1、 第 1 页（共 24 页） 2021 年上海市虹口区中考数学二模试卷年上海市虹口区中考数学二模试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）下列各题的四个选项中，有且只有分）下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。 1 （4 分）下列各数中，2 的相反数是( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 2 （4 分）当0 x 时，下列运算正确的是( ) A 426 xxx B 422 xxx C 428 xxx D 4
2、22 xxx 3 （4 分）如果将抛物线 2 2yx向左平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是( ) A 2 2(1)yx B 2 2(1)yx C 2 21yx D 2 21yx 4 （4 分）某校足球队 16 名队员的年龄情况如表，这些队员年龄的中位数和众数分别是( ) 年龄 （岁) 14 15 16 17 人数 3 5 3 3 A15，15 B15.5，15 C15.5，16 D16，16 5 （4 分）如图，在ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G， 设ABa，AEb，那么向量BG用向量a、b表示为( ) A 22 33 ab B 22 33 ab C 1
3、1 22 ab D 11 22 ab 6 （4 分）在四边形ABCD中，/ /ADBC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的 是( ) AADBC且ACBD BADBC且AB CABCD且 AC DABCD且AB 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分）请将结果直接填入答题纸的相应位请将结果直接填入答题纸的相应位 第 2 页（共 24 页） 置置 7 （4 分）计算： 2 (3 )a 8 （4 分）分解因式： 2 4xx 9 （4 分）方程33x的解是 10 （4 分）不等式组 10 23 x xx 的解集是 11（4
4、 分） 关于x的方程 2 20 xxk有两个不相等的实数根， 则实数k的取值范围 12 （4 分）已知点 1 (1,)Ay、点 2 (2,)By在抛物线 2 2yax上，且 12 yy，那么a的取值范 围是 13 （4 分）一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有 4 个，小球除颜色不同外其它 都相同如果要设计一个游戏，从盒中任意摸出一个球，使得摸出红球的概率是 0.2，那么 n 14 （4 分）为了解学生们零用钱的使用情况，某校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学 生进行调查，并将这部分学生平均每月使用零用钱的金额绘制成了频率分布直方图（如 图） 请估计该校学生中平均每月使用零用
5、钱的金额小于 200 元的约有 名 15 （4 分）如果正六边形的半径是 1，那么它的边心距是 16 （4 分）如图，在Rt ABC中，90C，9AB ，6BC ，/ /DEBC，且2CDAD， 以点C为圆心，r为半径作C如果C与线段BE有两个交点，那么C的半径r的取值 范围是 第 3 页（共 24 页） 17 （4 分）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这 个四边形为“等腰四边形” ，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线” 如果凸四边形 ABCD是“等腰四边形” ，对角线BD是该四边形的“等腰线” ，其中90ABC， ABBCCDAD，那么BAD的度数为 1
6、8 （4 分）如图，正方形ABCD的边长为 4，点M在边DC上，将BCM沿直线BM翻折， 使得点C落在同一平面内的点C处，联结DC并延长交正方形ABCD一边于点N当 BNDM时，CM的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： 01 42 |12 | ( 3)() 231 20 （10 分）解方程： 2 61 1 93xx 21 （10 分）如图，在ABC中，45ACB， 3 cot 2 B ，10BC （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求DCB的正切值 第 4 页（共 24 页） 22 （10 分） 一辆汽
