1、20212021 届广东省深圳市三校联考高三上学期第一次月考数学试题届广东省深圳市三校联考高三上学期第一次月考数学试题 一一.选择题选择题( (本大题本大题 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 其中第其中第 1 题题第第 10 题为单项选择题，在给题为单项选择题，在给 出的四个选项中， 只有一项符合要求； 第出的四个选项中， 只有一项符合要求； 第 11 题和第题和第 12 题为多项选择题， 在给出的四个选项中，题为多项选择题， 在给出的四个选项中， 有多项符合要求，全部选对得有多项符合要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分
2、，有选错的得 0 分分) ) 1. 若2 34i zi ，则z ( ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 由234i zi ，求得 34 2 i z i ，再根据zz求解. 【详解】因为234i zi ， 所以 34 2 i z i ， 则 3434 5 22 ii zz ii . 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算和模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2. 已知集合 2 log311Axx， 集合 1 1 2 2 x m Bx ， 若AB ， 则 m的取值范围为( ) A. 2m B. 2m C. 2m D. 2m 【答案】A 【解
3、析】 【分析】 先利用指数不等式和对数不等式的解法化简集合 A，B，然后根据AB 求解. 【详解】 已知集合 2 1 log3111 3 Axxxx ， 集合 1 1 21 2 x m Bxx xm ， 因为AB ， 所以11 m, 解得2m, 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及指数不等式和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力， 属于基础题. 3. 设 ,m n是两条直线， a， 表示两个平面，如果m， / /a，那么“n”是“mn”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由充分充分
4、不必要条件的判定发放进行判断即可. 【详解】如果m， / /a，那么由n则可得到n 即可得到mn；反之 由mn，m， / /a，不能得到n，故，如果m， / /a，那么“n”是“mn”的 充分不必要条件.故选 A. 【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属基础题. 4. 已知向量a与b的夹角为 3 ，且1a ，27ab，则b等于( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算数量积，利用27ab，代入计算得到b的二次方程，解方程即得结果. 【详解】向量a与b的夹角为 3 ，且1a ，27ab， 1 cos 32 a babb ， 2 27ab，即 2
5、2 447aa bb ， 2 427bb， 2 230bb 1b . 故选：C. 【点睛】本题考查了数量积定义的综合应用，属于基础题. 5. 某同学进行 3 分投篮训练，若该同学投中的概率为 1 2 ，他连续投篮 n次至少得到 3 分的概率大于 0.9， 那么 n 的最小值是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列关系求解即可. 【详解】由题意可知，该同学连投 n 次，一次都不中的概率为： 11 1 22 nn ， 故 n次投篮至少得到 3 分即至少中一次的概率为 1 10.9 2 n nN ，得 1 0.
6、1 2 n ，4n . 故选：B. 【点睛】本题考查了 n次独立重复实验至少有一次发生的概率和指数不等式，属于基础题. 6. 已知 1 sin 33 则sin 2 6 ( ) A. 7 9 B. 7 9 C. 7 9 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式和二倍角公式求值. 【详解】 22 sin 2sin 2cos 2 6323 2 7 cos21 2sin 339 . 故选：B 【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型. 7. 有四位朋友于七夕那天乘坐高铁 G77 从武汉出发(G77 只会在长沙、广州、深圳停)，分别在每个停的站 点至少下
7、一个人，则不同的下车方案有( ) A. 24 种 B. 36 种 C. 81 种 D. 256种 【答案】B 【解析】 【分析】 先按 2+1+1 分成三组，再分配到三个站点，即得结果. 【详解】依据题意每个停站点至少下一个人，先按 2+1+1 分成三组，有 2 4 C种分法，再分配到三个站点， 有 3 3 A种分法，所以一共有 23 43 36C A 种不同的下车方案. 故选：B. 【点睛】本题考查了分组分配问题，考查了排列组合的综合应用，属于基础题. 8. 如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，以下结论错误的是( ) A. 面对角线中与直线 1 AD所成的角为60的有 8条
