1、广东省广州市广东省广州市 2021 届高三年级阶段训练数学试卷届高三年级阶段训练数学试卷 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) ) 1. 设集合0,1,2A， 1Bx x ，则AB的子集个数为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算AB，再计算其子集的个数即可. 【详解】因0,1,2A，1Bx x， 0,
2、1AB ，子集为， 0， 1，0,1共4个， 故选：B 2. 已知复数1 2zi ，则 2 z( ) A. 3 B. 3 C. 5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用复数的乘法计算 2 z ，再利用模长公式即可求解. 【详解】 2 22 1214434ziiii ， 所以 2 22 345z ， 故选：D 3. 设 n a是公差为正数的等差数列，若 2 5a ， 13 16a a ，则 12 a( ) A. 12 B. 35 C. 75 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】 求出首项和公差d后可得 12 a 【详解】设公差为d，则 1 11 5 (2 )16 ad a ad
3、 ，0d ，故解得 1 2 3 a d ， 12 2 11 335a 故选：B 4. 中国古代数学名著九章算术 中有这样一个问题：”今有牛马羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主日： “我 羊食半马.”马主日：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？”翻译过来就是：现有牛马羊吃了人家 的田里的青苗，青苗主人要求三畜的主人一共赔偿粟米 5 斗.羊主人说；“我的羊所吃数是马的一半.”马主 人说；“我的马所吃数是牛的一半.”现在按照三畜所吃青苗数的比例进行分配赔偿，问牛马羊的主人赔 偿粟米斗数分别为( ) A. 20 10 5 , 777 B. 5 10 20 , 777 C. 20 5 10 , 777
4、D. 10 5 20 , 777 【答案】A 【解析】 【分析】 设牛马羊的主人赔偿粟米斗数分别为 a，b，c，分析可得4 ,2ac bc且5abc ，代入求得c，并 依次求出 b，c，即可得到答案. 【详解】设牛马羊的主人赔偿粟米斗数分别为 a，b，c，且5abc 由题意可得， 2 b c ， 2 a b ，即4 ,2ac bc 所以425abcccc ，解得 5 7 c ，则 2010 , 77 ab 所以牛马羊的主人赔偿粟米斗数分别为 20 10 5 , 777 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的求和，解题的关键是分析题目得到量之间的关系，从而得解，考查了简单的 运算，属于基础题.
5、5. 已知 f x， g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 32 f xg xxxa，则 2g ( ) A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 用x替换原式中的x， 可得 32 fxgxxxa， 利用奇偶性可得 32 f xg xxxa， 与 32 f xg xxxa相减即可求 3 g xx，进而可得 2g的值. 【详解】因为 32 f xg xxxa， 所以 32 fxgxxxa， 因为 f x， g x分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 所以 32 f xg xxxa， -得： 3 22g xx，所以 3 g xx，所以 3 228g， 故选：C 【点
6、睛】关键点点睛：本题的关键点是利用函数的奇偶性结合已知条件可得 32 fxgxxxa，即 32 f xg xxxa，与已知条件 32 f xg xxxa，两式相减可得 g x解析式，即可求函数值. 6. 某学校鼓励学生参加社区服务， 学生甲 2019年每月参加社区服务的时长(单位： 小时)分别为 1 x， 2 x， ， 12 x，其均值和方差分别为x和 2 s，若 2020年甲每月参加社区服务的时长增加 1 小时，则 2020年甲参加社 区服务时长的均值和方差分别为( ) A. x， 2 s B. 1 x ， 2 1s C. x， 2 1s D. 1 x ， 2 s 【答案】D 【解析】 【分
7、析】 利用均值和方差公式求解判断即可 【详解】解：由题意可知 1212 1 () 12 xxxx， 222 121 2 2 1 ()()() 12 sxxxxxx， 设 2020年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为 x， 2 s，则 12121212 11 (1)(1)(1)() 121 1212 xxxxxxxx， 2222 1212 1 (11)(11)(11) 12 xxxxxxs 222 1212 1 ()()() 12 xxxxxx 2 s 故选：D 7. 6 1 ax x 的展开式中的常数项为 160，则a的值为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 【答案】A 【解析】
