1、 第 1 页（共 22 页） 2021 年上海市金山区中考数学二模试卷年上海市金山区中考数学二模试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）下列各题的四个选项中，有且只有下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。 1 （4 分）下列根式中，是最简二次根式的是( ) A8 B5 C 3 3 D 4 2 2 （4 分）已知xy，那么下列正确的是( ) A0 xy Baxay C22xy D22xy 3 （4 分）已知
2、正比例函数的图象经过点(1, 2)，那么这个正比例函数的解析式是( ) A2yx B 1 2 yx C2yx D 1 2 yx 4 （4 分）某人统计九年级一个班 35 人的身高时，算出平均数与中位数都是 158 厘米，但 后来发现其中一位同学的身高记录错误，将 160 厘米写成了 166 厘米，经重新计算后，正确 的中位数是a厘米，那么中位数a应( ) A大于 158 B小于 158 C等于 158 D无法判断 5 （4 分）已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成 一个三角形，那么a的取值可以是( ) A1cm B2cm C4cm D7cm 6 （4 分）
3、已知A、B、C的半径分别为 2、3、4，且5AB ，6AC ，6BC ，那 么这三个圆的位置关系( ) AA与B、C外切，B与C相交 BA与B、C相交，B与C外切 CB与A、C外切，A与C相交 DB与A、C相交，A与C外切 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请直接将结果填入答题纸的相应分） 【请直接将结果填入答题纸的相应 位置】位置】 7 （4 分）因式分解： 2 4x 8 （4 分）已知 2 2 ( ) x f x x ，那么f（2） 9 （4 分）如果反比例函数 1(m ym x 是常数，1)m 的图象，在每个象限
4、内y随着x的增 大而减小，那么m的取值范围是 10 （4 分）方程2xx 的解是 第 2 页（共 22 页） 11 （4 分）如果从方程10 x ， 2 210 xx ， 4 11 1,10,10,3xxxx xx 中任意选取一个方程，那么取到的方程是整式方程的概率是 12（4 分） 关于x的方程 2 20 xxk有两个不相等的实数根， 则实数k的取值范围 13 （4 分）为了了解某校初三学生在体育测试中报名球类的情况，随机调查了 40 名学生的 报名情况，得到如下数据 项目 排球 篮球 足球 人数 10 15 15 根据此信息，估计该校 480 名初三学生报名足球的学生人数约为 人 14（4
5、 分） 已知在正六边形ABCDEF中，6AB ， 那么正六边形ABCDEF的面积等于 15 （4 分）如图，BE、AD分别是ABC的两条中线，设,BOa BDb，那么向量AB用 向量, a b表示为 16 （4 分）小张、小王两个人从甲地出发，去 8 千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反 映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的 信息，小王比小张早到乙地的时间是 分钟 17 （4 分）如图，在ABC中，4ABAC，6BC ，把ABC绕着点B顺时针旋转，当 点A与边BC上的点A重合时，那么AAB的余弦值等于 第 3 页（共 22 页） 18 （4 分）如
6、图，在矩形ABCD中，3AB ，4BC ，点E在对角线BD上，联结AE， 作EFAE交边BC于F，若 39 16 BF ，那么BE 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： 2 2 ( 32)( 32)( 2)|13| 31 20 （10 分）解方程组： 22 21 25 xy xxyy 21 （10 分）如图，是一个地下排水管的横截面图，已知O的半径OA等于50cm，水的深 度等于25cm（水的深度指AB的中点到弦AB的距离） 求： （1）水面的宽度AB （2）横截面浸没在水中的AB的长（结果保留) 22 （10 分）A、B两地
7、相距 18 千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气的 管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每天比乙工程队少铺 设 1 千米 （1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设 3 千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？ （2）若甲工程队提前 3 天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多 第 4 页（共 22 页） 少千米？ 23 （12 分）如图，已知在梯形ABCD中，/ /ADBC，对角线BD平分ABC，点G在底 边BC上，联结DG交对角线AC于F，DGBDAB （1）求证：四边形ABGD是菱形； （2）联结EG，求证：BG EGBC EF 24 （
