1、2020 年河北省遵化市中考数学三模试卷年河北省遵化市中考数学三模试卷 一选择题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1在 0，3 1，2，2 四个数中最小的数是（ ） A0 B3 1 C2 D2 2如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A18 B54 C108 D216 3下面列出的不等式中，正确的是（ ） A “m 不是正数”表示为 m0 B “m 不大于 3”表示为 m3 C “n 与 4 的差是负数”表示为 n40 D “n 不等于 6”表示为 n6 4下列计算正确的是（ ） Aa6a2a3 B （ab5）2ab10 C5 D1 5将 2556的结果用科学记数法表示为（
2、 ） A1105 B5105 C2105 D5106 6解分式方程：的步骤为：方程两边同时乘最简公分母（x3） ；得整 式方程：x12（x3）+2；解得 x3；故原方程的解为 3其中有误的一步为 （ ） A B C D 7 已知二元一次方程组， 如果用加减法消去 n， 则下列方法可行的是 （ ） A4+5 B5+4 C54 D45 8已知 RtABC 中，BAC90，过点 A 作一条直线，使其将ABC 分成两个相似的三 角形观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（ ） A B C D 9如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一 个，使整个被涂黑的图案构成一个轴
3、对称图形的概率是（ ） A B C D 10如图，在ABC 中，ABAC，BAC36，ADBC 于点 D，点 E 是 AC 上一点， 连接 BE，交 AD 于点 F，若 AEBE，则点 F 为（ ） AABC 的外心 BABC 的内心 CBCE 的外心 DABE 的内心 11如图，有 A，B，C 三个地点，且 ABBC，从 A 地测得 B 地在 A 地的北偏东 43的方 向上，那么从 B 地测得 C 地在 B 地的（ ） A南偏西 43 B南偏东 43 C北偏东 47 D北偏西 47 12如图，以正六边形 ABCDEF 的对角线 CF 为边，再作一个正六边形 CFGHMN，若 AB ，则 EG
4、 的长为（ ） A2 B2 C3 D2 13已知：点 B（2，3） ，C（2，3） ，若抛物线 l：yx22x3+n 与线段 BC 有且只有一 个公共点，若 n 为正整数，确定所有 n 的值 “甲的结果是 n7，乙的结果是 n1 或 2， 丙的结果是 n3 或 4 或 5” ，则（ ） A甲的结果正确 B乙的结果正确 C丙的结果正确 D甲、乙、丙的结果合在一起正确 14已知：如图，1110，270，求证：ab下面为嘉琪同学的证明过程： 解：1110，31（） ， 3110， 又270， 2+3180， ab（） 其中为解题依据，则下列有关描述正确的是（ ） A代表内错角相等 B代表同位角相等，
5、两直线平行 C代表对顶角相等 D代表同旁内角相等，两直线平行 15如图，在矩形 ABCD 内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，其中顶点 E、F 分 别在边 BC、AD 上，则长 AD 与宽 AB 的比为（ ） A6：5 B13：10 C8：7 D4：3 16如图，抛物线 S1与 x 轴交于点 A（3，0） ，B（1，0） ，将它向右平移 2 个单位得新抛 物线 S2，点 M，N 是抛物线 S2上两点，且 MNx 轴，交抛物线 S1于点 C，已知 MN 3MC，则点 C 的横坐标为（ ） A B C D1 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题） 17在如图所示的正方形网格中，1 2 （
6、填“” ， “” ， “” ） 18按如图所示的程序，若输入一个数字 x，经过一次运算后，可得对应的 y 值若输入的 x 值为5，则输出的 y 值为 ；若依次输入 5 个连续的自然数，输出的 y 的平均数 的倒数是 50，则所输入的最小的自然数是 19观察以下等式： 第 1 个等式：， 第 2 个等式：， 第 3 个等式：， 第 4 个等式：， 第 5 个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第 6 个等式： ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 的等式表示） 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 20阅读材料：若 m22mn+2n24n+40，求 m，n 的值
7、， 解：m22mn+2n24n+40， （m22mn+n2）+（n24n+4）0， （mn）2+（n2）20， （mn）20； （n2）20， （mn）20， （n2）20， n2，m2 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b2+6a2b+100，则 a ，b ； （2）已知 x2+2y22xy+8y+160，求 xy的值； （3）已知ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 2a2+b28a8b+240，求符合 条件的ABC 的边长；当ABC 为等腰三角形时，求三角形的面积 21观察下列各式： 2112991； 75571892； 96692793； 455499（1） ；