7、车从甲地出发前往相距 350 千米的乙地， 在行驶了 100 千米后， 因降雨， 汽车每行驶 1 千米的耗油量比降雨前多 0.02 升如图中的折线ABC反映了该汽车行驶过程 中，油箱中剩余的油量y（升)与行驶的路程x（千米）之间的函数关系 （1）当0100 x剟时，求y关于x的函数解析式（不需要写出定义域） ； （2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量 23 （12 分）如图， 在ABCD中， 点G是边BC延长线上一点，联结AG分别交BD和CD于 点E和F，联结DG （1）求证： 2 AEEF EG； （2）如果ABDAGD ，求证：四边形ABGD是等腰梯形 24（12 分） 如图， 在平面
8、直角坐标系xOy中， 直线 3 : 4 l yxb与x轴、y轴分别交于点A、 B，与双曲线: k Hy x 交于点 9 (2, ) 2 P，直线xm分别与直线l和双曲线H交于点E、D （1）求k和b的值； （2）当点E在线段AB上时，如果EDBO，求m的值； （3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标 第 5 页（共 24 页） 25 （14 分）在Rt ABC中，90ABC， 3 tan 4 A ，5AC ，点M是射线AB上一点， 以MC为半径的M交直线AC于点D （1）如图，当MCAC时，求CD的长； （2）当点D在线段AC的延长线上时，设BMx，四边形CBMD的面积为
9、y，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且ECD与EMC相似，求线段BM的长 第 6 页（共 24 页） 2021 年上海市虹口区中考数学二模试卷年上海市虹口区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）下列各题的四个选项中，有且只分）下列各题的四个选项中，有且只有有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。 1 （4 分）下列各数中，2 的相反数
10、是( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 【解答】解：2 的相反数是：2 故选：B 2 （4 分）当0 x 时，下列运算正确的是( ) A 426 xxx B 422 xxx C 428 xxx D 422 xxx 【解答】解： 4 x与 2 x不是同类项，不能加减，故选项A、B计算错误； 4268 xxxx，故选项C计算错误； 422 xxx，故选项D计算正确 故选：D 3 （4 分）如果将抛物线 2 2yx向左平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是( ) A 2 2(1)yx B 2 2(1)yx C 2 21yx D 2 21yx 【解答】 解： 抛物线 2 2yx向左平移 1
11、 个单位后， 所得新抛物线的表达式为 2 2(1)yx， 故选：A 4 （4 分）某校足球队 16 名队员的年龄情况如表，这些队员年龄的中位数和众数分别是( ) 年龄 （岁) 14 15 16 17 人数 3 5 3 3 A15，15 B15.5，15 C15.5，16 D16，16 【解答】解：这组数据的众数为 15 岁，中位数为15 16 15.5 2 （岁)， 故选：B 5 （4 分）如图，在ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G， 设ABa，AEb，那么向量BG用向量a、b表示为( ) 第 7 页（共 24 页） A 22 33 ab B 22 33 ab C
12、11 22 ab D 11 22 ab 【解答】解：ABa，AEb， BEBAAEab ， AD，BE是ABC的中线， G是ABC的重心， 2 3 BGBE， 22 33 BGab ， 故选：A 6 （4 分）在四边形ABCD中，/ /ADBC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的 是( ) AADBC且ACBD BADBC且AB CABCD且 AC DABCD且AB 【解答】解：A、/ /ADBC，ADBC， 四边形ABCD是平行四边形， ACBD， 平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、/ /ADBC，ADBC， 四边形ABCD是平行四边形，180AB ， AB ， 9
13、0AB ， 平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、/ /ADBC， 180ABCD ， 第 8 页（共 24 页） AC ， BD， 四边形ABCD是平行四边形，ABCD，故选项C符合题意； D、/ /ADBC， 180AB ， AB ， 90AB ， ABAD，ABBC，AB的长为AD、BC间的距离， 又ABCD， CDAD， 90ADC， 四边形ABCD是矩形， 选项D不符合题意； 故选：C 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分）请将结果直接填入答题纸的相应位请将结果直接填入答题纸的相应位 置置 7 （4
