1、2021 级级高三高三第三次月考数学试题第三次月考数学试题 ( (满分：满分：150分，考试时间：分，考试时间：120 分钟分钟) ) 注意事项：注意事项： 1答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时用回答选择题时用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3考试结束后，将答题卡交回考试结束后，将答题卡交回( (试题卷自
2、己保管好，以备评讲试题卷自己保管好，以备评讲) ). 一、单选题一、单选题( (本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的) ) 1. 下列转化结果正确的是( ) A. 60化成弧度是rad 6 B. rad 12 化成角度是30 C. 1化成弧度是 180 rad D. 1rad化成角度是 180 o 【答案】D 【解析】 【分析】 根据弧度制与角度制的转化关系180，可得选项. 【详解】由180得，对于 A 选项：60化成弧度是 rad 3 ，故 A 不
3、正确； 对于 B选项：rad 12 化成角度是 1 18015 12 ，故 B不正确； 对于 C选项：1化成弧度是 180 rad ，故 C错误； 对于 D选项：1rad化成角度是 180 o ，故 D正确， 故选：D. 2. 已知集合 2 2 3, 2 2 ,ln4,Ay yxxBx yxx 则AB ( ) A. ,02, B. ,04, C. 2, D. 4, 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出集合A、B，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】 2 3, 2 22Ay yxxy y ， 22 ln4404Bx yxxx xxx x或0 x ， 所以AB 4,. 故选：D 3. 设mR
4、，则“1m ”是“直线 1: 130lmxm y 与直线 2: 1212=0lmxmy 垂直”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先由两直线处垂直求出m的值，根据充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】若直线 1: 130lmxm y 与直线 2: 1212=0lmxmy 垂直， 则 11210m mmm ，解得1m， 所以由1m能推出直线 1: 130lmxm y 与直线 2: 1212=0lmxmy 垂直； 反之不能推出； 因此“1m”是“直线 1: 130lmxm y 与直线 2: 1
5、212=0lmxmy 垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】结论点睛： 充分条件与必要条件的判断，一般可根据概念直接进行判断，有时也需要根据如下规则判断： (1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集； (2)p是q的充分不必要条件， 则 p对应集合是q对应集合的真子集； (3)p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等； (4)p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与p对应集合互不包含 4. 已知函数 sin2 cos2f xxx，那么 2 f ( ) A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函数的导数后，代
6、入运算即可得解. 【详解】由题意， 2cos22sin2fxxx ， 所以 2cos 2 2sin2f . 故选：A. 5. 重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的 1 3 ，而太 阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失 10，设太阳光原来的紫外线为0k k ，通过 x 块这样的普 通玻璃后紫外线为 y，则 * 0.9xykxN，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通 过这样的普通玻璃块数为( )(参考数据：lg30.477) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意得 3 0.9(0) x k