8、【尝试】2772459 ； 1991729 ； 【探究】我们可以发现把一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，原数与所得新数 的差等于原数十位数字与个位数字的差的 9 倍，请用含有 a、b 的等式表示上述规律，并 证明它的正确性 22以“上冰雪，迎冬奥”为主题的第二届国际青年冰雪体验营活动在某市举行，共计 140 人参加，为了解参加活动的人员对本次活动的满意度，随机调查了部分参加者，为本次 活动打分（打分按从高到低分为 5 个分值：5 分，4 分，3 分，2 分，1 分） 并将调查结 果绘制成不完整的条形统计图（如图）和扇形统计图（如图） 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名参
9、加者，并补全条形统计图； （2）若从调查的所有人中随机抽取一位，求这位参加者的打分是 5 分或 4 分的概率； （3）若再增补调查 5 位参加者，他们的打分分别为：4，4，4，3，3，则增加调查人数 前后、本次活动打分情况的众数是否发生改变？若改变，求这个众数；若未改变，请说 明理由； （4）在（3）的基础上，再增加了 3 位参加者进行打分，此时被调查的参加者打分的众 数发生了改变，且唯一，求这个众数及这 3 位参加者的打分情况 23我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底” 三角形，这条边叫做这个三角形的“等底” （1）概念理解： 如图 1，在ABC 中，A
10、C6，BC3，ACB30，试判断ABC 是否是”等高底” 三角形，请说明理由 （2）问题探究： 如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是”等底” ，作ABC 关于 BC 所在直线的对 称图形得到ABC，连结 AA交直线 BC 于点 D若点 B 是AAC 的重心，求的 值 （3）应用拓展： 如图 3，已知 l1l2，l1与 l2之间的距离为 2 “等高底”ABC 的“等底”BC 在直线 l1 上，点 A 在直线 l2上，有一边的长是 BC 的倍将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，AC 所在直线交 l2于点 D求 CD 的值 24 石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学
11、活动， 在相距 150 个单位长度的直线跑 道 AB 上，机器人甲从端点 A 出发，匀速往返于端点 A、B 之间，机器人乙同时从端点 B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 B、A 之间他们到达端点后立即转身折返，用时 忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括 面对面相遇、在端点处相遇这两种 【观察】 观察图 1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 30 个单 位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 个单位长度 若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 35 个单位长度， 则他们第二次
12、迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 个单位长度 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们 第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度，兴趣小组成员发现了 y 与 x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 OP，不包括点 O，如图 2 所示） a ； 分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图 2 中补全函数图象 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们 第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度，若这两个机器人在第 三次迎面相遇时，相
13、遇地点与点 A 之间的距离 y 不超过 60 个单位长度，则他们第一次迎 面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 x 的取值范围是 （直接写出结果） 25如图，半圆 D 的直径 AB6，线段 OA10，O 为原点，点 B 在数轴的正半轴上运动， 点 B 在数轴上所表示的数为 m （1）当半圆 D 与数轴相切时，求 m； （2）半圆 D 与数轴有两个公共点，设另一个公共点为 C， 直接写出 m 的取值范围是 ； 当半圆 D 被数轴截得的弦长为 3 时，求半圆 D 在AOB 内部的弧长； （3）当AOB 的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求 cosAOB 的值 26已知点 P（2，3）在抛
