1、 第 1 页（共 22 页） 2021 年上海市青浦区中考数学二模试卷年上海市青浦区中考数学二模试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）每小题只有一个正确选项，在答题每小题只有一个正确选项，在答题 纸相应题号的选项上用纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂铅笔正确填涂 1 （4 分）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是( ) A4 B8 C12 D20 2 （4 分）如果ab，m为非零实数，那么下列结论一定成立的是( ) Aambm Bmamb Cambm D ab mm 3 （4 分）下列对反比例函数 3 y x
2、的图象的描述，正确的是( ) A与坐标轴有交点 B有两支，分别在第二、四象限 C经过点(1,3) D函数值y随x的值增大而减小 4 （4 分）某校为了解学生在“慈善募捐”活动中的捐款情况，进行了抽样调查，结果如表 所示 捐款金额 （元) 5 10 20 50 100 200 人数 8 10 12 13 5 2 那么该样本中学生捐款金额的中位数和众数分别是( ) A20 元，50 元 B35 元，50 元 C50 元，50 元 D20 元，20 元 5 （4 分）如果一个正多边形的每一个外角都是45，那么这个正多边形的内角和为( ) A360 B720 C1080 D1440 6 （4 分）下列
3、命题中，真命题是( ) A一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 C一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 D一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【在答题纸相应题号后的空格内直分） 【在答题纸相应题号后的空格内直 接填写答案】接填写答案】 7 （4 分）计算： 3 2 ( 3)a 第 2 页（共 22 页） 8 （4 分）在实数范围内分解因式： 22 4yx 9 （4 分）方程213x 的解是 10 （4
4、分）如果关于x的方程 2 30 xxk有两个不相等的实数根，那么k的取值范围 是 11 （4 分）从 1 3 ，3.101001，5这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概 率是 12 （4 分）如果将抛物线 2 yx 向下平移，使其经过点(0, 2)，那么所得新抛物线的表达 式是 13 （4 分）为了解某区 2400 名初中教师中接种新冠疫苗的教师人数，随机调查了其中 200 名教师， 结果有 150 人接种了疫苗， 那么估计该区接种新冠疫苗的初中教师人数约有 人 14 （4 分）某传送带与地面所成斜坡的坡度1:2.4i ，如果它把物体从地面送到离地面 6 米高的地方，那么物体所经过的
5、路程为 米 15 （4 分）如图，点G是ABC的重心，设ABa，BGb，那么向量DC用向量a、b表 示为 16 （4 分） 如图， 在半径为 2 的O中， 弦AB与弦CD相交于点M， 如果2 3ABCD， 120AMC，那么OM的长为 17 （4 分）在ABC中，90C，3AC ，将ABC绕着点A旋转，点C恰好落在AB的 第 3 页（共 22 页） 中点上，设点B旋转后的对应点为点D，则CD的长为 18 （4 分）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，4ABcm，8ADcmQ为直线BC 上一动点，如果以5cm为半径的Q与矩形ABCD的各边有 4 个公共点，那么线段OQ长的 取值范围是 三、解
6、答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分）将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位 置上置上 19 （10 分）计算： 2 2 3 11 27|32|( ) 325 20 （10 分）解方程组： 22 319 560 xy xxyy 21 （10 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，3AC ， 1 sin 3 ABC，D是边AB上 一点，且CDCA，BECD，垂足为点E （1）求AD的长； （2）求EBC的正切值 22 （10 分）某校九年级学生从学校乘车前往郊野公园春游，1 号车于上午 8 点出发，2 号 车晚
