1、20212021 届江苏省镇江市四校高三上学期第一次联考数学试题届江苏省镇江市四校高三上学期第一次联考数学试题 一一 单项选择题单项选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1. 已知全集 2 ,-20 ,1URAx xxBx x ，则 U AB ( ) A. (0,) B. (,1) C. (,2) D. (0,1) 【答案】C 【解析】 【分析】 先确定集合|02Axx，再
2、确定1 UB x x ，最后根据交集定义运算得出结果 【详解】因为 2 |20|02Ax xxxx ， 而1Bx x，且U R， 所以1 UB x x ， 即|2 U ABx x. 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合间并集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，并集和补集的定义， 属于基础题 2. 已知复数z满足1izi ，则其共扼复数为( ) A. 1i B. 1i C. 1i D. 1 i 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则计算，即可写出共轭复数. 【详解】因为1izi ，所以 2 111 1 1 iiii zi ii ，其共轭复数为1 i. 故选：D. 【点睛】本题考
3、查复数的运算法则，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题. 3. 若 21 log 0.6a ， 1.6 2.1b ， 1 3 27 8 c ，则 a，b，c的大小关系是( ) A. abc B. bca C. cba D. bac 【答案】B 【解析】 【分析】 运用指数运算的性质化简 c 的表示， 然后根据对数函数和指数函数的单调性， 运用中间数比法进行判断大小 即可. 【详解】 1 11 33 3 33 27333 = 8222 c ， 因为 2121 log 0.6log 10a ， 1.61 2.12.12.1b 所以bca， 故选：B 【点睛】思路点睛：指数式和对数式的比较大
4、小可以从以下几方面入手： 1、运用指数和对数的运算性质化简指数式和对数式. 2、运用对数函数和指数函数的单调性，结合中间数比较法进行比较. 3、运用作差比较法进行比较. 4. 中国的 5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 2 log1 S CW N .它表示： 在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的 高斯噪声功率N的大小，其中 S N 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香 农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 1000 提升至 4000，则C大约增加了( )附：lg20.3
5、010 A. 10% B. 20% C. 50% D. 100% 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，计算出 2 2 log 4000 log 1000 的值即可； 【详解】当1000 S N 时， 2 log 1000CW，当4000 S N 时， 2 log0004CW， 因为 2 2 log 4000lg400032lg23.6020 1.2 log 1000lg100033 所以将信噪比 S N 从 1000提升至 4000，则C大约增加了 20%， 故选：B. 【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 5. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数
6、学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺， 高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A. 142平方尺 B. 140平方尺 C. 138平方尺 D. 128平方尺 【答案】C 【解析】 将 该 几 何 体 补 形 为 长 方 体 ， 外 接 球 的 直 径2R即 为 长 方 体 的 对 角 线 ， 即 2 222 25782 54 96 41 3 8R，故其表面积是 2 4138R . 6. 已知 1 sin 35 ，则s
7、in 2 6 ( ) A. 2 25 B. 23 25 C. 2 25 D. 23 25 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式及二倍角余弦公式求值即可. 【详解】 2 2223 sin 2sin 2cos 21 2sin 6323325 故选：D 【点睛】本题考查了诱导公式、倍角余弦公式转化函数式，结合已知函数值求值，属于简单题. 7. 已知ABC是顶角 A为 120 腰长为 2 的等腰三角形，P 为平面ABC内一点，则 ()PAPBPC的最小 值是( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 4 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】 以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D
