1、2020 年山东省济南市历城区中考数学二模试卷年山东省济南市历城区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ）只有一项是符合题目要求的 ） 1 （4 分）下列实数3、0、 中，无理数是（ ） A3 B C0 D 2 （4 分） “厉害了，华为!”2019 年 1 月 7 日，华为宣布推出业界最高性能 ARMbased 处 理器一鲲鹏 920据了解，该处理器采用 7 纳米制造工艺已知 1 纳米0.000 000 001 米，则 7 纳米
2、用科学记数法表示为（ ） A710 9 米 B710 8 米 C7108米 D0.710 8 米 3 （4 分）下列运算正确的是（ ） A3 Ba6a2a3 C （ab2）3a3b6 D2a+3b5ab 4 （4 分）如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 5 （4 分）下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ） A B C D 6 （4 分）如图，直线 l1l2，且分别与直线 l 交于 C、D 两点，把一块含 30o角的三角尺按 如图所示的位置摆放，若153，则2 的度数是（ ） A93o B97o C103o D107o 7 （4 分） 在 “众志成城， 共战疫情” 党员志愿者进
3、社区服务活动中， 小晴和小霞分别从 “A， B，C 三个社区”中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率是（ ） A B C D 8 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+m0 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 9 （4 分）如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 15的方向上，该轮船又从 A 处向 正东方向行驶 40 海里到达 B 处，测得灯塔 C 在北偏西 60的方向上，则轮船在 B 处时 与灯塔 C 之间的距离（即 BC 的长）为（ ） A海里 B海里 C80 海里 D海里 10 （4 分）如图，在平
4、面直角坐标系中，已知点 A（2，4） ，B（4，1） ，以原点 O 为位似中 心，将OAB 缩小为原来的，则点 A 的对应点 A 的坐标是（ ） A （2，） B （1，2） C （4，8）或（4，8） D （1，2）或（1，2） 11 （4 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的四个顶点分别在扇形 OEF 的半径 OE、OF 和 上，且点 A 是线段 OB 的中点，则的长为（ ） A B C D 12 （4 分）如图，在直角坐标系中，等边OAB 的边 OB 在 x 轴的正半轴上，点 A（3，m） （m0） ，点 M，N 分别从 B、O 出发，以相同的速度，沿 BO，OA 向 O、A 运
5、动，连接 AM、BN 交于点 E，点 P 是 y 轴上一点，则当 EP 最小时，点 P 的坐标是（ ） A （0，） B （0，2） C （0，3） D （0，） 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13 （4 分）分解因式：m22m+1 14（4 分） 已知一组数据 2、 1、 8、 2、 1、 a 的众数为 2， 则这组数据的平均数为 15 （4 分）中国人民银行下发通知，自 2019 年 4 月 30 日停止兑换第四套人民币中菊花 1 角硬币如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 度 16
6、（4 分）若关于 x 的方程有増根，则 m 17 （4 分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 米，先 到终点的人原地休息已知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离 y （米）与甲出发的时间 t（分）之间的关系如图所示，则乙到达终点时，甲离终点还有 米 18 （4 分）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 M，N 分别是边 BC，CD 上的动 点（不与点 B，C，D 重合） ，AM，AN 分别交 BD 于 E，F 两点，且MAN45，则下 列结论： MNBM+DN； AEFBEM； ； FMC 是等腰三角形 其 中正确的是 （填写正
7、确序号） 三、 解答题： （本大题共三、 解答题： （本大题共 9 个小题， 共个小题， 共 78 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ）分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 19计算：2sin60+|2|20190 20解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 21 如图， 正方形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于 O， E 是 AC 上一点， 过点 A 作 AGEB， 垂足为 G，AG 交 BD 于 F，求证：OEOF 22在某体育用品商店，购买 3 根跳绳和 6 个毽子共用 72 元，购买 5 根跳绳和 20 个毽子共 用 160 元 （1）跳绳、毽子的单价各是
