1、2021 年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（1） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 15 的相反数是（ ） A0.2 B5 C5 D0.2 2下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对标图形的是（ ） A B C D 3中国信息通信研究院指出 5G 对经济社会发展的影响力开始显现，据统计 2020 年 5G 将直接带动经济总 产出约为 8109 亿元将 810 900 000 000 用科学记数法表示应为（ ） A8.1091010 B8.1091011 C81.091010 D0.81
2、091012 4下列事件是必然事件的是（ ） A抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B打开电视频道，正在播放新闻 C射击运动员射击一次，命中十环 D对顶角相等 5已知点 P（12a，a1）在第三象限内，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 6下列计算正确的是（ ） A2a2a21 B （3a2b）26a4b2 Ca3a4a12 Da4a2+a22a2 7关于 x 的方程 x2kx10 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 8如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径 r1，扇形的 半
3、径为 R，扇形的圆心角等于 90，则 R 的值是（ ） AR2 BR3 CR4 DR5 9现代科技的发展已经进入到了 5G 时代，温州地区将在 2021 年基本实现 5G 信号全覆盖5G 网络峰值 速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 4 千兆数据，5G 网络比 4G 网络快 360 秒若设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 千兆数据，则由题意可列方程（ ） A360 B360 C360 D360 10计算：2111，2213，2317，24115，25131，归纳各计算结果中的个位数字规律， 猜测 220211 的个位数字是（ ） A1 B3 C7 D5 11在同一平面
4、直角坐标系中，函数 yax2+bx+2b 与 yax+b 的图象可能是（ ） A B C D 12如图，点 O 为边长为 4 的正方形 ABCD 的中心，将COD 顺时针旋转 （090） ，OB、OC 分 别交 BC、DC 于点 M、N，连接 MN，在旋转过程中，MN 的最小值为（ ） A B2 C2 D4 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 6 小题，每题小题，每题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 13计算（） 14如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是 15如图，已知O 为四边形 ABCD 的外接圆，若BCD120，则BOD 度数为 16如图，在A
5、BC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AEDB，如果 AD2，AE3，CE1，那 么 BD 长为 17如图，M 为双曲线 y上的一点，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交直线 yx+m 于点 D、C 两点，若直线 yx+m 与 y 轴交于点 A，与 x 轴相交于点 B，则 ADBC 的值为 18如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将ABD 沿射线 BD 方向平移，得到EFG，连 接 EC、GC求 EC+GC 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： （） 1+| 2|+（3）0+（2
6、）2 20 （6 分）先化简，再求值： （1），其中 a3 21 （8 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点 A（5，2） 、B（5，5） 、C（1，1）均在格点上 （1）将ABC 向下平移 5 个单位得到A1B1C1； （2）画出A1B1C1绕点 C1逆时针旋转 90后得到的A2B2C1； （3）在（2）的条件下，求A1B1C1在旋转过程中 A1B1扫过的面积 22 （8 分） “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会 主义思想和党的十九大精神的青年学校行动，我校为了解同学某季度学习“青
7、年大学习”的情况，从中 随机抽取 20 位同学，并统计学习时间（学习时间用 x 表示，单位：分钟）收集数据如下： 30 56 80 30 40 110 120 156 90 120 58 80 120 140 70 84 10 20 100 86 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格 课外阅读时间 x （min） 0 x40 40 x80 800 x120 120 x160 人数 4 a 7 b 分析数据：补全下列表格中的统计量 平均数 中位数 众数 80 c d （1）直接写出上述表格中 a，b，c，d 的值； （2）我校有 1800 名同学参加了此次调查活动，请估计学习时间不低于 8
8、0 分钟的人数是多少？ （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义 23 （8 分） 【阅读理解】我们知道，利用相似三角形性质求线段长是常用求线段的方法之一，如图 1，在 ABC 中，D 为 BC 上一点，若BADC，可易证ABDCBA，从而可得 AB2BDBC，若已知其 中两条线段的长即可求出第三条线段的长 （1） 【尝试应用】如图 2，在平行四边形 BCEF 中，D 为 BC 上一点，E 为 AC 上一点，BADC， 若 AB8，BD5，求 EF 的长 （2） 【拓展应用】如图 3，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，EDF 45，E
