1、题型七题型七 平行四边形平行四边形 1. 如图，在正方形 ABCD中，点 P是 AB上一动点（不与 A、B重合），对角线 AC、BD相交于点 O，过 点 P 分别作 AC、BD的垂线，分别交 AC、BD于点 E、F，交 AD、BC于点 M、N下列结论： APEAME； PM+PN=AC； PE2+PF2=PO2； POFBNF； 点 O在 M、N 两点的连线上 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP，CP 的延长线分别交 AD于 点 E，F，连接 BD，DP，BD 与 CF 相交于点 H，给出下列结论：BE2AE； DFPBP
2、H；PFDPDB；DP2PH PC.其中正确的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，在矩形 ABCD中，E是 AD边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接 DF，分析下列四个结论： AEFCAB；CF=2AF；DF=DC；tanCAD= 其中正确的结论有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2个 D. 1 个 4. 如图，四边形 ABCD为菱形，AB=BD，点 B、C、D、G 四个点在同一个 圆O上， 连接 BG 并延长交 AD于点 F， 连接 DG 并延长交 AB于点 E， BD 与 CG交于点 H，连接 FH，下列结论： AE=DF； FHAB； DGHBGE； 当 CG为O 的
3、直径时， DF=AF 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在矩形 ABCD中，AB3，AD4，CE 平分ACB，与对角线 BD 相交于点 N， F是线段 CE 的中点， 则下列结论中正确的有 （） 个 OF ；ON；SCON；sinACE A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F分别在 BC，CD上，AEF 是等边三角形，连 接 AC交 EF于点 G，下列结论：CECF，AEB75 ，AG2GC， BE+DFEF，SCEF2SABE，其中结论正确的个数为（） A. 2 个 B. 3个 C. 4 个 D. 5
4、个 7. 如图，在正方形 中， ， 分别为、的中点，连接，交于点 ，将沿对折，得到，延长交延长线于点 ，有下列结 论：；. 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，F是边 CD 上的动点，AEBF 交 BC 于点 E，垂足为 G，连结 CG. 下列说法： CFBE； CGBG； CG的最小值为；在 F从 D 运动到 C的过程中，线段 CG扫过的区 域的面积 S=6- . 其中正确的说法是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，点 P 在线段 BC 上（不含 点 B
5、），BPE= ACB，PE交 BO于点 E，过点 B作 BFPE，垂足为 F，交 AC 于点 G.现给出下列命题： 若点 P 与点 C 重合时， SPED=S正方形ABCD； BF= PE. 则（ ） A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 10. 如图，等边ABC中，D、E 分别为 AC、BC 边上的点，AD=CE，连 接 AE、BD 交于点 F，CBD、AEC 的平分线交于 AC 边上的点 G， BG与AE交于点H， 连接FG.下列说法： ABDCAE； BGE=30 ； ABG=BGF；AB=AH+FG；SAGE：SBGC=
6、DG：GC，其中正 确的说法有（ ） A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 11. 如图，在正方形 ABCD 中，点 O是对角线 AC、BD的交点，过点 O作射 线 OM、ON 分别交 BC、CD于点 E、F，且EOF=90 ，OC、EF 交于点 G给出下列结论：COEDOF；OGEFGC；四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD面积的 ；DF2+BE2=OGOC其中正确的是 （ ） A. B. C. D. 12. 如图，在等边三角形 ABC的 AC，BC 边上分别任取一点 P，Q，且 AP=CQ，AQ、 BP 相交于点 O.下列四个结论：若 PC=2AP，则 BO=6OP
7、；若 BC=8，BP=7， 则 PC=5； AP2=OPAQ； 若 AB=3， 则 OC 的最小值为 ， 其中正确的是 （ ） A. B. C. D. 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：四边形 ABCD 是正方形 BAC=DAC=45 在APE和AME 中， ， APEAME，故正确； PE=EM= PM， 同理，FP=FN= NP 正方形 ABCD中 ACBD， 又PEAC，PFBD， PEO=EOF=PFO=90 ，且APE 中 AE=PE 四边形 PEOF是矩形 PF=OE， PE+PF=OA， 又PE=EM= PM，FP=FN= NP，OA= AC， PM+PN=AC，