8、 B. 直线 1 AD与 1 BC垂直 C. 直线 1 AD与 1 BD平行 D. 三棱锥 1 AACD的体积为 31 6 a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，建立空间直角坐标系，求出相应的空间向量坐标，利用空间向量求出异面直线 1 AD与 1 AB所成 的角， 再根据正方体的性质， 即可判断 A选项； 根据两个向量的数量积关系证明空间两条直线的位置关系， 即可判断 BC 选项；根据三棱锥的体积计算公式可得出三棱锥 1 AACD的体积，即可判断 D选项. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系. 对于 A， 1 ,0,A aa，0,0,0D，,0,0A a， 1 , ,B a a a，
9、 1 ,0,ADaa ， 1 0, ,ABa a ， 2 11 11 11 1 cos, 222 AD ABa AD AB aa AD AB ， 由于两异面直线的夹角范围是0, 2 ， 异面直线 1 AD与 1 AB所成的角为60， 同理：正方体的六个面中除了平面 11 ADD A与 11 BCC B的面对角线外， 其他的面对角线都与 1 AD所成的角为60，则共有 8条，故 A正确； 对于 B， 1 0, ,Ca a，, ,0B a a， 22 11 ,0,0,0AD BCaaaaaa ， 直线 1 AD与 1 BC垂直，故 B正确； 对于 C， 1 0,0,Da， 22 11 ,0,0AD
10、 BDaaaa aaa ， 直线 1 AD与 1 BD垂直，不平行，故 C 错误； 对于 D，三棱锥 1 AACD的体积为 1 23 111 326 C A AD Vaaa ，故 D正确； 综上可知，只有 C 不正确. 故选：C. 【点睛】本题考查正方体的性质和空间向量的计算，考查利用空间向量法求解异面直线的夹角，以及利用 空间向量法证明空间中两直线的位置关系，还涉及三棱锥的体积计算公式，考查推理能力与计算能力. 9. 已知函数 sin3cos 20f xxx，若存在定义域内的两实数 1 x， 2 x，使得 12 16f xf x成立，且 12 xx的最小值为，则 2 4cos0 2 x g
11、x 需要经过怎样的平移才能 得到 yf x的图像( ) A. 向左平移 5 12 个单位 B. 向左平移 5 6 个单位 C. 向右平移 5 12 个单位 D. 向右平移 5 6 个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用已知条件求得到 f x和 g x的解析式，再根据左右平移变换法则即得结果. 【详解】由题意可知 sin3cos22sin20 4 3 fxxxx ， 由 12 16f xf x知 12 4f xf x，又 12min xx可知T，故 2 2 T ， 2sin 22 3 f xx 故 22 4cos4cos2 cos212sin 22 22 x g xxxx 向右平移 5
12、12 个单位后可以得到 2sin 22 3 f xx 的图像. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用图像特征求三角函数解析式和左右平移变换，属于中档题. 10. 已知函数 yf x是定义在R上的偶函数，且当 0,x时， 0f xxfx，若 66 0.70.7af， 0.70.7 log6log6bf， 0.60.6 66cf，则 a，b，c的大小关系是( ) A. cab B. acb C. bac D. abc 【答案】A 【解析】 【分析】 令 g xxf x，得到 g xxf x是定义在R上的奇函数，且在R上是增函数，结合单调性，即可求 解. 【详解】令 g xxf x，由 yf x是定义
13、在R上的偶函数， 可得 g xxf x是定义在R上的奇函数， 又因为0,x时， 0yf xxfx ， 所以 g xxf x在0,上是增函数，所以 g xxf x是定义在R上的增函数， 又由 60.6 0.7 log600.716 ，所以 0 60.6 .7 (0.7 )l)og6(6ggg， 即bac. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小问题，其中解答中 构造新函数 g xxf x，求得函数 g x的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 11. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计， 得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图