7、 10 分钟出发，设 1 号车的行驶时间为x分钟，行驶的路程为 1 y千米，2 号车的行驶路 程为 2 y千米， 1 y、 2 y关于x的部分函数图象如图所示 （1）求 2 y关于x的函数解析式； （2）如果 2 号车与 1 号车同时到达郊野公园的停车场，求汽车从学校到郊野公园停车场行 驶的路程 第 4 页（共 22 页） 23 （12 分）已知：如图，在正方形ABCD中，联结BD，E是边AB上一点，BFDE， 垂足为点F，且EF BDBE BF （1）求证：ADEBDE； （2）延长DF与CB的延长线交于点G，求证：BGBCAE 24 （12 分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
8、 2 3yaxbx的图象与x轴 交于点( 1,0)A 和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线1x ，顶点是点D （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当 5 tan() 2 PBOPEO时，求OE 的长 第 5 页（共 22 页） 25 （14 分）已知：在半径为 2 的扇形AOB中，(0180)AOBmm，点C是AB上的 一个动点，直线AC与直线OB相交于点D （1） 如图 1， 当09 0m，BCD是等腰三角形时， 求D的大小 （用含m的代数式表示） ； （2
9、）如图 2，当90m 点C是AB的中点时，联结AB，求 ABD ABC S S 的值； （3） 将AC沿AC所在的直线折叠， 当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E， 且1OE 时，求线段AD的长 第 6 页（共 22 页） 2021 年上海市青浦区中考数学二模试卷年上海市青浦区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）每小题只有一个正确选项，在答题每小题只有一个正确选项，在答题 纸相应题号的选项上用纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂铅笔正确填涂 1 （4 分）下列
10、二次根式中，与2是同类二次根式的是( ) A4 B8 C12 D20 【解答】解：因为42，82 2，122 3，202 5， 所以8与2是同类二次根式， 故选：B 2 （4 分）如果ab，m为非零实数，那么下列结论一定成立的是( ) Aambm Bmamb Cambm D ab mm 【解答】解：A、如果ab，m为非零实数，则ambm，故A不符合题意； B、如果ab，m为非零实数，则mamb，故B符合题意； C、如果ab，m为非零实数，则ambm不一定成立，只有0m 时才成立，故C不符合 题意； D、如果ab，m为非零实数，则 ab mm 不一定成立，只有0m 时才成立，故D不符合 题意；
11、故选：B 3 （4 分）下列对反比例函数 3 y x 的图象的描述，正确的是( ) A与坐标轴有交点 B有两支，分别在第二、四象限 C经过点(1,3) D函数值y随x的值增大而减小 【解答】解：A、反比例函数 3 y x 的图象与坐标轴无交点，故A错误； B、30k ， 双曲线的的两个分支，分别在第一、三象限，故B错误； C、1 33k， 反比例函数 3 y x 的图象经过点(1,3)，故C正确； 第 7 页（共 22 页） D、0k ， 函数值y在每个象限内随x的值增大而减小，故D错误， 故选：C 4 （4 分）某校为了解学生在“慈善募捐”活动中的捐款情况，进行了抽样调查，结果如表 所示 捐
12、款金额 （元) 5 10 20 50 100 200 人数 8 10 12 13 5 2 那么该样本中学生捐款金额的中位数和众数分别是( ) A20 元，50 元 B35 元，50 元 C50 元，50 元 D20 元，20 元 【解答】解：该样本中学生捐款金额的中位数为 2020 20 2 （元)，众数为 50 元， 故选：A 5 （4 分）如果一个正多边形的每一个外角都是45，那么这个正多边形的内角和为( ) A360 B720 C1080 D1440 【解答】解：多边形的边数是：360458 则内角和是：(82) 1801080 故选：C 6 （4 分）下列命题中，真命题是( ) A一组