8、故正确； 四边形 PEOF是矩形， PE=OF， 在直角OPF中，OF2+PF2=PO2， PE2+PF2=PO2，故正确 BNF 是等腰直角三角形，而POF 不一定是，故错误； OA 垂直平分线段 PMOB 垂直平分线段 OB， OM=OP，ON=OP， OM=OP=ON， 点 O 是PMN 的外接圆的圆心， MPN=90 ， MN 是直径， M，O，N 共线，故正确 故选：B 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断APM和BPN以及APE、BPF 都是等腰直 角三角形，四边形 PEOF是矩形，从而作出判断 本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，认识APM 和BPN
9、以及APE、BPF 都是等腰 直角三角形，四边形 PEOF 是矩形是关键 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握 性质和定理正确利用直角三角形 30度角的性质即可解决问题；正确，根据两角相等两个三角形相 似即可判断；错误通过计算证明FDP=PBD，而PDB=30DFP=60 ，BPD 与DPF均为钝角， 即可判断；正确利用相似三角形的性质即可证明 【解答】 解：BPC 是等边三角形， BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=60 ， 在正方形 ABCD中， AB=BC=CD=AD，A=ADC=BCD=A
10、BC=90 ， ABE=DCF=30 ， BE=2AE，故正确； PC=CD，PCD=30 ，PDC=75 ，FDP=15 ， DBA=45 ，PBD=15 ， FDP=PBD， DFP=PCB=BPC=60 ， DFPBPH；故正确； FDP=PBD=15 ，ADB=45 ， PDB=30 ，而DFP=60 ， PFDPDB，而BPD与DPF 均为钝角， PFD 与PDB不会相似，故错误； PDH=PCD=30 ，DPH=DPC， DPHCPD， DP2=PHPC，故正确. 故正确的有， 故选 C 3.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确作出辅助
11、线是解题的关键 四边形 ABCD是矩形，BEAC，则ABC=AFE=90 ，又由矩形对边平行得到EAC=ACB，于是 AEFCAB，故正确； 由 AE= AD= BC，又 ADBC，所以，故正确； 过 D作 DMBE 交 AC于 N，得到四边形 BMDE是平行四边形，求出 BM=DE= BC，得到 CN=NF，根据 线段的垂直平分线的性质可得结论，故正确； 设 AD=a，AB=b，由BAEADC，可得 a=b，则 tanCAD=，故错误 【解答】 解：过 D 作 DMBE交 AC于 N， 四边形 ABCD是矩形， ADBC，ABC=90 ，AD=BC， BEAC于点 F， EAC=ACB，AB
12、C=AFE=90 ， AEFCAB，故正确； ADBC，AEFCBF， AE= AD= BC， CF=2AF，故正确， DEBM，BEDM， 四边形 BMDE 是平行四边形， BM=DE= BC，BM=CM， 又 BFMN，CN=NF， BEAC于点 F，DMBE， DNCF，DF=DC，故正确； 设 AD=a，AB=b， 由BAEADC，有，即 a=b， tanCAD=，故错误， 故正确的有，共 3个， 故选：B 4.【答案】D 【解析】解：四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=DC=AD， 又AB=BD， ABD 和BCD是等边三角形， A=ABD=DBC=BCD=CDB=BDA=60
13、， 又B、C、D、G四个点在同一个圆上， DCH=DBF，GDH=BCH， ADE=ADB-GDH=60 -EDB，DCH=BCD-BCH=60 -BCH， ADE=DCH， ADE=DBF， 在ADE和DBF 中， ADEDBF（ASA） AE=DF 故正确， 由中证得ADE=DBF， EDB=FBA， B、C、D、G四个点在同一个圆上，BDC=60 ，DBC=60 ， BGC=BDC=60 ，DGC=DBC=60 ， BGE=180 -BGC-DGC=180 -60 -60 =60 ， FGD=60 ， FGH=120 ， 又ADB=60 ， F、G、H、D四个点在同一个圆上， EDB=H
14、FB， FBA=HFB， FHAB， 故正确， B、C、D、G四个点在同一个圆上，DBC=60 ， DGH=DBC=60 ， EGB=60 ， DGH=EGB， 由中证得ADE=DBF， EDB=FBA， DGHBGE， 故正确， 如下图 CG 为O的直径，点 B、C、D、G四个点在同一个圆O上， GBC=GDC=90 ， ABF=120 -90 =30 ， A=60 ， AFB=90 ， AB=BD， DF=AF， 故正确， 正确的有； 故选：D 由四边形 ABCD是菱形，AB=BD，得出ABD和BCD 是等边三角形，再由 B、C、D、G四个点在同一 个圆上，得出ADE=DBF，由ADEDB