14、 分）计算： 2 (3 )a 2 9a 【解答】解： 22 (3 )9aa 故答案为： 2 9a 8 （4 分）分解因式： 2 4xx (4)x x 【解答】解： 2 4(4)xxx x 故答案为：(4)x x 9 （4 分）方程33x的解是 6 【解答】解：由原方程的两边平方，得 39x ， 移项，得 6x； 故答案是：6 第 9 页（共 24 页） 10 （4 分）不等式组 10 23 x xx 的解集是 31x 【解答】解： 10 23 x xx ， 解不等式得：1x ， 解不等式得：3x ， 所以不等式组的解集是31x 故答案为：31x 11 （4 分）关于x的方程 2 20 xxk有
15、两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 1k 【解答】解：1a ，2b ，ck， 22 4( 2)4 1440backk ， 解得：1k 12 （4 分）已知点 1 (1,)Ay、点 2 (2,)By在抛物线 2 2yax上，且 12 yy，那么a的取值范 围是 0a 【解答】解：由已知抛物线为 2 2yax， 对称轴为0 x ， 12 xx， 要使 12 yy，则在0 x 时，y随x的增大而增大， 0a， 故a的取值范围是：0a 13 （4 分）一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有 4 个，小球除颜色不同外其它 都相同 如果要设计一个游戏， 从盒中任意摸出一个球， 使得摸出红球的概率是
16、 0.2， 那么n 20 【解答】解：一个不透明的盒子中装有n个小球，其中红球有 4 个，从盒中任意摸出一个 球，使得摸出红球的概率是 0.2， 4 0.2 n ， 解得：20n 第 10 页（共 24 页） 故答案为：20 14 （4 分）为了解学生们零用钱的使用情况，某校从全校 800 名学生中随机抽取了 40 名学 生进行调查，并将这部分学生平均每月使用零用钱的金额绘制成了频率分布直方图（如 图） 请估计该校学生中平均每月使用零用钱的金额小于 200 元的约有 240 名 【解答】解：由直方图可得， 该校学生中平均每月使用零用钱的金额小于 200 元的约有：800 (0.10.2)240
17、（名)， 故答案为：240 15 （4 分）如果正六边形的半径是 1，那么它的边心距是 3 2 【解答】解：ABCDDEF为正六边形， 360660BOC，OGBC 1 30 2 BOGBOC 在Rt BOG中，cos OG BOG OB 1OB ， 33 cos1 22 OGOBBOG 故答案为： 3 2 16 （4 分）如图，在Rt ABC中，90C，9AB ，6BC ，/ /DEBC，且2CDAD， 以点C为圆心，r为半径作C如果C与线段BE有两个交点，那么C的半径r的取值 第 11 页（共 24 页） 范围是 2 52 6r 【解答】解：连接CE，过C作CFAB于F / /DEBC，
18、ADAEDE ACABBC 2CDAD， 1 3 ADAEDE ACABBC 9AB ，6BC ， 1 2 3 DEBC， 1 3 3 AEAB 2222 963 5ACABBC， 2CDAD， 2 5CD 2222 (2 5)22 6CECDDE 90ACB， 90BCFACF CFAB， 90CAFACF BCFFAC 90BFCEDA ， BFCADE 第 12 页（共 24 页） BCAE CFAD 63 5CF 2 5CF 当2 5r 时，C与线段BE相切 C与线段BE有两个交点， 2 52 6r 故答案为：2 52 6r 17 （4 分）当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两
19、个等腰三角形时，我们称这 个四边形为“等腰四边形” ，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线” 如果凸四边形 ABCD是“等腰四边形” ，对角线BD是该四边形的“等腰线” ，其中90ABC， ABBCCDAD，那么BAD的度数为 75 【解答】解：凸四边形ABCD是“等腰四边形” ，对角线BD是该四边形的“等腰线” ， CBD和ABD为等腰三角形 由于ABAD，在ABD中分两种情形：ABBD，ADBD 当ABBD时，如下图： ABBCCD，ABBD BCCDBD BDC为等边三角形 第 13 页（共 24 页） 60DBC 90ABC， 30ABD ABBD， 18030 75 2 BADBD
