1、 第 1 页（共 24 页） 2021 年广东省佛山市三水区中考数学一模试卷年广东省佛山市三水区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2021 的相反数是( ) A2021 B2021 C 1 2021 D 1 2021 2 （3 分）已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为( 2,3)，则点B的坐标是( ) A( 3,2) B(2, 3) C(3, 2) D( 2, 3) 3 （3 分）将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中1与2互为余角的是( ) A B C D 4 （3 分）甲袋中装有
2、 2 张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有 3 张相同的卡 片，颜色分别为红色、黄色、绿色从这两个口袋中各随机抽取 1 张卡片，取出的两张卡片 中至少有一张是红色的概率是( ) A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 6 5 （3 分）已知2x ，则下列二次根式定有意义的是( ) A2x B1x C3x D4x 6 （3 分）尺规作图作角的平分线，作法步骤如下： 以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； 分别以C、D为圆心，大于 1 2 CD长为半径画弧，两弧交于点P； 过点P作射线OP，射线OP即为所求 第 2 页（共 24 页） 则上述作法的依据是( ) A
3、SSS BSAS CAAS DASA 7 （3 分）关于x的函数(1)yk x和(0) k yk x ，它们在同一坐标系内的图象大致是( ) A B C D 8 （3 分）如图，在矩形纸片ABCD中，3AB ，点E在边BC上，将ABE沿直线AE折 叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若EACECA ，则AC的长是( ) A3 3 B4 C5 D6 9 （3 分）方程 2 650 xx的两个根之和为( ) A6 B6 C5 D5 10 （3 分）二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图所示，对称轴为直线1x ，下列结 论不正确的是( ) 第 3 页（共 24 页） A 2 4bac B0
4、abc C0ac D 2 ambm ab (m为任意实数） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）分解因式： 2 25x 12 （4 分）若某个正多边形的每一个外角都等于其相邻内角的 1 3 ，则这个正多边形的边数 是 13 （4 分）已知 2 (3)|4| 0ab，则ab的值是 14 （4 分）代数式 2 27ab，则 2 1042ab的值是 15 （4 分） 如图， 已知AB是O的直径，2AB ，C、D是圆周上的点， 且 1 sin 3 CDB， 则BC的长为 16 （4 分）如图，矩形ABCD中，5AB
5、，12AD ，点P在对角线BD上，且BPBA， 连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为 17 （4 分）如图，点 1 A， 2 A， 3 A， 4 A， 5 A，在射线ON上，点 1 B， 2 B， 3 B， 4 B， 在射线OM上， 点 1 C， 2 C， 3 C，分别在线段 22 A B， 33 A B， 44 A B，上， 且四边形 1112 A BC A， 四边形 2223 A B C A，四边形 3334 A B C A，均为正方形，若 1 4OA ， 11 2A B ，则正方形 2021202120212022 ABCA的边长为 第 4 页（共 24 页） 三
6、、解答题（一） （共三、解答题（一） （共 3 小题；每小题小题；每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： 30 1 3(6) |2 2 | ( )(3.14) 2 19 （6 分）体育课上，老师为了解男学生定点投篮的情况，随机抽取 8 名男学生进行每人 4 次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示 （1）男生进球数的平均数为 、中位数为 （2）投球 4 次，进球 3 个以上（含 3 个）为优秀，全校有男生 1200 人，估计为“优秀”等 级的男生约为多少人？ 20 （6 分）如图，ABAC，直线l过点A，BM 直线l，CN 直线l，垂足分别为M、 N，且BMAN （1）
7、求证AMBCNA ； （2）求证90BAC 四、解答题（二） （共四、解答题（二） （共 3 小题；每小题小题；每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）习近平总书记说： “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养 第 5 页（共 24 页） 浩然之气” 某校为提高学生的阅读品味，现决定购买艾青诗选和格列佛游记两种 书共 50 本已知购买 2 本艾青诗选和 1 本格列佛游记需 100 元；购买 6 本艾青 诗选与购买 7 本格列佛游记的价格相同 （1）求这两种书的单价； （2）若购买艾青诗选的数量不少于所购买格列佛游记数量的一半，且购买两种书 的总价不超过 1600
