1、高考调研高考调研 第第1页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第三章第三章 导数及应用导数及应用 高考调研高考调研 第第2页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 第第3课时课时 导数的应用导数的应用(二二)极值与最值极值与最值 高考调研高考调研 第第3页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 理解极值的概念，会用导数求多项式函数的极大值、极 小值及闭区间上的最大值、最小值或以极值、最值为载体求 参数的范围
2、 请注意 极值与最值也是高考中的重中之重，每年必考，并且考 查形式多样 高考调研高考调研 第第4页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 授授人以渔人以渔 自助餐自助餐 题组层级快练题组层级快练 高考调研高考调研 第第5页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 课前自助餐课前自助餐 高考调研高考调研 第第6页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1函数的极值 (1)设函数f(x)在点x0
3、附近有定义，如果对x0附近的所有的 点，都有f(x) f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0)，那 么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值与 极小值统称为极值 高考调研高考调研 第第7页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方 法： 如果xx0有f(x) 0，那么f(x0)是极大值； 如果xx0有f(x) 0，那么f(x0)是极小值 高考调研高考调
4、研 第第8页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2求可导函数f(x)极值的步骤 (1) ； (2) ； (3)检验f(x)在方程f(x)0的 的符号，如果在根 的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根 处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为 正，那么函数yf(x)在这个根处取得 求导数f(x) 求方程f(x)0的根 根左右的值 极大值 极小值 高考调研高考调研 第第9页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3函数的最值的概念 设函数yf(x)在
5、 上连续，在 内可导，函数 f(x)在a，b上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数yf(x) 的最大(最小)值 4求函数最值的步骤 设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在 a，b上的最值，可分两步进行： (1) ； (2) a，b (a，b) 求f(x)在(a，b)内的极值 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小值 高考调研高考调研 第第10页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1判断下列说法是否正确(打“”或“”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值
6、是唯一的 (2)函数的极大值不一定比极小值大 (3)导数等于0的点一定是函数的极值点 (4)若x0是函数yf(x)的极值点，则一定有f(x0)0. (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一 定是极小值 (6)函数f(x)xsinx有无数个极值点 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 高考调研高考调研 第第11页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2函数yx33x29x(2x2)有( ) A极大值为5，极小值为27 B极大值为5，极小值为11 C极大值为5，无极小值 D极大值为27，无极小值 答案 C
7、解析 y3x26x93(x22x3) 3(x3)(x1)， y0时，x3或x1. 2x0 Bm1 Dm1 答案 B 解析 yexm，则exm0必有根，mex0) (1)求 f(x)的表达式； (2)求函数 f(x)的单调区间、极大值和极小值 题型一题型一 利用导数研究函数极值利用导数研究函数极值 高考调研高考调研 第第17页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)f(x)x22ax3a2. (2)令 f(x)x22ax3a20，得 xa 或 x3a. 则当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x (，
8、 a) a (a,3a) 3a (3a，) f(x) 0 0 f(x) 递增 5 3a 31 递减 9a3 1 递增 可知：当 x(，a)时，函数 f(x)为增函数； 当 x(3a，)时，函数 f(x)也为增函数； 高考调研高考调研 第第18页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 当 x(a,3a)时，函数 f(x)为减函数 当 xa 时，f(x)的极大值为5 3a 31； 当 x3a 时，f(x)的极小值为9a31. 【答案】 (1)f(x)x22ax3a2 (2)单调递增区间为 (，a)，(3a，)；单调递减区间为(a,3a)
9、；极大值 为5 3a 31，极小值为9a31 高考调研高考调研 第第19页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 探究1 掌握可导函数求极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求方程f(x)0的根； (3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定 义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的 符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤 不可缺少，f(x)0是函数有极值的必要条件 高考调研高考调研 第第20页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用