8、为坐标原点建立平面直角坐标系， 表示出向量PA，PB， PC，得到 2 ()22 (1)PAPBPCxyy，进而可求出结果. 【详解】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系， 则(0,1)A，(3,0)B ，( 3,0)C，设( , )P x y， 所以(,1)PAxy ，(3,)PBxy ，( 3,)PCxy， 所以( 2 , 2 )PBPCxy ， 2 ()22 (1)PAPBPCxyy 22 111 22() 222 xy 当 1 (0, ) 2 P 时，所求的最小值为 1 2 . 故选：A 【点睛】方法点睛：向量求最值的方法有以下： 1.利用三角
9、函数求最值； 2.利用基本不等式求最值； 3.建立坐标系求最值； 本题的关键在于建立坐标系，列出相应的式子求解 8. 已知函数 lnf xxmx有两个零点 1 x、 2 x，且 12 xx ，则下列结论不正确的是( ) A. 1 0m e B. 21 xx的值随m的增大而减小 C. 1 01x D. 2 xe 【答案】C 【解析】 【分析】 由 0f x 得出 lnx m x ，构造函数 ln x g x x ，利用导数分析函数 g x的单调性与极值，数形结合可 判断 ACD 选项的正误； 任取 1 m、 2 1 0,m e ， 且 12 mm， 设 121 ggm， 其中 12 1e； 设
10、122 ggm，其中 12 1e，利用函数 g x的单调性结合不等式的基本性质得出 2121 ，可判断 B选项的正误. 【详解】令 0f x ，可得 lnx m x ，构造函数 ln x g x x ，定义域为0,， 1 ln x gx x . 当0 xe时， 0g x ，此时函数 g x单调递增； 当xe时， 0g x ，此时函数 g x单调递减. 所以， max 1 g xg e e ，如下图所示： 由图象可知，当 1 0m e 时，直线y m 与函数 ln x g x x 的图象有两个交点，A 选项正确； 当1x 时， 0g x ，由图象可得 1 1xe， 2 xe，C选项错误，D 选项
11、正确； 任取 1 m、 2 1 0,m e ，且 12 mm， 设 121 ggm，其中 12 1e；设 122 ggm，其中 12 1e. 由于函数 g x在区间1,e上单调递增，且 11 gg， 11 ； 函数 g x在区间, e 上单调递减，且 22 gg， 22 . 由不等式的基本性质可得 1212 ，则 2121 . 所以， 21 xx的值随m的增大而减小，B选项正确. 故选：C. 【点睛】 在利用导数研究函数的零点问题个数中， 可转化为判定 mg x有两个实根时实数m应满足的条 件，并注意 g x的单调性、奇偶性、最值的灵活应用另外还可作出函数 yg x的大致图象，直观判 定曲线交
12、点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证 二二 多项选择题多项选择题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分，在每小题给出的四个选项中，至分，在每小题给出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9. Keep是一款具有社交属性的健身 APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备 购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以 根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据 Keep 记录的
13、2019 年 1 月至 2019年 11 月期间每月跑步 的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( ) A. 月跑步里程最小值出现在 2月 B. 月跑步里程逐月增加 C. 月跑步里程的中位数为 5月份对应的里程数 D. 1月至 5月的月跑步里程相对于 6 月至 11月波动性更小 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解 【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在 2月，故 A正确； 月跑步平均里程不是逐月增加的，故 B 不正确； 月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8 月，3月，
14、4 月，1月，5 月，7 月，6 月，11 月，9 月，10 月， 故 5月份对应的里程数为中位数，故 C 正确； 1 月到 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11月波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能力，属于基础 题 10. 函数( ) sin()0,0,| 2 f xAxA 的部分图像如图所示，将函数 ( )f x的图像向左平移 3 个单位长度后得到( )yg x的图像，则下列说法正确的是( ) A. 函数( )g x为奇函数 B. 函数( )g x的最小正周期为 C. 函数( )g