14、物线 L：yax22ax+a+k（a，k 均为常数，且 a0）上，L 交 y 轴于点 C，连接 CP （1）用 a 表示 k，并求 L 的对称轴及 L 与 y 轴的交点坐标； （2）当 L 经过（3，3）时，求此时 L 的表达式及其顶点坐标； （3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点如图，当 a0 时，若 L 在点 C，P 之间的部 分与线段 CP 所围成的区域内（不含边界）恰有 4 个整点，求 a 的取值范围； （4）点 M（x1，y1） ，N（x2，y2）是 L 上的两点，若 tx1t+1，当 x23 时，均有 y1 y2，直接写出 t 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择
15、题（共一选择题（共 16 小题）小题） 1在 0，3 1，2，2 四个数中最小的数是（ ） A0 B3 1 C2 D2 【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，进而比较得出答案 【解答】解：3 1 ， 故 23 102， 则最小的是2 故选：D 2如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A18 B54 C108 D216 【分析】首先确定该几何体的形状，然后根据尺寸求得底面积，用底面积乘以高即可求 得体积 【解答】解：观察三视图知：该几何体为六棱柱，底面正六边形的边长为 6，高为 2， 正六边形的面积66254 故其体积为：542108， 故选：C 3下面列出的不等式中，正确的是
16、（ ） A “m 不是正数”表示为 m0 B “m 不大于 3”表示为 m3 C “n 与 4 的差是负数”表示为 n40 D “n 不等于 6”表示为 n6 【分析】A、由 m 不是正数，可得出 m0，A 选项错误； B、由 m 不大于 3，可得出 m3，B 选项错误； C、由 n 与 4 的差是负数，可得出 n40，C 选项正确； D、由 n 不等于 6，可得出 n6 或 n6，D 选项错误 综上即可得出结论 【解答】解：A、m 不是正数， m0，A 选项错误； B、m 不大于 3， m3，B 选项错误； C、n 与 4 的差是负数， n40，C 选项正确； D、n 不等于 6， n6 或
17、 n6，D 选项错误 故选：C 4下列计算正确的是（ ） Aa6a2a3 B （ab5）2ab10 C5 D1 【分析】分别根据同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则，算术平方根的定义以及立 方根的定义逐一判断即可 【解答】解：Aa6a2a4，故本选项不合题意； B （ab5）2a2b10，故本选项不合题意； C.，故本选项不合题意； D.，故本选项符合题意 故选：D 5将 2556的结果用科学记数法表示为（ ） A1105 B5105 C2105 D5106 【分析】先根据积的乘方进行计算，再求出即可 【解答】解：2556 （25）55 5105， 故选：B 6解分式方程：的步骤为：方程两边同
18、时乘最简公分母（x3） ；得整 式方程：x12（x3）+2；解得 x3；故原方程的解为 3其中有误的一步为 （ ） A B C D 【分析】检查解分式方程步骤，发现第四步错误，原因是没有检验 【解答】解：解分式方程：的步骤为： 方程两边同时乘最简公分母（x3） ； 得整式方程：x12（x3）+2； 解得 x3； 故原方程的解为 3 其中有误的一步为 故选：D 7 已知二元一次方程组， 如果用加减法消去 n， 则下列方法可行的是 （ ） A4+5 B5+4 C54 D45 【分析】利用加减消元法消去 n 即可 【解答】解：已知二元一次方程组，如果用加减法消去 n，则下列方法可 行的是5+4， 故
19、选：B 8已知 RtABC 中，BAC90，过点 A 作一条直线，使其将ABC 分成两个相似的三 角形观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断； 【解答】解：A、由作图可知：CADB，可以推出CBAD，故CDA 与ABD 相似，故本选项不符合题意； B、无法判断CADABD，故本选项符合题意； C、由作图可知：ADBC，BAC90，故CADABD，故本选项不符合题意； D、由作图可知：ADBC，BAC90，故CADABD，故本选项不符合题意； 故选：B 9如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一
20、 个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的概率是（ ） A B C D 【分析】直接利用轴对称图形的性质结合概率求法得出答案 【解答】解：如图所示：一共有 7 个空白三角形，当将 1，2，3 位置涂黑，则可以构成 轴对称图形， 故构成一个轴对称图形的概率是： 故选：A 10如图，在ABC 中，ABAC，BAC36，ADBC 于点 D，点 E 是 AC 上一点， 连接 BE，交 AD 于点 F，若 AEBE，则点 F 为（ ） AABC 的外心 BABC 的内心 CBCE 的外心 DABE 的内心 【分析】根据 ABAC，BAC36，可得ABC72，由 AEBE，ABECBE 36，可得点 F
