1、2020 年秋年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高三期中联考数学试题高三期中联考数学试题 本试卷共本试卷共 4 页，共页，共 22 题题.满分满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动， 用橡
2、皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1. 若集合 2, 1,0,1,2A ，集合 2 |log (1)Bx yx，则AB ( ) A. 2 B. 1,2 C. 2, 1
3、,0 D. 2, 1,0,1 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用函数的定义域求法化简集合 B，再利用交集的运算求解. 【详解】因为集合 2 log (1)1Bx yxx x ，集合 2, 1,0,1,2A ， 所以 2, 1,0AB . 故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2. 某位居民站在离地 20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60， 小高层底部的俯角为45， 那么 这栋小高层的高度为( ) A. 3 20(1) 3 m B. 20(13)m C. 10( 26)m D. 20( 26)m 【答案】B 【解析
4、】 【分析】 依题意作图,先求出AEEC20m，再求出DE 20 3m ，即得这栋小高层的高度. 【详解】依题意作图所示：AB20m，仰角DAE60，俯角EAC45， 在等腰直角ACE中，AEEC20m， 在直角DAE中，DAE60， DEAEtan6020 3m ， 小高层的高度为CD(2020 3)20(13)m 故选：B 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3. 设 1 2 log 3a ， 3 1 ( ) 2 b ， 1 2 3c ，则( ) A. abc B. cba C. cab D. bac 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数、对
5、数函数的性质计算可得； 【详解】解： 11 22 log 3log 10a ； 3 1 01 2 b ； 1 2 31c . 所以abc 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题. 4. 已知命题p，xR ， 1 2 x x e e ，则 p 为( ) A. xR ， 1 2 x x e e B. xR ， 1 2 x x e e C. xR ， 1 2 x x e e D. xR ， 1 2 x x e e 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以：命题p，xR ， 1 2
6、x x e e ，则 p 为xR ， 1 2 x x e e 故选：B 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题 5. 函数 ln ( ) xx f x x 的大致图象为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将函数表达式化为 ,0ln ,0 lnx xxx f x lnxxx ， 由函数奇偶性得到 BC 不正确， 再由特殊值得到最终 结果. 【详解】因为 ,0ln ,0 lnx xxx f x lnxxx 是奇函数排除,B C，且当1x 时， 0f x . 故答案为 A. 【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数
7、的值域和 定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特 殊点，或者取极限. 6. 若函数 2 ( )sinln(1 4)f xxaxx 的图象关于y轴对称，则实数a的值为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到 f xfx，进而得到 2 2 1 1 4 1 4 axx xax 恒成 立，根据对应项系数相同可得方程求得结果. 【详解】 f x图象关于y轴对称，即 f x为偶函数 fxfx 即： 22 2 1 sinln1 4sinln1 4sinln 1 4 xaxxxx
8、axx xax 2 2 1 1 4 1 4 axx xax 恒成立，即： 222 141xa x 2 4a，解得：2a 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同， 属于常考题型. 7. 等差数列 n a中，已知 7 0a ， 39 0aa，则 n a的前n项和 n S的最小值为( ) A. 4 S B. 5 S C. 6 S D. 7 S 【答案】C 【解析】 【分析】 先通过数列性质判断 6 0a ，再通过数列的正负判断 n S的最小值. 【详解】 等差数列 n a中， 39 0aa， 396 20aaa，即 6 0a .又
9、 7 0a ， n a的前n项和 n S的最小值为 6 S. 故答案选 C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将 n S的最小值转化为 n a的正负关系是解题的关键. 8. 设函数 e3 x f xxa .若曲线 sinyx 上存在点 00 ,x y，使得 00 ff yy，则实数 a的取 值范围是( ) A. 1,2e B. 1 3,1e C. 1,1e D. 1 3,1ee 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可得存在 0 0y ，1， 使 00 ()f yy成立， 即( )f xx在0，1上有解， 即 2 3 x aexx， 0 x ， 1利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值