15、x的图像的对称轴为直线() 6 xkk Z D. 函数( )g x的单调递增区间为 5 ,() 1212 kkk Z 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据图象得到函数 ( )f x解析式，将函数( )f x的图象向左平移 3 个单位长度后得到( )yg x的图象，可得 ( )yg x 解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可 得结论. 【详解】由图象可知 3A， 33 253 441234 T， 2，则( )3sin(2)f xx. 将点 5 ,3 12 的坐标代入( )3sin(2)f xx中，整理得 5 sin 21 12 ， 5 22,Z 1
16、22 kk ，即2,Z 3 kk .| 2 ， 3 ， ( )3sin 2 3 f xx . 将函数 ( )f x的图象向左平移 3 个单位长度后得到( )yg x的图象， ( )3sin 23sin 2, 333 g xxxxR. ( )g x既不是奇函数也不是偶函数，故 A错误； ( )g x的最小正周期 2 2 T ，故 B 正确. 令2, 32 xkk Z，解得, 122 k xk Z .则函数( )g x图像的对称轴为直线 , 122 k xk Z.故 C错误； 由222, 232 kxkk Z剟，可得 5 , 1212 kx kk Z剟， 函数( )g x的单调递增区间为 5 ,
17、1212 kkkZ .故 D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，属 于综合题. 11. 已知0a，0b，且1ab，则( ) A. 1 2 2 a b B. 2ab C. 22 loglog2ab D. 22 1 2 ab 【答案】ABD 【解析】 【分析】 直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果 【详解】解：因为0a，0b，且1ab，所以1211abaaa 所以 1 1 22 2 a b ，故 A正确； 对于 B： 2 21 212ababababab ，所以2ab，当且仅当 1 2 ab时取等号，故
18、B正确； 对于 C： 2 2222 loglogloglog ()2 2 ab abab ，当且仅当 1 2 ab时取等号；故C错误 对于 D：已知0a，0b，且1ab，所以 222 ()22abab，则 22 1 2 ab，当且仅当 1 2 ab时 取等号；故 D 正确 故选：ABD 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积 的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能
19、取等号则这个定值就不是所求 的最值，这也是最容易发生错误的地方 12. 如图，棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 1 AB上的动点(不含端点)，则下列结论正确的 是( ) A. 平面 11 D AP 平面 1 A AP B. /BC平面 11 AD P C. 三棱锥 1 DCDP的体积为定值 D. 直线 1 D P与AC所成的角可能是 6 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据线面垂直的判定定理，证得 11 AD 平面 1 A AP，结合面面垂直的判定定理，可判定 A 正确；根据 11 / /BCAD，得到 11 , ,B C A D四点共面，可判定 B不正确；根据
20、三棱锥的体积公式，可判定 C正确；建立 空间直角坐标系， 利用向量的夹角公式， 求得直线 1 D P与AC所成的角的范围是(,) 4 2 ， 可判定 D不正确. 【详解】对于 A中，在正方体 1111 ABCDABC D中，可得 1111 ,ADAA ADAB， 又由 1 AAABA，所以 11 AD 平面 1 A AP， 又因为 11 AD 平面 11 D AP，所以平面 11 D AP 平面 1 A AP，所以 A正确； 对于 B中，在正方体 1111 ABCDABC D中，可得 11 / /BCAD， 所以 11 , ,B C A D四点共面，所以 B 不正确； 对于 C中，因为 1 1
21、1 1 1 22 CDD S ，点P到平面 1 CDD距离为1BC ， 所以三棱锥 1 DCDP的体积为定值，所以 C 正确； 对于 D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 可得 1(0,0,1), (1,0,0), (0,1,0)DAC，设(1, , )(01,01)Pa bab， 则 1 (1, ,1),( 1,1,0)DPa bAC ， 则 1 1 22 1 1 cos,0 1(1)2 D P ACa D P AC D PACab ， 当1a 时， 1 , 2 D P AC ； 当0,1ab时， 1 3 , 4 D P AC ， 所以直线 1 D
22、 P与AC所成的角的范围是(,) 4 2 ，所以 D 不正确. 故选：AC 【点睛】此类问题解答中熟记正方体的几何结构特征，熟练应用转化顶点，利用等体积法求解三棱锥的体 积，以及合理利用空间向量的夹角公式求解异面直线所成的角是解答的关键. 三三 填空题填空题(本大题共本大题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分，请把答案填写在答题卡相应位置上分，请把答案填写在答题卡相应位置上) 13. 已知随机变量服从正态分布 2 (1,)N， (4)0.79P ，则(2)P _ 【答案】0.21 【解析】 因为随机变量X服从正态分布 2 1,1N ，24140.21PPP ，故 答案