21、 是三角形角平分线的交点，进而可以判断点 F 是三角形 ABC 的内心 【解答】解：ABAC，BAC36， ABCACB（18036）72， ADBC，ABAC， AD 是BAC 的角平分线， AEBE， EABEBA36， EBC723636， ABECBE， BE 是ABC 的角平分线， BE、AD 交于点 F， 点 F 是三角形内角平分线的交点， 点 F 是ABC 的内心 故选：B 11如图，有 A，B，C 三个地点，且 ABBC，从 A 地测得 B 地在 A 地的北偏东 43的方 向上，那么从 B 地测得 C 地在 B 地的（ ） A南偏西 43 B南偏东 43 C北偏东 47 D北偏
22、西 47 【分析】根据方向角的概念，和平行线的性质求解 【解答】解：AFDE， ABEFAB43， ABBC， ABC90， CBD47， C 地在 B 地的北偏西 47的方向上 故选：D 12如图，以正六边形 ABCDEF 的对角线 CF 为边，再作一个正六边形 CFGHMN，若 AB ，则 EG 的长为（ ） A2 B2 C3 D2 【分析】延长 DE 交 AG 于 T证明FEG90，解直角三角形求出 EG 即可 【解答】解：延长 DE 交 AG 于 T 由题意 FG2EF，EFCEFT60， DEF120， EFT60， EFTFETETF60， EFFTET， TGTFET， FEG9
23、0， ABAFEF， EGEFtan603， 故选：C 13已知：点 B（2，3） ，C（2，3） ，若抛物线 l：yx22x3+n 与线段 BC 有且只有一 个公共点，若 n 为正整数，确定所有 n 的值 “甲的结果是 n7，乙的结果是 n1 或 2， 丙的结果是 n3 或 4 或 5” ，则（ ） A甲的结果正确 B乙的结果正确 C丙的结果正确 D甲、乙、丙的结果合在一起正确 【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由 yx22x3+n 与线段 BC 有且只 有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为 3 或当 x2 时 y3，当 x2 时 y3，列不 等式组求解可得 【解答】解：当抛物线的
24、顶点在直线 y3 上时，（2）24（n6）0， 解得：n7； 当抛物线的顶点在 BC 下方时，根据题意知当 x2 时 y3，当 x2 时 y3， 即， 解得：2n6， n 取正整数， n 有 0，1，2，3，4，5，7 共 6 个， 故选：D 14已知：如图，1110，270，求证：ab下面为嘉琪同学的证明过程： 解：1110，31（） ， 3110， 又270， 2+3180， ab（） 其中为解题依据，则下列有关描述正确的是（ ） A代表内错角相等 B代表同位角相等，两直线平行 C代表对顶角相等 D代表同旁内角相等，两直线平行 【分析】依据对顶角相等以及2 的度数，即可得到2+3180，根
25、据平行线的判 定即可判断 ab 【解答】解：1110，31（） ， 3110， 又270， 2+3180， ab（同旁内角互补，两直线平行） 故选：D 15如图，在矩形 ABCD 内放入六个小正方形后形成一个中心对称图形，其中顶点 E、F 分 别在边 BC、AD 上，则长 AD 与宽 AB 的比为（ ） A6：5 B13：10 C8：7 D4：3 【分析】连结 EF，作 IJLJ 于 J，根据中心对称图形的定义和相似三角形的性质可得两 直角边的比是 2：1，进一步得到长 AD 与宽 AB 的比 【解答】解：连结 EF，作 IJLJ 于 J， 在矩形 ABCD 内放入六个小正方形后形成一个中心对
26、称图形， HGFFHE，HGFFMLLJI， HG：GFFH：HE1：2， 长 AD 与宽 AB 的比为（1+2+1+2） ： （2+2+1）6：5 故选：A 16如图，抛物线 S1与 x 轴交于点 A（3，0） ，B（1，0） ，将它向右平移 2 个单位得新抛 物线 S2，点 M，N 是抛物线 S2上两点，且 MNx 轴，交抛物线 S1于点 C，已知 MN 3MC，则点 C 的横坐标为（ ） A B C D1 【分析】根据题意和二次函数的性质、平移的性质可以求得点 C 的横坐标，本题得以解 决 【解答】解：抛物线 S1与 x 轴交于点 A（3，0） ，B（1，0） ， 抛物线 S1的对称轴为
27、直线 x1， 抛物线 S1向右平移 2 个单位得新抛物线 S2，点 M，N 是抛物线 S2上两点，且 MNx 轴，交抛物线 S1于点 C，MN3MC， CN2MC，CN2， MN3， 点 C 与在抛物线 S1上的对称点的距离为 3， 点 C 的横坐标为：1+， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 3 小题）小题） 17在如图所示的正方形网格中，1 2 （填“” ， “” ， “” ） 【分析】由正切的定义可得出 tan1，tan2，由且1，2 均为锐角可 得出12，此题得解 【解答】解：在 RtABE 中，tan1； 在 RtBCD 中，tan2 ，且1，2 均为锐角， tan1tan2， 1
28、2 故答案为： 18按如图所示的程序，若输入一个数字 x，经过一次运算后，可得对应的 y 值若输入的 x 值为5，则输出的 y 值为 ；若依次输入 5 个连续的自然数，输出的 y 的平均数 的倒数是 50，则所输入的最小的自然数是 5 【分析】将 x5 代入 y计算可得；根据平均数的概念得出+ +5， 即+ +，据此进一步计算可得 【解答】解：当 x5 时，y； 根据题意知，+ 5， 即+， ， 解得 x5 或 x10（舍去） ， 故答案为：，5 19观察以下等式： 第 1 个等式：， 第 2 个等式：， 第 3 个等式：， 第 4 个等式：， 第 5 个等式：， 按照以上规律，解决下列问题：
