
27、 ，Zk (2)因为 0, 3 x 时， 2 2, 6636 x ， 1f x 恰好有两个解， 即 1 sin 2 62 x 恰好有两个解，所以13 2 17 6366 ， 即 2 8 2 33 ，解得34， 所以实数的取值范围是34 【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的性质，属于中档题. 20. 如图， 已知三棱柱 111 ABCABC的底面是正三角形， 且 1 AC 平面ABC，E是AB的中点， 且 2AB (1)求证： 1/ BC平面 1 AEC； (2)已知三棱锥 11 ACC E的体积为 3 6 ，求二面角 11 CAEC的余弦值 【答案】(1)证明见解析；(2
28、) 21 7 【解析】 【分析】 (1)连接 1 AC交 1 AC于F，根据中位线定理可得 1 / /EFBC，于是 1/ / BC平面 1 AEC； (2)证明AB 平面 1 AEC，根据棱锥体积计算棱柱的高 1 AC，建立空间坐标系，求出两平面法向量，根据 法向量夹角得出二面角大小 【详解】(1)证明：连接 1 AC交 1 AC于F，则F为 1 AC的中点， 又E是AB的中点， 1 / /EFBC， 又EF 平面 1 AEC， 1 BC 平面 1 AEC， 1/ / BC平面 1 AEC (2)解：因为 1111 ACC ECACE VV ，又因为 1/ BC平面 1 AEC，所以 111
29、 CACEB ACE VV ， 而 11 1 113 326 B ACEABCE VVBECEAC ，因为2AB ，底面是正三角形， 所以1BE ，3CE ，代入得 1 1AC 以EB为x轴正方向，EC为y轴正方向， 过E作 1 CA uuu r 的平行线为z轴正方向建立空间直角坐标系E xyz ， 所以0,0,0E，1,0,0B，1,0,0A ，0, 3,0C， 1 0, 3,1A， 因为 1 CA 平面ABC，且EB 平面ABC， 所以 1 CAEB，又EBCE，且 1 CECAA，故EB 平面 1 AEC 取平面 1 AEC的一个法向量为 1 1,0,0nEB， 设平面 11 AEC的一
30、个法向量为 2222 ,nx y z， 则 21 0nEA， 211 0nAC 因为 1 0, 3,1EA ， 11 1, 3,0ACAC，所以 22 22 30, 30, yz xy 令 2 1y ， 2 3z ， 2 3x ，则 2 3, 1, 3n 又 1 1,0,0n u r ，所以 1 n u r 与 2 n u u r 夹角的余弦值为 12 12 321 cos 77 1 n n nn ， 所以二面角 11 CAEC的余弦值为 21 7 【点睛】本题考查线面平行的判定，棱锥的体积计算，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题 21. 已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab
31、的上顶点为B， 左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 离心率 3 2 e ， 12 BFF 的面积为3 (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线 () :1l ykx m m=+贡与椭圆E相交于点P，Q，则直线BP，BQ的斜率分别为 1 k， 2 k，且， 12 ktk，其中t是非零常数，则直线l是否经过某个定点A？若是，请求出A的坐标 【答案】(1) 2 2 1 4 x y；(2)直线l经过定点 2 , 1A t . 【解析】 【分析】 (1)由题可得 3 3, 2 bce，再结合 222 abc即可求解椭圆标准方程； (2)联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，求出 12 kk，结合韦达定理
32、可得k与m的代换式 2 1 k t m ， 代入y kxm 整理成点斜式即可求解 【详解】(1)因为0,Bb， 12 BFF的面积 1 23 2 Sc bbc，且 3 2 c e a ， 故解得2a，3c ，1b，则 2 4a ， 2 1b ， 则椭圆E的标准方程为 2 2 1 4 x y (2)假设 11 ,P x y， 22 ,Q x y， 直线与椭圆联立得 2 2 1, 4 , x y ykxm 消去y整理得 222 418440kxkmxm ， 则 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 44 41 m xx k ，又因为0,1B， 所以 1 1 1 1y k x ， 2
33、 2 2 1y k x ，则 1221 12 12 1212 1111kxmxkxmxyy kkt xxx x ， 即 1212 12 21kx xmxx t x x ，代入韦达定理得 2 22 2 2 448 21 4141 44 41 mkm km kk t m k ， 即 2 2 24418 44 kmmkm t m ，化简得 2 21 1 k m t m ， 因为1m，则 2 1 k t m ， 即21kt m， 2 1 k m t 代入直线得 22 11ykxkk x tt ， 所以恒过 2 , 1 t ，故直线l经过定点 2 , 1A t 【点睛】 本题考查椭圆标准方程的求解，由直