13、对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 B一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 C一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 D一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 【解答】解：A、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形， 故本选项说法是假命题； B、一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形，本选项说法是真命题； C、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形或直角梯形，故本选项说法是假 命题； D、一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形或梯形，故本选项说法是假命 题； 第 8 页（共 22 页） 故选：B 二、填空题：
14、（本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【在答题纸相应题号后的空格内直分） 【在答题纸相应题号后的空格内直 接填写答案】接填写答案】 7 （4 分）计算： 3 2 ( 3)a 6 9a 【解答】解：原式 23 2 ( 3) a 6 9a， 故答案为： 6 9a 8 （4 分）在实数范围内分解因式： 22 4yx (2 )(2 )yx yx 【解答】解： 22 4(2 )(2 )yxyx yx 故答案为(2 )(2 )yx yx 9 （4 分）方程213x 的解是 4x 【解答】解：两边平方得：219x ， 解得：4x 检验：4x 是方程的解
15、 故答案是：4x 10 （4 分）如果关于x的方程 2 30 xxk有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 9 4 k 【解答】解：根据题意得 2 34()0k， 解得 9 4 k 故答案为 9 4 k 11 （4 分）从 1 3 ，3.101001，5这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概 率是 1 2 【解答】解：在所列 4 个实数中，无理数有，5这 2 个， 这四个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是 21 42 ， 故答案为： 1 2 第 9 页（共 22 页） 12 （4 分）如果将抛物线 2 yx 向下平移，使其经过点(0, 2)，那么所得新抛物线的表达 式是 2
16、 2yx 【解答】解：设平移后的抛物线解析式为 2 yxb， 把点(0, 2)代入，得02b ， 解得2b ， 则该函数解析式为 2 2yx 故答案是： 2 2yx 13 （4 分）为了解某区 2400 名初中教师中接种新冠疫苗的教师人数，随机调查了其中 200 名教师， 结果有 150 人接种了疫苗， 那么估计该区接种新冠疫苗的初中教师人数约有 1800 人 【解答】解：估计该区接种新冠疫苗的初中教师人数约有 150 24001800 200 （人)， 故答案为：1800 14 （4 分）某传送带与地面所成斜坡的坡度1:2.4i ，如果它把物体从地面送到离地面 6 米高的地方，那么物体所经过
17、的路程为 15.6 米 【解答】解：如图，过A作ABCB于B， 由题意得，6AB 米， 斜坡的坡度1:2.4i ， 1 2.4 AB BC ， 即 61 2.4BC ， 解得：14.4BC （米)， 由勾股定理得， 2222 614 415.6ACABBC（米)， 故答案为：15.6 15 （4 分）如图，点G是ABC的重心，设ABa，BGb，那么向量DC用向量a、b表 第 10 页（共 22 页） 示为 13 22 ab 【解答】解：AGABBG， AGab， G是ABC的重心， 1 2 GDAG， 11 22 GDab， BDBGGD， 1113 2222 BDbabab， DCBD， 1
18、3 22 DCab 故答案为： 13 22 ab 16 （4 分） 如图， 在半径为 2 的O中， 弦AB与弦CD相交于点M， 如果2 3ABCD， 120AMC，那么OM的长为 2 3 3 【解答】解：如图，过点O作OEAB，OFCD，垂足为E、F，连接OA， 则 1 3 2 AEBEAB， 1 3 2 CFDFCD， 第 11 页（共 22 页） 在Rt AOE中， 2OA ，3AE ， 22 1OEOAAE， ABCD， 1OEOF， 又OMOM， Rt OEMRt OFM(HL)， 1 60 2 OMEOMFAMC ， 2 3 sin603 OE OM ， 故答案为： 2 3 3 17