10、域，可得a的范围 【详解】由题意可得 00 sin 1yx ，1， 0 00 ()3 y f yeya， 曲线 sinyx 上存在点 0 (x， 0) y 使得 00 ( ()f f yy， 存在 0 0y ，1，使 00 ()f yy成立 函数( )3 x f xexa在它的定义域内单调递增， 下面证明 00 ()f yy 假设 00 ()f ycy，则 0 ( ()f f yf(c) 00 ()f ycy，不满足 00 ( ()f f yy 同理假设 00 ()f ycy，则不满足 00 ( ()f f yy 综上可得： 00 ()f yy 则问题等价于方程( )f xx，0,1x有解，即
11、 2 3 x xexa在 0,1x 有解，分离参数可得 2 3 x aexx，令 2 ( )3 x g xexx，( )320,0,1 x g xexx ，所以函数( )g x在0,1上 单调递增， 所以1(0)( )(1)2gg xge，所以12ae . 故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，体 现了转化的数学思想，属于中档题 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选
12、对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 下列说法中正确的有( ) A. 不等式 2abab 恒成立 B. 存在 a，使得不等式 1 2a a 成立 C. 若,(0,)a b，则2 ba ab D. 若正实数 x，y满足21xy，则 21 8 xy 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据基本不等式的条件和结论对所有选择支分别判断 【详解】不等式2abab恒成立的条件是0a，0b，故 A不正确； 当 a为负数时，不等式 1 2a a 成立.故 B正确； 由基本不等式可知 C正确； 对于 212144 (2 )4428 yxy
13、x xy xyxyxyxy ， 当且仅当 4yx xy ，即 1 , 2 x 1 4 y 时取等号，故 D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，基本不等式的条件不能忘记，如果用基本不等式求最值一定要注意 一正二定三相等另外存在性命题举例可说明正确，全称性命题需证明才能说明正确性 10. 已知等比数列 n a的公比为q，前 4项的和为 1 14a ，且 2 a， 3 1a ， 4 a成等差数列，则q的值可能 为( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AC 【解析】 【分析】 运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值 【详解】解：因为
14、 2 a， 3 1a ， 4 a成等差数列， 所以 243 2(1)aaa ， 因此， 1234131 3214aaaaaaa， 故 3 4a 又 n a是公比为q的等比数列， 所以由 243 2(1)aaa ， 得 33 1 ()2(1)a qa q ，即 15 2 q q ， 解得2q =或 1 2 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和性质，考查方程思想和运算能力，属于基 础题 11. 已知函数( ) cos(2)f xx | 2 ， 3 ( )( )( ) 2 F xf xfx为奇函数，则下述四个结论中说法 正确的是( ) A. tan3 B. ( )f
15、x在, a a 上存在零点，则 a的最小值为 6 C. ( )F x在 3 , 44 上单调递增 D. ( )f x在 0, 2 有且仅有一个极大值点 【答案】BC 【解析】 【分析】 首先求出( ) fx，即可得到 3 ( )( )( ) 2 F xf xfx的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数，最后结 合正弦函数的性质一一验证即可； 【详解】解：因为( )cos(2)f xx，所以( )2sin(2)fxx ， 所以 3 ( )( )( )cos(2)3sin(2)2cos 2 23 F xf xfxxxx 因为( )F x为奇函数，则(0)0F，即cos0 3 ，所以 32 k ，kZ，
16、因为| 2 ， 所以 6 ， 对于 A， 3 tantan 63 ，故 A错误； 对于 B，令( )cos 20 6 f xx ，得 26 k x ，kZ，若( )f x在, a a上存在零点，则0a且 a 的最小值为 6 ，故 B正确； 对于 C，( )2cos 22sin2 63 F xxx ， 当 3 , 44 x 时，2, 2 3 2 x ， 则( )F x在 3 , 44 上单调递增，故 C 正确. 对于 D，因( )2sin 2 6 fxx ，当 5 0, 12 x 时，( )0fx ，当 5 , 12 2 x 时，( )0fx ， ( )f x在0, 2 上存在一个极小值点，没有
17、极大值点，故 D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查正弦函数的性质的应用，利用三角恒等变换公式化简，属于中档题. 12. 设函数 ln,0 ( ) (1),0 x x x f x exx ，若方程 2 1 ( )( )0 1 6 f xaf x有六个不等的实数根，则实数 a 可 取的值可能是( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】 先利用导数研究函数的单调性作出函数 ( )f x的图象，由图象可知当 01f x时，有三个不同的 x 与 f x对应，设 tf x，方程 2 1 ( )( )0 1 6 f xaf x有六个不等的实数根，所以 2