14、、“90 后”从事 互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是( ) 注：“90后”指 1990 年及以后出生的人，“80后”指 1980-1989 年之间出生的人，“80前”指 1979 年及以前出 生的人 A. 互联网行业从业人员中“90后”占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C. 互联网行业中从事运营岗位的人数“90 后”比“80前”多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数“90 后”比“80后”多 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断 A; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后
15、”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断 B; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数比例，根据饼状图确定“80前” 的人数占总人数的比例,两者比较可判断 C; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80 后”中从事技术 岗位的比例不可确定，即可判断 D. 【详解】由题图可知，互联网行业从业人员中“90 后”占总人数的 56%，超过一半，A 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%，超过 20%，所以 互联网行业从业人员(包括“90后”“80 后”“80 前”
16、)从事技术岗位的人数超过总人数的 20%，B 正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56% 17%9.52%，超过“80 前”的人数占 总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C正确； 互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%， 小于“80 后”的人 数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D不一定正确 故选：ABC 【点睛】本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题. 12. 已知实数 a，b，c，d满足 21 1 1 a aec bd ，其中 e是自然对数的底数，则 22
17、 acbd的值 可能是( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由题中所给的等式，分别构造函数 2 x f xxe和 2g xx ，则 22 acbd的表示 yfx上一点,M a b与 yg x上一点,N c d的距离的平方，利用导数的几何意义可知当 0 1fx 时，切点到直线的距离最小，再比较选项. 【详解】由 2 12 a a ae bae b ，令 2 x f xxe， 1 2 x fxe 由 1 12 1 c dc d ，令 2g xx 则 22 acbd的表示 yf x上一点,M a b与 yg x上一点,N c d的距离的平方，设 yf
18、x上与 yg x平行的切线的切点为 000 ,Mx y 由 0 00 1 210 x fxex ，切点为 0 0, 2M 所以切点为 0 0, 2M到 yg x的距离的平方为 2 022 8 1 1 的距离为,M a b与,N c d的距离 的平方的最小值. 故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数， 利用几何意义求最值，属于偏难题型. 二、填空题二、填空题( (本大题本大题 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) ) 13. 已知等差数列 n a的前 n项和225 n S ，其前三项和为 6，后三项和为
19、 39，则该数列有_项. 【答案】30 【解析】 【分析】 根据题意和等差数列的性质，求得 1 345 n aa，得到 1 15 n aa，在结合等差数列的求和公式，列出 方程，即可求解. 【详解】由等差数列 n a的前三项和为 6，后三项和为 39，可得 123 12 6 39 nnn aaa aaa ， 根据等差数列的性质，可得 1 345 n aa，所以 1 15 n aa 又由 1 15 225 22 n n aann S ，解得30n. 故答案为：30. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n和公式的应用，其中解答中熟记等差数列 的性质，以及等差数列的求和公式，准确
20、计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14. 8 3 42y x 的展开式中，不含 x 的各项系数之和为_. 【答案】256 【解析】 【分析】 对式子进行变形得 88 33 4242yy xx ， 利用二项式定理的展开式可得通项公式可得当8r 时不含有 x，再利用赋值法，即可得答案； 【详解】 88 33 4242yy xx 的展开式的通项为 8 18 3 42 r r r r TCy x ， 可知当8r 时不含有 x，此时 8 8 88 8 8 18 3 4242TCyy x ， 令1x 可得到各项系数之和为 256. 故答案为：256. 【点睛】本题考查二项式定理的展开式及赋值法，