8、 元请问有哪几种购买方案？ 22 （8 分）如图，AB是O的直径，C为O上一点，连接AC，CEAB于点E，D是 直径AB延长线上一点，且BCEBCD （1）求证：CD是O的切线； （2）若8AD ， 1 2 BE CE ，求CD的长 23 （8 分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450 万元， 第七天的营业额是前六天总营业额的12% （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业额的月增长率相同， “十一 黄金周”这七天的总营业额与 9 月份的营业额相等求该商店去年 8、9 月份营业额的
9、月增 长率 五、解答题（三） （共五、解答题（三） （共 2 小题；每小题小题；每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数ymx与反比例函数 3n y x 的图象 交于A、(3P ，2 3)两点， 点( 3B，3 3)与点D关于直线AP对称， 连接AB， 作/ /CDy 轴交直线AP于点C （1）求m、n的值和点A的坐标； （2）求sinCDB的值； （3）连接AD、BC，求四边形ABCD的面积 第 6 页（共 24 页） 25 （10 分） 如图 1， 在平面直角坐标系中， 抛物线 2 (0)yaxbxc a与x轴交于 1 ( 2 A
10、， 0)，(2,0)B两点，与y轴交于点(0,1)C （1）求抛物线的函数表达式； （2） 如图 1， 点D为第一象限内抛物线上一点， 连接AD，BC交于点E， 求 DE AE 的最大值； （3）如图 2，连接AC，BC，过点O作直线/ /lBC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的 点试探究：在第四象限内是否存在这样的点P，使BPQCAB若存在，请直接写出 所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由 第 7 页（共 24 页） 2021 年广东省佛山市三水区中考数学一模试卷年广东省佛山市三水区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1
11、0 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2021 的相反数是( ) A2021 B2021 C 1 2021 D 1 2021 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：A 2 （3 分）已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为( 2,3)，则点B的坐标是( ) A( 3,2) B(2, 3) C(3, 2) D( 2, 3) 【解答】解：点A与点B关于原点对称，点A的坐标为( 2,3)， 点B的坐标是(2, 3)， 故选：B 3 （3 分）将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中1与2互为余角的是( ) A B C D 【解答】解：A、1与2不互
12、余，故本选项错误； B、1与2不互余，故本选项错误； C、1与2不互余，故本选项错误； 第 8 页（共 24 页） D、1与2互余，故本选项正确 故选：D 4 （3 分）甲袋中装有 2 张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有 3 张相同的卡 片，颜色分别为红色、黄色、绿色从这两个口袋中各随机抽取 1 张卡片，取出的两张卡片 中至少有一张是红色的概率是( ) A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 6 【解答】解：画树状图如图： 共有 6 个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有 4 个， 取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为 42 63 ， 故选：A 5 （3
13、分）已知2x ，则下列二次根式定有意义的是( ) A2x B1x C3x D4x 【解答】解：2x ， 20 x， 20 x ，10 x ，3x 与4x 不一定大于 0， 则当2x 时，1x 有意义 故选：B 6 （3 分）尺规作图作角的平分线，作法步骤如下： 以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； 分别以C、D为圆心，大于 1 2 CD长为半径画弧，两弧交于点P； 过点P作射线OP，射线OP即为所求 则上述作法的依据是( ) ASSS BSAS CAAS DASA 第 9 页（共 24 页） 【解答】解：连接PC，PD 由作图可知，OCOD，PCPD， 在OPC和OPD中
