1、福州市福州市 2021 届高三届高三 10 月调研月调研 B 卷数学卷数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1. 已知复数z满足 1 22zii，则z的虚部为( ) A. 1 B. 1 C. i D. i 【答案】B 【解析】 【分析】 给 1 22zii两边同除以1 2i ，化简可得结果. 【详解】解：由 1 22zii，得 2 2(2)(1 2 )242 1 2(1 2 )(1 2 )5 iiiiii zi iii 所以z的
2、虚部为 1 故选：B 【点睛】此题考查复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 2. 已知集合 2 log1Axx ，集合| 11Bxx ，则AB ( ) A. 1,1 B. 1,2) C. 0,1 D. ,2- 【答案】C 【解析】 【分析】 由对数函数的性质可得02Axx，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为 2 log102Axxxx ，| 11Bxx ， 所以010,1ABxx. 故选：C. 【点睛】本题考查了对数函数性质的应用及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 3. 命题“0,x ， 1 sin xx x ”的否定是( ) A. 0,x ， 1 sin xx x
3、 B. 0,x ， 1 sin xx x C. 0,x ， 1 sin xx x D. ,0 x ， 1 sin xx x 【答案】C 【解析】 【分析】 由全称命题的否定规则即可得解. 【详解】因为命题“0,x ， 1 sin xx x ”为全称命题， 所以该命题的否定是“0,x ， 1 sin xx x ”. 故选：C. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 4. Logistic 模型是常用数学模型之一， 可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累 计确诊病例数 I t(t的单位：天)的 Logistic 模型： 0.23(50) (
4、) 1 t K I t e ，其中K为最大确诊病例数.当 * 0.95I tK 时，标志着已初步遏制疫情，则 * t 约为( )(参考数据：ln193) A. 60 B. 62 C. 66 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 * * 0.23(50) ( )0.95 1 t K I tK e 可解得 * t 的值，即可得答案； 【详解】 0.23(50) ( ) 1 t K I t e ，所以 * * 0.23(50) ( )0.95 1 t K I tK e ， 所以 * 0.2350ln193t ，解得 * 3 5063 0.23 t . 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数
5、模型求解实际问题，考查阅读理解能力. 5. 已知数列 n a满足 * 1 1 1(2) n n ann a N ， ，若 4 5 3 a ，则 1 a=( ) A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 8 5 【答案】A 【解析】 【分析】 依次求出 321 ,a a a得解. 【详解】4n时，43 3 153 1, 32 aa a ； 3n时，32 2 13 1,2 2 aa a ； 2n时，2 1 1 1 12,1aa a . 故选：A 【点睛】本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6. 将函数 sinf x x(0,0)的图象上所有的点向右平移 3 个单
6、位长度得到正弦曲线， 则 3 f 的值为( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知 sinyx 图象上所有的点向左平移 3 个单位长度得到 sinf xx，即可求得 ( )f x的解 析式，从而求得 3 f 的值. 【详解】因为 sinf xx( 0,0 )的图象上所有的点向右平移 3 个单位长度得到正弦曲 线， 所以 sinyx 图象上所有的点向左平移 3 个单位长度得到 sinf xx， 即( )sinsin 3 f xxx ， 所以 3 sin 3332 f ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及求三
7、角函数值，属于中档题. 7. 已知ABC是边长为 2 的等边三角形，且AEEB ， 2ADDC uuu ruuu r ，则BD CE( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由平面向量的线性运算可得 21 32 BD CEACABABAC ，再由平面向量数量积的运算即可得解. 【详解】由题意画出图形，如图， 因为AE EB ， 2ADDC uuu ruuu r ，所以 1 2 AEAB， 2 3 ADAC， 所以 21 32 BD CEADABAEACACABABAC 22241241 422cos6042 332332 ACAC ABAB . 故选：B.