8、 【分析】 利用二项式展开式的通项公式： 1 Cr n rr rn Tab 即可求解. 【详解】 6 1 ax x 展开式的通项公式为 6 66 2 166 1 1 r rr rrrr r TCaxC ax x ， 令6 20r，解得3r ， 所以 3 36 3 16 1160 r TC a ，解得2a . 故选：A 8. 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2ABCC，1BC ，点M在正方形 11 CDDC内， 1 C M 平面 1 ACM，则三棱锥 11 MACC的外接球表面积为( ) A. 11 2 B. 7 C. 11 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】 证明M是正
9、方形 11 CDDC对角线交点，取E是 1 CC中点，F是 1 BB中点，则可得三棱锥 11 AMCC的外接 球球心O在直线EF上，求出球半径可得表面积 【详解】长方体 1 AC中， 11 AD 平面 11 CDDC， 1 C M 平面 11 CDDC， 111 C MAD， 又 1 C M 平面 1 ACM， 1 AC 平面 1 ACM， 11 C MAC， 1111 ACADA， 1 C M 平面 11 ACD，而 1 CD 平面 11 ACD， 11 C MCD， 11 CDDC是正方形，M是 1 CD与 1 C D交点，即为 1 CD的中点，也是 1 C D的中点 1 C MC是直角三
10、角形，设E是 1 CC中点，F是 1 BB中点，则由/EFBC可得EF 平面 1 MCC(长方体 中棱与相交面垂直)，E是 1 C MC的外心，三棱锥 11 AMCC的外接球球心O在直线EF上(线段EF或 EF的延长线上) 设OEh，则 22 222 22 ( 2)(1) 22 hh ，解得 3 2 h ， 外接球半径为 2 2 3211 222 r ， 表面积为 2 11 4411 4 Sr 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是确定球心位置，求出半径应用结论： 三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上 二、多项选择题二、多项选择题( (本大题共本
11、大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至分在每小题给出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) ) 9. 以下四个命题中，真命题的是( ) A. 若p q 为真命题，则p，q均为真命题 B. “2x ”是“ lg 30 x”的必要不充分条件 C. 若命题p：x R， 2 10 xx ，则 p ：x R， 2 10 xx D. 若0ab，则 22 aabb 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据复合命题的真假表可判断 A；利用充分条件、必要条件的定义
12、可判断 B；根据特称命题的否定变换形式 可判断 C；根据不等式的性质可判断 D. 【详解】对于 A，若p q 为真命题，则p，q均有一个真命题即可，故 A 不正确； 对于 B，由lg 30 x，则031x ，解得23x， 2x 推不出23x，反之成立， 故“2x ”是“ lg 30 x”的必要不充分条件，故 B 正确； 对于 C，命题p：x R， 2 10 xx ，则 p ：x R， 2 10 xx ，故 C 正确； 对于 D，若0ab，则 2 aab，且 2 abb，即 22 aabb，故 D不正确. 故选：BC 10. 已知P是双曲线C： 22 1 169 xy 右支上一点，1 2 ,F
13、F分别是C的左， 右焦点， O为坐标原点， 1 9 | 4 OPOF 则( ) A. C离心率为 5 4 B. C 的渐近线方程为 4 3 yx C. 点 P到 C 的左焦点距离是 23 4 D. 12 PFF的面积为 45 4 【答案】AD 【解析】 【分析】 对于 AB，直接利用双曲线的性质判断；对于 C，取线段 1 PF的中点M，连接 2 ,MO PF，利用中位线和双 曲线的定义计算判断；对于 D，在 12 PFF，利用余弦定理求出 12 cosPFF，进而可得 12 sinPFF，再用 三角形的面积公式计算. 【详解】解：由已知4,3,5abc， 离心率 5 4 c e a ，故 A
