1、 第 1 页（共 19 页） 2021 年上海市松江区中考数学二模试卷年上海市松江区中考数学二模试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1 （4 分）下列二次根式中，最简二次根式是( ) A8 B6 C 1 2 D0.2 2 （4 分）将抛物线 2 (2)1yx向上平移 3 个单位，得到新抛物线的顶点坐标是( ) A(2,4)
2、B( 1,1) C(5,1) D(2, 2) 3 （4 分）关于x的一元二次方程 2 410kxx 有两个实数根，则k的取值范围是( ) A4k B4k C4k 且0k D4k且0k 4 （4 分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( ) A平均数 B众数 C方差 D频数 5 （4 分）已知三角形两边的长分别是 4 和 9，则此三角形第三边的长可以是( ) A4 B5 C10 D15 6 （4 分）已知O的半径OA长为 3，点B在线段OA上，且2OB ，如果B与O有公 共点，那么B的半径r的取值范围是( ) A1r B5r C15r D15r剟 二、填空题： （本大题共二、填空题： （
3、本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应分） 【请将结果直接填入答题纸的相应 位置上】位置上】 7 （4 分）计算： 1 3 8 8 （4 分）分解因式： 22 4ab 9 （4 分）方程231x 的解是 10 （4 分）数 0.00035 用科学记数法表示为 11 （4 分）用换元法解方程 12 3 1 xx xx 时，设 1x y x ，那么原方程化成关于y的整式 方程是 12 （4 分）已知反比例函数 2k y x 的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则k 的取值范围是 13 （4 分）布袋中装有 4 个红球和 5 个白球
4、，它们除颜色不同外其他都相同如果从布袋 第 2 页（共 19 页） 中随机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是 14 （4 分）一次数学测试后，某班 40 名学生按成绩分成 5 组，第 1、2、3、4 组的频数分 别为 13、10、6、7，则第 5 组的频率为 15 （4 分）如图，已知ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交 于点F设,ABa ADb，用, a b表示AF为 16 （4 分）已知正三角形ABC外接圆的半径为 2，那么正三角形ABC的面积为 17 （4 分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60，沿山坡向上走 200 米到达B处， 在B
5、处测得点P的仰角为15 已知山坡AB的坡度1:3i ， 且H、A、 B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为 米 （结果保留根号形式） 18 （4 分）如图，已知Rt ABC中，90ACB，6AC ，8BC 将ABC翻折，使点 C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果/ /DEBC，则 线段EF的长为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值： 265 (2) 22 x x xx ，其中 1 2 x 第 3 页（共 19 页） 20 （10 分）解方程组： 22 34 450 xy x
6、xyy 21 （10 分）如图，已知Rt ABC中，90ACB，cot2BAC，4BC ，以边AC上一 点O为圆心，OA为半径的O经过点B （1）求O的半径； （2）点P是劣弧AB的中点，求tanPAB的值 22 （10 分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时 轿车比货车多行驶了 90 千米设行驶的时间为t（小时） ，两车之间的距离为s（千米） ，图 中线段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的 信息回答下列问题： （1）求s关于t的函数关系式； （不必写出定义域） （2）求两车的速度 23 （12 分）如图，已知在直角梯形
7、ABCD中，/ /ADBC，90ABC，AEBD，垂足 为E，联结CE，作EFCE，交边AB于点F （1）求证：AEFBEC； （2）若ABBC，求证：AFAD 第 4 页（共 19 页） 24 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，直线33yx与x轴、y轴分别交于点A、B，抛 物线 2 5yaxbxa经过点A将点B向右平移 5 个单位长度，得到点C （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线的顶点在OBC的内部，求a的取值范围 25 （14 分） 如图， 已知在ABC中，BCAB，BD平分ABC， 交边AC于点D，E是BC 边上一点，且BEBA，过点A作/ /AGDE，分
