1、平行四边形存在性问题巩固练习平行四边形存在性问题巩固练习(提优提优) 1. 如图，一次函数 yx2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点，抛物线 yx2bxc 过 A、B 两地， (1)求这个抛物线的解析式； (2)作垂直 x 轴的直线 xt，在第一象限交直线 AB 于 M，交这个抛物线于 N，求当 t 取何值时，MN 有最大 值？最大值是多少？ (3)在(2)的情况下，以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 D 的坐标. 【解答】(1)yx2 7 2 x2；(2)t2 时，MN 有最大值 4；(3)D 点坐标为(0，6)，(0，2)或(4，4) 【解析】(1)y 1 2 x2
2、 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点， A、B 点的坐标为:A(0，2)，B(4，0)， 将 x0，y2 代 yx2bxc 得 c2. 将 x4，y0 代 yx2bxc 得 0164b2，解得 b 7 2 . 抛物线解析式为:yx2 7 2 x2; (2)如图，设 MN 交 x 轴于点 E， 则 E(t，0)，BE4t，tanABO 21 42 OA OB ， MEBE tanABO(4t) 1 2 2 1 2 t 又 N 点在抛物线上，且 xNt，yNt2 7 2 t2 MNyNMEt2 7 2 t2(2 1 2 t)t24t 当 t2 时，MN 有最大值 4. (3)由(2)可知，A(
3、0，2)，M(2，1)，N(2，5) 以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形，如图所示： (i)当 D 在 y 轴上时，设 D 的坐标为(0，a) 由 ADMN，得|a1| 4，解得 a16，a22， 从而 D 为(0，6)或 D(0，2)， (i i)当 D 不在 y 轴上时，由图可知 D3为 D1N 与 D2M 的交点， 易得 D1N 的方程为 y 1 2 x6，D2M 的方程为 y 3 2 x2 由两方程联立解得 D 为(4，4) 故所求的 D 点坐标为(0，6)，(0，2)或(4，4). 2. 如图，已知抛物线 yx24x3 与 x 轴交于 A、B，顶点为
4、C. (1)对于任意实数 m，点 M(m，2)是否在该抛物线上？请说明理由； (2)求证:ABC 是等腰直角三角形； (3)已知点 D 在 x 轴上，那么抛物线上是否存在点 P，使得以 B、C、D、P 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点 P 的坐标;若不存在，请说明理由. 【解答】(1)见解析；(2)见解析；(3)P 点的坐标为:(22，1)或(22，1). 【解析】(1)假设存在，则将 M 点的坐标代入抛物线得:2m24m3，化简得方程:m24m50，因为 (4)24540，所以该方程无解，故对于任意实数 m，点 M(m，2)不在抛物线上. (2)如图所示，过点 C 作 CHx 轴
5、，交 x 轴与点 H，连接 CA、CB，如图所示： 抛物线的表达式为 y(x2)21， 所以抛物线与 x 轴的交点的坐标为 A(1，0)和 B(3，0)， 抛物线的顶点坐标为 C(2，1)，以 H 点的坐标为(2，0). 因为 tanHAC HC AH 1，tanHBC HC BH 1， 所以BACABC45 ，ACBC，那么ACB180 CABCBA90 ， 故ACB 为等腰直角三角形. (3)存在.若 BD 为平行四边形的边，则 BDCP，因为 C 为抛物线上的顶点，所以抛物线上不存在点 P 使得 CPx 轴，即 BD 不能作为该平行四边形的边。若 BD 为平行四边形的对角线，因为平行四边
6、形对角线互相 平分，所以 CP 被 x 轴平分，因为 C(2，1)，所以 P 的纵坐标为 1， 代入抛物线解析式得:1x24x3，解得:x122或 x222. 故 P 点的坐标为:(22，1)或(22，1). 3. 如图，二次函数 yx2bxc 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，且 A 点坐标为(3，0)，经过 B 点的直线 交抛物线于点 D(2，3). (1)求抛物线的函数关系式和直线 BD 的函数关系式； (2) 过 x 轴上的点 E(a，0)(E 点在 B 点的右侧)作直线 EFBD，交抛物线于点 F，是否存在实数 a 使四边形 BDEF 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的 a;如
7、果不存在，请说明理由。 【解答】(1)yx1；(2)a3 使四边形 BDFE 为平行四边形 【解析】(1)将点 A 和点 O 的坐标代入二次函数表达式得: 930 423 bc bc ， 得:b2，将 b2 代入得:c3，故抛物线解析式为 yx22x3，故当 y0 时，即(x3)(x1) 0， 根据题意知，xB1，即点 B 的坐标为(1，0). 设直线 BD 的解析式为 ykxm，将点 B 和点 D 的坐标代入得: 0 23 km km 得:3k3，解得:k1，将 k1 代入得:m1，故直线 BD 的解析式为 yx1. (2)因为 EFBD，所以直线 EF 的解析式为 yxa，因为四边形 BD