14、正确； 渐近线方程为 3 4 b yxx a ，故 B错误； 如图，取线段 1 PF的中点M，连接 2 ,MO PF，则 2 / /MOPF，且 2 2 MOPF 12 2OPOFOMF P， 21 9 | 4 F POPOF，则 12 941 28 44 PFaPF，故 C错误； 在 12 PFF中， 22 2 12 419 10 4044 cos 41 41 210 4 PFF ， 则 2 2 1212 409 sin1 cos1 4141 PFFPFF ， 则 12 PFF的面积为 141945 10 24414 ，故 D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查焦
15、点三角形的面积，考查学生计算能力，是中档题. 11. 已知函数 sincossin cosf xxxxx，xR，则( ) A. f x在 0, 4 上单调递增 B. f x是周期函数，且周期为2 C f x有对称轴 D. 函数 1g xf x在,上有且仅有一个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】 对 sincossincosf xxxxx去绝对值，作出图象，即可判断四个选项的正误，进而得出正确答 案. 【详解】当sincosxx时即 5 2,2 44 xkk kZ， sincossincossincossincosf xxxxxxxxx 22 sincoscos2xxx 当sincosxx
16、时即 3 2,2 44 xkkkZ ， sincossincoscossinsincosf xxxxxxxxx 22 cossincos2xxx， 所以 5 cos2 ,22 44 3 cos2 ,22 44 xkxk f xkZ xkxk ， 作出 f x图象，如图 如图 f x在 0, 4 上单调递减，故选项 A 不正确； f x是周期函数，且周期为2，故选项 B 正确； f x有对称轴，为 4 xkkZ，故选项 C正确； 函数 1g xf x在,上有且仅有一个零点，为 1 2 x ，故选项 D 正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对函数 sincossincosf x
17、xxxx去绝对值，可得 5 cos2 ,22 44 3 cos2 ,22 44 xkxk f x xkxk kZ，再利用解析式作出图象，根据图象可判断 f x具 有的性质. 12. 已知直线2yx 分别与函数 1 2 x ye和ln 2yx的图象交于点 11 ,A x y， 22 ,B x y，则( ) A. 12 2 xx eee B. 12 e 4 x x C. 1 22 1 ln ln0 x xx x D. 1 2 ln 22 x ex 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由函数 1 2 x ye和函数ln 2yx互为反函数，得到函数 1 2 x ye和ln 2yx的图象关于y x 对称
18、， 得到 2112 ,xy xy，进而得到 12 2xx，结合基本不等式，可判定 A 正确；令 2ln2g xxx ， 结合函数ln2yxx在(,1) 2 e 的单调性，可判定 B正确； 由 2 12 12 0()1 2 xx x x ， 则 12 01xx， 记 ln x fx x ， 利用单调性， 可判定 C不正确； 由 12 2xx， 得到 1 2 1 ln 22 2 x ex，进而判定 D 正确. 【详解】如图所示，由函数 1 2 x ye和函数ln 2yx互为反函数， 所以函数 1 2 x ye和ln 2yx的图象关于y x 对称， 从而直线2yx 与函数 1 2 x ye和ln 2
19、yx的图象的交点 11 ,A x y， 22 ,B x y也关于y x 对称， 所以 2112 ,xy xy， 又由 11 ,A x y在直线2yx ，可得 11 2xy，所以 12 2xx， 则 1212 22 xxxx eeeee ，又由 12 xx，所以等号不成立， 所以 12 2 xx eee，所以 A 正确； 记 2ln2g xxx ，则 1 110, ()10 222 ee gg ，则 2 1 2 e x， 又 121222 (2)ln2x xx xxx，又由函数ln2yxx在( ,1) 2 e 单调递增， 所以 12 ln 24 ee x xe，所以 B 正确； 由 2 12 1
20、2 0()1 2 xx x x ，则 12 01xx，记 ln x fx x ，则 1 ln x x fx x ， 当01x时， 0fx ，则函数 f x在(0,1)上单调递增， 故 1 2 1 ()()f xf x ，即 12 22 1 2 1 ln ln ln 1 xx xx x x ，所以 1 22 1 ln ln0 x xx x ，所以 C 不正确； 由 12 2xx，可得 12 2yy，即 1 2 1 ln 22 2 x ex， 又由 11 1 2 xx ee，所以 1 2 1 ln 22 2 x ex，所以 D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 1、指数函数(0 x ya a