10、新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 已知函数f(x)x212alnx(a0)求函 数f(x)的极值 思考题思考题1 【解析】 因为 f(x)x212alnx(x0)， 所以 f(x)2x2a x 2x 2a x . (1)当 a0，且 x2a0，所以 f(x)0 对 x0 恒成立所 以 f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值 高考调研高考调研 第第21页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)当 a0 时， 令 f(x)0，解得 x1 a，x2 a(舍去) 所以当 x0 时，f(x)，f(x)的
11、变化情况如下表： x (0， a) a ( a，) f(x) 0 f(x) 递减 极小值 递增 所以当 x a时，f(x)取得极小值，且 f(a)( a)21 2aln aa1alna. 高考调研高考调研 第第22页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 综上，当 a0 时，函数 f(x)在 x a处取得极小值 a1alna. 【答案】 a0时极小值为a1alna 高考调研高考调研 第第23页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 例2 已知f(x)ax5bx3c(a0)
12、若f(x)在x1处有极 值，且极大值为4，极小值为1，求a，b，c. 【思路】 显然有f(1)f(1)0.难点区分：x为何值 f(x)取得极大值x为何值f(x)取得极小值 题型二题型二 利用极值求参数值利用极值求参数值 高考调研高考调研 第第24页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)， 依题意知 x1，x1 为方程 5ax23b0 的两根 5a3b. f(x)5ax2(x21)5ax2(x1)(x1) f(x)ax55 3ax 3c. a0，f(x)与 f(x)变化情况如下表
13、： 高考调研高考调研 第第25页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 x (， 1) 1 ( 1,0) 0 (0,1) 1 (1， ) f(x) 0 0 0 f(x) 2 3ac c 2 3a c 2 3ac4， 2 3ac1， 解得 a9 4，c 5 2，b 15 4 . 高考调研高考调研 第第26页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【答案】 a9 4，c 5 2，b 15 4 . 探究2 已知极值求参数值或范围时，关键是利用单调性 判断出哪个是极大值点，哪个是
14、极小值点 高考调研高考调研 第第27页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (1)若函数f(x)x33ax23(a2)x6有 极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_ 【解析】 f(x)3x26ax3(a2) 令3x26ax3(a2)0，即x22axa20. 函数f(x)有极大值和极小值， 方程x22axa20有两个不相等的实根 即4a24a80，a2或a2或a0，f(x)在(，2 3) 上单调递增； 高考调研高考调研 第第29页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习
15、当 x(2 3，2 3)时，f(x)0，f(x)在(2 3，) 上单调递增 综上，f(x)的单调增区间是(，2 3)和(2 3， )， f(x)的单调减区间是(2 3，2 3) 高考调研高考调研 第第30页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 f(x)3x26ax33(xa)21a2 当 1a20 时，f(x)0，f(x)为增函数，故 f(x)无极值 点； 当 1a20 时，f(x)0 有两个根 x1a a21， x2a a21. 由题意，知 2a a213，(*) 或 2a a213，(*) (*)无解，(*)的解为5 4a0时
16、，求函数f(x)在1,2上的最小值 思考题思考题3 【解析】 (1)f(x)1 xa(x0)， 当 a0 时，f(x)1 xa0， 即函数 f(x)的单调增区间为(0，) 高考调研高考调研 第第36页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 当 a0 时，令 f(x)1 xa0，可得 x 1 a. 当 0x0； 当 x1 a时，f(x) 1ax x 0， 故函数 f(x)的单调递增区间为(0，1 a， 单调递减区间为(1 a，) 高考调研高考调研 第第37页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理）
17、 高三总复习高三总复习 (2)当1 a1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函 数，f(x)的最小值是 f(2)ln22a. 当1 a2，即 0a 1 2时，函数 f(x)在区间1,2上是增函 数，f(x)的最小值是 f(1)a. 当 11 a2，即 1 2a1 时，函数 f(x)在1， 1 a上是增函数， 在1 a， 2上是减函数 又 f(2)f(1)ln2a， 当 1 2aln2 时， 最小值是 f(1)a； 高考调研高考调研 第第38页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 当ln2a1时，最小值为f(2)ln22
18、a. 综上可知， 当0a0 时，单调递增区间为(0，1 a；单调递减区间为( 1 a，) (2) 略 高考调研高考调研 第第39页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题型四题型四 利用最值求参数值利用最值求参数值 例 4 (2015 安徽毛坦厂中学期末)已知 f(x)axlnx，x (0，e，g(x)lnx x ，x(0，e，其中 e 是自然对数的底数， aR. (1)讨论 a1 时，函数 f(x)的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)1 2； (3)是否存在正实数 a，使 f(x)的最小值是 3？若存
19、在，求 出 a 的值；若不存在，请说明理由 高考调研高考调研 第第40页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 【解析】 (1)f(x)xlnx，f(x)11 x x1 x ， 当 0x1 时，f(x)0，此时 f(x)单调递减； 当 10，此时 f(x)单调递增 f(x)的极小值为 f(1)1. 高考调研高考调研 第第41页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)证明：f(x)的极小值为 1，即 f(x)在(0，e上的最小 值为 1，f(x)min1. 又 g(x