8、多少元？ （2）该店在“五四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售节 日期间购买 10 根跳绳和 10 个毽子只需 180 元，该店的商品按原价的几折销售？ 23如图，AB 是O 的直径，点 D 是 AB 延长线上的一点，点 C 在O 上，且 ACCD， ACD120 （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积 24某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、 小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类） ，并 将调查结果绘制成如下不完整统计图 请你根据图中信息，回答下列问题：
9、（1）本次共调查了 名学生 （2）在扇形统计图中， “歌曲”所在扇形的圆心角等于 度 （3）补全条形统计图（标注频数） （4）根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中最喜爱小品的人数为 人 （5）九年一班和九年二班各有 2 名学生擅长舞蹈，学校准备从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？ 25如图，直线 ymx 与反比例函数 y（x0）的图象交于 Q 点，点 B（3，4）在反比 例函数 y的图象上，过点 B 作 PBx 轴交 OQ 于点 P，过点 P 作 PAy 轴交反比例 函数图象于点 A，已知点 A 的纵坐标为
10、（1）求反比例函数及直线 OP 的解析式； （2）连接 OB，求BOP 的面积和 sinBOP 的值 （3）在 x 轴上存在点 N，使得PON 的面积与POA 的面积相等，请直接写出点 N 的 坐标 26如图 1，菱形 ABCD 与菱形 GECF 的顶点 C 重合，点 G 在对角线 AC 上，且BCD ECF60， （1）问题发现的值为 ； （2）探究与证明 将菱形 GECF 绕点 C 按顺时针方向旋转 角（060） ，如图 2 所示，试探究线 段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 菱形 GECF 在旋转过程中，当点 A，G，F 三点在一条直线上时，如图 3 所
11、示连接 CG 并 延长，交 AD 于点 H，若 CE2，GH，则 AH 的长为 27如图，二次函数 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，交 y 轴于点 C，抛 物线上一点 D 的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图 1，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，PEx 轴，PFy 轴，求线段 EF 的最大值； （3）如图 2，点 M 是线段 CD 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 N， 当CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标 2020 年山东省济南市历城区中考数学二模试卷年山东
12、省济南市历城区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ）只有一项是符合题目要求的 ） 1 （4 分）下列实数3、0、 中，无理数是（ ） A3 B C0 D 【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项 【解答】解：实数3、0、 中，无理数只有 ， 故选：D 2 （4 分） “厉害了，华为!”2019 年 1 月 7 日，华为宣布推出业界最高性能 ARMbased 处 理
13、器一鲲鹏 920据了解，该处理器采用 7 纳米制造工艺已知 1 纳米0.000 000 001 米，则 7 纳米用科学记数法表示为（ ） A710 9 米 B710 8 米 C7108米 D0.710 8 米 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：7 纳米0.000 000 007 米710 9 米 故选：A 3 （4 分）下列运算正确的是（ ） A3 Ba6a2a3 C （ab2）3a3b6 D2a+3b5ab 【分析】分别运
14、用二次根式的意义、幂的乘方法则运算即可 【解答】解：A.3，故 A 错误； Ba6a2a4，故 B 错误； C （ab2）3a3b6，故 C 正确； D，2a 与 3b 不是同类项，不能合并，故 D 错误， 故选：C 4 （4 分）如图所示的几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的正面看所得到的视图即可 【解答】解：从正面看，底层是一个较大的矩形，上层的左边是一个小矩形 故选：D 5 （4 分）下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、B、D 是中心对称图形，C 不是中心对称图形， 故选：C 6 （4