21、考查逻辑推理能力、运算求解能力. 15. 已知ln42lnabab，对任意的实数 a，b 都有 2 3x x ab 成立，则实数 x的取值范围为_. 【答案】1,2 【解析】 【分析】 根据对数的运算性质， 化简得到 41 1 ab ， 得到 414 5 ba abab abab ， 结合基本不等式， 即可求解 【详解】由ln42lnabab，可得 40 0 4 ab ab abab ，即 41 1 ab 又由 4144 5529 bab a abab ababab ， 当且仅当 4ba ab 时，即2ab时等号成立， 所以 2 93x x ，即 2 2xx，解得12x ， 即实数 x的取值范
22、围为1,2. 故答案为：1,2. 【点睛】本题主要考查了基本对数的运算，以及利用基本不等式求最小值，其中解答中熟练应用“1”的代 换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16. 在三棱锥SABC中， 已知二面角SAB C的平面角的余弦值为 1 3 ， 且满足SASBACBC， 又 4AB CA ，2ACBC，则三棱锥SABC外接球的表面积为_. 【答案】8 【解析】 【分析】 先根据SASBACBC得90ASB， 再根据 4AB CA 得cos2ABCAB， 最后在ABC 中，余弦定理可得2 2AB ，进而得90ACB，故三棱锥SABC外接球的直径就是AB，进而可 得求得
23、表面积. 【详解】由90SASBACBCSASBBAASB 由4cos4cos2AB CAAB CACABABCAB 在ABC中， 由余弦定理可得 222 2cosBCACABACABCAB 即可求得2 2AB ， 即 222 ABACBC，即90ACB， 又90ASB 所以外接球的直径就是AB，此时表面积为 2 48 2 AB S . 故答案为：8 【点睛】本题考查向量的数量积运算，余弦定理，几何体的外接球的表面积，考查转化分析能力与运算能 力，是中档题. 三三.解答题解答题( (本大题本大题 6 小题，小题，17 题题 10 分，分，18-22 题每题题每题 12分，共分，共 70 分分)
24、 ) 17. 设数列 n a的前 n项和为 n S，mN，都有 1 1 mm aa ，且 22 5 aS. (1)求数列 n a的通项公式； (2)求证： 12231 111 1 nn a aa aa a . 【答案】(1) n an ；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)由 1 1 mm aa ，根据等差数列的定义，得到数列 n a为等差数列，再结合等差数列的通项公式列出 方程求得 1, a d的值，即可求得数列 n a的通项公式； (2)(1)知 n an ，化简 1 1111 11 nn a an nnn ，结合“裂项法”，即可求解. 【详解】(1)由题意，数列 n a中，都有
25、 1 1 mm aa ， 根据等差数列的定义，可得数列 n a为等差数列，且公差1d ， 又由 221 325 aSad，即 1 23 ad，解得 1 1a ， 所以11 n ann，即数列 n a的通项公式 n an . (2)(1)知 n an ，所以 1 1111 11 nn a an nnn ， 所以 12231 111111111 111 22311 nn a aa aa annn . 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的求解，以及数列的“裂项法”求和，其中解答中熟 记等差数列的定义，求得得出数列的通项公式，以及熟练应用“裂项法”求解是解答的关键，着重考查推 理与运算能力
26、. 18. 已知ABC的内角A，B，C满足 sinsinsinsinsinsinsinABABCBC，ABC的 面积为5 3. (1)求sin2A； (2) 13 3 sinsin 14 BC，求ABC的周长. 【答案】(1) 3 2 ；(2)10 2. 【解析】 【分析】 (1)由已知条件，根据角化边公式化简得ababcb c，再利用余弦定理求出 3 A ，即可得 sin2A的值； (2)根据题意，结合正弦定理可得 13 7 bca，再利用三角形面积公式得出20bc，根据余弦定理可得 7a，即可求得ABC的周长. 【详解】解：(1)设内角A，B，C的对边分别为a，b，c， sinsinsin
27、sinsinsinsinABABCBC， 可得ababcb c，化简可得 222 bcbca， 由余弦定理可得 222 1 cos 22 bca A bc ， 0A， 3 A ， 3 sin2 2 A . (2)因为 13 3 sinsin 14 BC， 2 sinsinsin bca R BCA =， 则 13 3 2214 bc RR ， 所以 13 313 313 313 2 1414sin1473 2 aaa bcR A ， 由 1 5 3sin 2 bcA，20bc， 因为 222 bcbca， 2 2 3bcbca， 2 2 13 60 7 a a ， 7 2 2 a ， 所以AB