8、12 分）已知直线ykxb经过点( 2,0)A ，(1,3)B两点，抛物线 2 4yaxaxb与已 知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧） ，顶点为P （1）求直线ykxb的表达式； （2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围； （3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15，且点P在直线AB的上方，求抛物线 2 4yaxaxb的表达式 25（14 分） 已知在ABC中，2 3ABAC，120BAC，ADE的顶点D在边BC上， AE交BC于点F（点F在点D的右侧） ，30DAE （1）求证：ABFDCA； 第 5 页（共 22 页） （2）若ADED 联结EC，当点F是BC的黄金分割点(
9、)FCBF时，求 ABF FEC S S 联结BE，当1DF 时，求BE的长 第 6 页（共 22 页） 2021 年上海市金山区中考数学二模试卷年上海市金山区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）下列各题的四个选项中，有且只有下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。 1 （4 分）下列根式中，是最简二次根式的是( ) A8 B5 C 3 3 D 4 2
10、【解答】解：A、82 2，不是最简二次根式，不合题意； B、5是最简二次根式，符合题意； C、 3 3是三次根式，不合题意； D、 4 2是四次根式，不合题意； 故选：B 2 （4 分）已知xy，那么下列正确的是( ) A0 xy Baxay C22xy D22xy 【解答】解：xy， 0 xy ，(0)axay a，22xy，22xy 故选：D 3 （4 分）已知正比例函数的图象经过点(1, 2)，那么这个正比例函数的解析式是( ) A2yx B 1 2 yx C2yx D 1 2 yx 【解答】解：设这个正比例函数解析式为ykx， 正比例函数的图象经过点(1, 2)， 21 k ， 解得：
11、2k ， 这个正比例函数的解析式为：2yx 故选：A 4 （4 分）某人统计九年级一个班 35 人的身高时，算出平均数与中位数都是 158 厘米，但 后来发现其中一位同学的身高记录错误，将 160 厘米写成了 166 厘米，经重新计算后，正确 的中位数是a厘米，那么中位数a应( ) 第 7 页（共 22 页） A大于 158 B小于 158 C等于 158 D无法判断 【解答】解：原来的中位数 158 厘米，将 160 厘米写成 166 厘米，最中间的数还是 158 厘 米， 158a， 故选：C 5 （4 分）已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成 一个三
12、角形，那么a的取值可以是( ) A1cm B2cm C4cm D7cm 【解答】解：依题意有4242a， 解得：26a 只有选项C在范围内 故选：C 6 （4 分）已知A、B、C的半径分别为 2、3、4，且5AB ，6AC ，6BC ，那 么这三个圆的位置关系( ) AA与B、C外切，B与C相交 BA与B、C相交，B与C外切 CB与A、C外切，A与C相交 DB与A、C相交，A与C外切 【解答】解：A、B、C的半径分别为 2、3、4， 523AB ，624AC ，634BC ， 根据圆与圆之间的位置关系可知：A与B、C外切，B与C相交 故选：A 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共
13、12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请直接将结果填入答题纸的相应分） 【请直接将结果填入答题纸的相应 位置】位置】 7 （4 分）因式分解： 2 4x (2)(2)xx 【解答】解： 2 4(2)(2)xxx 故答案为：(2)(2)xx 8 （4 分）已知 2 2 ( ) x f x x ，那么f（2） 1 【解答】解：当2x 时，f（2） 2 22 1 2 ， 第 8 页（共 22 页） 故答案为：1 9 （4 分）如果反比例函数 1(m ym x 是常数，1)m 的图象，在每个象限内y随着x的增 大而减小，那么m的取值范围是 1m 【解答】解：反比例函数 1m y
14、x 的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小， 10m ， 解得，1m 故答案是：1m 10 （4 分）方程2xx 的解是 1x 【解答】解： 把方程两边平方得 2 2xx， 整理得(2)(1)0 xx， 解得：2x或1， 经检验，1x是原方程的解 故本题答案为：1x 11 （4 分）如果从方程10 x ， 2 210 xx ， 4 11 1,10,10,3xxxx xx 中任意选取一个方程，那么取到的方程是整式方程的概率是 1 2 【解答】解：在所列的 6 个方程中，整式方程有10 x ， 2 210 xx ， 4 10 x 这 3 个， 取到的方程是整式方程的概率是 31 62 ， 故答案
15、为： 1 2 12 （4 分）关于x的方程 2 20 xxk有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 1k 【解答】解：1a ，2b ，ck， 22 4( 2)4 1440backk ， 解得：1k 13 （4 分）为了了解某校初三学生在体育测试中报名球类的情况，随机调查了 40 名学生的 报名情况，得到如下数据 第 9 页（共 22 页） 项目 排球 篮球 足球 人数 10 15 15 根据此信息，估计该校 480 名初三学生报名足球的学生人数约为 180 人 【解答】解：估计该校 480 名初三学生报名足球的学生人数约为 15 480180 40 （人)， 故答案为：180 14 （4 分