23、为0.21 . 14. 在正项等比数列 n a中，若 6 a， 5 3a， 7 a依次成等差数列，则 n a的公比为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 正项等比数列 n a的公比设为q，0q ，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公 比 【详解】正项等比数列 n a的公比设为q，0q ， 6 a， 5 3a， 7 a依次成等差数列，可得 567 6aaa， 即有 456 111 6a qa qa q， 化为 2 60qq，解得 2( 3q 舍去)， 则 n a的公比为 2， 故答案为：2 【点睛】本题考查等比数列基本量的运算，解答的关键是利用等比数列的通项公式及前n项和公式
24、得到方 程组，解得即可； 15. 已知直线l 平面，直线/m平面，则“ / ”是“l m”的_.条件(选填“充分不必要”“必要 不充分”“充分必要”“既不充分又不必要”之一)， 【答案】充分不必要 【解析】 分析】 直接利用充分必要条件的定义，直接判断求解即可 【详解】 充分性判断： 由于“/ ”， 且直线l 平面， 故有l， 又由直线 /m平面， 所以，lm， 所以，充分性成立； 必要性判断：由于“lm”，且直线l 平面，所以，m平面，又直线 /m平面，但是，平面可 以与平面相交，无法得出/ ，故必要性不成立 故答案为：充分不必要 16. 已知函数 ( )f x定义域为R，对于任意的x都有(
25、4)3 ( )f xf x ，当 2,2x 时， 1 1 , 2,0 ( )e lg,(0,2 x x f x x x ，则(4)f_；若当(2,6x时， 2 ( )4f xtt恒成立，则t的取值 范围是_. 【答案】 (1). 3 e (2). 1,3 【解析】 【分析】 由(4)3 (0)ff，结合函数的解析式可求出(4)f； 先求出函数 ( )f x在(2,6上的解析式，进而求出( )f x在该区间的最小值，令 2 min ( )4f xtt，求解即可. 【详解】对任意的x都有(4)3 ( )f xf x，且当 2,2x 时， 1 1 , 2,0 ( )e lg,(0,2 x x f x
26、 x x ， 1 13 (4)3 (0)3 ( ) ee ff ； 当46x时，042x，( )3 (4)3 lg(4)f xf xx； 当24x时，240 x ， 3 1 ( )3 (4)3 e x f xf x . 所以 3 1 3,(2,4 ( ) e 3 lg(4) ,(4,6 x x f x xx ， (2,6x时 2 ( )4f xtt恒成立， 2 min ( )4f xtt， 当(2,4x时，30,1x，根据指数函数的性质可得 3 3 3, e 1 3 e x ； 当6(4,x时，( )0f x . 所以当(2,6x时， min ( )3f x ， 故 2 34tt ，解得 1,
27、3t. 故答案为： 3 e ；1,3. 【点睛】本题考查求函数值，考查不等式恒成立问题，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 四四 解答题解答题(本大题共本大题共 6小题，共计小题，共计 70分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤) 17. 在ABC中，11ab ，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： ()a 的值： ()sinC和ABC的面积 条件： 1 7,cos 7 cA ； 条件： 19 cos,cos 816 AB 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 【
28、答案】选择条件()8() 3 sin 2 C , 6 3S ； 选择条件()6() 7 sin 4 C , 15 7 4 S . 【解析】 【分析】 选择条件()根据余弦定理直接求解， ()先根据三角函数同角关系求得sin A,再根据正弦定理求sinC, 最后根据三角形面积公式求结果； 选择条件()先根据三角函数同角关系求得sin,sinAB，再根据正弦定理求结果，()根据两角和正弦 公式求sinC，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】选择条件() 1 7,cos 7 cA ，11ab 222222 1 2cos(11)72(11) 7 () 7 abcbcAaaa 8a () 2 14 3
29、 cos(0, )sin1 cos 77 AAAA ， 由正弦定理得： 873 sin sinsinsin24 3 7 ac C ACC 113 sin(11 8) 86 3 222 SbaC 选择条件() 19 cos,cos,(0, ) 816 ABA B， 22 3 75 7 sin1 cos,sin1 cos 816 AABB 由正弦定理得： 11 6 sinsin3 75 7 816 abaa a AB () 3 795 717 sinsin()sincossincos 8161684 CABABBA 11715 7 sin(11 6) 6 2244 SbaC 【点睛】本题考查正弦定