28、C的周长为 10 2abc . 【点睛】本题考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查运算求解能力和转化与化 归思想. 19. 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点 F与抛物线 2 8yx的焦点重合，且椭圆的离心率为 6 3 ， 过 x轴正半轴一点0m,且斜率为 3 3 的直线 l交椭圆于 A，B两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在实数 m使得以AB为直径的圆过原点，若存在求出实数 m 的值；若不存在需说明理由 【答案】(1) 22 1 62 xy ；(2)存在，6m . 【解析】 【分析】 (1)根据焦点坐标和离心率求椭圆的, ,a b c， 得
29、到椭圆的方程； (2)设直线l的方程为 3 0 3 yxmx， 与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用 0OA OB ，转化为坐标运算，建立等量关系求m值. 【详解】(1)根据题意，抛物线 2 8yx的焦点是2,0， 则2,0F，即2c ， 又椭圆的离心率为 6 3 ，即 6 3 c e a ， 解可得 6a ，则 2 6a ，则 222 2bac 故椭圆的方程为 22 1 62 xy . (2)由题意得直线 l的方程为 3 0 3 yxmx 由 22 1 62 3 3 xy yxm 消去 y得 22 2260 xmxm . 由 22 4860mm ，解得2 32 3m. 又0m，02 3m
30、. 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 xxm， 2 12 6 2 m x x . 则 2 12121212 331 33333 mm y yxmxmx xxx . 又由以AB为直径的圆过原点，则 0OA OB ， 即 2 12121212 41 0 333 m x xy yx xxxm 即 2 6m ，又02 3m6m 即存在6m 使得以AB为直径的圆过原点. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，重点考查逻辑推理，计算能力， 属于中档题型. 20. 如图，在三棱锥MABC中，MAC为等边三角形，2 2 MB ，2ABBC，AC的中点 O 在为三
31、角形ABC的外接圆的圆心，点 N 在边BC上，且 2 3 BNBC. (1)求BO与平面AMC所成的角； (2)求二面角NAMC的正弦值. 【答案】(1)90；(2) 2 79 79 . 【解析】 【分析】 (1)由条件可知OBAC， 且O MA C， 根据题中所给的边长关系可证明OBOM， 即可证明OB平 面AMC； (2)根据(1)中的垂直关系以 O 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 分别求平面NAM 和AMC的法向量，利用法向量求二面角的余弦值值，再转化为正弦值. 【详解】(1)证明 连接OM， 在ABC中，由AC中点 O 在为三角形ABC的外接圆的圆心，2ABBC，可知三角
32、形ABC为等 腰直角三角形，所以 2 2AC ，O为AC的中点，则OBAC，且 2OB . 在MAC中， 2 2MAMCAC ，O为AC的中点，则OMAC，且 6OM . 在MOB中，满足 222 BOOMMB，所以OBOM， 又ACOMO，AC，OM 平面AMC， 故OB平面AMC，所以BO与平面AMC所成的角为90. (2) 因为OB，OC，OM两两垂直，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 2 2MAMBMCAC ，2ABBC， 则0,2,0A，2,0,0B，0, 2,0C，0,0, 6M， 0, 2, 6AM ， 2, 2,0BC ， 由 2 3 BNBC，所以 2
33、 2 2 ,0 33 N ，则 2 5 2 ,0 33 AN ， 设平面MAN的法向量为 , ,mx y z ， 则 2 5 225 2 ,0, ,0 3333 (0,2, 6), ,260 AN mx y zxy AM mx y zyz 令3y ，得5 3, 3, 1m ， 因为BO平面AMC，所以2,0,0OB 为平面AMC的法向量， 所以5 3, 3, 1m 与2,0,0OB 所成角的余弦值为 5 65 3 cos, 79279 m OB . 所以二面角的正弦值为 2 5 322 79 sin,1 797979 m OB . 【点睛】本题考查线面垂直，空间直角坐标法解决二面角，重点考查逻
34、辑推理，计算能力，属于中档题型. 21. 在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜 利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品 实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中 01a，01b 4 5 6 P 0.4 a b (1)求购买该商品的 3位顾客中，恰有 1位选择分 4期付款的概率； (2)商场销售一件该商品，若顾客选择分 4 期付款，则商场获得的利润为 2000元；若顾客选择分 5 期付款， 则商场获得的利润为 2500元；若顾客选择分 6 期