15、分）如图，直线 l1l2，且分别与直线 l 交于 C、D 两点，把一块含 30o角的三角尺按 如图所示的位置摆放，若153，则2 的度数是（ ） A93o B97o C103o D107o 【分析】 依据 l1l2， 即可得到1353， 再根据430， 即可得出从2180 3497 【解答】解：如图，l1l2， 1353， 又430， 218034180533097， 故选：B 7 （4 分） 在 “众志成城， 共战疫情” 党员志愿者进社区服务活动中， 小晴和小霞分别从 “A， B，C 三个社区”中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率是（ ） A B C D 【分析】 画树状图展示
16、所有 9 种等可能的结果数， 找出两人恰好选择同一社区的结果数， 然后根据概率公式求解即可 【解答】解：画树状图如图： 共有 9 种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为 3 种， 两人恰好选择同一社区的概率 故选：A 8 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+m0 根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【分析】表示出根的判别式，判断判别式的正负即可确定出方程根的情况 【解答】解：由关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+m0， 得到 a1，b（m+2） ，cm， （m+2）24mm2+4m+44mm2+40，
17、则方程有两个不相等的实数根， 故选：A 9 （4 分）如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 15的方向上，该轮船又从 A 处向 正东方向行驶 40 海里到达 B 处，测得灯塔 C 在北偏西 60的方向上，则轮船在 B 处时 与灯塔 C 之间的距离（即 BC 的长）为（ ） A海里 B海里 C80 海里 D海里 【分析】过 A 作 ADBC 于 D，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D， 在 RtABD 中，ABD30，AB40， ADAB20，BDAB20， 在 RtACD 中，C45， CDAD20， BCBD+CD（20+20）海里， 故选：B 10
18、 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4） ，B（4，1） ，以原点 O 为位似中 心，将OAB 缩小为原来的，则点 A 的对应点 A 的坐标是（ ） A （2，） B （1，2） C （4，8）或（4，8） D （1，2）或（1，2） 【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么 位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 解答 【解答】解：以 O 为位似中心，把OAB 缩小为原来的， 则点 A 的对应点 A的坐标为（2，4）或2（） ，4（）， 即（1，2）或（1，2） ， 故选：D 11 （4 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的四
19、个顶点分别在扇形 OEF 的半径 OE、OF 和 上，且点 A 是线段 OB 的中点，则的长为（ ） A B C D 【分析】连接 OC，求出 OB 长，根据勾股定理求出 OC，求出DOA，根据弧长公式求 出即可 【解答】解：连接 OC， 四边形 ABCD 是正方形， ADABBC2，ABCDAB90DAO， A 为 OB 的中点， OB2AB4， 在 RtOBC 中，由勾股定理得：OC2， A 为 OB 的中点，ABAD2， OAAD2， DAO90， DOAADO45， 的长为， 故选：D 12 （4 分）如图，在直角坐标系中，等边OAB 的边 OB 在 x 轴的正半轴上，点 A（3，m）
20、 （m0） ，点 M，N 分别从 B、O 出发，以相同的速度，沿 BO，OA 向 O、A 运动，连接 AM、BN 交于点 E，点 P 是 y 轴上一点，则当 EP 最小时，点 P 的坐标是（ ） A （0，） B （0，2） C （0，3） D （0，） 【分析】先判断出OBNMAB（SAS） ，即可判断出AEB120，即可判断出点 F 是以 O为圆心的圆上的一段弧（劣弧） ，然后确定出圆心 O的位置及坐标，设出点 M 的坐标，即可确定当点 P（0，）时，EP 的最小值是 62 【解答】解：如图， OAB 是等边三角形， AOBABM60，OBAB， 点 M、N 分别从 B、O 以相同的速度向
21、 O、A 运动， BMON，在OBN 和MAB 中， OBNMAB（SAS） ， OBNBAM， ABN+BAMABN+OBNABO60 AEB180（ABN+BAM）120， 点 E 是经过点 A，B，E 的圆上的点，记圆心为 O，在O上取一点 C，使点 C 和点 E 在弦 AB 的两侧，连接 AC，BC， ACB180AEB60， 连接 OA，OB， AOB2ACB120， OAOB， ABOBAO， ABO（180AOB）（180120）30， ABO60， OBO90， AOB 是等边三角形，A（3，m） ， ABOB23，m， 过点 O作 OGAB， BGAB3， 在 RtBOG 中
22、，ABO30，BG3， OB， O（6，） ， 设 P（0，n） ， OP， EPOPOE， 只有 n0 时，最小为 0，即最小为 6 当 n0 时，即：n时，EP 最小 点 P 的坐标是（0，2） 故选：B 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13 （4 分）分解因式：m22m+1 （m1）2 【分析】符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可完全平 方公式：a22ab+b2（ab）2 【解答】解：m22m+1（m1）2 14 （4 分）已知一组数据 2、1、8、2、1、a 的众数为 2，