8、别交BD、BC于点F、G，联结FE （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）求证： 2 ABBG BC； （3）若ABAC，BGCE，联结AE，求 ADE ABC S S 的值 第 5 页（共 19 页） 2021 年上海市松江区中考数学二模试卷年上海市松江区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在
9、答题纸的相应位置上】 1 （4 分）下列二次根式中，最简二次根式是( ) A8 B6 C 1 2 D0.2 【解答】解：A、82 2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、6不能化简，是最简二次根式，符合题意； C、 12 22 ，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； D、 5 0.2 5 ，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B 2 （4 分）将抛物线 2 (2)1yx向上平移 3 个单位，得到新抛物线的顶点坐标是( ) A(2,4) B( 1,1) C(5,1) D(2, 2) 【解答】解：将抛物线 2 (2)1yx向上平移 3 个单位，得 2 (2)1 3yx ，即 2
10、 (2)4yx， 顶点坐标为(2,4)， 故选：A 3 （4 分）关于x的一元二次方程 2 410kxx 有两个实数根，则k的取值范围是( ) A4k B4k C4k 且0k D4k且0k 【解答】解：方程有两个实数根， 根的判别式 2 41640back， 即4k，且0k 故选：D 4 （4 分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( ) A平均数 B众数 C方差 D频数 【解答】解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差， 第 6 页（共 19 页） 故选：C 5 （4 分）已知三角形两边的长分别是 4 和 9，则此三角形第三边的长可以是( ) A4 B5 C10 D15 【解答】解
11、：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得9393x，即612x 因此，本题的第三边应满足612x， 只有 10 符合不等式， 故选：C 6 （4 分）已知O的半径OA长为 3，点B在线段OA上，且2OB ，如果B与O有公 共点，那么B的半径r的取值范围是( ) A1r B5r C15r D15r剟 【解答】解：如图，当B内切于O时，B的半径为321， 当O内切于B时，B的半径为325， 如果B与O有公共点，那么B的半径r的取值范围是15r剟， 故选：D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应分
12、） 【请将结果直接填入答题纸的相应 位置上】位置上】 7 （4 分）计算： 1 3 8 2 【解答】解： 1 3 3 882 故答案为 2 8 （4 分）分解因式： 22 4ab (2 )(2 )ab ab 【解答】解： 22 4(2 )(2 )abab ab 故答案为：(2 )(2 )ab ab 第 7 页（共 19 页） 9 （4 分）方程231x 的解是 2x 【解答】解：231x ， 两边平方得，231x ， 解得，2x ； 经检验，2x 是方程的根； 故答案为2x 10 （4 分）数 0.00035 用科学记数法表示为 4 3.5 10 【解答】解：数 0.00035 用科学记数法表
13、示为 4 3.5 10 故答案为： 4 3.5 10 11 （4 分）用换元法解方程 12 3 1 xx xx 时，设 1x y x ，那么原方程化成关于y的整式 方程是 2 320yy 【解答】解：设 1x y x ，则 1 1 x xy 所以原方程可变形为： 2 3y y 方程的两边都乘以y，得 2 23yy 即 2 320yy 故答案为： 2 320yy 12 （4 分）已知反比例函数 2k y x 的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则k 的取值范围是 2k 【解答】解：反比例函数 2k y x 的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小， 20k， 解得2k 故答案为2k 1