7、 kk，化简得 1 0.9 3 x ，两边同时取常用对数得 1 1 0.91 3 x gg，利用对数的运算 性质可得选项. 【详解】由题意得 3 0.9(0) x k kk，化简得 1 0.9 3 x ，两边同时取常用对数得 1 1 0.91 3 x gg，因为 lg0.90，所以 1 1 1 30.477 3 10.37 lg0.92lg3 10.046 g g x ，则至少通过 11 块玻璃. 故选：C. 6. 已知非零向量, a b满足ab ab，为向量a b 与向量a的夹角，那么cos( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 0 【答案】C 【解析】 分析】 先设模长，求
8、数量积 2 1 2 a bm r r ，再利用数量积的定义求向量a b 与向量a的夹角余弦值即可. 【详解】设 0ababm rrrr ， 2 2 abm rr 即 22 222 22aba bmma bm rrr rr r ，故 2 1 2 a bm r r ， 则 2 2 3 2 abaaa bm rrrrr r ， 22 23ababa bm rrrrr r ， 故 2 3 3 2 cos 23 aba ab m m m a rrr rrr . 故选：C. 7. 已知复数 123 ,z z z满足： 1233 421, 41, 1zizizzi ，那么 3132 +zzzz 的最小值为
9、( ) A. 2 17 2 B. 2 5 C. 2 5 2 D. 2 17 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出复数 123 ,z z z对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解. 【详解】 1 421, zi 表示 1 z的轨迹是以A( 4,2)为圆心，以 1为半径的圆； 2 41, zi 表示 2 z的轨迹是以B(0,4)为圆心，以 1为半径的圆； 33 1zzi ，表示 3 z的轨迹是直线y x ，如图所示： 3132 +zzzz 表示直线y x 上的点C到圆A和圆B上的点的距离， 先作出点B(0,4)关于直线y x 的对称点D(4,0)，连接AD, 与直线y x 交于点C. 3132
10、+zzzz 的最小值为 2 | | 2(44)222 172CECFAD . 故选：A 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到 动点处于何位置时， 3132 +zzzz 取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平. 8. 已知实数 x，y 满足约束条件 1 +2 ln xy x my yx ，若目标函数 y z x 存在最大值 1 e ，那么实数m的取值范围是 ( )(其中=2.718 28eL为自然对数的底数) A. 1 , 2e B. , e C. 2,0)e D. ,2e 【答案】D 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的
11、平面区域，根据图形可得直线y zx 与曲线lnyx相切时，z最大，根据导数求出 切点坐标，可知切点满足不等式 +2x my ，即可求出m范围. 【详解】画出不等式组表示的平面区域如图， 将 y z x 化为y zx ，z即为平面区域内的点与0,0构成的直线的斜率， 可知当直线y zx 与曲线lnyx相切时，斜率最大， 设切点为 00 ,lnxx，lnyx的导数 1 y x ，则切线的斜率为 0 1 x ， 即 0 00 ln1x xx ，解得 0 xe， 即切点为,1e，此时z恰为 1 e ， 则要使目标函数 y z x 存在最大值 1 e ，切点,1e满足不等式 +2x my ， 即+2e
12、m，2me . 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查简单的规划问题，解决本题的关键是画出不等式组表示的平面区域，根据图 形观察得到z能取最大值的点是曲线lnyx的切点，并且要满足条件，切点应在不等式 +2x my 表示的 平面区域内，本题考查学生数形结合的能力，考查对图形的分析能力. 二、多选题二、多选题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项是在每小题给出的四个选项中，有多项是 符合题目要求的，全部选对得符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分)
13、) 9. 下列命题正确的是( ) A. 若 11 0 ab ，则 22 33 ab B. 若1ab，则 11 ab ab C. 若lnlnabba，则ba D. 若 ln3ln5 ,b 35 a ，则 11 ab ab 【答案】BD 【解析】 【分析】 对于 A，取特值即可验证错误； 对于 B，用作差法即可证明正确； 对于 C，取特值即可验证错误； 对于 D，构造函数 1 0f xxx x 即可证明正确. 【详解】解：对于 A，令1,4ab ，则 22 33 2 0 3 1,441ab ，故 A错误； 对于 B， 0 1111 abab abab ；故 B正确； 对于 C，令1abe ，则 1