29、 （1）写出第 6 个等式： ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 的等式表示） 【分析】观察已知算式得出规律：序号数的 2 倍与 1 之差分之 2，等于序号数的倒数加上 序号数的 2 倍小 1 的数与序号数之积的倒数根据此规律解答便可 【解答】解： （1）第 1 个等式：，即为； 第 2 个等式：，即为； 第 3 个等式：，即为； 第 4 个等式：，即为； 第 5 个等式：，即为； 由上可知，第 6 个等式为，即， 故答案为：； （2）由（1）可知，第 n 个等式为： 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 20阅读材料：若 m22mn+2n24n+40，求 m
30、，n 的值， 解：m22mn+2n24n+40， （m22mn+n2）+（n24n+4）0， （mn）2+（n2）20， （mn）20； （n2）20， （mn）20， （n2）20， n2，m2 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b2+6a2b+100，则 a 3 ，b 1 ； （2）已知 x2+2y22xy+8y+160，求 xy的值； （3）已知ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 2a2+b28a8b+240，求符合 条件的ABC 的边长；当ABC 为等腰三角形时，求三角形的面积 【分析】 （1） （2） （3）都是用完全平方公式进行配方，再利用偶次方的非负性得平
31、方为 0 的数只有 0，从而分别得解 【解答】解： （1）由：a2+b2+6a2b+100，得： （a+3）2+（b1）20， （a+3）20， （b1）20， a+30，b10， a3，b1 故答案为：3； 1 （2）由 x2+2y22xy+8y+160 得： （xy）2+（y+4）20， xy0，y+40， xy4， xy（4） 4 （3）由 2a2+b28a8b+240 得： 2a28a+8+b28b+160， 2（a2）2+（b4）20， a20，b40， a2，b4， 2c6， ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数， c3，4，5， 即符合条件的ABC 的边长为 2，3，4 或
32、2，4，4 或 2，5，4； 当 c4 时，ABC 为等腰三角形， 如图，ABAC4，BC2，作高线 AD， BDCD1， AD， ABC 的面积 21观察下列各式： 2112991； 75571892； 96692793； 455499（1） ； 【尝试】2772459 （5） ； 1991729 （8） ； 【探究】我们可以发现把一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，原数与所得新数 的差等于原数十位数字与个位数字的差的 9 倍，请用含有 a、b 的等式表示上述规律，并 证明它的正确性 【分析】 【尝试】 通过观察找出等式之间的关系，容易得：两位数十位与个位互换的两位数9（十位 数字个位数
33、字） ，代入数就可以得出答案； 【探究】 用字母代替数字，再用多项式的去括号合并同类项可以得出结论 【解答】解： 【尝试】 2772459（5） ，1991729（8） ， 故答案为： （5） ， （8） ； 【探究】 设原数十位数字为 a，个位数字为 b，则（10a+b）（10b+a）9（ab） 证明： （10a+b）（10b+a） 10a+b10ba 9a9b 9（ab） 22以“上冰雪，迎冬奥”为主题的第二届国际青年冰雪体验营活动在某市举行，共计 140 人参加，为了解参加活动的人员对本次活动的满意度，随机调查了部分参加者，为本次 活动打分（打分按从高到低分为 5 个分值：5 分，4 分
34、，3 分，2 分，1 分） 并将调查结 果绘制成不完整的条形统计图（如图）和扇形统计图（如图） 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 20 名参加者，并补全条形统计图； （2）若从调查的所有人中随机抽取一位，求这位参加者的打分是 5 分或 4 分的概率； （3）若再增补调查 5 位参加者，他们的打分分别为：4，4，4，3，3，则增加调查人数 前后、本次活动打分情况的众数是否发生改变？若改变，求这个众数；若未改变，请说 明理由； （4）在（3）的基础上，再增加了 3 位参加者进行打分，此时被调查的参加者打分的众 数发生了改变，且唯一，求这个众数及这 3 位参加者的打分情况 【分析】
35、（1）由 5 分的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数减去其它分数 度的人数求出得 4 分的人数即可补全图形； （2）用参加者的打分是 5 分或 4 分的人数除以被调查的总人数即可； （3）根据众数的定义求解即可； （4）根据再增加了 3 位参加者进行打分，此时众数发生了改变，且唯一得出现在的众数 只能是 4 分，且至少有两人打分为 4 分，而另外一人的打分不可能是 5 分，进而求解即 可 【解答】解： （1）被调查的总人数是 1050%20（名） ， 则得 4 分的人数为 20（10+2+1+1）6（名） ， 补全条形图如下： 故答案为：20； （2）根据题意，可得这位参加者的打分是