20、A 当ADBD时，如下图， 过点D作DEAB，过点D作DFCB，交CB延长线于点F， ADBD，DEAB， 1 2 BEAB DEAB，DFCB，90ABC， 四边形EBFD为矩形 1 2 DFBEAB ABCD， 1 2 DFCD 在Rt DCF中， 1 sin 2 DF DCF CD ， 30DCF BCCD， 15 2 DCF DBCBDC 90ABC， 75ABD ADBD， 75BADABD 综上，75BAD 故答案为：75 第 14 页（共 24 页） 18 （4 分）如图，正方形ABCD的边长为 4，点M在边DC上，将BCM沿直线BM翻折， 使得点C落在同一平面内的点C处，联结D
21、C并延长交正方形ABCD一边于点N当 BNDM时，CM的长为 2 或84 3 【解答】解：如图 1 中，当BNDM时，连接CC交BM于J BNDM，/ /BNDM， 四边形BNDM是平行四边形， / /BMDN， CJJC， 1 2 2 CMDMCD 如图 2 中，当BNDM时，过点C作C TCD于T CBCD，BNDM， CNCMMC， 第 15 页（共 24 页） 在BCM和DCN中， CBCD BCMDCN CMCN ， ()BCMDCN SAS ， CDNCBM ， 90CBMBCC ，90BCCC CD ， CBMC CD ， C CDDCN ， C DC C ， C TCD， 2D
22、TTC， / /C TCN， DCC N ， 1 2 C TCN ， 设C Tx，则2CNCMMCx ，3TMx， 232xx， 42 3x， 84 3CM， 综上所述，CM的值为 2 或84 3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： 01 42 |12 | ( 3)() 231 【解答】解：原式 4( 31)1 21 1 ( 31)( 31)2 () 2 21 12 322 2 3 第 16 页（共 24 页） 20 （10 分）解方程： 2 61 1 93xx 【解答】解：去分母得： 2 693xx， 整理得： 2 60
23、xx，即(3)(2)0 xx， 解得：3x 或2x ， 检验：把3x 代入得：(3)(3)0 xx， 把2x 代入得：(3)(3)50 xx ， 则3x 是增根，分式方程的解为2x 21 （10 分）如图，在ABC中，45ACB， 3 cot 2 B ，10BC （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求DCB的正切值 【解答】解： （1）过A作AEBC于E，作DFBC于F， 45BCA， 在Rt AEC中，AEEC， 3 cot 2 B ， 在Rt BEA中， 3 2 BE AE ， 设3BEx，2AEx， 10BCBEECBEAE， 2x， 6BE，4EAEC， 第 17 页（
24、共 24 页） 由勾股定理得： 222 AEBEAB 即 2 361652AB 522 13AB （2）由（1）知2 13AB ， 又D为AB的中点， 13BDAD， DFBC，AEBC， / /DFAE， BDAD， 1 3 2 BFFEBE 1 2 2 DFAE， 347FCFEEC 2 tan 7 DCB 22 （10 分） 一辆汽车从甲地出发前往相距 350 千米的乙地， 在行驶了 100 千米后， 因降雨， 汽车每行驶 1 千米的耗油量比降雨前多 0.02 升如图中的折线ABC反映了该汽车行驶过程 中，油箱中剩余的油量y（升)与行驶的路程x（千米）之间的函数关系 （1）当0100 x
25、剟时，求y关于x的函数解析式（不需要写出定义域） ； （2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量 【解答】解： （1）设当0100 x剟时，y关于x的函数解析式为ykxb，根据题意， 得： 50 10040 b kb ， 第 18 页（共 24 页） 解得 1 10 50 k b ， 1 50 10 yx ； （2）由题意可知，前 100 千米耗氧量为 10 升， 后 250 千米的耗氧量为：250 (0.10.02)30（升)， 油箱中的剩余油量为：50103010（升) 23 （12 分）如图， 在ABCD中， 点G是边BC延长线上一点，联结AG分别交BD和CD于 点E和F，联结DG （1
26、）求证： 2 AEEF EG； （2）如果ABDAGD ，求证：四边形ABGD是等腰梯形 【解答】证明： （1）四边形ABCD是平行四边形， / /ABCD，/ /ADBC ABEFDE AEBE EFDE ADEGBE BEEG DEAE AEEG EFAE 2 AEEF EG （2）/ /ABCD， ABDCDB ABDAGD ， CDBAGD DEFGED ， 第 19 页（共 24 页） DEFGED DEEG EFDE 2 DEEF EG 由（1）知： 2 AEEF EG DEAE 在ABE和DEG中， AEBDEG ABEAGD AEDE ()ABEDEG AAS ABDG / /