8、 【点睛】本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8. 已知函数 ( )f x是定义域为R的奇函数， 当 0 x时，( )1 x f xe 记 2 (2 )af ，(1)bf， 3 (3)cf ， 则, ,a b c的大小关系是( ) A. bac B. acb C. cba D. cab 【答案】D 【解析】 【分析】 令函数( )( )g xxf x，可得函数( )g x为R上的偶函数，由导数可得函数( )g x在(0,)上单调递减，结合 函数的单调性与奇偶性即可得解. 【详解】因为 ( )f x是定义域为R的奇函数，所以()( )fxf x ， 令
9、函数( )( )g xxf x，则 ()() ()( )gxx fxxf x ，所以( )g x为R上的偶函数， 当0 x时，( )( )( )11 ( +1)0 xxx g xf xxfxexexe ， 所以函数( )g x在(0,)上单调递减， 又( )g x为偶函数，所以 2 ( 2)( 2)(2)afgg ， (1)bg ，(3)cg， 所以cab. 故选：D 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断与应用，考查了利用导数确定函数的单调性及函数单调性的应用， 属于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有
10、多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9. 在公比为q等比数列 n a中， n S是数列 n a的前 n项和， 若 521 127,aaa ， 则下列说法正确的是( ) A. 3q B. 数列2 n S 是等比数列 C. 5 121S D. 22 2lglglg3 nnn aaan 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为 521 127,aaa ，所以有 43 11 27273
11、qa qqqa ，因此选项 A 正确； 因为 1 31(3 1) 1 32 n n n S ，所以 1 31 +2+2(3 +3) 1 32 n n n S ， 因为 + 1 +1 1 1 (3+3) +22 2 =1+ 1 +21+3 (3 +3) 2 n n n n n S S 常数， 所以数列2 n S 不是等比数列，故选项 B 不正确； 因为 5 5 1 (31)=121 2 S ，所以选项 C 正确； 11 1 30 n n n aa q ， 因为当 3n 时， 2 2222 lglg=lg()=lg2lg nnnnnn aaaaaa ，所以选项 D正确. 故选：ACD 【点睛】本题
12、考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前 n 项和公式的应用，考查了等比数列 定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 10. 已知, ,a b cR，则下列命题正确的是( ) A. 若0ab且ab，则 11 ab B. 若01a，则 2 aa C. 若0ab，则 1 1 bb aa D. 若cba且0ac，则 22 bcac 【答案】BCD 【解析】 【分析】 举出反例可判断 A；由不等式的基本性质可判断 B、D；通过作差法可得 11a bb a ，再由不等式的 基本性质即可判断 C. 【详解】对于 A，当1a，1b时，满足0ab且ab，此时
13、11 ab ，故 A 错误； 对于 B，若01a，则 2 aa，故 B 正确； 对于 C，若0ab，则 110a bb aab ， 所以 11a bb a ，所以 1 1 bb aa ，故 C 正确； 对于 D，若cba且0ac，则0ca，所以 2 0c ， 22 bcac，故 D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了不等式基本性质的应用及不等关系的判断，属于基础题. 11. 设函数 ln x e f x x ，则下列说法正确的是( ) A. f x定义域是0, B. 0,1x时， f x图象位于x轴下方 C. f x存在单调递增区间 D. f x有且仅有一个极值点 【答案】BCD 【解
14、析】 【分析】 求出函数定义域判断 A， 根据函数值的正负判断 B， 求出导函数， 利用导函数确定原函数的增区间， 判断 C， 由导函数研究函数的单调性得极值，判断 D 【详解】由题意，函数 ln x e f x x 满足 0 ln0 x x ，解得0 x且1x ，所以函数 ln x e f x x 的定义域为 0,11,，所以 A 不正确； 由 ln x e f x x ，当 0,1x时，ln0 x， 0f x ，所以 f x在0,1上的图象都在轴的下方，所 以 B 正确； 2 1 ln ( ) (ln ) x ex x fx x ，所以 0fx 在定义域上有解，所以函数 f x存在单调递增
15、区间，所以 C是 正确的； 由 1 lng xx x ，则 2 11 (0)gxx xx ，所以 0gx ，函数 g x单调增，则函数( )0fx 只 有一个根 0 x，使得 0 ()0fx，当 0 (0,)xx时，( )0fx ，函数单调递减，当 0, xx时，函数单 调递增，所以函数只有一个极小值，所以 D 正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查求函数的定义域，考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握极值的定义，单调性与导 数的关系是解题关键 12. 已知函数 ( )sin()(0)f xx ，若 ( )f x在区间 ,0 2 上是单调函数，且有 (0)( ) 2 fff ，则的值可能为(