9、F8，DE12，请直接写出正方形 ABCD 的边长 24 （10 分）正月十五月儿圆，每逢元宵佳节，人们最喜爱在当天进行的活动之一就是与家人一起赏花灯， 某商店决定销售一批花灯，经市场调研，某款花灯的进价每个为 20 元，当售价每个为 24 元时，周销售 量为 160 个，若售价每提高 1 元，周销售量就会减少 10 个，设该款花灯的售价为 x 元（x24） ，周利润 为 y 元，请解答以下问题： （1）求 y 与 x 的函数关系式？ （2）该商店为了获得周利润 750 元，且让利给顾客，售价应为多少元？ （3）要求利润不得高于 40%，当售价定为多少时，该商店获得利润最大，最大利润是多少元？
10、 25 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于两点 A（4，0）和 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C，连 接 AC，BC，AB （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 是ABC 边 BC 上一点，连接 OD，将线段 OD 以 O 为旋转中心，逆时针旋转 90，得到线 段 OE，若点 E 落在抛物线上，求出此时点 E 的坐标； （3）点 M 是抛物线对称轴上一动点，是否存在以 A、C、M 为顶点的等腰三角形，若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由 26 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作
11、 DM AC，垂足为 M，AB、MD 的延长线交于点 N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证 DN2BN （BN+AC） ； （3）若 DN10，cosC，求O 的直径 2021 年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 15 的相反数是（ ） A0.2 B5 C5 D0.2 【分析】直接利用互为相反数的定义得出答案 【解答】解：5 的相反数是：5 故选：C 2下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对标图形
12、的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对标图形，故本选项不合题意 故选：A 3中国信息通信研究院指出 5G 对经济社会发展的影响力开始显现，据统计 2020 年 5G 将直接带动经济总 产出约为 8109 亿元将 810 900 000 000 用科学记数法表示应为（ ） A8.1091010 B8.1091011 C8
13、1.091010 D0.81091012 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：810 900 000 0008.1091011， 故选：B 4下列事件是必然事件的是（ ） A抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B打开电视频道，正在播放新闻 C射击运动员射击一次，命中十环 D对顶角相等 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 【解答】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，
14、是随机事件； B、打开电视频道，正在播放新闻，是随机事件； C、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件； D、对顶角相等，是必然事件； 故选：D 5已知点 P（12a，a1）在第三象限内，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】解两个不等式得出其解集，再根据不等式的解集在数轴上的表示可得答案 【解答】解：点 P（12a，a1）在第三象限， ， 解不等式 12a0，得：a0.5， 解不等式 a10，得：a1， 故选：C 6下列计算正确的是（ ） A2a2a21 B （3a2b）26a4b2 Ca3a4a12 Da4a2+a22a2 【分析】 直接利用合并同类项法则
15、以及积的乘方运算法则、 同底数幂的除法运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、2a2a2a2，故此选项错误； B、 （3a2b）29a4b2，故此选项错误； C、a3a4a7，故此选项错误； D、a4a2+a22a2，正确 故选：D 7关于 x 的方程 x2kx10 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 【分析】根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题 【解答】解：x2kx10， （k）241（1）k2+40， 方程 x2kx10 有两个不相等的实数根， 故选：C 8如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之
16、恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径 r1，扇形的 半径为 R，扇形的圆心角等于 90，则 R 的值是（ ） AR2 BR3 CR4 DR5 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算 【解答】解：扇形的弧长是：， 圆的半径 r1，则底面圆的周长是 2， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：2， 2， 即：R4， 故选：C 9现代科技的发展已经进入到了 5G 时代，温州地区将在 2021 年基本实现 5G 信号全覆盖5G 网络峰值 速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 4 千兆数据，5G 网络比 4G 网络快 360 秒若设 4G 网络的峰