35、付款，则商场获得的利润为 3000元，假设该商场销售两件 该商品所获得的利润为X(单位：元) (i)设5500X 时的概率为 m，求当 m取最大值时，利润X的分布列和数学期望； (ii)设某数列 n x满足 1 0.4x ， n xa， 1 2 n xb ， 若0 . 2 5 n x 对任意nt恒成立， 求整数 t的最小值 【答案】(1)0.432；(2)(i)分布列见解析，数学期望为 4900；(ii)4 【解析】 分析】 (1)由 3位顾客中恰有 1 位选择“分 4 期付款”，则另外两位均不选“分 4期付款”计算概率；(2)(i)X的 值分别为 4000， 4500， 5000， 5500
36、， 6000， 利用基本不等式求出当5500X 时的概率的最大值及此时的 a、 b 的值，列出分布列并求数学期望；(ii)由所给等式通过变形求出数列0.2 n x 的通项公式，从而求得数列 n x的通项公式，代入不等式组 1 2(0.35,0.6) n bx 、0.25 n ax，即可求得满足条件的 t的最小值. 详解】(1)由于 3位顾客中恰有 1 位选择“分 4期付款”，则另外两位均不选“分 4 期付款”. 所以3 0.4 (1 0.4) (1 0.4)0.432P . (2)(i)由题可得X的值分别为 4000，4500，5000，5500，6000. (4000)0.4 0.40.16
37、P X ，(4500)2 0.40.8P Xaa， 22 (5000)2 0.40.8P Xabab ， (5500)2P Xab ， 2 (6000)P Xb， 所以 2 0.36 (5500)220.18 22 ab P Xab ，取最大值的条件为0.3ab， 所以分布列为： X 4000 4500 5000 5500 6000 P 0.16 0.24 0.33 0.18 0.09 4000 0.164500 0.24 5000 0.33 5500 0.18 6000 0.094900E X . (ii)由题可得 1 20.6 nn xxab ，所以 1 1 0.3 2 nn xx ， 化
38、简得 1 1 0.20.2 2 nn xx ，即0.2 n x 是等比数列，首项为 1 0.20.2x ，公比为 1 2 ， 所以 1 1 0.2(0.40.2) 2 n n x ，化简得 1 1 0.2 1 2 n n x . 由题可知： 1 1 20.4 1(0.35,0.6) 2 n n bx 111 822 n ，解得2n或3n； 11 111 0.2 10.25 224 nn n ax ， 当n为偶数时，上述不等式恒成立； 当n为奇数时， 1 11 24 n ，解得5n；综上所述，t的最小值为 4. 【点睛】 本题考查随机事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望， 由递推公式求数
39、列的通项公式、 数列不等式问题，属于较难题. 22. 已知函数 lnf xaxx. (1)求 f x的极值； (2)设 2 x g xeaxf x ex ，求证： 1g x . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)对a与0的关系分类讨论，从而求解出 f x的极值； (2)将不等式转化为 2 ln x x xx ee ， 由此构造新函数 2 lnxxx e 和 x x x e ， 分析新函数最值关 系从而证明不等式. 【详解】(1) 1 fxa x (0 x)， 当0a 时， 0fx 恒成立，则 f x在0,上单调递减， f x无极值； 当0a时，令 0fx
40、，得 1 x a ；令 0fx，得 1 0 x a ， 则 f x在 1 0, a 上单调递减，在 1 , a 上单调递增，此时 f x有极小值为 1 1lnfa a ，无极大 值. 综上：当0a 时， f x无极值；当0a 时， f x有极小值为1 lna，无极大值. (2)因为 2 ln x g xex ex ，故要证 2 ln1 x g xex ex ， 只需证 21 ln x x exe ，故只需证 2 ln x x xx ee ， 令： 2 lnxxx e ， ln1xx，定义域为0,x， 令 1 ln10 xxx e ， 所以当 1 0, e x 时， 0 x， x递减；当 1 ,
41、x e 时 0 x， x递增， 所以 min 11 x ee ； 令： x x x e ， 1 x x x e ，定义域为0,x， 令 1 01 x x xx e ， 所以当0,1x时， 0 x， x递增；当1,x时 0 x， x递减 所以 max 1 1x e ； 所以 1 x e ， 1 x e ， ( )xx，即： 2 ln x x xx ee 所以原不等式成立. 【点睛】 本题考查利用导数求解函数的极值以及利用导数证明不等式， 对学生的分析与计算能力要求较高， 难度较难.利用导数证明不等式的常用方法：(1)将不等式问题转变为单个函数与零的关系；(2)将不等式问 题转变为两个函数最值之间的关系.