14、， OCOD OPOP PCPD ， ()OPCOPD SSS ， POCPOD ， 故选：A 7 （3 分）关于x的函数(1)yk x和(0) k yk x ，它们在同一坐标系内的图象大致是( ) A B C D 【解答】解：A、反比例函数(0) k yk x 的图象经过第一、三象限，则0k 所以一次函 数ykxk的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴故本选项不符合题意； B、反比例函数(0) k yk x 的图象经过第二、四象限，则0k 所以一次函数ykxk的 图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴故本选项不符合题意； C、反比例函数(0) k yk x 的图象经过第一、三象限，则0
15、k 所以一次函数ykxk的 图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴故本选项符合题意； 第 10 页（共 24 页） D、反比例函数(0) k yk x 的图象经过第二、四象限，则0k 所以一次函数ykxk的 图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴故本选项不符合题意； 故选：C 8 （3 分）如图，在矩形纸片ABCD中，3AB ，点E在边BC上，将ABE沿直线AE折 叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若EACECA ，则AC的长是( ) A3 3 B4 C5 D6 【解答】解：将ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处， AFAB，90AFEB ， EFAC， EACECA
16、 ， AECE， AFCF， 26ACAB， 故选：D 9 （3 分）方程 2 650 xx的两个根之和为( ) A6 B6 C5 D5 【解答】解：方程 2 650 xx的两个根之和为 6， 故选：B 10 （3 分）二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图所示，对称轴为直线1x ，下列结 论不正确的是( ) 第 11 页（共 24 页） A 2 4bac B0abc C0ac D 2 ambm ab (m为任意实数） 【解答】解：由图象可得：0a ，0c ， 2 40bac，1 2 b a ， 20ba， 2 4bac，故A选项正确， 0abc，故B选项正确， 当1x 时，0y ，
17、0abc， 0ac ，即0ac，故C选项正确， 当xm时， 2 yambmc， 当1x 时，y有最大值为abc， 2 ambmc abc， 2 ambm ab，故D选项不正确， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）分解因式： 2 25x (5)(5)xx 【解答】解：原式 22 5x (5)(5)xx 故答案为：(5)(5)xx 12 （4 分）若某个正多边形的每一个外角都等于其相邻内角的 1 3 ，则这个正多边形的边数 是 8 【解答】解：设外角是x度，则相邻的内角是3x度 根据题意得：3180
18、xx， 解得45x 第 12 页（共 24 页） 则多边形的边数是：360458 故答案为：8 13 （4 分）已知 2 (3)|4| 0ab，则ab的值是 5 【解答】解：由题意可知：30a ，40b， 3a，4b ， 原式325， 故答案为：5 14 （4 分）代数式 2 27ab，则 2 1042ab的值是 4 【解答】解： 2 27ab， 22 1042102(2)102 74abab 故答案为：4 15 （4 分） 如图， 已知AB是O的直径，2AB ，C、D是圆周上的点， 且 1 sin 3 CDB， 则BC的长为 2 3 【解答】解：AB是直径， 90ACB， AD ， 1 si
19、nsin 3 BC AD AB ， 2 3 BC 故答案为： 2 3 16 （4 分）如图，矩形ABCD中，5AB ，12AD ，点P在对角线BD上，且BPBA， 连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为 3 17 第 13 页（共 24 页） 【解答】解：矩形ABCD中，5AB ，12AD ，90BADBCD ， 22 13BDABAD， 5BPBA， 8PDBDBP， BABP， BAPBPADPQ， / /ABCD， BAPDQP ， DPQDQP， 8DQDP， 853CQDQCDDQAB， 在Rt BCQ中，根据勾股定理，得 22 1533 17BQBCCQ 故答
20、案为：3 17 17 （4 分）如图，点 1 A， 2 A， 3 A， 4 A， 5 A，在射线ON上，点 1 B， 2 B， 3 B， 4 B， 在射线OM上， 点 1 C， 2 C， 3 C，分别在线段 22 A B， 33 A B， 44 A B，上， 且四边形 1112 A BC A， 四边形 2223 A B C A，四边形 3334 A B C A，均为正方形，若 1 4OA ， 11 2A B ，则正方形 2021202120212022 ABCA的边长为 2020 2 1.5 第 14 页（共 24 页） 【解答】解： 1 4OA ， 11 2A B ， 在Rt 11 OAB中
21、， 11 1 21 tan 42 AB O OA ， 在Rt 22 OA B中， 21 21 tan 422 B C O ， 21 1B C， 22 3A B， 在Rt 33 OA B中， 32 31 tan 4232 B C O ， 32 1.5B C， 33 4.5A B， 在Rt 44 OA B中， 43 4.51 tan 4234.52 B C O ， 43 2.25B C， 44 6.75A B， 正方形边长的变化规律为： (1) 2 1.5 n ， 正方形 2021202120212022 ABCA的边长为 (2021 1)2020 2 1.52 1.5 故答案为： 2020 2