17、值速率为每秒传输 x 千兆数据，则由题意可列方程（ ） A360 B360 C360 D360 【分析】 设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 千兆数据， 则 5G 网络的峰值速率为每秒传输 10 x 千兆数据， 根据传输时间需传输数据的总量在峰值速率下每秒传输数据的量结合在峰值速率下传输 4 千兆数据 5G 网络比 4G 网络快 360 秒，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解 【解答】解：设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 千兆数据，则 5G 网络的峰值速率为每秒传输 10 x 千兆 数据， 依题意，得：360 故选：B 10计算：2111，2213，2317，24115，2513
18、1，归纳各计算结果中的个位数字规律， 猜测 220211 的个位数字是（ ） A1 B3 C7 D5 【分析】根据题目中给出的式子的结果，可以发现结果的个位数字的变化特点，从而可以求得 220211 的个位数字 【解答】解：2111，2213，2317，24115，25131， 结果结果中的个位数字依次以 1，3，7，5 循环出现， 20214505， 220211 的个位数字是 1， 故选：A 11在同一平面直角坐标系中，函数 yax2+bx+2b 与 yax+b 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】根据 yax+b 的图象判断 a、b 与 0 的大小关系，进一步确定函数 yax2+
19、bx+2b 的图象即可 作出判断 【解答】 解： A、 一次函数的图象经过一、 二、 四象限， 则a0， 即 a0， b0， 所以函数 yax2+bx+2b 的图象开口向上， 对称轴 x0， 与 y 轴的交点位于直线的上方， 由 ax2+bx+2bax+b 整理得 ax2+ （a+b） x+b0，由于（a+b）24ab（ab）20，则两图象有交点， 故 A 错误； B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则a0，即 a0，b0，所以函数 yax2+bx+2b 开口向上， 对称轴 x0， 故 B 错误； C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则a0，即 a0，b0，所以函数 yax2+bx+2b
20、开口向下， 对称轴 x0， 故 C 错误； D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则a0，即 a0，b0，所以函数 yax2+bx+2b 开口向上， 对称轴 x0， 故 D 正确； 故选：D 12如图，点 O 为边长为 4 的正方形 ABCD 的中心，将COD 顺时针旋转 （090） ，OB、OC 分 别交 BC、DC 于点 M、N，连接 MN，在旋转过程中，MN 的最小值为（ ） A B2 C2 D4 【分析】过 O 点作 OHCH，如图，根据正方形的性质得到 ODOC，ODCOCB45，DOC 90，OHBC2，再根据旋转的性质得到DOMCON，接着证明DOMCON 得到 OM ON，于是
21、可判断OMN 为等腰直角三角形，所以 MNON，然后根据垂线段最短确定 MN 的的最 小值 【解答】解：过 O 点作 OHCH，如图， 四边形 ABCD 为正方形， ODOC，ODCOCB45，DOC90，OHBC2， COD 顺时针旋转 （090） ，OB、OC 分别交 BC、DC 于点 M、N， MONDOC90， DOMCON， 在DOM 和CON 中， ， DOMCON（ASA） ， OMON， OMN 为等腰直角三角形， MNON， 而当 N 点在 H 点时，ON 的长度最小，最小值为 2， MN 的的最小值为 2 故选：C 二、填空题（本题共计二、填空题（本题共计 6 小题，每题小
22、题，每题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 13计算（） 22 【分析】根据二次根式的乘法法则运算 【解答】解：原式2 22 故答案为 22 14如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是 【分析】利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可 【解答】解：三角形面积为 3223， 正方形面积为 339， 故该棋子落在三角形内的概率是 故答案为： 15如图，已知O 为四边形 ABCD 的外接圆，若BCD120，则BOD 度数为 120 【分析】根据圆内接四边形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， A
23、180BCD60， 由圆周角定理得，BOD2A120， 故答案为：120 16如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AEDB，如果 AD2，AE3，CE1，那 么 BD 长为 4 【分析】根据AEDB，DAECAB，可得AEDABC，对应边成比例即可求出 BD 的长 【解答】解：AEDB，DAECAB， AEDABC， ， ， 解得 BD4 故答案为：4 17如图，M 为双曲线 y上的一点，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交直线 yx+m 于点 D、C 两点，若直线 yx+m 与 y 轴交于点 A，与 x 轴相交于点 B，则 ADBC 的值为 2 【分析】作 CEx
24、 轴于 E，DFy 轴于 F，由直线的解析式为 yx+m，易得 A（0，m） ，B（m，0） ， 得到OAB 等腰直角三角形，则ADF 和CEB 都是等腰直角三角形，设 M 的坐标为（a，b） ，则 ab ， 并且 CEb，DFa，则 ADDFa，BCCEb，于是得到 ADBCab2ab 2 【解答】解：作 CEx 轴于 E，DFy 轴于 F，如图， 对于 yx+m， 令 x0，则 ym；令 y0，x+m0，解得 xm， A（0，m） ，B（m，0） ， OAB 等腰直角三角形， ADF 和CEB 都是等腰直角三角形， 设 M 的坐标为（a，b） ，则 ab， CEb，DFa， ADDFa，B