18、1 0 16 tat在 0,1t内有两个不等的实根，再利用二次方程的根的分布求解. 详解】当0 x时， 1 x f xex，则( )(1)(2) xxx fxexeex 由 0fx 得20 x，即2x，此时 f x为减函数， 由 0fx得20 x，即20 x ，此时 f x为增函数， 即当2x时， f x取得极小值 2 1 ( 2)f e ，作出 f x的图象如图： 由图象可知当 01f x时，有三个不同的 x与 f x对应， 设 tf x，方程 2 1 ( )( )0 1 6 f xaf x有六个不等的实数根， 所以 2 1 0 16 tat在0,1t内有两个不等的实根， 设 2 1 ( )
19、 16 g ttat 即 2 1 0 16 (0)0 1 (1)010 117 16 0 1216 40 16 01 2 01 2 g ga a a a a ， 则实数 a可取的值可能是 2 3 ，1 故选：BC. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，考查二次函数的根的分布，考查函数图象的应用，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 已知 2, 0 ( ) 22,0 x xx f x x 则( ( 2)ff _. 【答案】14 【解析】 【分析】 根据函数解析式，
20、由内而外，逐步计算， 即可得出结果. 【详解】因为 2, 0 ( ) 22,0 x xx f x x ，所以 2 ( 2)( 2)4f ， 则 4 ( ( 2)(4)2216214f ff. 故答案为：14. 【点睛】本题主要考查求分段函数值，属于基础题型. 14. 已知xR，条件 2 :p xx，条件 1 :qa x (0a)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范 围是_. 【答案】(0,1 【解析】 【分析】 先解出命题所对应的集合，再根据条件分析集合包含关系，进行求解 【详解】因为 xR，条件 p：x2x，所以 p 对应的集合为 A(0，1)； 因为条件 q： 1 x a(a0)，
21、所以 q对应的集合为 B(0， 1 a ； 因为 p 是 q的充分不必要条件， 所以 AB， 所以 1 1 a ， 所以 0a1， 故答案为：(0，1 【点睛】本题考查集合包含关系，以及简易逻辑，属于基础题 15. 若函数 2 1 20 20 x f xxx的零点为 0 x，且 0 ,1xa a，aZ，则a的值为_. 【答案】3 【解析】 【分析】 先得到函数 ( )f x在(,0) 单调递增，再证明( 3) ( 2)0ff，即得解. 【详解】因为 2 1 2 , 20 x yyx 都是(,0)上的增函数， 所以函数 ( )f x(,0) 单调递增(增函数+增函数=增函数)， 因为 12 1
22、2( 1)0 20 ( 1)f ， 2232 111119 ( 2)2( 2)0,( 3)2( 3)0 204520820 ff ， 所以 0 ( 3, 2)x ， 所以3a. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查零点定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16. 已知等差数列 n a的公差d不为 0，等比数列 n b的公比q是小于 1的正有理数，若 11 abd，且 124 123 aaa bbb 是正整数，则q _. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 运用等差数列和等比数列通项公式，确定 124 123 aaa bbb 的表达式，利用 124 123 aaa bbb 是正整数
23、，q是小于 1 的正有理数，通过验证的方法可以求解. 【详解】解：由已知 * 124 22 123 247 1 aaaddd t tN bbbddqdqqq ， 2 70tqtqt ， 0q 2 328 2 ttt q t ， 且 2 3280tt， * 28 0, 3 ttN ， 1,2,3,4,5,6,7,8,9t ， 又 q为小于 1 的正有理数， 2 328tt是一个完全平方数， 可得1t 或4t 或7t 或9t ，则2q =(舍)或 1 2 q 或0q (舍)或 1 3 q (舍) 1 2 q . 故答案为： 1 2 . 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，考查运
24、算能力，是一道中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知ABC的内角 , ,A B C的对应边分别为, ,a b c， 在3coscoscossinC aBbAcC sinsin 2 AB acA 2 2 sinsinsinsinsinBACBA 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_时，求sinsinAB的最大值. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 根据正弦定理或余弦定理计算得到 3 C ，再计算 11 sinsin2s 264 inABA ，得到最值. 【