16、 ) A. 2 3 B. 2 C. 1 3 D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】 由三角函数的图象与性质可得函数 ( )f x的最小正周期T满足 22 T ，按照T、T讨论，由函数的 对称性即可得T，即可得解. 【详解】因为 ( )f x在 ,0 2 上单调， 所以函数 ( )f x的最小正周期T满足 22 T ，即T ，所以02， 若T，则 2 2 T ，符合题意； 若T，因为(0)( )ff， 所以直线 2 x 是函数( )f x的图象右侧最靠近y轴一条对称轴， 因为 (0) 2 ff ，所以函数 ( )f x图象的一个对称中心是,0 4 ， 所以 3 4244 T ，所以3T， 2
17、 3 . 故选：AB. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于 中档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知向量, a b的夹角为60， 2,1ab，则ab_ 【答案】7 【解析】 【分析】 由平面向量数量积的定义可得 1a b ，再由 22 abab结合平面向量数量积的运算即可得解. 【详解】因为向量, a b的夹角为60，2,1ab，所以 1 cos602 11 2 a bab ， 所以 22 22 242 17ababaa bb ， 所以7ab. 故答案为：7
18、. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 已知实数x满足23 10110 xxxx，则 2310 xxxx_ 【答案】2046 【解析】 【分析】 先根据已知条件利用等差数列求和求出x的值，再利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】由2310110 xxxx可得 1010 110 2 xx ，解得：2x， 所以 1010 231011 12 12 222046 112 xx xxxx x ， 故答案为：2046 【点睛】本题主要考查了等差数列求和和等比数列求和公式，属于中档题. 15. 若 1 sin 33 ，则 cos2 3 _ 【答案】 7 9
19、， 【解析】 【分析】 由二倍角公式可得 2 cos2 3 7 9 ，再由诱导公式即可得解. 【详解】因为 1 sin 33 ， 所以 2 2 cos2cos212sin 333 7 9 ， 所以 22 cos2cos2cos2 333 7 9 . 故答案为： 7 9 . 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 16. 定义在R上函数 ( )f x满足 1 1 2 f xf x，且当0,1x时， 121f xx .若当 x,m 时， 1 16 fx ，则m的最小值等于_ 【答案】 15 4 【解析】 【分析】 转化条件为在区间,1n nnZ上， 1
20、1 1221 22 nn f xxn ，作出函数的图象，数形结合 即可得解. 【详解】由题意，当1,2x时，故 11 1123 22 f xf xx， 当 2,3x 时，故 11 1125 24 f xf xx， 可得在区间,1n nnZ上， 11 1221 22 nn f xxn ， 所以当4n 时， 1 16 fx ， 作函数 yf x的图象，如图所示， 当 7 ,4 2 x 时，由 11 127 816 f xx得 15 4 x ， 由图象可知当 15 4 x 时， 1 16 fx ，所以m的最小值为15 4 故答案为：15 4 . 【点睛】本题考查了分段函数解析式求解及图象的应用，考查
21、了运算求解能力与数形结合思想，属于中 档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知等差数列 n a的公差0d ， 3 7a ，且 1 a， 2 a， 6 a成等比数列，数列 n b满足 1nnn bba (1)求 n a的通项公式； (2)求 n b前20项和 20 S 【答案】(1)32 n an；(2)280 【解析】 【分析】 (1)由等比数列性质及等差数列的通项公式可得 1 2 111 27 ()(5 ) ad ada ad ，即可得 1 1 3 a d ，再由等差
22、数列 的通项公式即可得解； (2)由题意 1 32 nn bbn ，结合并项求和法、等差数列的前 n 项和公式即可得解. 【详解】(1)因为等差数列 n a满足 3 7a ，且 1 a， 2 a， 6 a成等比数列， 所以 1 2 111 27 ()(5 ) ad ada ad ，因为0d ，所以 1 1 3 a d ， 所以 1 132 n aandn； (2)由(1)得 1 32 nn bbn ， 所以 2012341920 ()()()Sbbbbbb(3 12)(3 32)(3 192) 1 10 110 9 6 2 280 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了并项求和