14、3 （4 分）布袋中装有 4 个红球和 5 个白球，它们除颜色不同外其他都相同如果从布袋 中随机摸出一个球，那么摸到的球恰好为红球的概率是 4 9 【解答】解：一个布袋里装有 4 个红球和 5 个白球， 第 8 页（共 19 页） 摸出一个球摸到红球的概率为： 44 459 故答案为： 4 9 14 （4 分）一次数学测试后，某班 40 名学生按成绩分成 5 组，第 1、2、3、4 组的频数分 别为 13、10、6、7，则第 5 组的频率为 0.1 【解答】解：第 5 组的频数为：401310674， 第 5 组的频率为： 4 0.1 40 ， 故答案为：0.1 15 （4 分）如图，已知AB
15、CD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交 于点F设,ABa ADb，用, a b表示AF为 2ab 【解答】解：在ABCD中，/ /CDAC，则/ /CEAB E是边CD的中点， CE是ABF的中位线， BCCF 在四边形ABCD中，ADBC，ADb，则222BFBCADb ABa， 2AFABBFab 故答案是：2ab 16 （4 分）已知正三角形ABC外接圆的半径为 2，那么正三角形ABC的面积为 3 3 【解答】解：如图所示： 连接OA、OB、OC，过O作ODBC于D， 正三角形ABC外接圆的半径为 2， 2OAOBOC，60ABC， 30OBD， 第 9 页（共 19
16、页） ODBC， 90ODB， 11 21 22 ODOB， 33BDOD， 22 3BCBD， 1111 ()2 3(21)2 333 3 2222 ABC SBCADBCAOOD ， 故答案为：3 3 17 （4 分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔塔尖点P的仰角为60，沿山坡向上走 200 米到达B处， 在B处测得点P的仰角为15 已知山坡AB的坡度1:3i ， 且H、A、 B、P在同一平面内，那么电视塔的高度PH为 100 3 米 （结果保留根号形式） 【解答】解：过B作BMHA于M，过B作/ /BNAM，如图所示： 则90AMB，ABNBAM ， 由题意得：200AB 米，15PB
17、N，60PAH， 山坡AB的坡度1:3i ， 3 tan1: 3 3 BAM， 30BAM， 30ABN， 18090PABPAHBAM，45ABPABNPBN ， PAB是等腰直角三角形， 第 10 页（共 19 页） 200PAAB米， 在Rt PAH中， 3 sinsin60 2 PH PAH PA ， 3 100 3 2 PHPA（米)， 故答案为：100 3 18 （4 分）如图，已知Rt ABC中，90ACB，6AC ，8BC 将ABC翻折，使点 C落在AB边上的点D处，折痕EF交边AC于点E，交边BC于点F，如果/ /DEBC，则 线段EF的长为 24 2 7 【解答】解：如图，
18、由折叠可知，ECED，FCFD，CEFDEF ，EF是CD的垂 直平分线， / /DEBC，90ACB， 90AEDACB ， 45CEFDEF ， 90CEDECFEDF 四边形CEDF是正方形， 设CFx，则6AEx，8BFx， 由AEDDFB得， AEED DFFB ， 即， 6 8 xx xx ， 第 11 页（共 19 页） 解得， 24 7 x ， 在Rt CEF中， 24 2 2 7 EFCF， 故答案为： 24 2 7 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）先化简，再求值： 265 (2) 22 x x xx
19、，其中 1 2 x 【解答】解： 265 (2) 22 x x xx 2(3)(2)(2)5 22 xxx xx 2 2(3)2 245 xx xx 2(3) (3)(3) x xx 2 3x ， 当 1 2 x 时，原式 24 1 5 3 2 20 （10 分）解方程组： 22 34 450 xy xxyy 【解答】解：由，得(5 )()0 xy xy， 所以50 xy或0 xy 由、组成新的方程组为： 34 50 xy xy ， 34 0 xy xy 解这两个方程组， 第 12 页（共 19 页） 得 1 1 10 2 x y ， 2 2 1 1 x y 所以原方程组的解为； 1 1 10
20、 2 x y ， 2 2 1 1 x y 21 （10 分）如图，已知Rt ABC中，90ACB，cot2BAC，4BC ，以边AC上一 点O为圆心，OA为半径的O经过点B （1）求O的半径； （2）点P是劣弧AB的中点，求tanPAB的值 【解答】解： （1）如图 1，连接OB， 在Rt ACB中，90C，cot2BAC，4BC ， 2 AC BC ， 2 4 AC ， 8AC， 设O的半径为r，则OBr，8ocr， 在Rt OCB中，由勾股定理得： 222 OBOCBC， 222 (8)4rr， 解得：5r ， 第 13 页（共 19 页） O的半径为 5； （2）如图 2，连接OP，OB