15、F，得出 AE=DF， 利用内错角相等FBA=HFB，求证 FHAB， 利用DGH=EGB 和EDB=FBA，求证DGHBGE， 利用 CG为O的直径及 B、C、D、G四个点共圆，求出ABF=120 -90 =30 ，再利用等腰三角形的性质 求得 DF=AF 此题综合考查了圆及菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，运用四点共圆找 出相等的角是解题的关键解题时注意各知识点的融会贯通 5.【答案】C 【解析】解：如图，过点 E 作 EHAC于 H， AB=3，AD=4， AC= =5， 四边形 ABCD是矩形， AO=CO=DO=BO= ， CE平分ACB，EHAC，ABC=
16、90 ， BE=EH， SABC =SAEC+SBCE， AB BC= AC EH+ BC BE， 3 4=5 EH+4 EH， EH= =BE， AE=AB-BE= ， F 是线段 CE 的中点，AO=CO， OF= AE= ，OFAB， 故正确； OFAB， = = ， ON= BN， ON+BN=BO= ， BN=，NO=， 故正确； SBOC= S矩形ABCD， SBOC = 3 4=3， ON= BN， SCON =， 故正确； BE= ，BC=4， EC= =， sinACE=， 故错误， 故选：C 利用面积法可求 BE的长，由三角形的中位线定理可求 OF的长，可判断；由平行线分线
17、段成比例可求 ON 的长，可判断；由面积关系可求ONC，可判断；由勾股定理可求 EC的长，由锐角三角函数可求 sinACE的值，可判断，即可求解 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐 角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 6.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质 的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键 通过条件可以得出ABEADF，从而得出BAEDAF，BEDF，得到 CECF；由正方形的性质就可 以得
18、出AEB75 ；设 ECx，由勾股定理得到 EF，表示出 BE，利用三角形的面积公式分别表示出 SCEF 和 2SABE，再通过比较大小就可以得出结论 【解答】 解：四边形 ABCD是正方形， ABBCCDAD，BBCDDBAD90 ， AEF 等边三角形， AEEFAF，EAF60 ， BAE+DAF30 ， 在 RtABE 和 RtADF中， ， RtABERtADF（HL）， BEDF， CECF，故正确； BAEDAF， DAF+DAF30 ， 即DAF15 ，AEB75 ，故正确； 设 ECx，由勾股定理，得 EFx，CGx， AGAEsin60 EFsin60 2 CGsin60
19、x， AG2GC，错误； CGx，AG x， AC x， ABACx， BExx x， BE+DF（1）x， BE+DFEF，故错误； SCEF x2， SABEBE ABxxx2， 2SABE=SCEF，故正确 综上所述，正确的有 3个， 故选：B 7.【答案】B 【解析】 【分析】 本题是四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折 叠的性质等知识点. BCF沿 BF对折，得到BPF，利用角的关系求出 QF=QB；首先证明ABEBCF，再利用角的关系 求得BGE=90 ， 即可得到 AEBF； 利用 QF=QB， 解出 BP， QB， 根据正弦的定
20、义即可求解； 证明BGE 与BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解. 【解答】 解：在正方形 ABCD中，AB=BC=CD=AD， 由折叠可得，FP=FC，PFB=BFC，FPB=90 ，PB=BC， CDAB， CFB=ABF， ABF=PFB， QF=QB，故正确； E，F分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点， CF=BE，BP=CB=2CF， 在ABE和BCF 中， ， ABEBCF（SAS）， BAE=CBF， 又BAE+BEA=90 ， CBF+BEA=90 ， BGE=90 ， AEBF，故正确； 由知，QF=QB， 令 PF=k（k0），则 CF=
21、k，PB=2k， 在 RtBPQ 中，设 QB=x， x 2=（x-k）2+4k2， x=， sinBQP=，故正确； BGE=BCF，GBE=CBF， BGEBCF， BE= BC，BF=BC， BE：BF=1：， BGE 的面积：BCF 的面积=1：5， S 四边形ECFG=4SBGE，故错误 综上所述，正确 故选 B. 8.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆面积的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出 ABE 和BCF全等是解题的关键， 求得BAE=CBF， 根据正方形的性质可得 AB=BC， ABC=BCF=90 ， 然后利用“角边角”证明