19、 （4 分）在ABC中，90C，3AC ，将ABC绕着点A旋转，点C恰好落在AB的 中点上，设点B旋转后的对应点为点D，则CD的长为 3 7 【解答】解：如图：过点D作DFAC于F，交CA的延长线于F 由旋转可得ACBAED ，ACAE， 3AC ，E是AB的中点， 3AEBEAC，即6ABAD 90ACB， 60CABDAE ， 180606060FAD 第 12 页（共 22 页） 在Rt FAD中， 1 3 2 AFAD， 22 633 3DF ， 336FC， 在Rt FCD中， 22 633 7DC 故答案为：3 7 18 （4 分）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，4ABcm
20、，8ADcmQ为直线BC 上一动点，如果以5cm为半径的Q与矩形ABCD的各边有 4 个公共点，那么线段OQ长的 取值范围是 25OQ 【解答】解：临界情况，如图所示， 1 Q与CD切于点C， 2 Q与AB切于点B， 当Q在 12 Q Q上移动时Q与AB有一个交点，与AD有 2 个交点，与CD有 1 个交点， 1 5CQ， 11 3BQBCCQ，4AB ， 22 11 5AQABBQ，即A在 1 Q上， 同理，D在 2 Q上， 临界条件下，圆与矩形存在三个交点， 当OQBC时，OQ取最小值， 1 2 2 OQ ， 当Q在 1 Q或 2 Q时，OQ取最大值， 22 12 8 (3)25 2 OQ
21、OQ， 25OQ 故答案为：25OQ 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分）将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位 置上置上 19 （10 分）计算： 2 2 3 11 27|32|( ) 325 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：原式 32 2723259 923259 35 20 （10 分）解方程组： 22 319 560 xy xxyy 【解答】解：由，得(6 )()0 xy xy， 所以60 xy，0 xy 由、组成新的方程组，得 319 60 xy xy 或 319 0 xy xy 解
22、这两个方程组，得 1 1 6 1 x y ， 2 2 19 2 19 2 x y 所以原方程组的解为 1 1 6 1 x y ， 2 2 19 2 19 2 x y 21 （10 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，3AC ， 1 sin 3 ABC，D是边AB上 一点，且CDCA，BECD，垂足为点E （1）求AD的长； （2）求EBC的正切值 【解答】解： （1）过C点作CHAD于H，如图， CDCA， AHDH， 90ABCBCH，90ACHBCH， ACHABC ， 第 14 页（共 22 页） 1 sinsin 3 ACHABC， 在Rt ACH中， 1 sin 3 AH ACH
23、 AC ， 22ADAH； （2）在Rt ABC中， 1 sin 3 AC ABC AB ， 39ABAC， 927BDABAD， 90E， 而EDBHDC ， HCDEBD ， 1 sin 3 DE EBD BD ， 17 33 DEBD， 22 714 2 7( ) 33 BE， 在Rt EBC中， 7 3 4 2 3 tan 714 2 3 EC EBC EB 22 （10 分）某校九年级学生从学校乘车前往郊野公园春游，1 号车于上午 8 点出发，2 号 车晚 10 分钟出发，设 1 号车的行驶时间为x分钟，行驶的路程为 1 y千米，2 号车的行驶路 程为 2 y千米， 1 y、 2 y
24、关于x的部分函数图象如图所示 （1）求 2 y关于x的函数解析式； （2）如果 2 号车与 1 号车同时到达郊野公园的停车场，求汽车从学校到郊野公园停车场行 驶的路程 第 15 页（共 22 页） 【解答】解： （1）设 2 y关于x的函数解析式为 2 ykxb， 根据题意，得： 100 3025 kb kb ， 解得 1.25 12.5 k b ； 2 1.2512.5yx； （2）1 号车的速度为：30301， 设 1 号车出发x分钟后到达郊野公园，则： 1.2512.5xx， 解得50 x ， 故汽车从学校到郊野公园停车场行驶的路程为：50 150 （千米） 23 （12 分）已知：如图
25、，在正方形ABCD中，联结BD，E是边AB上一点，BFDE， 垂足为点F，且EF BDBE BF （1）求证：ADEBDE； （2）延长DF与CB的延长线交于点G，求证：BGBCAE 【解答】解： （1）证明：BFDE， 90BFD， 第 16 页（共 22 页） 在Rt BEF中，sin EF EBF BE ， 在Rt DBF中，sin BF BDE BD ， EF BDBE BF， EFBF BEBD ， sinsinEBFBDE， EBFBDE， 正方形ABCD， 90DAEBFD ， 90EBFBEFADEAED ， BEFAED， EBFADE， ADEBDE； （2）证明：如图，延
