专题19 平行四边形存在性问题巩固练习(提优)-2021年中考数学几何专项复习(教师版含解析)

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资源描述

1、平行四边形存在性问题巩固练习平行四边形存在性问题巩固练习(提优提优) 1. 如图,一次函数 yx2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点,抛物线 yx2bxc 过 A、B 两地, (1)求这个抛物线的解析式; (2)作垂直 x 轴的直线 xt,在第一象限交直线 AB 于 M,交这个抛物线于 N,求当 t 取何值时,MN 有最大 值?最大值是多少? (3)在(2)的情况下,以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点 D 的坐标. 【解答】(1)yx2 7 2 x2;(2)t2 时,MN 有最大值 4;(3)D 点坐标为(0,6),(0,2)或(4,4) 【解析】(1)y 1 2 x2

2、 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点, A、B 点的坐标为:A(0,2),B(4,0), 将 x0,y2 代 yx2bxc 得 c2. 将 x4,y0 代 yx2bxc 得 0164b2,解得 b 7 2 . 抛物线解析式为:yx2 7 2 x2; (2)如图,设 MN 交 x 轴于点 E, 则 E(t,0),BE4t,tanABO 21 42 OA OB , MEBE tanABO(4t) 1 2 2 1 2 t 又 N 点在抛物线上,且 xNt,yNt2 7 2 t2 MNyNMEt2 7 2 t2(2 1 2 t)t24t 当 t2 时,MN 有最大值 4. (3)由(2)可知,A(

3、0,2),M(2,1),N(2,5) 以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形,D 点的可能位置有三种情形,如图所示: (i)当 D 在 y 轴上时,设 D 的坐标为(0,a) 由 ADMN,得|a1| 4,解得 a16,a22, 从而 D 为(0,6)或 D(0,2), (i i)当 D 不在 y 轴上时,由图可知 D3为 D1N 与 D2M 的交点, 易得 D1N 的方程为 y 1 2 x6,D2M 的方程为 y 3 2 x2 由两方程联立解得 D 为(4,4) 故所求的 D 点坐标为(0,6),(0,2)或(4,4). 2. 如图,已知抛物线 yx24x3 与 x 轴交于 A、B,顶点为

4、C. (1)对于任意实数 m,点 M(m,2)是否在该抛物线上?请说明理由; (2)求证:ABC 是等腰直角三角形; (3)已知点 D 在 x 轴上,那么抛物线上是否存在点 P,使得以 B、C、D、P 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】(1)见解析;(2)见解析;(3)P 点的坐标为:(22,1)或(22,1). 【解析】(1)假设存在,则将 M 点的坐标代入抛物线得:2m24m3,化简得方程:m24m50,因为 (4)24540,所以该方程无解,故对于任意实数 m,点 M(m,2)不在抛物线上. (2)如图所示,过点 C 作 CHx 轴

5、,交 x 轴与点 H,连接 CA、CB,如图所示: 抛物线的表达式为 y(x2)21, 所以抛物线与 x 轴的交点的坐标为 A(1,0)和 B(3,0), 抛物线的顶点坐标为 C(2,1),以 H 点的坐标为(2,0). 因为 tanHAC HC AH 1,tanHBC HC BH 1, 所以BACABC45 ,ACBC,那么ACB180 CABCBA90 , 故ACB 为等腰直角三角形. (3)存在.若 BD 为平行四边形的边,则 BDCP,因为 C 为抛物线上的顶点,所以抛物线上不存在点 P 使得 CPx 轴,即 BD 不能作为该平行四边形的边。若 BD 为平行四边形的对角线,因为平行四边

6、形对角线互相 平分,所以 CP 被 x 轴平分,因为 C(2,1),所以 P 的纵坐标为 1, 代入抛物线解析式得:1x24x3,解得:x122或 x222. 故 P 点的坐标为:(22,1)或(22,1). 3. 如图,二次函数 yx2bxc 的图像与 x 轴交于 A、B 两点,且 A 点坐标为(3,0),经过 B 点的直线 交抛物线于点 D(2,3). (1)求抛物线的函数关系式和直线 BD 的函数关系式; (2) 过 x 轴上的点 E(a,0)(E 点在 B 点的右侧)作直线 EFBD,交抛物线于点 F,是否存在实数 a 使四边形 BDEF 是平行四边形?如果存在,求出满足条件的 a;如

7、果不存在,请说明理由。 【解答】(1)yx1;(2)a3 使四边形 BDFE 为平行四边形 【解析】(1)将点 A 和点 O 的坐标代入二次函数表达式得: 930 423 bc bc , 得:b2,将 b2 代入得:c3,故抛物线解析式为 yx22x3,故当 y0 时,即(x3)(x1) 0, 根据题意知,xB1,即点 B 的坐标为(1,0). 设直线 BD 的解析式为 ykxm,将点 B 和点 D 的坐标代入得: 0 23 km km 得:3k3,解得:k1,将 k1 代入得:m1,故直线 BD 的解析式为 yx1. (2)因为 EFBD,所以直线 EF 的解析式为 yxa,因为四边形 BD

8、FE 为平行四边形, 所以 DFx,故点 F 的纵坐标为3。当 y3 时,xa3,故点 F 的坐标为(a3,3)。 因为点 F 在抛物线上,所以(a3)22(a3)33,整理得:a24a30,即(a1)(a3)0, 解得:a11。此时点 E 与点 B 重合,舍去;a23,此时点 E 的坐标为(3.0),符合题意, AB D O x y 故存在 a3 使四边形 BDFE 为平行四边形. 4. 如图,抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点,且 B 点的坐标为(3,0),经过 A 点的直线交抛物 线于点 D(2,3). (1)求抛物线的解析式和直线 AD 的解析式; (2)过 x 轴上的