27、ADBG， 四边形ABGD是等腰梯形 24（12 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 直线 3 : 4 l yxb与x轴、y轴分别交于点A、 B，与双曲线: k Hy x 交于点 9 (2, ) 2 P，直线xm分别与直线l和双曲线H交于点E、D （1）求k和b的值； （2）当点E在线段AB上时，如果EDBO，求m的值； （3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标 【解答】解： （1）把点 9 (2, ) 2 P代入 k y x ，得： 9 22 k ， 解得：9k ； 把点 9 (2, ) 2 P代入 3 4 yxb，得： 39 22 b， 解得：3b ； 第 20
28、 页（共 24 页） （2）在直线 3 3 4 yx中，令0 x ，得：3y ， (0,3)B， 3OB， 令0y ，得： 3 30 4 x ， 解得：4x ， ( 4,0)A， 直线xm分别与直线 3 3 4 yx和双曲线 9 y x 交于点E、D 3 ( ,3) 4 E mm， 9 ( ,)D m m ， 点E在线段AB上， 40m 剟， 39 3 4 EDm m ， EDBO， 39 33 4 m m ， 解得： 1 2 3m ， 2 2 3m ， 经检验， 1 2 3m ， 2 2 3m 都是原方程的解，但40m 剟， 2 3m ； （3）如图，过点E作EFy轴于点F， (0,3)B，
29、 3 ( ,3) 4 E mm ， 9 ( ,)D m m ， 3 (0,3) 4 Fm， 222222 325 3(3) 416 BEBFEFmmm， 5 | 4 BEm， 又有 39 |3| 4 DEm m ， 四边形BCDE是菱形， BEDEBC， 第 21 页（共 24 页） 539 | |3| 44 mm m ， 解得： 1 3m ， 2 3 2 m ， 当 1 3m 时，( 3, 3)D ， 3 ( 3, ) 4 E ， 315 ( 3) 44 DE ， 15 4 BC， 3 (0,) 4 C； 当 2 3 2 m 时， 3 ( 2 D，6)， 3 (2E， 33) 8 ， 331
30、5 6 88 DE， 15 8 BC， 39 (0,) 8 C； 综上所述，点C的坐标为 3 (0,) 4 或 39 (0,) 8 25 （14 分）在Rt ABC中，90ABC， 3 tan 4 A ，5AC ，点M是射线AB上一点， 以MC为半径的M交直线AC于点D （1）如图，当MCAC时，求CD的长； （2）当点D在线段AC的延长线上时，设BMx，四边形CBMD的面积为y，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且ECD与EMC相似，求线段BM的长 第 22 页（共 24 页） 【解答】解：在Rt ABC中， 3 tan 4 A ，5AC
31、，设A， 则3BC ，4ABBM， 3 sinsin 5 A， 4 coscos 5 A， （1）如图 1，5MCMA， 过点M作MNCD于点N， MCMD，则 1 2 CNCD， 在Rt AMN中， 324 sin(44) 55 MNAMA， 则 2222 2414 222 5() 55 CDCNMCMN； （2）如图 1，设2CDm，则 2222 9CMBCMBx， 则 22222 9MNCMmxm， 在Rt AMN中， 222 ANMNAM， 即 2222 (5)9(4)mxmx ，解得 1 (49) 5 mx， 则 22 13 9(49)(4) 255 MNxxx； 则 2 113 (
32、83972) 2250 SCD MNAM BCxx； 第 23 页（共 24 页） 1 (49)0 5 mx， 9 4 x； （3）当点M在点B的右侧时， 如图 2，过点M作MNCD于点N，过点P作PDCM于点P， 设圆的半径为r， ECD与EMC相似，则ECDEMCACB ， 在Rt DPM中， 4 sinsin 5 DPDMEMCrr， 3 cos 5 MPrr， 则 32 55 CPrMPrrr， 22 2 5 2 5 CDDPCPrCN， 22 2 5 5 MNrCNr， 2 5 5 tan 5 5 5 r MN A AN r ，解得3 5r ， 则 2222 (3 5)36BMrBC； 当点M在BC的左侧时， 如图 3，过点M作MNCD于点N，过点P作PDCM于点P， 第 24 页（共 24 页） 设圆的半径为r， ECD与EMC相似，则ECDEMCACB ， 在Rt DPM中， 4 sinsin 5 DPDMEMCrr， 3 cos 5 MPrr， 则 38 55 CPrMPrrr， 22 4 5 2 5 CDDPCPrCN， 22 5 5 MNrCNr， 5 3 5 tan 42 5 2 5 r MN CAB AN r ， 解得 3 5 2 r ， 则 22 3 2 BMrBC； 综上，MB为 6 或 3 2