34、线与椭圆的位置关系求证直线过定点问题， 韦达定理的使用， 考查了数学运算的核心素养，属于中档题 22. 已知 1 lnf xaxxax (1)当1a 时，讨论 f x的单调性； (2)若 f x在0,上单调递增，求实数a的取值范围； (3)令 g xfx ，存在 12 0 xx，且 12 1xx +， 12 g xg x，求实数a的取值范围 【答案】(1) f x在0,上单调递增；(2)0,e；(3)2, 【解析】 【分析】 (1)利用导数研究函数的单调性， 求导得 1 lnfxx x ， 则 2 1x fx x ， 由此得 110fxf ， 从而得到函数的单调性； (2)分类讨论，当0a时，
35、 lnf xx，满足要求；当0a时，有0,x时， 0fx 恒成立， 而 1 lnfxax x ， 2 1a fx xx ，再分0a 和0a两种情况讨论即可求出答案； (3)由题意得 12 12 11 lnlnaxax xx ， 即 2 121 11 ln0 x a xxx ， 进而有 212 121 ln0 xxx a xxx ， 令 2 1 x t x ， 则转化为1,t时， 1 ln0att t 方程有解 解法一：令 1 lnG tatt t ，则1,t时， 0G t 有解，结合导数讨论函数的单调性，由此求 得结论； 解法二：分离参数后用洛必达法则求得答案 【详解】解：(1)当1a 时，
36、1 lnf xxxx，则 1 ln 1 1ln x fx x xx x ， 22 111x fx xxx ， 当0,1x时， 0fx ，1,x时， 0fx ， 则 fx 在0,1上单调递减，在 1,上单调递增， 又 110 f ， 0,x时， 0fx ， f x在0,上单调递增； (2)当0a时， lnf xx， f x在0,上单调递增，则0a时满足要求； 当0a时， f x在0,上单调递增，则当0,x时， 0fx 恒成立， 1 lnfxax x ， 2 1a fx xx ， 当0a 时， 2 1 0 a fx xx ， fx 0,上单调递减，而 1 1 1 1 a a fe e ， 0a ，
37、 1 1 a e ， 1 1 1 10 a a e e f ， 1 , a xe 时， 0fx ，故0a 时不成立， 当0a时， 2 1ax fx x ，当 1 0,x a 时， 0fx ， 1 ,x a 时， 0fx ， 则 fx 在 1 0, a 上单调递减，在 1 , a 上单调递增， 0,x时， 0fx ， 只需 1 0f a ，即 11 ln1 ln0faaa aa ， 0a， 1 ln0a，则0ae， 综上所述，实数a的取值范围是0,e； (3) 1 lng xfxax x ， 11 1 1 lng xax x ， 22 2 1 lng xax x ， 12 g xg x， 12
38、12 11 lnlnaxax xx ，即 2 121 11 ln0 x a xxx ， 又 12 1xx +， 1212 2 121 ln0 xxxxx a xxx ，即 212 121 ln0 xxx a xxx ， 令 2 1 x t x ，则1,t，即 1 ln0att t 方程有解 解法一：令 1 lnG tatt t ，则1,t时， 0G t 有解， 2 22 11 1 atat G t ttt ，因为1,t时，则 1 2t t ， 当2a时， 2 2 1 1 0 at tatt tt ，即1,t时， 0G t ， 则 G t在 1,上单调递减， 又 10G，故1,t时， 0G t
39、无解， 则2a时不成立； 当2a时，当 2 4 1, 2 aa t 时， 0G t ， 2 4 , 2 aa t 时， 0G t ， 又 10G，则 2 4 1, 2 aa t ， 0G t ， 而 22 1 12 aaa a G eaeaea e ， 令 2 12 x H xxex ， 2 x Hxxe， 2 x Hxe， 因为2x ，则 20 x Hxe，则 Hx在2,单调递减， 2 240HxHe， 则 H x在2,单调递减，则 2 250H xHe ，即0 a G e， 故存在 2 0 4 , 2 a aa xe ，使得 0 0G x，故2a时满足要求， 综上所述，实数a的取值范围是2
40、, 解法二：分离参数后用洛必达法则： 即 1 ln t t a t ，令 1 ln t t h t t ， 则 22 22 2 22 11 111 ln 1ln lnln tt t tt tt ttt h t tt ， 令 2 2 1 ln 1 t F tt t ， 2 22 22 22 14 14 0 11 tt t F t t tt t ， 当1,t时， 0h t ，故 h t在 1,上单调递增，故 1 1 ln t t h th t ， 由洛必达法则知：当1t 时， 2 1 1 1 t h t t ，则 12h，则2a， 实数a的取值范围是2, 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论 思想，属于难题