26、长BF交DA的延长线于H， ADEBDE，90DFHDFB ，DFDF， ()DFHDFB ASA ， HFBF， 正方形ABCD， / /ADBC，ADABBC， GADE ，GBFH ， 在GBF和DHF中， GADE GBFH HFBF ， ()GBFDHF AAS ， BGDHADAHBCAH， 在DAE和BAH中， 90DABHAB ADAB ADEABF ， 第 17 页（共 22 页） ()DAEBAH ASA ， AHAE， BGBCAE 24 （12 分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 3yaxbx的图象与x轴 交于点( 1,0)A 和点B，与y轴交于点C，
27、对称轴是直线1x ，顶点是点D （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当 5 tan() 2 PBOPEO时，求OE 的长 【解答】解： （1）根据题意，得 30 1 2 ab b a ，解得 1 2 a b ， 该抛物线的解析式为 2 23yxx； 22 23(1)4yxxx ， 第 18 页（共 22 页） 该抛物线的顶点D的坐标为(1,4) （2）如图 1，由 2 23yxx，得(0,3)C，(3,0)B 设直线CD的解析式为3ykx，则34k ，解得1k
28、 ， 3yx； 当四边形PBDC是梯形时，则/ /PBCD， 设直线PB的解析式为yxm，则30m，解得3m ， 3yx 由 2 3 23 yx yxx ，得 1 1 2 5 x y ， 2 2 3 0 x y ， ( 2, 5)P （3）如图 2，作PHx轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使 5 tan 2 HF HPF PH ，连 接PF 由（2）得，直线PB的解析式为3yx，则(0, 3)G， 3OBOG / /PHOG， 45BPHBGOPBO ， 45HPFFPB ； 5 tan() 2 PBOPEO ， 4545PEOFPB， PEOFPB ， 又PBEFBP（公共角） ， PBE
29、FBP， PBBE FBPB ， 2 BE BFPB， 5525 5 222 HFPH， 2515 23 22 BF， 又5PHBH， 222 5550PB， 第 19 页（共 22 页） 15 50 2 BE ， 解得 20 3 BE ， 2029 3 33 OE 25 （14 分）已知：在半径为 2 的扇形AOB中，(0180)AOBmm，点C是AB上的 一个动点，直线AC与直线OB相交于点D （1） 如图 1， 当09 0m，BCD是等腰三角形时， 求D的大小 （用含m的代数式表示） ； （2）如图 2，当90m 点C是AB的中点时，联结AB，求 ABD ABC S S 的值； 第 20
30、 页（共 22 页） （3） 将AC沿AC所在的直线折叠， 当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E， 且1OE 时，求线段AD的长 【解答】解： （1）C在AB弧线上， OBC为锐角， CBD为钝角， 则BCD是等腰三角形时，仅有BCBD这一种情况， DBCD ， 连接OC则OAOCOB， OACOCA ，OCDOBC ， 2OBCDBCDD ， 在OCD中，22180CODDD ， 4180AOCmCODmD ， 1 (180) 2 AOCAOC 1802 2 m D ， 在AOD中，180mOACD， 180180 2 m D ， 2 m D ； （2）过D作DMAB延长线于M，连接OC
31、， 第 21 页（共 22 页） C为AB中点， ACBC， BACABC 且AOCOBO， OACOCAOCBOBC ， 1 (36090 )135 2 ACOBCO ， 45BCD， 4545ODAABCABDABC ， ABCADOBAC ， 2 2BDAB（勾股定理） ， 2(45 ,)BMDMMBDOBABMDM， 2 22AMABBM， 1 2 2 ANAB， 又CNAB，DMAB， ANCAMD， CNAN DMAM ， 2 2 22 ABD ABC SAM SAN ； （3）图 2 如下： E为弧线AEC与OB切点， A、E、C在半径为 2 的另一个圆上， 2O E，1OE ， 5OO （勾股定理） ， 第 22 页（共 22 页） 又2OAOC，2O AO C， 四边形AOCO是菱形， ACOO且AC、OO互相平分， 且O OE 共角， O OEDOP， DPOP O EOE 且 15 22 OPOO ， 5OP， 2 511 4()(Rt APO 22 AP的勾股定理） 2 511 2 ADAPPD E为弧线AEC与BO的的延长线的切点时，