25、详解】若选，则由正弦定理3cossincossincossinsinCABBACC， 3cossinsinsinCABCC，3tanC， 3 C 若选，则由正弦定理知： sinsinsinsin 2 C ACA ，cossin2sincos 222 CCC C， 1 sin 22 C ， 3 C 若选，则有正弦定理知 2 2 bacbc， 222 bacbc，由余弦定理知： 1 cos 2 C ， 3 C ， 2 3 AB ， 2 sinsinsinsin 3 ABAA 31 sincossin 22 AAA 2 3131 sincossinsin21 cos2 2244 AAAAA 11 s
26、in 2 264 A 2 0, 3 A ， 7 2, 666 A ，所以当 3 A 时，sinsinAB的最大值是 3 4 . 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2， n a， n S成等差数列. (1)求数列 n a的通项公式； (2)若 nn bn a，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】(1)2n n a ；(2) 1 (1) 22 n n Tn . 【解析】 【分析】 (1)由题意知22 nn aS，两式作差可得 1 2(2) nn aan ，从而得到数列 n a的通项公
27、式； (2)由(1)可得2n n bn，用错位相减法得到数列 n b的前n项和 n T. 【详解】(1)由题意知 2，, nn a S成等差数列，所以22 nn aS， 可得 11 222() nn aSn 得 1 2(2) nn aan ，又 111 22,2aaa， 所以数列 n a是以 2 为首项，2为公比的等比数列，2n n a (2)由(1)可得2n n bn，用错位相减法得： 234 2223 2422n n Tn 231 2222(1)22 nn n Tnn 可得 1 (1) 22 n n Tn . 【点睛】本题考查数列递推关系，考查错位相减法求和，考查运算能力与逻辑推理能力，属
28、于中档题. 19. 如图，ABCD是边长为 3 的正方形，DE 平面ABCD， /AF DE，3DEAF，BE与平面ABCD 所成角为60. (1)求证：AC 平面BDE； (2)求二面角FBED的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 13 13 . 【解析】 【分析】 (1)根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】(1)证明：因为DE 平面ABCD，AC 面ABCD，所以DEAC. 因为ABCD是正方形，所以ACBD 又DEBDD，DE 面BDE，BD 面BDE，故AC 平面BDE (
29、2)因为,DA DC DE两两垂直，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示. 因为ED 平面ABCD，且EB与平面ABCD所成角为60，即60DBE ， 所以3 ED DB ，由已知3AD，可得 3 6DE ，6AF . 则(3,0,0)A，(3,0, 6)F，(0,0,3 6)E，(3,3,0)B， (0,3,0)C ， 所以 (0, 3, 6)BF ， (3,0, 2 6)EF . 设平面BEF的法向量为n (x,y,z) ，则 0 0 n BF n EF ，即 360 32 60 yz xz . 令6z ，则 (4,2, 6)n 因为AC 平面BDE，所以CA 为平面BDE的法向量， (3,
30、 3,0)CA . 所以 613 cos, 13263 2 | | n CA n CA nCA . 因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为 13 13 . 【点睛】本题考查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推 理论证能力和数学运算能力. 20. 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 离心率为 1 2 ，A为椭圆上一动点(异 于左右顶点)， 12 AFF 面积的最大值为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设过点 1 F的直线l(l的斜率存在且不为 0)与椭圆C相交于,A B两点， 线段AB的垂直
31、平分线交 x轴于点 P，试判断 1 | PF AB 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) 22 1 43 xy ；(2) 1 | PF AB 为定值 1 4 . 【解析】 【分析】 (1)由 12 AFF 面积的最大值为3，得到3bc ，又 1 2 c e a 求解. (2)设直线:1 (0)AB xmym， 与椭圆方程联立， 然后求得弦长|AB和直线 AB 的垂直平分线求得点 P 的坐标求解. 【详解】(1) 12 AFF 面积的最大值为3，则：3bc 又 1 2 c e a ， 222 abc， 解得： 2 4a ， 2 3b ， 椭圆 C 的方程为： 22
32、1 43 xy . (2) 1 | PF AB 为定值 1 4 ，设直线:1 (0)AB xmym， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，线段AB的中点为 00 ,N x y， 由 22 1 43 1 xy xmy ，消去 x 可得： 22 34690mymy ， 恒成立， 12 2 6 34 m yy m ，1 2 2 9 34 y y m ， 2 2 12 2 121 |1 34 m ABmyy m ， 0 2 4 34 x m ， 0 2 3 34 m y m ， 22 43 , 34 34 m N mm ， 直线 22 34 : 3434 m PNym x mm ， 令0y