23、则这组数据的平均数为 2 【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数 最多的数据，注意众数可以不止一个依此先求出 a，再求这组数据的平均数 【解答】解：数据 2、1、8、2、1、a 的众数为 2，即 2 的次数最多； 即 a2 则其平均数为（11+2+2+2+8）62， 故答案为：2 15 （4 分）中国人民银行下发通知，自 2019 年 4 月 30 日停止兑换第四套人民币中菊花 1 角硬币如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 40 度 【分析】正多边形的外角和是 360，这个正多边形的每个外角相等，因而用 360除以 多边形的边数，就得到外角
24、的度数 【解答】解：正多边形的外角和是 360， 360940 故答案为：40 16 （4 分）若关于 x 的方程有増根，则 m 5 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出 x 的值，代入整式方 程计算即可求出 m 的值 【解答】解：去分母得：x+3m1， 由分式方程有增根，得到 x10，即 x1， 把 x1 代入整式方程得：m5， 故答案为：5 17 （4 分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 米，先 到终点的人原地休息已知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离 y （米） 与甲出发的时间 t （分） 之间的关系如图所示
25、， 则乙到达终点时， 甲离终点还有 360 米 【分析】设甲的速度为 v1米/分钟，乙的速度为 v2米/分钟，根据图象的信息科求出甲乙 两人的速度，以及相遇所需要的时间，从而可求出答案 【解答】解：设甲的速度为 v1米/分钟，乙的速度为 v2米/分钟， v160 米/分钟， 由图象可知：乙追上甲需要 12 分钟， 12v2240+1260， v280 米/分钟， 此时乙共走了 1280960 米， 乙离终点还有 24009601440 米， 乙到达终点时需要的时间为：18 分钟， 甲离终点还有 14401860360 米， 故答案为：360 18 （4 分）如图，正方形 ABCD 的对角线相交
26、于点 O，点 M，N 分别是边 BC，CD 上的动 点（不与点 B，C，D 重合） ，AM，AN 分别交 BD 于 E，F 两点，且MAN45，则下 列结论： MNBM+DN； AEFBEM； ； FMC 是等腰三角形 其 中正确的是 （填写正确序号） 【分析】将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至ADM，根据正方形的性质和且MAN 45可证明 MNBM+DN；根据三角形的内角和得到M+AFD180，得到 AFEM，推出AMBAFE，于是得到AEFBEM，故正确；根据相似三 角形的判定定理得到AEBFEM，根据相似三角形的性质得到EMFABE 45，推出AFM 是等腰直角三角形，于是得到；故正
27、确；根据全等三角形 的性质得到 AFCF，等量代换得到FMC 是等腰三角形，故正确 【解答】解：将ABM 绕点 A 逆时针旋转 90至ADM， MANDAN+MAB45，AMAM，BMDM， MANMAN45，ANAN， AMNAMN（SAS） ， MNNM， MNMD+DNBM+DN， MNBM+DN；故正确； FDM135，MAN45， M+AFD180， AFE+AFD180， AFEM， AMBM， AMBAFE， EAFEBM45， AEFBEM，故正确； ，即， AEBMEF， AEBFEM， EMFABE45， AFM 是等腰直角三角形， ；故正确； 在ADF 与CDF 中， ，
28、 ADFCDF（SAS） ， AFCF， AFMF， FMFC， FMC 是等腰三角形，故正确； 故答案为： 三、 解答题： （本大题共三、 解答题： （本大题共 9 个小题， 共个小题， 共 78 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ）分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 19计算：2sin60+|2|20190 【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简 4 个考点在 计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：2sin60+|2|20190 22+21 2+21 +1 20解不等式组，并把解集在数轴上
29、表示出来 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】解：， 解得：x1 解得：x3 所以此不等式组的解集为 x1， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： 21 如图， 正方形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于 O， E 是 AC 上一点， 过点 A 作 AGEB， 垂足为 G，AG 交 BD 于 F，求证：OEOF 【分析】根据正方形的性质，用 AAS 判定AOFBOE，全等三角形的对应边相等， OEOF 【解答】证明：ABCD 是正方形， ACBD，OAOB，COB90， AGEB， OAF+OEG90， OBE+OEG90， EAGOBE， 又AOFBOE90，