20、)1lnx x2 ， 当 0x0，g(x)在(0，e上单调递增 g(x)maxg(e)1 e1 2. 在(1)的条件下，f(x)g(x)1 2. 高考调研高考调研 第第42页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (3)假设存在正实数 a， 使 f(x)axlnx(x(0， e)有最小 值 3， 则 f(x)a1 x ax1 x . 当 01 a0时，如下表： 思考题思考题4 x (1,0) 0 (0,2) f(x) 0 f(x) 极大值 高考调研高考调研 第第46页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理
21、）数学（理） 高三总复习高三总复习 当x0时，f(x)取得最大值，f(0)3，b3. 又f(1)7a3f(2)16a3， 最小值f(2)16a329，a2. 当a0时，如下表： x (1,0) 0 (0,2) f(x) 0 f(x) 极小值 高考调研高考调研 第第47页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1函数的最值是整个定义域上的问题，而函数的极值只 是定义域的局部问题 2f(x0)0是f(x)在xx0处取得极值的必要非充分条件， 因为求函数的极值，还必须判断x0两侧的f(x)的符号是否相 反 3求f(x)的最值应注意在闭区间
22、上研究，还是在开区间 上研究，若闭区间上最值问题只需比较端点值与极值即可， 若开区间上最值问题，注意考查f(x)的有界性 高考调研高考调研 第第48页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 自助餐自助餐 高考调研高考调研 第第49页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 1设函数f(x)xex，则( ) Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点 Dx1为f(x)的极小值点 答案 D 解析 f(x)(x1)ex，当x1时，f(x)1
23、时， f(x)0，所以x1为f(x)的极小值点，故选D. 高考调研高考调研 第第50页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 2函数 f(x)(x1)(x2)2在0,3上的最小值为( ) A8 B4 C0 D. 4 27 答案 B 解析 f(x)(x2)22(x1)(x2)(x2)(3x4) 令 f(x)0 x14 3，x22，结合单调性，只要比较 f(0) 与 f(2)即可f(0)4，f(2)0. 故 f(x)在0,3上的最小值为 f(0)4.故选 B. 高考调研高考调研 第第51页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版
24、新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 3当函数 yx 2x取极小值时，x( ) A. 1 ln2 B 1 ln2 Cln2 Dln2 答案 B 解析 由 yx 2x，得 y2xx 2x ln2. 令 y0，得 2x(1x ln2)0.2x0，x 1 ln2. 高考调研高考调研 第第52页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 4(2015 上海徐汇区诊断)已知函数 f(x)1 2x 3x27 2x， 则 f(a2)与 f(1)的大小关系为( ) Af(a2)f(1) Bf(a2)f(1) Cf(a2)f(1) Df(
25、a2)与 f(1)的大小关系不确定 答案 A 高考调研高考调研 第第53页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析 由题意可得 f(x)3 2x 22x7 2. 由 f(x)1 2(3x7)(x1)0，得 x1 或 x 7 3. 当 x1 时，f(x)为增函数；当1x0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值 答 案 (1) 单 调 递 增 区 间 为 ( 1 43a 3 ， 1 43a 3 )，单调递减区间为(， 1 43a 3 )， (1 43a 3 ，) 高考
26、调研高考调研 第第56页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)a4 时，f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最 大值； 1a4 时， f(x)在 x0 处取得最小值， 在 x1 43a 3 处取得最大值； a1 时，f(x)在 x0 和 x1 处同时取得最小值，在 x 1 43a 3 处取得最大值； 0a1 时， f(x)在 x1 处取得最大值， 在 x1 43a 3 处取得最大值 高考调研高考调研 第第57页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 解析
27、 (1)f(x)的定义域为(，)， f(x)1a2x3x2. 令 f(x)0，得 x11 43a 3 ，x21 43a 3 ， x1x2. 所以 f(x)3(xx1)(xx2) 当 xx2时，f(x)0；当 x1x0. 故 f(x)在(，x1)和(x2，)上单调递减，在(x1，x2) 上单调递增 高考调研高考调研 第第58页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 (2)因为 a0，所以 x10. 当 a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0,1上单调递增， 所以 f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值 当 0a4 时
28、， x21， 由(1)知， f(x)在0， x2上单调递增， 在x2,1上单调递减，所以 f(x)在 xx21 43a 3 处取得 最大值 高考调研高考调研 第第59页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 又f(0)1，f(1)a，所以 当0a1时，f(x)在x1处取得最小值； 当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值； 当1a0 在3，)上恒成立，故只能 a0，所以 2ax2(14a)x (4a22)0 在3，)上恒成立 令函数 g(x)2ax2(14a)x(4a22)，其对称轴为 x 1 1 4a.因为 a0，所以 1 1 4a0，所以 00)则 h(x)1 x12x 2x11x x ， 所以当 0x0， 函数 h(x)在(0,1) 上为增函数，当 x1 时，h(x)0，所以 bx h(x)0.因此 当 x1 时，b 取得最大值 0. 高考调研高考调研 第第64页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练 (第一次作业第一次作业) 高考调研高考调研 第第65页页 第三章第三章 导数及应用导数及应用 新课标版新课标版 数学（理）数学（理） 高三总复习高三总复习 题组层级快练题组层级快练 (第二次作业第二次作业)