14、 lnln0 2 abba，故 C 错误； 对于 D， 35 ln3ln5 ln3ln3,01,ln5ln5,0b1 35 eae， 155315515 ln3ln5 ln 3ln3ln243bln 5ln 125 35 a ， 构造函数 1 0f xxx x ， 2 2 1x fx x ，当0,1x时， 2 2 1 0 x fx x ， 所以 1 f xx x 在0,1x递减， 所以 f af b，即 11 ab ab ，故 D正确. 故选：BD. 10. 如图，ABCD中， 1, 2, 3 ABADBAD ，E 为 CD的中点，AE与 DB 交于 F，则下列叙述中， 一定正确的是( ) A
15、. BF在AB方向上的投影为 0 B. 12 33 AFABAD uuu ruuu ruuu r C. 1AF AB uuu r uu u r D. 若 1 2 FAB，则 3 tan 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由余弦定理求得 2 3BD ，根据勾股定理得 2 ABD ，再由平面几何知识得出 1 2 AFBFAB EFDFDE ， 对于 A选项由向量数量积几何意义可判断；对于 B选项：根据向量的线性表示可判断；对于 C选项由向 量的数量积的定义可判断；对于 D 选项根据正切的二倍角公式可判断. 【详解】因为在ABCD中，1,2, 3 ABADBAD ，在ABD中，由余弦定理得 2
16、2222 +cos1 +2os22 1 2 c603BDABADBDADAB A ， 所以满足 222 ABBDAD ， 所以 2 ABD ， 又 E 为 CD的中点，所以 1 2 AFBFAB EFDFDE ， 所以 22 3 33 BFBD， 2 222 2 321 1 33 AFABBF ， 对于 A选项：BF在AB方向上的投影为 2 3 cos00 3 BFABF，故 A 正确； 对于 B选项： 2212 + 3333 AFABBFABBDABBA ADABAD uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruur uuu ruuu ruuu r ，故 B 正确； 对于
17、C选项： 211 11 321 3 AF AB uuu r uuu r ，故 C 正确； 对于 D选项： 2 3 tan 3 FAB，设 1 2 FAB，所以 2 2tan2 3 tan 1tan3 FAB ，解得 3+ 7 tan 2 (负值舍去)，故 D 不正确， 故选：ABC. 11. 保持函数 sin 6 fxx 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 1 ，得到函数 g x的图象，若 g x在0,上有且仅有3个零点，下列结论中正确的是( ) A. 函数 1 2 yg x在0,上有且仅有3个零点 B. 函数 g x在0,上有且仅有1个极小值点 C. 函数 g x在0,上有且仅
18、有1个极大值点 D. 函数 1 2 yg x在0,上有且仅有3个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】 求出函数 g x的解析式， 由0,x可求得 666 x ， 根据题意可得出23 6 ， 令 6 tx ，作出函数sinyt的图象，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由题意可知， sin 6 g xx ，当0 x时， 666 x ， 由于函数 g x在0,上有且仅有3个零点，则23 6 ， 令 6 tx ，则23t ， 作出函数sinyt在区间, 66 上的图象如下图所示： 直线 1 2 y 与函数sinyt在区间, 66 上图象的交点个数为2或3或4， 所以，函数 1 2 yg x在0,
19、上零点个数为2或3或4，A选项错误； 函数 g x在0,上有且仅有1个极小值点，B选项正确； 函数 g x在0,上的极大值点的个数为1或2，C选项错误； 直线 1 2 y =-与函数sinyt在区间, 66 上图象的交点个数为3， 则函数 1 2 yg x在0,上有且仅有3个零点，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】利用正弦型函数图象解决函数的零点个数问题，一般利用换元法t x ，转化为正弦函数 的图象应用问题. 12. 设s,t0， 若满足关于 x 的方程 xtxts恰有三个不同的实数解 123 ,xxxs则下列选项中， 一定正确的是( ) A. 123 0 xxx B. 64 25 s t