30、AOFBOE， OEOF 22在某体育用品商店，购买 3 根跳绳和 6 个毽子共用 72 元，购买 5 根跳绳和 20 个毽子共 用 160 元 （1）跳绳、毽子的单价各是多少元？ （2）该店在“五四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售节 日期间购买 10 根跳绳和 10 个毽子只需 180 元，该店的商品按原价的几折销售？ 【分析】 （1）设跳绳的单价为 x 元，毽子的单价为 y 元，根据“购买 3 根跳绳和 6 个毽 子共用 72 元，购买 5 根跳绳和 20 个毽子共用 160 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次 方程组，解之即可得出结论； （2）设该店的商品按原
31、价的 m 折销售，根据现价原价折扣率，即可得出关于 m 的 一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）设跳绳的单价为 x 元，毽子的单价为 y 元， 依题意，得：， 解得： 答：跳绳的单价为 16 元，毽子的单价为 4 元 （2）设该店的商品按原价的 m 折销售， 依题意，得： （1610+410）180， 解得：m9 答：该店的商品按原价的 9 折销售 23如图，AB 是O 的直径，点 D 是 AB 延长线上的一点，点 C 在O 上，且 ACCD， ACD120 （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OC只需证明OC
32、D90根据等腰三角形的性质即可证明； （2）阴影部分的面积即为直角三角形 OCD 的面积减去扇形 COB 的面积 【解答】 （1）证明：连接 OC ACCD，ACD120， AD30 OAOC， ACOA30 OCDACDACO90即 OCCD， CD 是O 的切线 （2）解：A30， COB2A60 S扇形BOC， 在 RtOCD 中，CDOC， ， ， 图中阴影部分的面积为 24某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、 小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类） ，并 将调查结果绘制成如下不完整统计图 请你根据图中信息，回
33、答下列问题： （1）本次共调查了 50 名学生 （2）在扇形统计图中， “歌曲”所在扇形的圆心角等于 72 度 （3）补全条形统计图（标注频数） （4）根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中最喜爱小品的人数为 640 人 （5）九年一班和九年二班各有 2 名学生擅长舞蹈，学校准备从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？ 【分析】 （1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （2）用 360乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度 数； （3）先计算出最喜欢舞蹈类的人数
34、，然后补全条形统计图； （4）用 2000 乘以样本中最喜爱小品类的人数所占的百分比即可； （5）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出抽取的 2 名学生恰好来自同一个 班级的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）1428%50， 所以本次共调查了 50 名学生； （2）在扇形统计图中， “歌曲”所在扇形的圆心角的度数36072； （3）最喜欢舞蹈类的人数为 5010141610（人） ， 补全条形统计图为： （4）2000640， 估计该校 2000 名学生中最喜爱小品的人数为 640 人； 故答案为 50；72；640； （5）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果
35、数，其中抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的结果数为 4， 所以抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的概率 25如图，直线 ymx 与反比例函数 y（x0）的图象交于 Q 点，点 B（3，4）在反比 例函数 y的图象上，过点 B 作 PBx 轴交 OQ 于点 P，过点 P 作 PAy 轴交反比例 函数图象于点 A，已知点 A 的纵坐标为 （1）求反比例函数及直线 OP 的解析式； （2）连接 OB，求BOP 的面积和 sinBOP 的值 （3）在 x 轴上存在点 N，使得PON 的面积与POA 的面积相等，请直接写出点 N 的 坐标 【分析】 （1）将点 B 代入求反比例函数解析式，将点 A
36、 代入求一次函数解析式 （2）过 B 点作 BMOP 于点 M，在 RtBOM 中，sinBOP，结合 SOPB BPyPOPBM，即可求解 （3）连接 OA，设 P（m，0） 利用三角形的面积公式构建方程求解即可 【解答】解： （1）B（3，4）在 y上的图象上， 4， k12， y， 当 y时，x， A（，） ， PAy 轴，PBx 轴， P（，4） ， 将 P 点代入 ymx，得4， m， yx （2）如图 1 中，过 B 点作 BMOP 于点 M， B（3，4） ，P（，4） ， OB5，OP，BP3， ， 又， ， 在 RtBOM 中， （3）连接 OA，设 P（m，0） 由题意，S