21、，OP交AB于E， Rt OCB中，由勾股定理得：3OC ， Rt ACB中， 2222 844 5ABACBC， 点P是劣弧AB的中点， OPAB， 2 5AEBE， 2222 5(2 5)5OEOAAE， 55EPOPOE， Rt AEP中， 555 5551 tan 1022 5 PE PAB AE 22 （10 分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车相遇时 轿车比货车多行驶了 90 千米设行驶的时间为t（小时） ，两车之间的距离为s（千米） ，图 中线段AB表示从两车发车至两车相遇这一过程中s与t之间的函数关系，根据图象提供的 信息回答下列问题： （1）求s
22、关于t的函数关系式； （不必写出定义域） （2）求两车的速度 第 14 页（共 19 页） 【解答】解： （1）设s关于t的函数关系式为sktb，根据题意，得： 2150 30 kb kb ， 解得 150 450 k b ， 150450st ； （2）由150450st ，可知甲、乙两地之间的距离为 450 千米， 设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为 1 v千米/小时， 2 v千米/小时，根据题意， 得： 12 12 33450 3390 vv vv ， 解得 1 2 90 60 v v ， 故轿车和货车速度分别为 90 千米/小时，60 千米/小时 23 （12 分）如图，已知在直角
23、梯形ABCD中，/ /ADBC，90ABC，AEBD，垂足 为E，联结CE，作EFCE，交边AB于点F （1）求证：AEFBEC； （2）若ABBC，求证：AFAD 【解答】解： （1）证明：AEBD，EFCE， 第 15 页（共 19 页） 90AEBCEFABC ， 90ABEEAFABECBE ， EAFCBE ， 90AEFBEFBECBEF ， AEFBEC ， AEFBEC； （2）证明：/ /ADBC，90ABC， 18090BADABC， AEBD， 90AEBBAD ， ABEDBA， ABEDBA， AEAD BEAB ， AEFBEC， AEAF BEBC ， AFAD
24、BCAB ， ABBC， AFAD 24 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，直线33yx与x轴、y轴分别交于点A、B，抛 物线 2 5yaxbxa经过点A将点B向右平移 5 个单位长度，得到点C （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线的顶点在OBC的内部，求a的取值范围 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）在33yx中，令0 x 得3y ，令0y 得1x ， ( 1,0)A，(0,3)B， 点B向右平移 5 个单位长度，得到点C (5,3)C； （2）( 1,0)A ，抛物线 2 5yaxbxa经过点A， 05aba，即4ba ， 抛物线 2 5yax
25、bxa对称轴为 4 2 22 ba x aa ； （3）对称轴2x 与BC交于D，与OC交于E，如图： 设OC解析式为ykx， (5,3)， 35k ， 3 5 k， OC解析式为 3 5 yx， 第 17 页（共 19 页） 令2x 得 6 5 y ，即 6 (2, ) 5 E， 由（1）知4ba ， 抛物线为 2 45yaxaxa， 顶点坐标为(2, 9 )a， 抛物线的顶点在OBC的内部，则顶点在D和E之间， 而(2,3)D， 6 93 5 a ， 12 315 a 25 （14 分） 如图， 已知在ABC中，BCAB，BD平分ABC， 交边AC于点D，E是BC 边上一点，且BEBA，过
26、点A作/ /AGDE，分别交BD、BC于点F、G，联结FE （1）求证：四边形AFED是菱形； （2）求证： 2 ABBG BC； （3）若ABAC，BGCE，联结AE，求 ADE ABC S S 的值 【解答】解： （1）证明：如图， BD平分ABC， ABFEBF， BABE，BFBF， ()ABFEBF SAS ， AFEF， 同理可得()ABDEBD SAS ， ADED，ADBEDB， / /AGDE， AFDEDF， 第 18 页（共 19 页） AFDADF， AFAD， AFFEEDDA， 四边形AFED是菱形 （2）证明：由（1）得ABFEBF ， BAGBEF ， 四边形A
27、FED是菱形， / /ADFE， BEFC ， BAGC ， ABGCBA ， ABGCBA， ABBG BCAB ，即 2 ABBG BC （3）由（2）得，ABGCBA，ABAC， AGBG， GABGBA ， 2AGCGAB ， BGCE， BECG， CGCA， CAGCGA ， 2CAGDAE ， DAEABC ， DEAACB ， DAEABC， 2 () ADE ABC SAE SBC ， 2 ABBG BC，ABBE，BGEC， 2 BEEC BC， 点E是BC的黄金分割点， 第 19 页（共 19 页） 51 2 BE BC ， 35 2 CE BC ， EACC ， CEAE， 35 2 AE BC ， 73 5 2 ADE ABC S S