20、 C. 4 5 t s D. 144 25 st 【答案】CD 【解析】 【分析】 设 f xxtxt，得出函数 f x为偶函数，从而有 123 0 xxx，因此方程 =f xs必有一解 为 0，代入得2 ts，分0 xt和xt两种情况得出函数 f x的单调性和最值，从而求得st，可得 选项. 【详解】设 f xxtxt，则函数 f x为偶函数，所以 123 0 xxx， 所以 = f xs，其中必有一解为 0，则 0 2fttsts， 当0 xt时， + 22 2 txt x f xtxtxt ,当且仅当0 x时取等号； 当xt时， f xtxtx在, t 上递增， 2f xst， 5 22
21、445 4 xtxttxtxtxtxttxtxt ， 又 f x在, t 上递增， 3 5 4 xt ，即 3 564516 =2, 42545 xstttst ， 6454144 , 2516525 t st s . 故选：CD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属 于较难题. 三、填空题三、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，14 题第一空题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分分.共共 20分分) ) 13. 等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若 125 0, 0aS，则使 n S取得
22、最大值时的 n 的取值为_. 【答案】12或 13 【解析】 【分析】 根据 25 0S可得 1 12ad ，代入 n S得 2 25 22 n dd Snn，利用二次函数的性质即可求得. 【详解】设数列 n a的公差为d， 251 25 24 250 2 Sad ，则 1 12ad ， 1 0a ，0d ， 2 1 125 222 n n ndd Snadnn ， 对称轴为 25 2 n ，开口向下， 当 12n或 13时， n S取得最大值. 故答案为：12或 13. 【点睛】方法点睛：由于等差数列 2 11 1 + 222 n n ndd Snadnan 是关于n的二次函数，当 1 a与
23、 d异号时， n S在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当 1 a与d同号时， n S在1n 取最值. 14. 已知 8 x fx，那么 3 log 227f_. 【答案】1 【解析】 【分析】 令827 x ，根据指数式与对数式互化得 8 log 27x ，再由对数的运算性质可求得答案. 【详解】 令827 x ， 则 8 l o g 2 7x ， 即3 3 82 2 log 27log3log 3x ， 所以 332 log 227log 2log 3 1f， 故答案为：1. 15. 若正实数 x，y满足 23 1 2 xy yxxy ，则2xy的最大值为_. 【答案】2 2 【解析】
24、 【分析】 先将 23 1 2 xy yxxy 变形为 22 +462yxxy，使用均值不等式有 2 2 2 2 xy xy 即可求解得答案. 【详解】因为 23 1 2 xy yxxy ，所以 22 +462yxxy，即 2 +262yxxy，又x,y是正数. 所以 2 2 2 2 xy xy ，当且仅当2xy时取等号， 所以 2 22 +2 2 6 xy xy ，化简得 2 28xy，所以22 2xy，当且仅当2xy时取等号， 即 2 2, 2 xy时，取等号.所以 2xy 的最大值为2 2. 故答案为：2 2. 【点睛】此题考查均值不等式，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，要注意其必
25、须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积 的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求 的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16. 已知正项等比数列 n a中， 4251 6, 15aaaa，则 n a _，又数列 n b满足 11 11 , 21 n n bb b ；若 n S为数列 1nn ab 的前 n项和，那么 3n S_. 【答案】 (1). 1 2n (2). 1 (81)
26、 7 n 【解析】 【分析】 首先根据题意得到 2 421 4 511 16 115 aaa q q aaa q ，再解方程组即可得到 1 1a ，2q =，从而得到 1 2n n a - =. 根据11 11 , 21 n n bb b 得到 n b是周期为3的循环数列，从而得到 323456731331 111 222 222 nnnn Saaaaaaaaa ，再设 31331 1 2 2 nnnn caaa ， 证明 n c是以首项1，公比为8的等比数列，即可得到答案. 【详解】因为 42 6aa ，所以1q . 因为 2 421 4 511 16 115 aaa q q aaa q ，