37、PONSPOA， |m|4（4） ， 解得 m， ， 26如图 1，菱形 ABCD 与菱形 GECF 的顶点 C 重合，点 G 在对角线 AC 上，且BCD ECF60， （1）问题发现的值为 ； （2）探究与证明 将菱形 GECF 绕点 C 按顺时针方向旋转 角（060） ，如图 2 所示，试探究线 段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 菱形 GECF 在旋转过程中，当点 A，G，F 三点在一条直线上时，如图 3 所示连接 CG 并 延长，交 AD 于点 H，若 CE2，GH，则 AH 的长为 3 【分析】 （1）如图 1 中，作 EHCG 于 H证明 EGA
38、B，推出，即可解决问 题 （2） 结论： AGBE 如图 2 中， 连接 CG 证明ECBGCA， 可得 （3）如图 3 中，证明HAGHCA，推出 AH2HGHC，由此即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，作 EHCG 于 H 四边形 ECFG 是菱形，ECF60， ECHECF30，ECEG， EHCG， GHCG， cos30， 2， EGCD，ABCD， GEAB， 故答案为 （2）结论：AGBE 理由：如图 2 中，连接 CG 四边形 ABCD，四边形 ECFG 都是菱形，ECFDCB60， ECGEGCBCABAC30， ECGBCE， ， ECBGCA， ECBGCA，
39、 ， AGBE （3）如图 3 中， AGHCGF30AGHGAC+GCA， 又DACHAG+GAC30， HAGACH， AHGAHC， HAGHCA， HA：HCGH：HA， AH2HGHC， FC2，CGCF， GC2， HG， AH2HGHC39， AH0， AH3 故答案为 3 27如图，二次函数 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，交 y 轴于点 C，抛 物线上一点 D 的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图 1，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点，PEx 轴，PFy 轴，求线段 EF 的最大值； （3）如
40、图 2，点 M 是线段 CD 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 N， 当CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标 【分析】 （1）由 A、B 两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将 D 点坐标代入求出 a 的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式 （2）点 P 在二次函数图象上，坐标为（p，p24p+3） 又因为 PFy 轴，点 F 在直线 BC 上，P 的坐标为（p，p+3） ，在 RtFPE 中，可得 FEPF，用纵坐标差的绝对 值可求线段 EF 的最大值 （3）求CBN 是直角三角形，分为CBN90和CNB90两类情况计算，
41、利用三 角形相似知识求解 【解答】解： （1）设二次函数的解析式为 ya（xb） （xc） ， yax2+bx+与 x 轴 r 的两个交点 A、B 的坐标分别为（1，0）和（3，0） ， 二次函数解析式：ya（x1） （x3） 又点 D（4，3）在二次函数上， （43）（41）a3， 解得：a1 二次函数的解析式：y（x1） （x3） ， 即 yx24x+3 （2）如图 1 所示 因点 P 在二次函数图象上，设 P（p，p24p+3） yx24x+3 与 y 轴相交于点 C， 点 C 的坐标为（0，3） 又点 B 的坐标为 B（3，0） ， OBOC COB 为等腰直角三角形 又PFy 轴，P
42、Ex 轴， PEF 为等腰直角三角形 EFPF 设一次函数的 lBC的表达式为 ykx+b， 又B（3，0）和 C（0，3）在直线 BC 上， ， 解得：， 直线 BC 的解析式为，yx+3 yFp+3 FPp+3（p24p+3）p2+3p EFp2+3p 线段 EF 的最大值为，EFmax （3）如图 2 所示： 若CNB90时，点 N 在抛物线上，作 MNy 轴，lx 轴交 y 轴于点 E， BFl 交 l 于点 F 设点 N 的坐标为（m，m24m+3） ，则点 M 的坐标为（m，3） ， C、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3） ， CDx 轴 又CNENBF，CENNFB90， CNENBF ， 又CEm2+4m，NEm；NF3m，BFm2+4m3， ， 化简得：m25m+50 解得：m1，m2 M 点坐标为（，3）或（，3） 如图 3 所示： 当CBN90时，过 B 作 BGCD， NBFCBG，NFBBGC90， BFNCGB BFN 为等腰直角三角形， BFFN， 0（m24m+3）3m 化简得，m25m+60 解得，m2 或 m3（舍去） M 点坐标为， （2，3） 综上所述，满足题意的 M 点坐标为可以为（2，3） ， （，3） ， （，3）