16、）已知在正六边形ABCDEF中，6AB ，那么正六边形ABCDEF的面积等于 54 3 【解答】解：连接OE、OD，如图所示： 六边形ABCDEF是正六边形， 120DEF， 60OED， 6OEOD， ODE是等边三角形， 作OHED于H，则 3 sin63 3 2 OHOEOED， 11 63 39 3 22 ODE SDE OH ， 654 3 ODEABCDEF SS 正六边形 故答案为：54 3 15 （4 分）如图，BE、AD分别是ABC的两条中线，设,BOa BDb，那么向量AB用 向量, a b表示为 23ba 第 10 页（共 22 页） 【解答】解：AD，BE是ABC的中线
17、， 2OAOD， BDBOOD， ODba， 22AOba， ABAOOB， 2223ABbaaba， 故答案为：23ba 16 （4 分）小张、小王两个人从甲地出发，去 8 千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反 映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的 信息，小王比小张早到乙地的时间是 6 分钟 【解答】解：由图像可知： 设OA的解析式为：ykx， OA经过点(60,5)， 560k，得 1 12 k ， 第 11 页（共 22 页） OA函数解析式为： 1 12 yx， 把8y 代入得： 1 8 12 x， 解得：96x ， 小张 3 到达乙地所用
18、时间为 96（分钟） ； 设PB的解析式为：ymxn， 100 605 mn mn ， 解得： 1 10 1 m n ， PB的解析式为： 1 1 10 yx， 把8y 代入得： 1 81 10 x， 解得：90 x ， 则小王到达乙地时间为小张出发后 90（分钟） ， 小王比小张早到96906（分钟） 故答案为：6 17 （4 分）如图，在ABC中，4ABAC，6BC ，把ABC绕着点B顺时针旋转，当 点A与边BC上的点A重合时，那么AAB的余弦值等于 2 4 【解答】解：如图，作ADBC于D 4ABAC，6BC ， 1 3 2 BDDCBC， 第 12 页（共 22 页） 22222 43
19、7ADABBD， 由旋转的性质可知：4ABAB， 431A DA BBD ， 根据勾股定理，得 22 7 12 2AAADAD ， AAB的余弦值等于 12 42 2 A D AA 故答案为： 2 4 18 （4 分）如图，在矩形ABCD中，3AB ，4BC ，点E在对角线BD上，联结AE， 作EFAE交边BC于F，若 39 16 BF ，那么BE 15 4 【解答】解：如图，连接AF，过点E作EHBC于H， 3ABCD，4ADBC， 22 9 165BDABAD， 3AB ， 39 16 BF ， 222 3915 17 9() 1616 AFABBF， 90ABCAEF ， 点A，点B，点
20、F，点E四点共圆， DBCEAF ， 第 13 页（共 22 页） sinsin DCEF DBCEAF BDAF ， 3 515 17 16 EF ， 9 17 16 EF， tan DCEH DBC BCBH ， 3 4 EH BH ， 设3EHx，4BHx， 222 EFFHEH， 22 81 1739 9(4) 25616 xx ， 3 4 x或 3 100 x （不合题意舍去） ， 9 4 EH，3BH ， 22 8115 9 164 BEBHEH， 故答案为15 4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： 2 2 (
21、 32)( 32)( 2)|13| 31 【解答】解：原式 2( 31)1 32( 31) 2( 31)( 31) 1 323131 2 1 2 20 （10 分）解方程组： 22 21 25 xy xxyy 【解答】解： 22 21 25 xy xxyy ， 由，得21yx 把代入，得 22 2(21)(21)5xxxx， 第 14 页（共 22 页） 整理，得316x ， 所以2x 把2x 代入，得22 13y 原方程组的解为 2 3 x y 21 （10 分）如图，是一个地下排水管的横截面图，已知O的半径OA等于50cm，水的深 度等于25cm（水的深度指AB的中点到弦AB的距离） 求：
22、 （1）水面的宽度AB （2）横截面浸没在水中的AB的长（结果保留) 【解答】解： （1）过O作OHAB于H，并延长交O于D， OHAB，OH过O， 90OHA， 1 2 AHAB，ADBD， 水的深度等于25cm， 25()HDcm， 50OAODcm， 25()OHODHDcm， 2222 502525 3()AHOAOHcm， 第 15 页（共 22 页） 50 3ABcm； （2）连接OB， 50OAcm，25OHcm， 1 2 OHOA， 90OHA， 30OAH， 60AOH， OAOB，OHAB， 60BOHAOH ， 即120AOB， AB的长是120 50100 () 180
23、3 cm 22 （10 分）A、B两地相距 18 千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气的 管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每天比乙工程队少铺 设 1 千米 （1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设 3 千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？ （2）若甲工程队提前 3 天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多 少千米？ 【解答】解： （1）甲工程队完成任务所需时间为1836（天)， 乙工程队完成任务所需时间为18(3 1)4.5（天) 64.51.5（天) 答：乙工程队比甲工程队提前 1.5 天完成 第 16 页（共 22 页） （2）设