8、FE 为平行四边形， 所以 DFx，故点 F 的纵坐标为3。当 y3 时，xa3，故点 F 的坐标为(a3，3)。 因为点 F 在抛物线上，所以(a3)22(a3)33，整理得:a24a30，即(a1)(a3)0， 解得:a11。此时点 E 与点 B 重合，舍去;a23，此时点 E 的坐标为(3.0)，符合题意， AB D O x y 故存在 a3 使四边形 BDFE 为平行四边形. 4. 如图，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，且 B 点的坐标为(3，0)，经过 A 点的直线交抛物 线于点 D(2，3). (1)求抛物线的解析式和直线 AD 的解析式； (2)过 x 轴上的
9、点 E(a，0)作直线 EFAD，交抛物线于点 F，是否存在实数 a，使得以 A、D、E、F 为顶点 的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的 a;如果不存在，请说明理由. 【解答】(1)直线 AD 的解析式为 yx1；(2)a 的值为3 或 47. 【解析】(1)把点 B 和 D 的坐标代入 yx2bxc，得 930 423 bc bc 解得 b2，c3. 拋物线的解析式为 yx22x3，当 y0 时x22x30.解得 x3 或 x1. B(3，0)，A(1，0). 设直线 AD 的解析式为 ykxm(k0). 把 A 和 D 的坐标代入得 0 23 km km 解得 k1，m1. 直
10、线 AD 的解析式为 yx1. (2)分两种情况当 a1 时，显然 F 应在 x 轴下方，EFAD 且 EFAD. 设 F(a3，3)，(a3)22(a3)33，解得 a47 综上所述满足条件的 a 的值为3 或 47. 5. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A 的坐标为(4，4)。在该平面直角坐标系内再取一点 B，将线段 AB 绕点 B 沿逆时针方向旋转 90，得到线段 BC，当以 A，B，C，O 四个点为顶点的四边形是平行四边形 O A B D x y 时，求点 B 的坐标。 【解答】点 B(3.2，1.6)或点 B(0，8)或点 B(8，0) 【解析】当 OA、AB 为所求平行四边形
11、的边时，如图所示： ABC90，BABC， 平行四边形 ABCD 是正方形，此时点 B(8，0)； 当 OA 为所求平行四边形的边时，如图所示： AB 是平行四边形的对角线，AOB45， OAB 是等腰直角三角形，点 B(0，8)； 当 OA 是所求平行四边形的对角线时，如图所示： 四边形 OBAC 是平行四边形，OA 与 BC 互相平分， 设点 B(a，b) 将线段 AB 绕点 B 沿逆时针方向旋转 90，点 C 坐标(ab4，b4a)， ，解得，点 B(1.6，0.8)， 综上所述：点 B(3.2，1.6)或点 B(0，8)或点 B(8，0). 6. 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC
12、，B90，AD16cm，DC13cm，BC21cm，动点 P 从点 B 出发， 以每秒 2cm 的速度在射线 BC 上运动到 C 点返回， 动点 Q 从点 A 出发， 在线段 AD 上， 以每秒 1cm 的速度向点 D 运动，点 P、Q 分别从点 B、A 同时出发。当点 Q 运动到点 D 时，点 P 随之停止运动，设运 动时间为 t(秒)。 (1)当 t 为何值时，四边形 PQDC 是平行四边形； (2)是否存在点 P，使PQD 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 t 的值，若不存在，请说明理 由. 【解答】(1)当 t5 或秒时，四边形 PQDC 是平行四边形；(2)当秒或秒或秒时，
13、PQD 是等腰三角形. 【解析】(1)设运动时间为 t 秒， 四边形 PQDC 是平行四边形， DQCP， 当 P 从 B 运动到 C 时， DC13cm，BC21cm， 16t212t， 解得 t5， 当 P 从 C 运动到 B 时， DQADAQ16t， CP2t21， 16t2t21，解得， 当 t5 或秒时，四边形 PQDC 是平行四边形； (2)PQD 是等腰三角形有三种情况， 当 PQPD 时， 作 PHAD 于 H，则 HQHD， 当 P 从 B 运动到 C 时， ， 由 AHBP 得，解得秒； 当点 P 从 C 向 B 运动时，观察图象可知，只有由题意：，解得秒； 当 PQQD
14、，当 P 从 B 运动到 C 时，QHAHAQBPAQ2ttt，QD16t， ，解得秒； 当 QDPD，当 P 从 C 运动到 B 时，则 DH ADAHADBP162t， 即， 方程无实数根. 综上，当秒或秒或秒时，PQD 是等腰三角形. 7. 在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，A(0，4)，B(3，0)，C(5，4). (1)求ABC 的面积； (2)过 A 作 ADBC 于 D，延长 AD 交 x 轴于点 E，求 AE 的长； (3)在(2)的条件下，设 BC 交 y 轴于点 F、G 是 y 轴左侧的点，使得以 A、G、E、F 为顶点的四边形是平行 四边形，求点 G 的坐标. 【解
15、答】(1)10；(2)；(3)点 G 的坐标为或 【解析】(1)A(0，4)、C(5，4)， AC5，OA4，ACOB， ； (2)B(3，0)，OB3， ，ABAC， ADBC，BDCD， ACOB，BDEC， 在BDE 和CDA 中， BDECDA(ASA)， BEAC5，OEBEOB2， ； (3)分两种情况： AE 为对角线时，四边形 AGEF 是菱形， 则 GEAF，GEEFAF， 设 GEEFAFx，则 OF4x， 在 RtOEF 中，由勾股定理得，解得； EF 为对角线时，点 G 的坐标为， 综上所述，G 是 y 轴左侧的点，以 A、G、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，点 G 的坐标为或 .