22、ABE和BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得 BE=CF，判断出正确；根 据正方形对角线的性质可得出当 E 移动到与 C 重合时，F 点和 D点重合，此时 G 点为 AC中点，也是 BD的 中点，故正确；由于 OC和 OG的长度是一定的，因此当 O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根 据勾股定理求解可得错误；根据题意，在 F从 D运动到 C 的过程中，G从 AC 的中点运动到 B，点 G运 动的轨迹为 圆，即线段 CG扫过的区域的面积为以 O、B、C、AC 的中点组成的四边形的面积减去线段 OG 扫过的区域的面积，判断出正确 【解答】 解：如图， BFAE， AEB+CBF=90 ，
23、 AEB+BAE=90 ， BAE=CBF， 在ABE和BCF 中， ， ABEBCF（ASA）， BE=CF， 故正确； 在正方形 ABCD 中，AEBF， AGB 保持 90 不变， G 点的轨迹是以 AB 中点 O为圆心，AO 为半径的圆弧， 当 E移动到与 C 重合时，F点和 D 点重合，此时 G点为 AC 中点，也是 BD的中点， 又四边形 ABCD为正方形， AC=BD， CGBG，故正确； 由于 OC和 OG的长度是一定的，因此当 O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值， 又 OB=2，BC=4， OC= =2， CG 的最小值为 OC-OG=2-2， 故错误； 在 F从 D运
24、动到 C 的过程中，G从 AC 的中点运动到 B， 点 G 运动的轨迹为 圆， 线段 CG 扫过的区域的面积 S=2 2+ 2 2- 22=6-， 故正确； 综上所述，正确的结论有 故选 D 9.【答案】A 【解析】解：若点 P 与点 C 重合时，在 OC上截取 OH=OE，连接 EH，如图 1所示： 设 OH=OE=a， 四边形 ABCD是正方形，P与 C 重合， OB=OP=OD，BOC=90 ，ACB=45 ，POD的面积= S正方形ABCD， BPE= ACB=22.5 ，OEH 是等腰直角三角形， OCE=45 -22.5 =22.5 ，EH=OH=a，OHE=45 ， OHE=OC
25、E+CEH， CEH=22.5 =OCE， CH=EH=a， OC=OH+CH=a+a， S 正方形ABCD=4SPOD=4 （a+ a）2=（6+4 ）a2， SPED =SPOD+SOPE= （a+a）2+ a （a+a）= （4+3）a2， =， SPED =S正方形ABCD，故正确，是真命题； 过 P作 PMAC交 BG于 M，交 BO于 N，如图 2 所示： PNE=BOC=90 ，BPN=OCB OBC=OCB=45 ， NBP=NPB NB=NP， MBN=90 -BMN，NPE=90 -BMN， MBN=NPE， 在BMN 和PEN中， ， BMNPEN（ASA）， BM=PE
26、， BPE= ACB，BPN=ACB， BPF=MPF PFBM， BFP=MFP=90 在BPF和MPF中， ， BPFMPF（ASA）， BF=MF， BF= BM， BF= PE，故正确，是真命题； 故选：A 若点 P 与点 C 重合时，在 OC上截取 OH=OE，连接 EH，设 OH=OE=a，证OEH是等腰直角三角形，得 EH=OH=a，OHE=45 ，再证CEH=22.5 =OCE，则 CH=EH=a，得 OC=OH+CH=a+a，然后求 出 S正方形ABCD=（6+4 ）a2，SPED= （4+3 ）a2，求解即可 过 P作 PMAC交 BG于 M，交 BO于 N，易证得BMNP
27、EN（ASA），BPFMPF（ASA），即可 得 BM=PE，BF= BM，即可得出结论 此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等腰直角三 角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角 形全等是解题的关键，属于中考常考题型 10.【答案】A 【解析】解：ABC 是等边三角形， AB=AC=BC，ACB=BAC=60 ， 在ABD和CAE 中， ， ABDCAE（SAS），故正确， ABDCAE， CAE=ABD， BFE=BAE+ABD， BFE=BAE+CAE=BAC=60 ， AEC=EBF+BFE