25、CCEb， ADBCab2ab2 故答案为 2 18如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将ABD 沿射线 BD 方向平移，得到EFG，连 接 EC、GC求 EC+GC 的最小值为 【分析】根据菱形的性质得到 AB1，ABD30，根据平移的性质得到 EGAB1，EGAB，推 出四边形 EGCD 是平行四边形，得到 EDGC，于是得到 EC+GC 的最小值EC+GD 的最小值，根据平 移的性质得到点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上，作点 D 关于定直线的对称点 M，连接 CM 交定直 线于 AE，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：在边长为 1 的菱形 ABCD 中
26、，ABC60， ABCD1，ABD30， 将ABD 沿射线 BD 的方向平移得到EGF， EGAB1，EGAB， 四边形 ABCD 是菱形， ABCD，ABCD， BAD120， EGCD，EGCD， 连接 ED 四边形 EGCD 是平行四边形， EDGC， EC+GC 的最小值EC+ED 的最小值， 点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上， 作点 D 关于定直线的对称点 M，连接 CM 交定直线于 E， 则 CM 的长度即为 EC+DE 的最小值， EADADB30，AD1， ADM60，DHMHAD， DM1， DMCD， CDMMDG+CDB90+30120， MDCM30， C
27、M2CD 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： （） 1+| 2|+（3）0+（2）2 【分析】首先计算乘方、绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解： （） 1+| 2|+（3）0+（2）2 2+2+1+4 9 20 （6 分）先化简，再求值： （1），其中 a3 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，将 a 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 a3 时， 原式 21 （8 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三
28、个顶点 A（5，2） 、B（5，5） 、C（1，1）均在格点上 （1）将ABC 向下平移 5 个单位得到A1B1C1； （2）画出A1B1C1绕点 C1逆时针旋转 90后得到的A2B2C1； （3）在（2）的条件下，求A1B1C1在旋转过程中 A1B1扫过的面积 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可 （2）分别作出 A1，B1的对应点 A2，B2即可 （3）利用弧长公式求解即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求作 （2）如图，A2B2C1即为所求作 （3）在（2）的条件下，A1B1扫过的面积 22 （8 分） “青年大学习”是共青团中央为组织引导广
29、大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会 主义思想和党的十九大精神的青年学校行动，我校为了解同学某季度学习“青年大学习”的情况，从中 随机抽取 20 位同学，并统计学习时间（学习时间用 x 表示，单位：分钟）收集数据如下： 30 56 80 30 40 110 120 156 90 120 58 80 120 140 70 84 10 20 100 86 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格 课外阅读时间 x （min） 0 x40 40 x80 800 x120 120 x160 人数 4 a 7 b 分析数据：补全下列表格中的统计量 平均数 中位数 众数 80 c d （1）直
30、接写出上述表格中 a，b，c，d 的值； （2）我校有 1800 名同学参加了此次调查活动，请估计学习时间不低于 80 分钟的人数是多少？ （3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义 【分析】 （1）将数据重新排列，继而得出 a、b 的值，再根据中位数和众数的定义可得 c、d 的值； （2）用总人数乘以样本中学习时间不低于 80 分钟的人数所占比例； （3）从中位数和众数的意义求解即可 【解答】解： （1）将数据重新排列为 10、20、30、30、56、40、58、70、80、80、84、86、90、100、 110、120、120、120、140、156， a4，b5， 中位数
31、 c82，众数 d120； （2）估计学习时间不低于 80 分钟的人数是 18001080（人） ； （3）中位数：从中位数看，20 名学生中有一半的人数在 82 分以上； 众数：20 名学生中，120 分的人数最多 23 （8 分） 【阅读理解】我们知道，利用相似三角形性质求线段长是常用求线段的方法之一，如图 1，在 ABC 中，D 为 BC 上一点，若BADC，可易证ABDCBA，从而可得 AB2BDBC，若已知其 中两条线段的长即可求出第三条线段的长 （1） 【尝试应用】如图 2，在平行四边形 BCEF 中，D 为 BC 上一点，E 为 AC 上一点，BADC， 若 AB8，BD5，求
32、EF 的长 （2） 【拓展应用】如图 3，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是ABC 内一点，EFAC，EDF 45，EF8，DE12，请直接写出正方形 ABCD 的边长 【分析】 （1）证明ABDCBA，根据相似三角形的性质求出 BC，根据平行四边形的性质解答即可； （2）分别延长 EF，DC 相交于点 G，证明EDFEGD，求出 EG，再证明四边形 AEGC 为平行四边 形，得到 ACEG18，根据正方形的性质计算即可 【解答】解： （1）BADC，ABDCBA， ABDCBA， ，即， 解得，BC， 四边形 BCEF 为平行四边形， EFBC； （2）分别延长 EF，DC