21、且1)a 与对数函数log(0 a yx a且1)a 化为反函数，其图象关于y x 对 称； 2、对于函数不等关系的判定，可根据题意构造新函数，利用函数的单调性进行判定，如选项 B、C. 三、填空题三、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上) ) 13. 已知 1 e， 2 e是互相垂直的单位向量若 12 3ee与 12 ee的夹角为 60 ，则实数 的值是_ 【答案】 3 3 【解析】 【分析】 根据平面向量的夹角与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出的值. 【详解】由题意知
22、12 1ee， 12 0e e ， 2 22 12121122 3332 330 12eeeeee ee . 同理 2 12 1ee. 所以 1212 121 22 1122 22 2 331 31 cos60 2 1 3 322 1 eeee ee ee ee ee ， 解得 3 3 ， 故答案为： 3 3 . 【点睛】本题主要考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，属于中档题. 14. 曲线 ( )sinf xxx 在点(,( ) 22 f 处的切线方程为_ 【答案】y x 【解析】 【分析】 计算得到() 22 f ，()1 2 f ，得到切线方程. 【详解】( )sinf xxx，(
23、) 22 f ，( )sincosfxxxx，()1 2 f . 故切线方程为：y x . 故答案为：y x . 【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力. 15. 广东省 2021 年的新高考按照“312 ”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语 3门必考 科目；“1”由考生在物理、历史 2 门中选考 1 门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学 4 门中选 考 2门科目则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为_ 【答案】60 【解析】 【分析】 根据题意，分两种情况讨论：(1)甲乙两名考生选考科目相同的1科在物理或历史，另一科在“思想政治、 地
24、理、化学、生物学”中；(2)甲乙两名考生选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物学”中两科， 由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分两种情况讨论： (1)甲乙两名考生选考科目相同的1科在物理或历史， 另一科在“思想政治、地理、化学、生物学”中， 有 112 243 48C C A 种方法； (2)甲乙两名考生选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物学”中两科， 有 22 42 12C A 种方法； 则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为48 1260种； 故答案为：60. 16. 已知抛物线C： 2 20ypx p的焦点为F，过点F且斜率为 3的直线l交C于A，
25、B两点，以 线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若点F到C的准线的距离为 3，则 sinQMN 的值为_ 【答案】 5 8 【解析】 【分析】 由题意得3p ，可得抛物线的方程和直线AB的方程，联立直线AB方程和抛物线方程，运用韦达定理和 中点坐标公式可得AB的中点Q的坐标和弦长AB，可得圆Q的半径，在QMN中，由锐角三角函数的 定义可得所求值 【详解】解：抛物线C： 2 20ypx p的焦点为(,0) 2 p F，准线方程为 2 p x ， 由题意得3p ，则抛物线方程为 2 3 6 ,( ,0) 2 yx F， 则直线AB的方程为 3 3() 2 yx， 由 2 3
26、 3() 2 6 yx yx ，得 2 27 3150 4 xx， 设,A B的横坐标分别为 12 ,x x，则 12 5xx， 所以AB的中点Q的坐标为 5 ( , 3) 2 ， 12 5 38ABxxp ， 则圆Q的半径为 4， 在QMN中， 5 5 2 sin 48 QMN ， 故答案为： 5 8 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，解题的关键 是联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式进行转化，考查方程思想和计算能力，属 于中档题 四、解答题四、解答题( (本大题共本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域