28、， AEC=FBE+60 ， CBD、AEC的平分线交于 AC 边上的点 G， GEC= AEC= FBE+30 ，GBE= CBD= FBE， GEC=GBE+BGE， BGE=30 ，故正确， FG 平分DFE，BG平分FBE， 同法可得BGF= AEB= （EAC+C）= EAC+30 ， ABG=ABD+DBG=ABD+ （60 -ABD）= ABD+30 ， ABD=EAC， ABG=BGF，故正确， 过点 G作 GTBD 于 T，GJAE 于 J，GKBC于 K， GB 平分DBC，GE平分AEC， GT=GK=GJ， GFJ=C=60 ，GJF=GKC=90 ， GJFGKC（A
29、AS）， GF=GC， BAH+EAC=EAC+AGF=60 ， BAH=AGF， AHG=ABG+BAH，AGH=BGF+AGF， AHG=AGH， AH=AG， AH+GF=AG+GC=AC=AB， AB=AH+GF，故正确， =， AE=BD， =， =， =，故正确， 故选：A 正确根据 SAS 证明三角形全等即可 正确证明BGE= BFE，BFE=60 即可 正确证明BGF=30 + EAC，ABG=30 + ABD即可 正确过点 G作 GTBD于 T，GJAE于 J，GKBC 于 K，想办法证明 GF=GC，AH=AG即可 正确由题意，=，因为 AE=BD，推出=，又因为=，由此可
30、得结 论 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找 全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题 11.【答案】B 【解析】解：四边形 ABCD 是正方形， OC=OD，ACBD，ODF=OCE=45 ， MON=90 ， COM=DOF， COEDOF（ASA）， 故正确； EOF=ECF=90 ， 点 O、E、C、F 四点共圆， EOG=CFG，OEG=FCG， OGEFGC， 故正确； COEDOF， SCOE =SDOF， ， 故正确； ）COEDOF， OE=OF，又EOF=90 ， EOF 是等腰直角三角形， OEG=OCE=45
31、 ， EOG=COE， OEGOCE， OE：OC=OG：OE， OGOC=OE2， OC= AC，OE=EF， OGAC=EF2， CE=DF，BC=CD， BE=CF， 又RtCEF中，CF2+CE2=EF2， BE2+DF2=EF2， OGAC=BE2+DF2， 故错误， 故选：B 由正方形证明 OC=OD，ODF=OCE=45 ，COM=DOF，便可得结论； 证明点 O、E、C、F 四点共圆，得EOG=CFG，OEG=FCG，进而得 OGEFGC 便可； 先证明 SCOE=SDOF， 便可； 证明OEGOCE，得 OGOC=OE2，再证明 OGAC=EF2，再证明 BE2+DF2=EF
32、2，得 OGAC=BE2+DF2 便可 本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性 质、勾股定理的综合运用解题时注意：全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例 12.【答案】B 【解析】解：ABC 是等边三角形， AC=BC， AP=CQ， CP=BQ， PC=2AP， BQ=2CQ， 如图，过 P作 PDBC交 AQ于 D， ADPAQC，PODBOQ， = ，=， CQ=3PD， BQ=6PD， BO=6OP；故正确； 过 B 作 BEAC 于 E， 则 CE= AC=4， C=60 ， BE=4， PE=1， PC=4+1=5，或
33、 PC=4-1=3，故错误； 在等边ABC中，AB=AC，BAC=C=60 ， 在ABP与CAQ 中， ， ABPACQ（SAS）， ABP=CAQ，PB=AQ， APQ=BPA， APDBPA， =， AP2=OPPB， AP2=OPAQ故正确； 以 AB为边作等边三角形 NAB，连接 CN， NAB=NBA=60 ，NA=NB， PBA=QAC， NAO+NBO=NAB+BAQ+NBA+PBA =60 +BAQ+60 +QAC =120 +BAC =180 ， 点 N，A，O，B 四点共圆，且圆心即为等边三角形 NAB的中心 M， 设 CM 于圆 M交点 O，CO即为 CO 的最小值， N
34、A=NB，CA=CB， CN 垂直平分 AB， MAD=ACM=30 ， MAC=MAD+BAC=90 ， 在 RtMAC中，AC=3， MA=ACtanACM=，CM=2AM=2， MO=MA=， 即 CO的最小值为，故正确 综上：正确的有 故选：B 根据等边三角形的性质得到 AC=BC，根据线段的和差得到 CP=BQ，过 P 作 PDBC 交 AQ于 D，根据相似 三角形的性质得到正确；过 B 作 BEAC于 E，解直角三角形得到错误；在根据全等三角形的性质得到 ABP=CAQ，PB=AQ，根据相似三角形的性质得到正确；以 AB 为边作等边三角形 NAB，连接 CN，证 明点 N，A，O，B 四点共圆，且圆心即为等边三角形 NAB 的中心 M，设 CM于圆 M 交点 O，CO即为 CO 的最小值，根据 30度角的直角三角形即可求出结果 本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性 质，四点共圆，锐角三角函数，最短路径问题，综合掌握以上知识并正确的作出辅助线是解题的关键