33、 相交于点 G， 四边形 ABCD 是正方形， ACD45，ACAD， EFAC， EGDACD45， EDF45， EDFEGD， GG， EDFEGD， ，即， 解得，EG18， ACEG，ABCD， 四边形 AEGC 为平行四边形， ACEG18， AD189 24 （10 分）正月十五月儿圆，每逢元宵佳节，人们最喜爱在当天进行的活动之一就是与家人一起赏花灯， 某商店决定销售一批花灯，经市场调研，某款花灯的进价每个为 20 元，当售价每个为 24 元时，周销售 量为 160 个，若售价每提高 1 元，周销售量就会减少 10 个，设该款花灯的售价为 x 元（x24） ，周利润 为 y 元，
34、请解答以下问题： （1）求 y 与 x 的函数关系式？ （2）该商店为了获得周利润 750 元，且让利给顾客，售价应为多少元？ （3）要求利润不得高于 40%，当售价定为多少时，该商店获得利润最大，最大利润是多少元？ 【分析】 （1）由周利润等于每包的利润乘以周销售量，列出 y 与 x 的函数关系式，化简即可； （2）当 y750 时，可得关于 x 的一元二次方程，求得方程的解，再根据让利给顾客作出取舍即可； （3）将 y 与 x 的函数关系式写成顶点式，根据利润不得高于 40%及二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）由题意得： y（x20）16010（x24） （x20） （40010
35、 x） 10 x2+600 x8000， y 与 x 的函数关系式为 y10 x2+600 x8000； （2）当 y750 时，75010 x2+600 x8000， 整理，得 x260 x+8750， 解得 x125，x235 让利给顾客， x235（舍） 售价应为 25 元； （3）y10 x2+600 x8000 10（x30）2+1000， 利润不得高于 40%， x202040%， 解得 x28， 二次项系数为负，抛物线开口向下，对称轴为直线 x30， 当 x30 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x28 时，ymax10（2830）2+1000960 当售价定为 28 元时，该
36、商店获得利润最大，最大利润是 960 元 25 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx2 与 x 轴交于两点 A（4，0）和 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C，连 接 AC，BC，AB （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 是ABC 边 BC 上一点，连接 OD，将线段 OD 以 O 为旋转中心，逆时针旋转 90，得到线 段 OE，若点 E 落在抛物线上，求出此时点 E 的坐标； （3）点 M 是抛物线对称轴上一动点，是否存在以 A、C、M 为顶点的等腰三角形，若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）把 A（4，0） ，B（1，0）代入 yax2+bx+2
37、得到关于 a、b 的二元一次方程组，解方程组 即可得到结论； （2） 将ABC 以 O 为旋转中心， 逆时针旋转 90， 得到ABC， 然后分别求出 BC、 BA、 AC与抛物线的交点即可； （3）分 ACAM、ACCM、AMCM 三种情况，分别求解即可 【解答】解： （1）点 A（4，0） ，B（1，0）在抛物线 yax2+bx2 上， 则，解得， 抛物线的解析式为 yx2+x2； （2）将ABC 以 O 为旋转中心，逆时针旋转 90，得到ABC， A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2） ， A（0，4） ，B（0，1） ，C（2，0） ， 如图 1，设直线 BC的解析式为 ykx+b
38、， 将点 B（0，1） ，C（2，0）代入得，解得， 直线 BC的解析式为 yx+1， 联立并解得（不合题意的值已舍去） ， BC与抛物线的交点坐标为（2+，）； 则 AB与与抛物线的交点 坐标（0，2） ， 则 AC与抛物线没有交点， E 点坐标为（2+，）或（0，2） ； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 x，故设点 M 的坐标为（，m） ， 由点 A、C、M 的坐标得，AC220，AM2（4+）2+m2，CM2+（m+2）2， 当 ACAM 时，则 20（4+）2+m2，解得 m； 当 ACCM 时，则+（m+2）220，解得 m2； 当 AMCM 时，则（4+）2
39、+m2+（m+2）2，解得 m0， 故点 M 的坐标为（，）或（，）或（，2）或（，2+）或 （，0） 26 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作 DM AC，垂足为 M，AB、MD 的延长线交于点 N （1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证 DN2BN （BN+AC） ； （3）若 DN10，cosC，求O 的直径 【分析】 （1）如图，连接 OD，由圆周角定理可得ADB90，由等腰三角形的性质可得 BDCD， BADCAD，由三角形中位线定理可得 ODAC，可证 ODMN，可得结论； （2）通过证明BDNDAN，
40、可得，可得结论； （3）由相似三角形的性质可求 AN，BN，即可求解 【解答】证明： （1）如图，连接 OD， AB 是直径， ADB90， 又ABAC， BDCD，BADCAD， AOBO，BDCD， ODAC， DMAC， ODMN， 又OD 是半径， MN 是O 的切线； （2）ABAC， ABCACB， ABC+BAD90，ACB+CDM90， BADCDM， BDNCDM， BADBDN， 又NN， BDNDAN， ， DN2BNANBN （BN+AB）BN （BN+AC） ； （3）ABAC， ABCC， cosCcosABC， 设 AB5x，BD3x， AD4x， BDNDAN， ， ， AN，BN， ABANBN， O 的直径为