23、法求数列前 n项和的应用，属于中 档题. 18. 设ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2ccosCacosB+bcosA (1)求角 C； (2)若ABC的面积为 3 3 2 ，且 a+b5，求 c 【答案】(1) 3 C ；(2) 7c . 【解析】 分析】 (1)根据正弦定理将已知条件中的边化为角，有2sincossincossincosCCABBA，再结合正弦的两 角和公式与AB C，可知2sincossinCCC，从而解得 1 cos 2 C ，再结合C的范围即可得解； (2)由 1 sin 2 ABC SabC 知， 3 313 222 ab，解出ab的值后，利
24、用平方和公式求出 22 ab，最后根 据余弦定理 222 2coscababC即可得解 【详解】(1)由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 因为2 coscoscoscCaB bA， 所以2sin cossincossincossin()sinCCABBAABC 因为sin0C ，所以 1 cos 2 C ， 因为(0, )C，所以 3 C (2)由 1 sin 2 ABC SabC知， 3 313 222 ab，所以6ab， 又5ab，所以 2222 ()252 613ababab ， 由余弦定理知， 222 1 2cos13267 2 cababC ， 所以 7c 【点睛
25、】本题主要考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及正弦的两角和公式，利用正 弦定理将边化角是解题的突破口，考查学生的逻辑推理能力和运算能力 19. 已知函数 32 f xxaxx在1x 处取得极小值 (1)求实数a的值，并求函数 ( )f x的单调区间； (2)求曲线 yf x在点1,1f处的切线与坐标轴围成的三角形的面积 【答案】(1)1a， ( )f x的单调递增区间是 1 , 3 ， 1,，单调递减区间是 1 ,1 3 ；(2) 9 8 . 【解析】 【分析】 (1)由极值的概念可得( )01 f ，即可得1a，求得( )0fx 、( )0fx 的解集即可得函数的单调区 间；
26、 (2)由导数几何意义可得切线方程，进而可得切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【详解】(1)由题意 2 ( )321fxxax， 因为函数 ( )f x在 1x 处 取得极小值，所以 ( )01 f 即3 210a ，解得1a， 经检验，1x 是函数 ( )f x的极小值点，所以 1a， 当1a时， 2 ( )321(31)(1)fxxxxx ， 由( )0fx 可得 1 3 x 或1x ，由( )0fx 可得 1 1 3 x； 所以 ( )f x的单调递增区间是 1 , 3 ， 1,，单调递减区间是 1 ,1 3 ； (2)由(1)知 32 ( )f xxxx， 2 ( )321fxxx，
27、则( 1)1f ，( 1)4f ， 所以曲线 yf x在点( 1, 1) 处的切线的斜率 ( 1)4k f ， 所以切线的方程为 141yx ，即4 30 xy ， 令0 x，可得 3y ；令0y 可得 3 4 x ； 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积 139 3 248 S . 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、单调性，考查了导数几何意义的应用及运算求解能力，属 于中档题. 20. ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知1a ，sincos()coscBBbC (1)求 BC 边上的高AD的长； (2)求tan A的最大值 【答案】(1)1； (2) 4 3 【解
28、析】 【分析】 (1)由条件结合正弦定理可得sinsinsinBCA，然后可得答案； (2)设BDx，CDy，则1xy，然后可得 11 tantan1 tantan() 1 1tantan11 1 BCxyxy ABC BCxyxy xy ，然后可利用基本不等式求出最值. 【详解】(1)由已知及正弦定理，得sinsinsincossincosBCCBBC 即sin sinsincossincossin()BCCBBCBC 因为BCA，所以sin()sinBCA，所以sinsinsinBCA 所以sinbCa 又因为1a ，所以sin1ADbC (2)设BDx，CDy，则1xy 当0 x，或0y
29、 时，tan1A 当0 xy 时， 1 tanB x ， 1 tanC y 此时 11 tantan1 tantan() 1 1tantan11 1 BCxyxy ABC BCxyxy xy 因为2xyxy，所以 1 4 xy 所以 114 1 13 1 4 xy ，当且仅当x y 时等号成立 所以当 1 2 xy时，tan A取得最大值 4 3 综上，tan A的最大值为 4 3 【点睛】本题考查了正弦定理、三角恒等变换以及利用基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于 中档题. 21. 在 1 (1)(1)(41) nn n anan ； 11 2(11) nnnn aaaa ； 1 8
30、4 nn aan (2n)三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解 问题：已知数列 n a中， 1 3a ，_ (1)求 n a； (2)若数列 1 n a 的前n项和为 n T，证明： 11 32 n T 【答案】(1) 2 41 n an；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)选：转化条件得 1 11 4 1 nn aa nn ，再由等差数列的性质可得 1 4 n a n n ，即可得解； 选：转化条件为 1 112 nn aa ，再由等差数列的性质可得12 n an ，即可得解； 选：由累加法可得当2n时， 2 41 n an，代入1n 即可得解； (2)由裂项相消法可得