27、所以 2 42 1 2 115 q q q qq ， 即 2 2520qq，解得 1 2 q 或2q =. 当 1 2 q 时，代入 42 6aa ，解得 1 16a (舍去) 当2q =时，代入 42 6aa ，解得 1 1a ，所以 1 2n n a - =. 因为 1 1 2 b ， 1 1 1 n n b b ， 所以 2 1 1 2 1 b b ， 3 2 1 1 1 b b ， 4 3 11 12 b b ， 5 4 1 2 1 b b ， ，所以 n b是以周期为3的循环数列. 因为 n S为数列 1nn ab 的前 n项和， 所以 323456731331 111 222 22
28、2 nnnn Saaaaaaaaa ， 设 31331 1 2 2 nnnn caaa ， 31331 3 1 343332 1 2 2 8 1 2 2 nnn n n nnn aaa c q c aaa ， 所以 n c是以首项 234 1 21 2 aaa，公比为8的等比数列. 所以 3 1 81 81 1 87 n n n S . 故答案为： 1 2n； 1 (81) 7 n 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等比数列的性质和等比数列的前n项和，根据11 11 , 21 n n bb b 得到 n b是周期为3的循环数列，为解题关键，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 四、解答
29、题四、解答题( (本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) ) 17. 函数 32 392f xxxx. (1)求 f x的极大值和极小值； (2)已知 f x在区间 D上的最大值为 20， 以下 3个区间 D 的备选区间中， 哪些是符合已知条件的？哪些不 符合？请说明理由. 3,2-；2 2 ,；3,1 【答案】(1)极大值 25，极小值-7；(2)区间不符，区间符合，理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)先求解出 fx ，根据 0fx 分析得到 f x的单调性，从而 f x的极值可求；
30、(2)根据 f x在所给区间上的单调性以及极值，分析得到 f x的最大值，由此判断所给区间是否符合条 件. 【详解】(1) 2 369313fxxxxx，令 0fx，1x 或3x ， 当, 1x 时 0fx ，当1,3x 时 0fx ，当3,x时 0fx ， f x在, 1 和3,上单调递减，在1,3上单调递增， f x的极大值为 32 333 39 3225f ， f x极小值为11 3 927f (2)当区间D为时， f x在 3, 1 上递减，在1,2上递增， 32 3 =33 33 922520f ， 283 49 2220f ， 所以 max25f x，不符合； 当区间D为时， f
31、x在2, 1上递减，在1,2上递增， 283 42 92020f ， 283 49 2220f ， 所以 max20f x，符合； 当区间为时， f x在3, 1 上递减，在1,1上递增， 32 3 =33 33 922520f ， 11 3 929f ， 所以 max25f x，不符合， 综上可知：区间不符，区间符合. 【点睛】思路点睛：利用导数求解函数最值的思路： (1)若所给的闭区间, a b不含参数，则只需对 f x求导，并求 0fx 在区间, a b内的根，再计算使 导数等于零的根的函数值，把该函数值与 ,f af b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小 值； (2)若所给
32、的区间, a b含有参数，则需对 f x求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得 到函数 f x的最值. 18. 如图，角, , ,A B C D为平面四边形ABCD的四个内角，6,3,4ABBCCD. (1)若60 ,30BDAC oo，求sinD； (2)若180 ,5BADBCDAD o ，求cosBAD. 【答案】(1) 3 3 8 ；(2) 3 7 . 【解析】 【分析】 (1)在ABC中，利用余弦定理求出AC，在ACD中，再利用正弦定理即可求解. (2)在ABD中，利用余弦定理可得cosBAD，在BCD中，利用余弦定理cosBCD，由 coscos0BADBCD求出 24