27、内作答解答时应写出文字说分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤) ) 17. 在cossinaBbA， 222 2bacac ，sin cos2BB 这三个条件中任选一个，补充 在下面的问题中，并解决该问题 问题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为 2，2a，求b 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】选择:2b；选择：2b；选择：2b 【解析】 【分析】 若选择由正弦定理化简已知等式，结合sin0A，利用同角三角函数基本关系可求tan1B ，结合 0,B，可求 4 B ，利用三角形面积公式可求
28、c，再利用余弦定理即可求b的值；若选择由余弦定 理求 2 cos 2 B ，结合 0,B，可求 4 B ，利用三角形面积公式可求c，再利用余弦定理即可求b的 值；若选择由已知利用和角公式可得 sin1 4 B ，可求 5 , 444 B ，所以 42 B，可得 4 B ，利用三角形面积公式可求c，再利用余弦定理即可求b的值. 【详解】若选择cossinaBbA，由正弦定理得sincossinsinABBA. 因为sin0A，所以cossinBB，tan1B . 因为0,B，所以 4 B . 1 sin2 2 ABC SacB， 因为2a， 2 sin 2 B ，所以 2 2c . 由余弦定理得
29、 222 2 2cos488 24 2 bacacB， 所以2b. 若选择 222 2bacac ，由余弦定理 222 2 cos 22 acb B ac . 因为0,B，所以 4 B . 1 sin2 2 ABC SacB， 因为2a， 2 sin 2 B ，所以 2 2c . 由余弦定理得 222 2 2cos488 24 2 bacacB， 所以2b. 若选择sin cos2BB ，由和角公式得 2sin2 4 B ， 所以 sin1 4 B . 因为0,B，则 5 , 444 B ， 所以 42 B，所以 4 B . 1 sin2 2 ABC SacB， 因为2a， 2 sin 2 B
30、 ，所以 2 2c . 由余弦定理得 222 2 2cos488 24 2 bacacB， 所以2b. 【点睛】关键点点睛：选择是关于边和角的混合关系式，要转化为角的关系或边的关系，选择是关于 边的二次形式，可以利用余弦定理化简该条件，选择是可以利用辅助角公式化简，求出角B，再利用三 角形面积公式和余弦定理即可求出边b. 18. 已知数列 n a的前n项和 n S满足 2 3 2 n nn S，数列 3 log n b是公差为 1的等差数列， 1 1b . (1)求数列 n a， n b的通项公式； (2)设 2121nnn cab ，求数列 n c的前n项和 n T. 【答案】(1)32 n
31、 an， 1 3 n n b ；(2) 2 11 341 89 n n Tnn . 【解析】 【分析】 (1)根据, nn a S之间的关系求解出 n a的通项公式，根据等差数列的定义求解出 3 log n b的通项公式，则 n b通项公式可求； (2)先计算出 n c的通项公式，然后利用分组求和的方法求解出 n T. 【详解】(1)由 2 3 2 n nn S得 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn ， 当1n 时， 11 3 1 1 2 aS ， 当2n时， 2 2 1 3113 32 22 nnn nnnn aSSn ，所以1n 满足2n时的情况， 所以32 n an， 因为
32、 331 loglog111 n bbnn ，所以 1 3 n n b ； (2)因为 121 2121 1 3 212361 9 n n nnn cabnn ， 所以 11 1 99 761 1 2 1 9 n n nn T ，所以 2 11 341 89 n n Tnn . 【点睛】思路点睛：利用 n a与 n S的关系求解数列通项公式的思路： (1)根据 1 2 nnn aSSn ，先求解出2n时的通项公式； (2)根据条件验证1n 是否满足2n情况； (3)若满足，则 n a的通项公式不需要分段书写；若不满足，则 n a的通项公式需要分段书写. 19. 某学校高三年级数学备课组的老师为
33、了解新高三年级学生在假期的自学情况， 在开学初进行了一次摸底 测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相应等级进行量化：“优秀”记 10分， “良好”记 5 分，“要加油”记 0分现随机抽取年级 120名学生的成绩，统计结果如下所示： 等级 优秀 良好 要加油 得分 120,150 90,120 0,90 频数 12 72 36 (1)若测试分数 90分及以上认定为优良分数段在120,150，90,120，0,90内女生的人数分别为 4 人，40 人，20 人，完成下面的22列联表，并判断：是否有95以上的把握认为性别与数学成绩优良有 关？ 是否优良 性别 优良 非