22、1.5 三、解答题（一） （共三、解答题（一） （共 3 小题；每小题小题；每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）计算： 30 1 3(6) |2 2 | ( )(3.14) 2 【解答】解： 30 1 3(6) |2 2 | ( )(3.14) 2 3 22 281 75 2 19 （6 分）体育课上，老师为了解男学生定点投篮的情况，随机抽取 8 名男学生进行每人 4 次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示 （1）男生进球数的平均数为 2.5 、中位数为 （2）投球 4 次，进球 3 个以上（含 3 个）为优秀，全校有男生 1200 人，估计为“优秀”等 级的男生约为多少
23、人？ 第 15 页（共 24 页） 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 由 条 形 统 计 图 可 得 ， 男 生 进 球 数 的 平 均 数 为 ： (1 12 4 1 34 2)82.5 （个)； 第 4，5 个数据都是 2，则其平均数为：2； 男生进球数的中位数为：2； 故答案为：2.5，2 （2）样本中优秀率为： 3 8 ， 故全校有男生 1200 人， “优秀”等级的男生为： 3 1200450 8 （人)， 答： “优秀”等级的男生约为 450 人 20 （6 分）如图，ABAC，直线l过点A，BM 直线l，CN 直线l，垂足分别为M、 N，且BMAN （1）求证AMBCNA ； （
24、2）求证90BAC 【解答】证明： （1）BM 直线l，CN 直线l， 90AMBCNA ， 在Rt AMB和Rt CNA中， ABCA BMAN ， Rt AMBRt CNA(HL)； 第 16 页（共 24 页） （2）由（1）得：Rt AMBRt CNA， BAMACN ， 90CANACN， 90CANBAM， 1809090BAC 四、解答题（二） （共四、解答题（二） （共 3 小题；每小题小题；每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）习近平总书记说： “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养 浩然之气” 某校为提高学生的阅读品味，现决定购买艾青诗选
25、和格列佛游记两种 书共 50 本已知购买 2 本艾青诗选和 1 本格列佛游记需 100 元；购买 6 本艾青 诗选与购买 7 本格列佛游记的价格相同 （1）求这两种书的单价； （2）若购买艾青诗选的数量不少于所购买格列佛游记数量的一半，且购买两种书 的总价不超过 1600 元请问有哪几种购买方案？ 【解答】解： （1）设购买艾青诗选的单价为x元， 格列佛游记的单价为y元， 由题意得： 2100 67 xy xy ， 解得 35 30 x y ， 答：购买艾青诗选的单价为 35 元， 格列佛游记的单价为 30 元； （2）设购买艾青诗选的数量n本，则购买格列佛游记的数量为(50)n本， 根据题意
26、得 1 (50) 2 3530(50) 1600 nn nn ， 解得： 2 1620 3 n剟， 则n可以取 17、18、19、20， 当17n 时，5033n，共花费173533 301585（元)； 当18n 时，5032n，共花费183532301590（元)； 当19n 时，5031n，共花费193531 301595（元)； 当20n 时，5030n，共花费203530301600（元)； 所以，共有 4 种购买方案分别为： 第 17 页（共 24 页） 购买艾青诗选和格列佛游记的数量分别为 17 本和 33 本， 购买艾青诗选和格列佛游记的数量分别为 18 本和 32 本， 购买
27、艾青诗选和格列佛游记的数量分别为 19 本和 31 本， 购买艾青诗选和格列佛游记的数量分别为 20 本和 30 本 22 （8 分）如图，AB是O的直径，C为O上一点，连接AC，CEAB于点E，D是 直径AB延长线上一点，且BCEBCD （1）求证：CD是O的切线； （2）若8AD ， 1 2 BE CE ，求CD的长 【解答】 （1）证明：连接OC， AB是O的直径， 90ACB， CEAB， 90CEB， 90ECBABCABCCAB ， AECB ， BCEBCD ， ABCD ， OCOA， AACO ， ACOBCD ， 90ACOBCOBCOBCD ， 90DCO， CD是O的切
28、线； （2）解：ABCE ， 第 18 页（共 24 页） 1 tantan 2 BCBE ABCE ACCE ， 设BCk，2ACk， DD，ABCD ， ACDCBD， 1 2 BCCD ACAD ， 8AD ， 4CD 23 （8 分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450 万元， 第七天的营业额是前六天总营业额的12% （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业额的月增长率相同， “十一 黄金周”这七天的总营业额与 9 月份的营业额相等求该商店去年 8、9 月份营业额的月增 长