33、，则 2 1 34 p x m ， 2 1 2 2 1 ( 1) 1 34 |4121 34 PF m ABm m ， 故 1 | PF AB 为定值 1 4 . 【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能 力，属于中档题. 21. 某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游 戏击鼓三次，若出现一次音乐获得 1 分，若出现两次音乐获得 2分，若出现三次音乐获得 5 分，若没有出现 音乐则扣 15分(即获得15分).设每次击鼓出现音乐的概率为 1 2 ，且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏
34、获得的分数为 X，求 X的分布列. (2)玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ (3)玩过这款游戏的人发现，若干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减 少的原因. 【答案】(1)答案见解析；(2) 511 512 ；(3)答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据击鼓三次，出现一次音乐获得 1分，若出现两次音乐获得 2 分，若出现三次音乐获得 5分，若没有 出现音乐则扣 15分，得到 X 可能的取值为 1，2，5，15，然后分别求得其相应概率，列出分布列； (2)设“第 i盘游戏没有出现音乐”为事件(1,2,3) i A i ，根据每次击鼓出现音乐的概率
35、为 1 2 ，且各次击鼓 出现音乐相互独立得到 123 1 (15) 8 P AP AP AP X ，然后利用对立事件的概率求解. (3)根据(1)的结论，算出随机变量 X的数学期望即可. 【详解】(1)X 可能的取值为 1，2，5，15 根据题意，有 12 1 3 113 (1)1 228 P XC ， 21 2 3 113 (2)1 228 P XC ， 30 3 3 111 (5)1 228 P XC ， 03 0 3 111 (15)1 228 P XC . 所以 X的分布列为： X 1 2 5 15 P 3 8 3 8 1 8 1 8 (2)设“第 i盘游戏没有出现音乐”为事件(1,
36、2,3) i A i ， 则 123 1 (15) 8 P AP AP AP X . 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 3 123 11511 111 8512512 P A A A . 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 511 512 (3)由(1)知，随机变量 X的数学期望为 33111 12515 88888 EX . 这表明，获得分数 X的均值为负. 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的应用以及独立事件和对立事件的概率求法，还考 查了运算求解的能力，属于中档题. 22. 已知函数 32 24 2 33 fxx
37、x， x g xeax xR. (1)若 f x在区间5,1aa上的最大值为 4 3 ，求实数a的取值范围； (2)设 3 1 2 h xfxx， , , h xh xg x F x g xh xg x ，记 12 , n x xx为 F x从小到大的零点，当 3 ae 时，讨论 F x的零点个数及大小. 【答案】(1)14a；(2)当 3 ae 时，( )F x有三个零点： 123 1,01,lnxxaxa . 【解析】 【分析】 (1)求导得到函数单调区间，计算 ( )f x的极大值为 4 (0) 3 f， 4 (3) 3 f，根据题意得到 50 013 a a ， 解得答案. (2)考虑
38、1x和1x 两种情况，求导得到( )g x单调区间，根据(0)0g，(1)0g得到( )F x在(0,1) 上有一个零点 2 x，构造函数，根据零点存在定理得到( )F x在(ln , )a a上有一个零点 3 x，得到答案. 【详解】(1) 2 ( )242 (2)fxxxx x， ( )f x在(,0) 和(2,)上单调递增，在(0,2)上单减， ( )f x的极大值为 4 (0) 3 f，( )f x的极小值为 4 (2) 3 f ， 又 4 (3) 3 f，若( )f x的最大值是 4 3 ，则 50 013 a a ，14a. (2) 32 ( )33(1)(1)(3)h xxxxx
39、xx， 当1x时，( )0 x g xeax，此时 ( )( )F xh x ， ( )F x在(, 1 有一个零点， 1 1x ； 当1x 时，( ) x g xea， ( )g x在(0,ln )a上单调递减，在(ln ,)a 上单调递增. 又 3 ae ，ln3a ， 由于(0)10, (1)0ggea，( 1,1)x 时， 0f x ， ( )F x在(0,1)上有一个零点 2 x； 又(ln )(1ln )0gaaa，令 3 ( )lnk xxx xe ， 1 ( )0 x k x x ， ( )k x在 3, e 上单增， 33 ( )ln30k xxxk ee ， 2 ln , ( ) a aa g aea， 再令 2 ( )(2),( )2 ,( )20 xxx xexxxexxe ， ( )x在2,)上单调递增，从而 2 ( )(2)40 xe ， ( )x在2,)上单调递增， 2 ( )(2)40 xe从而 ( )0g a ， ( )F x在(ln , )a a上有一个零点 3 x， 综上所述：当 3 ae 时，( )F x有三个零点： 123 1,01,lnxxaxa . 【点睛】本题考查了根据函数的最值求参数，求函数零点个数与范围，意在考查学生的计算能力和综合应 用能力，构造新函数是解题的关键.