36、 5 分或 4 分的概率是：； （3）众数没有发生改变理由如下： 增加 5 位参加者的打分后，统计结果是：得 5 分的有 10 人，得 4 分的有 9 人，得 3 分的 有 4 人，得 2 分的有 1 人，得 1 分的有 1 人， 这组数据的众数是 5，原数据的众数也是 5， 由此表可知，众数没有发生改变； （4）再增加了 3 位参加者之前数据的众数是 5，得 4 分的人数比得 5 分的人数少 1 人， 则若再增加了 3 位参加者，众数发生改变，且唯一，则现在的众数只能是 4 分，且至少 有两人打分为 4 分， 而另外一人的打分不可能是 5 分， 可能是 4， 3， 2， 1 中的任意一个，
37、所以这 3 位参加者的打分情况是 4，4，4 或 4，4，3 或 4，4，2 或 4，4，1 23我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底” 三角形，这条边叫做这个三角形的“等底” （1）概念理解： 如图 1，在ABC 中，AC6，BC3，ACB30，试判断ABC 是否是”等高底” 三角形，请说明理由 （2）问题探究： 如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是”等底” ，作ABC 关于 BC 所在直线的对 称图形得到ABC，连结 AA交直线 BC 于点 D若点 B 是AAC 的重心，求的 值 （3）应用拓展： 如图 3，已知 l1l2，l1与 l2之间的
38、距离为 2 “等高底”ABC 的“等底”BC 在直线 l1 上，点 A 在直线 l2上，有一边的长是 BC 的倍将ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC，AC 所在直线交 l2于点 D求 CD 的值 【分析】 （1） 过 A 作 ADBC 于 D， 则ADC 是直角三角形， ADC90， 依据ACB 30，AC6，可得 ADAC3，进而得到 ADBC3，即ABC 是“等高底”三 角形； （2）依据ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底” ，可得 ADBC，依据ABC 关于 BC 所在直线的对称图形是ABC，点 B 是AAC 的重心，即可得到 BC2BD，设 BD x， 则 AD
39、BC2x， CD3x， 由勾股定理得 ACx， 即可得到； （3） 当 ABBC 时， 画出图形分两种情况分别求得 CDx或 CD AC2；当 ACBC 时，画出图形分两种情况讨论，求得 CDABBC2 【解答】解： （1）ABC 是“等高底”三角形； 理由：如图 1，过 A 作 ADBC 于 D，则ADC 是直角三角形，ADC90， ACB30，AC6， ADAC3， ADBC3， 即ABC 是“等高底”三角形； （2）如图 2，ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底” ， ADBC， ABC 关于 BC 所在直线的对称图形是ABC， ADC90， 点 B 是AAC 的重心， BC2BD
40、， 设 BDx，则 ADBC2x，CD3x， 由勾股定理得 ACx， ； （3）当 ABBC 时， 如图 3，作 AEBC 于 E，DFAC 于 F， “等高底”ABC 的“等底”为 BC，l1l2，l1与 l2之间的距离为 2，ABBC， BCAE2，AB2， BE2，即 EC4， AC2， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC， DCF45， 设 DFCFx， l1l2， ACEDAF， ，即 AF2x， AC3x2， x，CDx 如图 4，此时ABC 等腰直角三角形， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC， ACD 是等腰直角三角形， CDAC2 当 ACBC
41、 时， 如图 5，此时ABC 是等腰直角三角形， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45得到ABC， ACl1， CDABBC2； 如图 6，作 AEBC 于 E，则 AEBC， ACBCAE， ACE45， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45，得到ABC 时，点 A在直线 l1上， ACl2，即直线 AC 与 l2无交点， 综上所述，CD 的值为，2，2 24 石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动， 在相距 150 个单位长度的直线跑 道 AB 上，机器人甲从端点 A 出发，匀速往返于端点 A、B 之间，机器人乙同时从端点 B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 B、A 之
42、间他们到达端点后立即转身折返，用时 忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括 面对面相遇、在端点处相遇这两种 【观察】 观察图 1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 30 个单 位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 90 个单位长度 若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 35 个单位长度， 则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 120 个单位长度 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们 第二次迎面相遇时，