30、理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 18. 设数列 n a的前 n项和为 n S， 1 1a ，满足 1 2, nnn aSS S ，(2, )bn， /a b. (1)求证：数列 n S n 为等比数列； (2)求数列 n S的前 n 项和 n T. 【答案】(1)证明见解析； (2)(1)21 n n Tn. 【解析】 【分析】 (1)先根据向量平行的坐标运算， 得到 1 (2)2 nnn n SSS ， 化简得到 1 2 1 nn SS nn ， 结合等比数列的定义， 即可得到结论； (2)由(1)可得 1 2n n Sn ，利用乘公比错位相减法，即可求得数列
31、 n S前 n项和. 【详解】(1)由题意，数列 n a中， 1 2,(2, ) nnn aSS Sbn ， 因为 /ab，可得1 (2)2 nnn n SSS ，整理得 1 2 1 nn SS nn ， 又由 1 1a ，可得 1 1 1 S ， 所以数列 n S n 表示首项为1，公比为2的等比数列. (2)由(1)知 1 2n n S n ，所以 1 2n n Sn ， 所以 01221 1 22 23 2(1) 22 nn n Tnn ， 1231 21 22 23 2(1) 22 nn n Tnn 两式相减，可得 12111 1 (1 2 ) 1 22222 1 2 n nnn n
32、Tnn 212(1)21 nnn nn ， 所以(1)21 n n Tn 【点睛】 对于数列的“裂项法”求和问题是数列问题中的常见题型， 解答中确定通项公式是基础， 合理“裂项” 是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算 能力. 19. 如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP . (1)证明：平面 PAB平面 PAD； (2)若 PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角 APBC的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 3 3 . 【解析】 【详解】(1)由已知90BAPCDP，得 ABAP，CDPD 由于 A
33、B/CD ，故 ABPD ，从而 AB平面 PAD 又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD (2)在平面PAD内作PFAD，垂足为F， 由(1)可知，AB 平面PAD，故ABPF，可得PF 平面ABCD. 以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz. 由(1)及已知可得 2 ,0,0 2 A ， 2 0,0, 2 P ， 2 ,1,0 2 B ， 2 ,1,0 2 C . 所以 22 ,1, 22 PC ， 2,0,0CB ， 22 ,0, 22 PA ，0,1,0AB . 设, ,nx y z r 是平面PCB的法向量，则 0,
34、0, n PC n CB 即 22 0, 22 20, xyz x 可取0, 1,2n . 设, ,mx y z是平面PAB的法向量，则 0, 0, m PA m AB 即 22 0, 22 0. xz y 可取1,0,1m. 则 3 cos, 3 n m n m n m ， 所以二面角A PB C的余弦值为 3 3 . 【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： 求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角； 求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； 求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的
35、坐标是解题的关 键. 20. 为初步了解学生家长对艺术素质评价的了解程度，某校随机抽取 100 名学生家长参与问卷测试，并将问 卷得分绘制频数分布表如下： 得分 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 男性人数 4 9 12 13 11 6 3 女性人数 1 2 2 21 10 4 2 (1)将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”(得分不低于 60分)和“不太了解”(得分低于 60分) 两类，完成22列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别” 有关？ (2)以这 100 名学生家
36、长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取 3 名学生 家长，设这 3名家长中“比较了解”的人数为 X，求 X的概率分布列和数学期望. 2 0 Px 0.010 0.005 0.001 0 x 6.635 7.879 10.828 附： 2 2 n adbc abcdacbd ，nabcd . 【答案】(1)有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关 (2)分布列见解析， 21 () 10 E X 【解析】 【分析】 (1)完成列联表，求出 2 11.2910.828X ，从而有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度 与性别有关