34、优良 总计 男生 女生 总计 (2)用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取 10 人进行座谈，现再 从这 10人中任选 2 人，所选 2人的量化分之和记为X，求X的分布列及数学期望 EX 附表及公式： 2 2 ()n adbc K abcdacbd ，其中na b cd P( 2 0 Kk) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)表格见解析，没有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良有关；(2)分布列见解析，8. 【解析】 【分析】 (1)由题意填入22列联
35、表，计算出对应的 2 0.1023.841K ，再结临界值表判断即可； (2)由题意可知X的可能取值为 15，10，5，0.，再求出其对应的概率，从而可得数学期望 【详解】(1)解：依题意，完成下面的22列联表： 是否优良 性别 优良 非优良 总计 男生 40 16 56 女生 44 20 64 总计 84 36 120 2 2 12016 4440 20 0.1023.841 36 84 56 64 K . 故没有95%以上的把握认为性别与数学成绩优良有关. (2)解：按照分层抽样，评定为“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级的学生分别抽取 1 人，6 人，3 人.现再从 这 10 人中任选
36、 2人，所选 2 人的量化分之和X的可能取值为 15，10，5，0. 11 16 2 10 1 62 15 4515 C C P X C ， 211 613 22 1010 186 10 4515 CC C P X CC 11 63 2 10 186 5 4515 C C P X C ， 2 3 2 10 31 0 4515 C P X C 所以X的分布列为： X 15 10 5 0 P 2 15 6 15 6 15 1 15 所以 2661 1510508 15151515 E X . 【点睛】关键点点睛：此题考查了独立性检验，离散型随机变的分布列和数学期望，解题的关键是正确计 算X的取值为
37、 15，10，5，0时，所对应的概率，属于中档题 20. 如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为菱形，BE 平面ABCD，G为AC与BD的交点. (1)证明：平面AEC 平面BED； (2)若60BAD，AEEC，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 10 10 . 【解析】 【分析】 (1)由平面几何知识可得ACBD.，再由线面垂直的性质定理和判断可证得AC 平面BED.根据面面垂 直的判定可得证；. (2)在点 G建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.根据线面角的向量求解方法可求得答案. 【详解】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.
38、因为BE 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以ACBE. 又BEBDB，所以AC 平面BED.又AC 平面AEC， 所以平面AEC 平面BED. (2)解法 1：设1AB ，在菱形ABCD中，由60BAD，可得 3 2 AGGC， 1 2 BGGD. 因为AEEC，所以在RtAEC中可得 3 2 EGAG . 由BE 平面ABCD，得EBG为直角三角形，则 222 EGBEBG，得 2 2 BE . 过点G作直线/GZBE，因为BE 平面ABCD，所以GZ 平面ABCD，又ACBD， 所以建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz. 0,0,0G， 3 0,0 2 C ， 1 ,0,0 2 D ，
39、 12 ,0, 22 E ，所以 12 ,0, 22 GE . 设平面EDC的法向量为 , ,nx y z ， 2 1,0, 2 DE ， 132 , 222 CE ， 由 0 0 DE n CE n ，得 2 0 2 132 0 222 xz xyz ， 取1x ， 3 3 y ，2z ，所以平面EDC的一个法向量为 3 1,2 3 n . 设直线EG与平面EDC所成角为， 则 11 0 1 10 22 sincos, 10111310 12 42323 GE n . 所以直线EG与平面EDC所成角的正弦值为 10 10 . 解法 2：如图以点B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Bxyz
40、. 不妨设2AB ，则1, 3,0A ，2,0,0C，0,0, 2E，1, 3,0D， 13 ,0 22 G ，所以 13 ,2 22 EG . 设平面EDC的法向量为,nx yz，1, 3,2ED ，2,0,2EC ， 则 0 0 n ED n EC ，得 320 220 xyz xz ， 令3x ，则1y ，6z .所以平面EDC的一个法向量为3,1, 6n . 设EG与平面EDC所成角为， 则 33 2 3 22 10 sincos, 10123 1 6 EG n . 所以直线EG与平面EDC所成角的正弦值为 10 10 . 21. 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab
41、 经过点 2 (1,), 2 P且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形. (1)求椭圆 C的方程； (2)过椭圆 C的右焦点 F的直线 l(与 x 轴不重合)与椭圆 C 交于 M，N两点.是否存在一定点 E(t，0)，使得 x 轴上的任意一点(异于点 E，F)到直线 EM，EN的距离相等？若存在，求出 t的值：若不存在，说明理由. 【答案】(1) 2 2 1 2 x y；(2)存在点 E(2，0)，使得 x 轴上的任意一点(异于点 E，F)到直线 EM，EN 的距离 相等 【解析】 【分析】 (1)由椭圆 C的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形， 得bc， 2ab ， 可设椭圆 22
42、22 1 2 xy C bb :， 代入点() 2 1, 2 P ，求得 2 1b ，从而求得椭圆的方程. (2)分类讨论直线 l的斜率不存在和存在两种情况：当直线 l的斜率不存在时，比较显然； 当直线 l的 斜率存在时，设直线的方程:(1)(0)lyk xk，由题意知，x 轴平分MEN，则直线 EM，EN的倾斜 角互补，即0 MENE kk，联立方程： 2 2 1 2 (1) x y yk x ，得 2222 (21)4220kxk xk，再利用韦达定理 代入0 MENE kk，化简解得2t ，从而知，存在点 E(2，0)，使得 x轴上的任意一点(异于点 E，F)到直 线 EM，EN的距离相
43、等. 【详解】由椭圆 C 的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，得bc， 又 222 abc，则2ab . 设椭圆 22 22 1 2 xy C bb : 又椭圆过点() 2 1, 2 P ，所以 22 1 1 2 1 2bb ，解得 2 1b 所以椭圆的方程为： 2 2 1 2 x y (2)当直线 l的斜率不存在时， 即:1l x ， 由椭圆对称性可知， x轴上的任意一点(异于点 E， F)到直线 EM， EN 的距离相等. 当直线 l的斜率存在时，设直线的方程:(1)(0)lyk xk，联立方程得： 2 2 1 2 (1) x y yk x ，化简整理得 2222 (21)4220k
44、xk xk 设 1122 ( ,),(,)M x yN xy，则 2 12 2 4 21 k xx k += + ， 2 12 2 22 21 k x x k , 由题意知，x轴平分MEN，则直线 EM，EN的倾斜角互补，即0 MENE kk， 则 12 12 +0 yy xtxt (当 1 xt或 2 xt时不符合题意) 将 1122 (1),(1)yk xyk x代入上式可得 12 12 (1)(1) +0(0) k xk x k xtxt 所以 12 12 11 +0 xx xtxt ，化简整理得 1 212 2(1)()20 x xt xxt 即 22 22 224 2(1)20 21
45、21 kk tt kk ， 得 2 24 0 21 t k ，所以2t 综上，存在点 E(2，0)，使得 x轴上的任意一点(异于点 E，F)到直线 EM，EN的距离相等. 【点睛】本题考查椭圆标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆相交的题型，考查学生的转化思想与运 算能力，属于难题. 22. 已知函数 2 1 ln1 2 f xxaxxaxa (1)若1a ，求函数 f x的单调区间； (2)若 2 1 ln2 2 f xaxxx在1,上恒成立，求整数a的最大值 【答案】(1)单调递增区间为0,1，单调递减区间为 1,；(2)4. 【解析】 【分析】 (1)将1a 代入，求出定义域以及 1 ln
46、fxxx x ，设 1 lng xxx x ，再次求导，判断 g x在 0,上单调递减，且 10g，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解. (2)解法 1：原不等式等价于ln1210 xxa xx ，在1,上恒成立，分离参数可得 ln21 1 xxx a x ，利用导数求出 ln21 1 xxx x x 的最小值即可；解法 2：原不等式等价于 ln1210 xxa xx 在 1,上恒成立，设 ln121xxxa xx ，求出导函数，讨论 3a 或3a ，只需 min0 x即可求解. 【详解】(1)解：若1a ， 2 1 1 ln 2 f xxxxx，函数 f x的定义域为0,， 得 1 lnfxxx x . 设 1 lng xxx x ，则 2 2 222 13 11124 10 x xx gx xxxx . 故 g x在0,上单调递减，且 10g， 故当0,1x时， 0g x ，即 0fx ， f x单调递增： 当1,x时， 0g x ，即 0fx ， f x单调递减. 综上， f x的单调递增区间为0,1，单调递减区间为 1,. (2)解法 1：原不等式等价于ln1210 xxa xx ， 即