33、7 7 BD ，再利用余弦定理即可求解. 【详解】(1) 在ABC中， 222 222 361 cosB, 363 627 ,3 3 2 3 62 AC ACAC 在ACD中，由正弦定理 sinsin , DACD CDAC 3 33 3 sinsinsin30 48 AC DDAC CD (2) 在ABD中， 222 56 cos 2 5 6 BD BAD . 在BCD中， 222 34 cosBCD 2 3 4 BD 180 ,coscos0BADBCDBADBCD 22 222222 2 25365 916 5634 00 2 5 62 3 4120 BDBD BDBD 222 2 61
34、25 25507247BDBDBD ， 则 247 7 BD 222 247 2536 563 7 cos 256607 BD BAD . 【点睛】关键点点睛：求sinD，关键求出AC，求cosBAD，关键求出 247 7 BD ，考查了计算求解 能力. 19. 已知函数 sincos2f xxax ，其中 , 2 2 aR . (1)当2, 6 a 时，求 f x在区间0,上的值域； (2)若关于的方程 0f有两个不同的解，求 a的取值范围. 【答案】(1) 3 3, 2 ；(2)1a 或1a . 【解析】 【分析】 (1) 代入化简函数 f x 3sin 3 x ，根据正弦函数的值域可求得
35、答案； (2) 将问题等价于 2 2 sinsin0aa关于有两个不同的解分0a和0a两种情况由一元二次方程 的根的分布建立不等式组可求得 a的取值范围. 【详解】(1) 当2, 6 a 时， sin2cos 63 f xxx 3113 sincos2 cossin 2222 xxxx 33 cossin 22 xx 13 3sincos 22 xx 3sin 3 x 2 0, 333 xx 3 sin1, 23 x 3 33sin 32 x ， f x的值 域为 3 3, 2 ； (2) sincos20a关于有两个不同的解， sincos20a 2 12sinsin0a ， 2 2 sin
36、sin0aa关于有两个不同的解， 设 sin ,1,1 2 2 tt 2 20atta 在 1,1t 有两个不同的解， 当0a，不符合题意. 当0a时， 2 1 210tt a 在1,1内有两个不同的解， 令 2 1 21g ttt a ， 2 14 11 0 080 4 4 1 4 1 1 0 11 01 4 4 4 1 10 10 0 10 01 1 0 aR a aa a a a aaa a a a g aa a g aa a a 或 或 或 或 或1a . 【点睛】本题考查正弦函数的值域，一元二次方程的根的分布，属于较难题.在解决一元二次方程的根的分 布问题时，常需考虑方程的根的判别式
37、，对称轴，方程所对应的二次函数的特殊点的函数值的正负等方面. 20. 设数列 n a的前 n项和 n S满足 1 =2 nn Saa，且 123 , +1, aaa成等差数列. (1)求数列 n a的通项公式； (2)记数列 21 n n a 的前 n 项和为 n T，求使 1 3 n n T n 恒成立的实数的取值范围. 【答案】(1)2n n a ；(2) 35 8 . 【解析】 【分析】 (1) 由已知得 1 2 nn Saa，当2n时， 111 2 nn Saa ， 1 22 nnn aaa -:，可得 出 n a是以公比为 2 的等比数列. 再求得首项，可求得通项. (2) 由(1)
38、得 22 2 11 n n nn a ，运用错位相减法求得 n T，问题转化为 2 23 1 2 n n nn 恒成立，记 22 2323 1 . 22 n nn nn nnnn bc ，作差 1nn cc ，判断其差的符号得出 n b的最值，根据不等式恒成立的思 想可求得实数的取值范围. 【详解】(1) 1 2 nn Saa，当2n时， 111 2 nn Saa ， 1 22 nnn aaa -: ， 1 2 nn aa ， n a是以公比为 2 的等比数列. 又 123 ,1,a aa成等差数列， 213 21aaa ， 即 111 2214aaa ， 解得 1 2a ， 1 1 22 n
39、n n aa ； (2) 由(1)得 22 2 11 n n nn a ，所以 231 11111 1352321 22222 n nn Tnn 2341 111111 1352321 222222 n nn Tnn 231 111111 22221 222222 n nn Tn -： 211 11111 21 22222 nn n 1 1 11 1 1122 =21 1 22 1 2 n n n 11 111 121 222 nn n +1 31 421 22n n ， 23 3 2 n n T n ； 123 33 2 n n n n 恒成立，即 2 23 1 2 n n nn 恒成立，