37、 (2)推导出 7 3,10XB ，由此能求出X的概率分布和数学期望 【详解】解：(1)由题意得到列联表如下： 不太了解 比较了解 合计 男性 25 33 58 女性 5 37 42 合计 30 70 100 22 2 ()100(25 3733 5) 11.29 ()()()()30704258 n adbc K ab cd ac bd 11.2910.828， 有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关 (2)由题意得该校 1 名学生家长“比较了解”的概率为 707 10010 ，且 7 (3,) 10 XB ， 03 3 327 (0)() 101000 P XC
38、， 12 3 73189 (1)()() 10 101000 P XC ， 22 3 73441 (2)() () 10101000 P XC ， 33 3 7343 (3)() 101000 P XC， X的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 1000 189 1000 441 1000 343 1000 2718944134321 ()0123 100010001000100010 E X 【点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个 结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可 能对统计
39、计算的结果作出错误的解释 21. 已知数列 n a的前 n 项和为 n S， 把满足条件： “对任意的 * nN， 1nn aS 恒成立”的所有数列 n a构 成的集合记为 M. (1)若数列 n a的通项为 1 2 n n a ，判断 n a是否属于 M，并说明理由； (2)若数列 n a是等差数列，且 n aMn，求 1 a的取值范围. 【答案】(1) n aM；(2) 1 1a 【解析】 【分析】 (1)由等比数列的通项公式和求和公式，化简计算 1nn aS ，可判断断 n a是否属于M； (2)运用等差数列的通项公式和求和公式，结合数列的分组求和，以及不等式恒成立问题思想，计算可得所
40、求范围 【详解】解：(1)数列 n a的通项为 1 2 n n a ， 可得 11 (1) 1 22 1 1 2 1 2 n n n S ， 1 1 113 13 11 (1)110 222 22 24 nn nnn aS ， 所以 1nn aS ，即 n aM； (2)设 n a的公差为d，因为 n anM， 所以 11212 1 (1)(2)()()(12) nnn anaaanaaan ， 即 11 (1)(1) 1 22 n nn n andnnad ， 将上式整理可得 2 11 131 ()0 222 d nadna ， 因为上述不等式对一切*nN恒成立， 所以 1 0 2 d 即1
41、d， 又当1n 时，2 1d ，可得1d，故1d ， 于是 11 (1)1 0ana ， 即 1 (1)(1) 0an，所以 1 1 0a ， 即 1 1a 【点睛】本题考查数列新定义，解答的关键是理解题意，再利用等差数列、等比数列的相关性质计算可得； 22. 已知函数( ) ln(3)2()f xxxk xkkZ (1)当1k 时，求曲线 ( )f x在点(1,(1)f 处的切线方程； (2)若当1x 时，总有( )0f x ，求k的最大值 【答案】(1)320 xy(2)最大值为 5 【解析】 【分析】 (1)对函数进行求导，根据导数的几何意义进行求解即可； (2)对不等式进行常变量分离，
42、构造新函数，求导，判断新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求 解即可. 【详解】(1)当1k 时，( )ln21f xxxx，( )ln3fxx ， 则可知(1)1f，(1)3 f 所以切线方程为13(1)yx ，化简可得切线方程为320 xy； (2)由题当1x 时，( )0f x 恒成立，即ln(3)20 xxk xk1x 时恒成立， 即 ln32 1 xxx k x 在1x 时恒成立， 令 ln32 ( ) 1 xxx g x x ，则 2 ln2 ( ) (1) xx g x x ， 令( )ln2h xxx，则 11 ( )10 x h x xx 在1x 时恒成立 所以( )h
43、 x在(1,)上单调递增，又知(3)1ln30h ，(4)2ln40h， 所以在(1,)上存在唯一实数 0 (3,4)x ，满足 0 ()0h x，即 00 ln2 xx， 当 0 1,xx时，( )0h x ，即( )0g x；当 0, xx时，( )0h x ，即( )0g x 所以函数( )g x在 0 1,x上单调递减；在 0, x 上单调递增 即 000 000 min00 00 232ln32 ( )2(5,6) 11 xxxxxx g xg xx xx 由 ln32 1 xxx k x 在1x 时恒成立， 所以 0 2kx，又知kZ，所以整数k的最大值为 5 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查了构造函数利用导数研究不等式恒成立 问题，考查了数学运算能力.