24、甲工程队每天铺设管道x千米，则乙工程队每天铺设管道(1)x千米， 依题意得：18 18 3 1xx ， 整理得： 2 60 xx， 解得： 1 3x ， 2 2x ， 经检验， 1 3x ， 2 2x 是原方程的解， 1 3x 不符合题意舍去， 2 2x 符合题意， 13x （千米） 答：甲工程队每天铺设管道 2 千米，乙工程队每天铺设管道 3 千米 23 （12 分）如图，已知在梯形ABCD中，/ /ADBC，对角线BD平分ABC，点G在底 边BC上，联结DG交对角线AC于F，DGBDAB （1）求证：四边形ABGD是菱形； （2）联结EG，求证：BG EGBC EF 【解答】证明： （1）
25、/ /ADBC， 180DABABG，180DGBADG， DGBDAB ， ABGADG ， 四边形ABGD是平行四边形， BD平分ABC， ADBGDB ， / /ADBG， ADBDBGBDG ， BGDG， 四边形ABGD是菱形； （2）如图，连接EG， 第 17 页（共 22 页） 四边形ABGD是菱形， ABBGAD，ABEGBE ， 在ABE和GBE中， ABBG ABEGBE BEBE ， ()ABEGBE SAS ， EGAE， / /ADBC， ADECBE， ADDE BCBE ， / /DFAB， DEEF BEAE ， ADEF BCAE ， ADBG，AEEG， B
26、GEF BCEG ， BG EGBC EF 24 （12 分）已知直线ykxb经过点( 2,0)A ，(1,3)B两点，抛物线 2 4yaxaxb与已 知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧） ，顶点为P （1）求直线ykxb的表达式； （2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围； （3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15，且点P在直线AB的上方，求抛物线 2 4yaxaxb的表达式 第 18 页（共 22 页） 【解答】解： （1）直线ykxb经过点( 2,0)A ，(1,3)B两点， 02 3 kb kb ，解得 1 2 k b ， 直线ykxb的表达式为2yx； （2）2b ，
27、 抛物线 2 4yaxaxb解析式为 22 42(2)24yaxaxa xa， 顶点是(2,24 )a， 顶点不在第一象限，且在对称轴2x 上， 顶点在第四象限或在x轴上， 240a ，即 1 2 a； （3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图： P在直线AB的上方，抛物线 2 4yaxaxb与已知直线交于C、D两点（点C在点D的 第 19 页（共 22 页） 右侧） ， 开口向下， 直线2yx与抛物线 2 42yaxax都经过(0,2)，点C在点D的右侧， (0,2)D， 2OAOD，90AOD， 45OADODA ， 直线DP与直线AB所成的夹角等于15， 30MDO， Rt M
28、DO中，tan OM MDO OD ， tan30 2 OM ，解得 2 3 3 OM ， 对称轴与x轴交于N， / /ODPN， 2 3 2 3 MNONOM， OMOD MNPN ，即 2 3 2 3 2 3 2 3 PN ， 22 3PN， 而(2,24 )Pa， 2422 3a ， 3 2 a ， 抛物线 2 4yaxaxb的表达式为： 2 3 2 32 2 yxx 25（14 分） 已知在ABC中，2 3ABAC，120BAC，ADE的顶点D在边BC上， AE交BC于点F（点F在点D的右侧） ，30DAE （1）求证：ABFDCA； （2）若ADED 联结EC，当点F是BC的黄金分割
29、点()FCBF时，求 ABF FEC S S 联结BE，当1DF 时，求BE的长 第 20 页（共 22 页） 【解答】解： （1）证明：ABAC， BC ， 180BACBC，120BAC， 30BC ， 30DAE， BCDAE ， ADCBBAD ，BAFDAEBAD， BAFADC ， ABFDCA； （2） ABFDCA， AFBF ADAC ，即 ADAF ACBF ， ADED， DAEDEA， DEAC ， DAEB， ABCDAE， 第 21 页（共 22 页） ADAE ABBC ，即 ADAE ACBC ， AFAE BFBC ，即 AEBC AFBF ， EFCF AF
30、BF ， EFCAFB ， ECFABF， 2 () ABF ECF SBF SCF ， 点F是BC的黄金分割点()FCBF， 51 2 BF CF ， 2 5135 () 22 ABF ECF S S ； 作AHBC于H， 2 3ABAC，30ABC， 2BCBH， 1 3 2 AHAB， 22 3BHABAH得6BC ， ABFDCA， ABBF CDAC ，即CD BFAB AC， 设BDx，则6CDx， 1DF ， 1BFx， (6) (1)2 32 3xx，解得2x 或3x ， 2BD或 3， 当2BD 时，3BF ，即F为BC中点，如图： 第 22 页（共 22 页） ABAC， AFBC， ADAE， AFEF，即BC垂直平分AE， 2 3BEBA， 当3BD 时，D为BC中点，如图： ABAC，120BAC，30DAE， ADBC， 1 60 2 BADBAC，90BAEBADDAE ， 作DGAE于G， 3 cos30 2 AGAD ， ADDE， 23AEAG， 22 21BEABAE， 综上所述，1DF 时，BE为2 3或21