43、相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度，兴趣小组成员发现了 y 与 x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 OP，不包括点 O，如图 2 所示） a 50 ； 分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图 2 中补全函数图象 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 x 个单位长度，他们 第三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离为 y 个单位长度，若这两个机器人在第 三次迎面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 y 不超过 60 个单位长度，则他们第一次迎 面相遇时，相遇地点与点 A 之间的距离 x 的取值范围是 0 x12 或 48x72 （直
44、 接写出结果） 【分析】 【观察】设此时相遇点距点 A 为 m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； 此时相遇点距点 A 为 m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； 【发现】当点第二次相遇地点刚好在点 B 时，设机器人甲的速度为 v，则机器人乙的 速度为v，根据题意列方程即可得到结论； 设机器人甲的速度为 v，则机器人乙的速度为v，根据题意列函数解析式即可得 到结论； 【拓展】由题意列不等式即可得到结论 【解答】解： 【观察】相遇地点与点 A 之间的距离为 30 个单位长度， 相遇地点与点 B 之间的距离为 15030120 个单位长度， 设机器人甲的速度为 v， 机器人乙的速度为v4v，
45、机器人甲从相遇点到点 B 所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点 A 再返回到点 B 所用时间为，而， 设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时， 机器人乙从第一次相遇地点到点 A，返回到点 B，再返回向 A 时和机器人甲第二次迎面 相遇， 设此时相遇点距点 A 为 m 个单位， 根据题意得，30+150+150m4（m30） ， m90， 故答案为：90； 相遇地点与点 A 之间的距离为 40 个单位长度， 相遇地点与点 B 之间的距离为 15040110 个单位长度， 设机器人甲的速度为 v， 机器人乙的速度为， 机器人乙从相遇点到点 A 再到点 B 所用的时间为， 机器人甲从相遇点到点 B
46、所用时间为，而， 设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点 A，再到点 B， 返回时和机器人乙第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点 A 为 m 个单位， 根据题意得，40+150+150m（m40） ， m120， 故答案为：120； 【发现】当点第二次相遇地点刚好在点 B 时， 设机器人甲的速度为 v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，150 x2x， x50， 即：a50， 故答案为：50； 当 0 x50 时，点 P（50，150）在线段 OP 上， 线段 OP 的表达式为 y3x， 当 vv 时，即当 50 x75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点 B 返回向
47、点 A 时， 设机器人甲的速度为 v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，x+y（150 x+150y） ， y3x+300， 即：y， 补全图形如图 2 所示， 【拓展】如图， 由题意知， y5x， 0y60， 0 x12； 如图， ， y5x+300， 0y60， 48x60， 如图， 由题意得， y5x300， 0y60， 60 x72， 0 x75， 48x72， 综上所述，相遇地点与点 A 之间的距离 x 的取值范围是 0 x12 或 48x72， 故答案为 0 x12 或 48x72 25如图，半圆 D 的直径 AB6，线段 OA10，O 为原点，点 B 在数轴的正半轴上运动， 点 B 在数轴上所表示的数为 m （1）当半圆 D 与数轴相切时，求 m； （2）半圆 D 与数轴有两个公共点，设另一个公共点为 C， 直接写出 m 的取值范围是 4m16 且 m8 ； 当半圆 D 被数轴截得的弦长为 3 时，求半圆 D 在AOB 内部的弧长； （3）当AOB 的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求 cosAOB 的值 【分析】 （1）由切线的性质得出 ABOB，由勾股定理即可得答案； （