9、点 E(a,0)作直线 EFAD,交抛物线于点 F,是否存在实数 a,使得以 A、D、E、F 为顶点 的四边形是平行四边形?如果存在,求出满足条件的 a;如果不存在,请说明理由. 【解答】(1)直线 AD 的解析式为 yx1;(2)a 的值为3 或 47. 【解析】(1)把点 B 和 D 的坐标代入 yx2bxc,得 930 423 bc bc 解得 b2,c3. 拋物线的解析式为 yx22x3,当 y0 时x22x30.解得 x3 或 x1. B(3,0),A(1,0). 设直线 AD 的解析式为 ykxm(k0). 把 A 和 D 的坐标代入得 0 23 km km 解得 k1,m1. 直

10、线 AD 的解析式为 yx1. (2)分两种情况当 a1 时,显然 F 应在 x 轴下方,EFAD 且 EFAD. 设 F(a3,3),(a3)22(a3)33,解得 a47 综上所述满足条件的 a 的值为3 或 47. 5. 在平面直角坐标系中,O 为原点,点 A 的坐标为(4,4)。在该平面直角坐标系内再取一点 B,将线段 AB 绕点 B 沿逆时针方向旋转 90,得到线段 BC,当以 A,B,C,O 四个点为顶点的四边形是平行四边形 O A B D x y 时,求点 B 的坐标。 【解答】点 B(3.2,1.6)或点 B(0,8)或点 B(8,0) 【解析】当 OA、AB 为所求平行四边形

11、的边时,如图所示: ABC90,BABC, 平行四边形 ABCD 是正方形,此时点 B(8,0); 当 OA 为所求平行四边形的边时,如图所示: AB 是平行四边形的对角线,AOB45, OAB 是等腰直角三角形,点 B(0,8); 当 OA 是所求平行四边形的对角线时,如图所示: 四边形 OBAC 是平行四边形,OA 与 BC 互相平分, 设点 B(a,b) 将线段 AB 绕点 B 沿逆时针方向旋转 90,点 C 坐标(ab4,b4a), ,解得,点 B(1.6,0.8), 综上所述:点 B(3.2,1.6)或点 B(0,8)或点 B(8,0). 6. 如图,在四边形 ABCD 中,ADBC

12、,B90,AD16cm,DC13cm,BC21cm,动点 P 从点 B 出发, 以每秒 2cm 的速度在射线 BC 上运动到 C 点返回, 动点 Q 从点 A 出发, 在线段 AD 上, 以每秒 1cm 的速度向点 D 运动,点 P、Q 分别从点 B、A 同时出发。当点 Q 运动到点 D 时,点 P 随之停止运动,设运 动时间为 t(秒)。 (1)当 t 为何值时,四边形 PQDC 是平行四边形; (2)是否存在点 P,使PQD 是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 t 的值,若不存在,请说明理 由. 【解答】(1)当 t5 或秒时,四边形 PQDC 是平行四边形;(2)当秒或秒或秒时,

13、PQD 是等腰三角形. 【解析】(1)设运动时间为 t 秒, 四边形 PQDC 是平行四边形, DQCP, 当 P 从 B 运动到 C 时, DC13cm,BC21cm, 16t212t, 解得 t5, 当 P 从 C 运动到 B 时, DQADAQ16t, CP2t21, 16t2t21,解得, 当 t5 或秒时,四边形 PQDC 是平行四边形; (2)PQD 是等腰三角形有三种情况, 当 PQPD 时, 作 PHAD 于 H,则 HQHD, 当 P 从 B 运动到 C 时, , 由 AHBP 得,解得秒; 当点 P 从 C 向 B 运动时,观察图象可知,只有由题意:,解得秒; 当 PQQD

14、,当 P 从 B 运动到 C 时,QHAHAQBPAQ2ttt,QD16t, ,解得秒; 当 QDPD,当 P 从 C 运动到 B 时,则 DH ADAHADBP162t, 即, 方程无实数根. 综上,当秒或秒或秒时,PQD 是等腰三角形. 7. 在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,A(0,4),B(3,0),C(5,4). (1)求ABC 的面积; (2)过 A 作 ADBC 于 D,延长 AD 交 x 轴于点 E,求 AE 的长; (3)在(2)的条件下,设 BC 交 y 轴于点 F、G 是 y 轴左侧的点,使得以 A、G、E、F 为顶点的四边形是平行 四边形,求点 G 的坐标. 【解

15、答】(1)10;(2);(3)点 G 的坐标为或 【解析】(1)A(0,4)、C(5,4), AC5,OA4,ACOB, ; (2)B(3,0),OB3, ,ABAC, ADBC,BDCD, ACOB,BDEC, 在BDE 和CDA 中, BDECDA(ASA), BEAC5,OEBEOB2, ; (3)分两种情况: AE 为对角线时,四边形 AGEF 是菱形, 则 GEAF,GEEFAF, 设 GEEFAFx,则 OF4x, 在 RtOEF 中,由勾股定理得,解得; EF 为对角线时,点 G 的坐标为, 综上所述,G 是 y 轴左侧的点,以 A、G、E、F 为顶点的四边形是平行四边形,点 G 的坐标为或 .

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