29、率 【解答】解： （1）450450 12%504（万元） 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为 504 万元 （2）设该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率为x， 依题意，得： 2 350(1)504x， 解得： 1 0.220%x ， 2 2.2x （不合题意，舍去） 答：该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率为20% 五、解答题（三） （共五、解答题（三） （共 2 小题；每小题小题；每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数ymx与反比例函数 3n y x 的图象 交于A、(3P ，2 3)两点， 点( 3B，3 3
30、)与点D关于直线AP对称， 连接AB， 作/ /CDy 轴交直线AP于点C 第 19 页（共 24 页） （1）求m、n的值和点A的坐标； （2）求sinCDB的值； （3）连接AD、BC，求四边形ABCD的面积 【解答】 解： （1） 正比例函数ymx与反比例函数 3n y x 的图象交于A、(3P ，2 3) 两点， 2 33m ， 3 2 3 3 n ， 解得，2m ，3n ； （2）由题意可知A与P关于原点对称， (3P ，2 3)， ( 3A，2 3)， ( 3B，3 3)， / /ABy轴， 5 3AB， / /CDy轴， / /ABCD， CDPABP ， 点( 3B，3 3)与
31、点D关于直线AP对称， ACBD，PDPB， 在CDP和ABP中， 第 20 页（共 24 页） CDPABP PDPB CPDAPB ， ()CDPABP ASA ， 5 3ABCD，CPAP， 四边形ABCD是菱形， (3P ，2 3)，( 3A，2 3)， 22 (33)(2 32 3)2 15PCPA， 2 152 5 sin 55 3 PC CDB CD ； （3）(3P ，2 3)，( 3B，3 3)， 22 (33)(2 33 3)15PB， 11 444152 1560 22 CPBABCD SSPB PC 四边形 25 （10 分） 如图 1， 在平面直角坐标系中， 抛物线
32、2 (0)yaxbxc a与x轴交于 1 ( 2 A ， 0)，(2,0)B两点，与y轴交于点(0,1)C （1）求抛物线的函数表达式； （2） 如图 1， 点D为第一象限内抛物线上一点， 连接AD，BC交于点E， 求 DE AE 的最大值； （3）如图 2，连接AC，BC，过点O作直线/ /lBC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的 点试探究：在第四象限内是否存在这样的点P，使BPQCAB若存在，请直接写出 所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由 第 21 页（共 24 页） 【解答】解： （1）分别将(0,1)C、 1 ( 2 A ，0)、(2,0)B代入 2 yaxbxc中得 11
33、 0 42 420 1 abc abc c ， 解得： 1 3 2 1 a b c ， 抛物线的函数表达式为 2 3 1 2 yxx （2）如图1: 如图2: 过A作/ /AGy轴交BC的延长线于点G，过点D作/ /DHy轴交BC于点H， (2B，0) (0C，1)， 第 22 页（共 24 页） 直线 1 :1 2 BC yx， 1 ( 2 A ，0)， 1 ( 2 G， 5) 4 ， 设 2 3 ( ,1) 2 D mmm，则 1 ( ,1) 2 H mm， 2 31 (1)(1) 22 DHmmm ， 2 2mm ， / /AGDH， 2 2 244 (1) 5 55 4 DEDHmm
34、m AEAG ， 当1m 时， DE AE 的最大值为 4 5 （3）符合条件的点P坐标为 914511924 145 (,) 416 或 91773 17 (,) 44 解：/ /lBC， 直线l的解析式为： 1 2 yx ， 设 1 ( ,) 2 P nn， 1 ( 2 A ，0)，(2,0)B，(0,1)C， 2 5 4 AC， 2 5BC ， 2 25 4 AB 222 ACBCAB， 90ACB BPQCAB， 1 2 BPAC BQBC ， 分两种情况说明： 如图 3，过点P作PNx轴于N，过点Q作QMx轴于M 第 23 页（共 24 页） 90PNBBMQ， 90NBPMBQ，
35、90MQBMBQ ， NBPMQB NBPMQB， 1 2 PNNB BMMQ ， 1 ( ,) 2 P nn， 1 , 2 PNn ONn， 2BNn， 2BMPNn，242QMBNn， 2OMOBBMn， (2,24)Qnn， 将Q的坐标代入抛物线的解析式得： 2 3 (2)(2)124 2 nnn ， 2 2980nn， 解得： 12 91459145 , 44 nn 舍 第 24 页（共 24 页） 914511924 145 (,) 416 P 如图 4，过点P作PNx轴于N，过点Q作QMx轴于M PNBBMQ， 又BPQCAB， 2 BCQM ACBN ， 1 ( ,) 2 P nn， (2,42 )Qnn， 将Q的坐标代入抛物线的解析式得： 2 3 (2)(2)142 2 nnn ， 化简得： 2 2980nn， 解得： 12 917917 , 44 nn 舍， 91773 17 (,) 44 P