40、记 22 2323 1 . 22 n nn nn nnnn bc ，则 2 2 2 2 1 1 232 2131 213123 222 nn nnn nnnn nnnn cc 2 252 2n nn ， 当2n时， 21 0cc ,当 3n时， 32 0cc ，当4n ， 1 0 nn cc ， 12345 ccccc ， 当 n为偶数时， 246810 bbbbb ，此时 2 max n bb ， 当 n为奇数时， 1313579 735 , 28 bbbbbbb ，此时 3 max n bb ； 又 23 75355 1, 2282 bb ， 3 max 3535 88 n bb. 【点睛
41、】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问 题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 21. 已知圆C的圆心在y轴上，半径5r ，过点 0,4且与直线32yx相切. (1)求圆C的方程； (2)若过点,0P t的直线 l与圆C交于不同的两点,A B，且与直线240 xy交于点M，若,A B中点 为N，问是否存在实数t，使PM PN 为定值，若存在，求出t
42、的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 2 2 24xy ；(2)存在，1 或 4. 【解析】 【分析】 (1)设圆心0,m，利用过点且与直线相切建立方程即可求解； (2)原问题可转化为是否存在t使PM PC为定值，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，求出 M 坐标， 利用向量运算即可. 【详解】(1) 设圆心0,m 圆心到32 yx的距离等于半径， 2 4 3 1 m m ， 即 22 4mm 平方后，整理得 2 1220=0mm， 解得2m或10m 又因为半径5r ， 10m(舍)，2m， 所以所求圆的方程为 2 2 24xy (2) PM PNPMPCCNPM PCPM CNPM
43、PC 直线 l的斜率 k 存在时 设 l：yk xt， 求 M点： 42 1 2 4240 1 2 kt x yk xt k kktxy y k ， 424 , 1212 ktkkt M kk ， 44244 , 12121212 ktktkktt PMt kkkk ，,2PCt 4424424 ,2 1212121212 ktttktttkt PM PCt kkkkk ， 要使PM PC为定值，与k无关， 1t ，则=3PM PC 当 l的斜率不存在时, 4 ,P,0 ,2 2 t M ttN t , 4 0,0,2 2 t PMPN , 4PM PNt , 与1t 时3PM PN 符合，
44、又当 M 与 P重合时，=0PM PN也为定值， 综上，当1t 时，PM PN 为定值. 【点睛】关键点点睛：本题考查定值问题，解题关键是找到 M 点的坐标利用向量的坐标进行运算，可得 42 12 ttk PM PC k ，对式子进行分析，要求与 k无关，所以只能 t取 1，此时PM PC为定值考查 了学生的运算求解能力，逻辑推理能力属于中档题 22. 已知 1 ln,f xxa xaR x . (1)讨论 f x的单调性； (2)1x 时，若 1 k x x ex 恒成立，求实数 k的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) 1 2 k . 【解析】 【分析】 (1)先利用导数求导，再对
45、a分三种情况得到函数的单调区间； (2)等价于 1 ln0 xk x x 在( ) 1,+?恒成立，记 1 lng xxk x x ,只需 ( ) 0 max g x,再对k分类讨 论得解. 【详解】(1)由题得函数的定义域为( ) 0,+?， 2 2 222 1 11 1 xa x axxa fxa xxxx ， 又 2 14a ， 当0a 时， 2 11 10fxa xx ， 所以 ( )f x在(0,)上单调递增. 当0a时， 2 i140,a 即 1 2 a 时， 0fxf x 在( ) 0,+?上单调递减. 2 ii140,a 即 1 0 2 a 时， 令 0,fx 则 2 114 2 a x a ， 当 22 114114 0, 22 aa x aa 时 0fx ， 当 22 114114 , 22 aa x aa 时 0fx . ( ) fx在 2 114 0, 2 a a 和 2 114 2 a a ，上单调递减, 在 22 114114 , 22 aa aa 上递增. 综上，当0a 时， ( )f x在(0,)上单调递增； 当 1 0 2 a时， f x在 2 114 0, 2 a a 和 2 114 2 a a ，上单调递减, 在 22 114114 , 22 aa aa