31、11 242 n T n ，即可得证. 【详解】(1)选： 由 1 (1)(1)(41) nn n anan 可得 1 141 1 nn aan nn ， 即 1 11 4 1 nn aa nn ， 又 1 1 4 1 a ，所以 1 n a n 是首项为 4，公差为 4 的等差数列， 所以 1 4 n a n n ，所以 2 41 n an； 选： 由 11 2(11) nnnn aaaa ， 1 3a 可得 1 1 (1)(1) 2 11 nn nn aa aa ， 即 1 112 nn aa ， 又 1 12a ，所以 1 n a 是首项为 2，公差为 2 的等差数列， 所以12 n a
32、n ，所以 2 41 n an； 选： 由 1 84 nn aan (2n)可得： 当2n时， 112211 ()()() nnnnn aaaaaaaa (84)(812)123nn (84)12(1) 3 2 nn 2 41n， 当1n 时， 1 3a ，符合 2 41 n an， 所以当 * nN时， 2 41 n an； (2)证明：由(1)得 2 11111 412 2121 n annn ， 所以 1111111 213352121 n T nn 11 1 221n 11 242n ， 因为 1 0 42n ，所以 1 2 n T ， 又因为 11 242 n T n 随着n的增大而
33、增大，所以 1 1 3 n TT， 综上 11 32 n T 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解及裂项相消法求数列前 n 项和的应用，考查了运算求解能力，属 于中档题. 22. 已知函数 a yx x 有如下性质：如果常数0a，那么该函数在0, a 上是减函数，在,a 上 是增函数 (1)研究函数 2 2 c g xx x (常数 0c )在定义域内的单调性，并说明理由； (2)对函数 a yx x 和 2 2 a yx x (常数0a)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广 后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明 )，并求函数 2 2 11 nn F xxx xx (n是正整数
34、)在区间 1 ,2 2 上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) 【答案】 (1)函数 g x在 4 ,c ， 4 0, c 上是减函数， 在 4 ,0c ， 4 , c 上是增函数， 理由见解析； (2)答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)设 12 0 xx， 2222 2112 21 22 12 xxx xc g xg x x x ，由此入手可得函数在 4 , c 和 4 0, c 上的单调性， 再利用奇偶性可得整个定义域上的单调性; (2)可以把函数推广为 n n a yx x (常数0a)，其中 n 是正整数分 n 是奇数还是偶数，分别写出函数的 单调性，再变形 0212323 2
35、2323 1111 nnrnrnn nnnn nnnrn F xCxCxCxCx xxxx ，利用结论 可得其单调性，进而可得最值 【详解】(1)因为 2 2 c g xx x ，所以函数 g x的定义域为,00,. 设 12 0 xx， 2222 2112 2222 212121 222222 211212 1 xxx xc ccc g xg xxxxx xxx xx x . 当 4 12 cxx时， 21 g xg x， 函数 2 2 c g xx x 在 4 , c 上是增函数； 当 4 12 0 xxc时 21 g xg x, 函数 2 2 c g xx x 在 4 0, c 上是减函
36、数; 又 2 2 22 cc gxxxg x x x ， 所以函数 g x是偶函数， 于是，该函数在 4 ,c 上是减函数，在 4 ,0c 上是增函数， 综上所述：函数 g x在 4 ,c ， 4 0, c 上是减函数，在 4 ,0c ， 4 , c 上是增函数； (2)可以把函数推广为 n n a yx x (常数0a)，其中 n是正整数. 当 n是奇数时，函数 n n a yx x 在 2 0, n a 上是减函数，在 2 , n a 上是增函数，在 2 , n a 上是增 函数, 在 2 ,0 n a 上是减函数； 当 n是偶数时，函数 n n a yx x 在 2 0, n a 上是减函数，在 2 , n a 上是增函数，在 2 , n a 上是减 函数, 在 2 ,0 n a 上是增函数. 因为 2 2 11 nn F xxx xx 0212323 22323 1111 nnrnrnn nnnn nnnrn CxCxCxCx xxxx ， 所以 F x在 1 ,1 2 上是减函数，在 1,2上是增函数. 所以，当 1 2 x 或2x时， F x取得最大值 99 24 nn ；当1x 时 F x取得最小值 1 2n . 【点睛】本题考查函数单调性的综合运用，主要考查利用对勾函数，研究函数的单调性，并做推广，从而 研究函数的最值
