2021届江苏省扬州市高三上学期期中数学试题(教师版)

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1、2020-2021 学年度第一学期期中检测试题学年度第一学期期中检测试题 高三数学高三数学 (全卷满分分全卷满分分 150 分,考试时间分,考试时间 120分钟分钟) 一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合要求一项符合要求). 1. 已知复数z满足12i z,(i为虚数单位),则z等于( ) A. 1i B. 1 i C. 1 1 22 i D. 1 1 22 i 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数除法运算,化简即可得解. 【详解】复数z满足12i

2、z, 则 2 1 z i ,由复数除法运算化简可得 2 12 1 111 i zi iii , 故选:B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算,属于基础题. 2. 已知集合 A=x|(x+1)(x-2)0,B=x| x2, 则 AB=( ) A. -1,0 B. 0,1 C. (0,2 D. 0,2 【答案】D 【解析】 【分析】 求解不等式化简集合A、B,然后直接利用交集运算得答案 【详解】解:(1)(2) 0 xx,12x 剟, 1,2A , 2x ,04x, 0,4B, 0,2AB 故选:D 3. 已知 a= 1.1 log0.9, b= 1.1 0.9, c= 0.9 1.1,则 a,b

3、,c的大小关系为( ) A. abc B. acb C. bac D. bc1 B. “a1是 1 a 2 c,则ABC 为锐角三角形 D. 在ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 sin2A= sin2B,则 A=B 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据命题的否定,充分条件与必要条件的定义,逐个选项进行判断即可 【详解】对于 A,符合命题的否定的定义,A正确; 对于 B,“a1”可以推导出 1 a 1,但是 1 a 1,包括0a ,所以, 1 a 1,所以,B正确; 对于 C,在ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 2 a+ 2 b 2 c,只能说明

4、 C为锐角,无法说 明ABC为锐角三角形,C 错误; 对于 D,sin2A= sin2B,当 2 AB 时,同样成立,D 错; 故选:AB 10. 若函数 f(x)= sin2x的图象向右平移 6 个单位得到的图象对应的函数为 g(x), 则下列说法中正确的是( ) A. g(x)的图象关于 x= 5 12 对称 B. 当 x0, 2 时,g(x)的值域为- 3 2 , 3 2 C. g(x) 在区间 5 (12, 11 ) 12 上单调递减 D. 当 x0,时,方程 g(x)=0有 3 个根. 【答案】AC 【解析】 【分析】 先由已知求出函数( )g x的解析式( )sin(2) 3 g

5、xx 选项A:因为 5 ()1 12 g ,所以A正确; 选项B:当0, 2 x 时,则 3 sin(2),1 32 x ,所以B错误; 选项C: 3 2(,) 322 x ,由正弦函数的单调递减区间可得:C正确; 选项D:满足方程的x的值分别为: 2 , 63 ,共两个根,所以D错误. 【详解】由已知可得函数( )sin2()sin(2) 63 g xxx , 选项A:因为 55 ()sin(2)sin1 121232 g ,所以A正确, 选项B:当0, 2 x 时, 2 2, 333 x , 则 3 sin(2),1 32 x ,所以B错误, 选项C:当 511 (,) 1212 x 时,

6、 3 2(,) 322 x , 由正弦函数的单调递减区间可得:C正确, 选项D:令2 3 xk ,kZ,解得 26 k x ,kZ, 又 0 x , ,所以满足方程的x的值分别为: 2 , 63 ,共两个根,所以D错误, 故选:AC 【点睛】方法点睛:求函数sin()yAwxh的单调区间,一般利用复合函数的单调性原理解答:首先 是对复合函数进行分解,接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性,最后根据分解 函数的单调性求出复合函数的单调区间. 11. 已知函数 f(x)的定义域为 R, f(x+1)为奇函数, 且 f(2+x)=f(2-x),则( ) A. f(1)=0 B. f

7、(x)= f(x+4) C. f(x+1)=-f(-x-1) D. y= f(x)区间0,50上至少有 25个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据题意可得 10f,函数( )x为周期为 4 的偶函数, ( )f x关于 2x对称,即可判断各个选项 【详解】解:函数 ( )f x的定义域为R,(1)f x 为奇函数, 10f,故A正确; ) 1(f x 为奇函数, (1)(1)f xfx ,故C错误; (2)(2)fxfx , 2(2)2(2)fxfx , 即(4)( )f xf x , ) 1(f x 为奇函数, ( )f x 关于(1,0)对称, (2)(2)fxfx , ( )f

8、 x 关于2x对称, ( )f x 为周期为 4 的偶函数, ()( )fxf x , (4)( )f xf x ,故B正确; (8)(4)( )f xf xf x , 10f,且函数( ) x为周期为 4 的偶函数,( )f x关于 2x对称, 135490ffff, ( )f x 在区间0,50上至少有 25个零点,故D正确 故选:ABD 【点睛】 函数周期性的相关结论: (1) f(xa)f(x), Ta (2) f(xa)f(x), T2a (3) f(xa) 1 ( )f x , T2a (4) f(xa) 1 ( )f x ,T2a (5) f(ax)f(bx),Tab(6) 两个

9、对称轴是半个周期 T:f(x)关于直线 xa,xb对称,那么 T 2ab (7) 两个对称中心也是半个周期 1 2 T:f(x)关于点(a,0)(b,0)对称,那么 T2ab 12. 已知正数x、y z、满足3 =4 6 xyz ,则下列说法中正确的是( ) A. 111 2xyz B. 346xyz C. 3 2 2 xyz D. 2 2xyz 【答案】ACD 【解析】 【分析】 把指数式转换成相应的对数式后,运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【详解】由=4613 yxz t t,可得 1 log 3 t x , 1 log 4 t y , 1 log 6 t z , 1111

10、log 3+log 4log 6 22 ttt xyz ,故 A正确; 4log 3log 81 4 tt x , 3 3log 4log 64 tt y ,所以 43 xy ,34xy,故 B 不正确; lg6lg63lg2lg33 2 lg3lg42lg32lg22 xyxy zzz ,故 C正确; 222 34 2 lg 6lg 22lg2 lg3lg 3 log 6 log 6 lg3 2lg22lg2 lg3 xyxy zzz = 1 lg2lg3 12 2 lg3lg2 ,故 D正确; 故选:ACD 【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的转换,对数运算法则,需要灵活运用换底公式,属

11、于能力要求 较高的题. 三三.填空题填空题(本大题共本大题共 4小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分) 13. 已知幂函数 y= f(x)的图象过点 1 2, 4 ,则曲线 y= f(x)在点1,1处的切线方程为_ 【答案】230 xy 【解析】 【分析】 由题可得 2 f xx,求出 f x在1x 处导数,即切线斜率,即可求出切线方程. 【详解】设 f xx,将 1 2, 4 代入, 1 2 4 ,解得2, 2 f xx,则 3 2fxx, 12f , 则切线方程为121yx ,即230 xy. 故答案为:230 xy. 14. 在ABC中, ,2,3,2 3 BACABA

12、CBDDC ,则 AD. BC=_ 【答案】 11 3 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算,得到BC ba , 12 33 aADb ruuu rr ,再结合向量的数量积的运算公式,即可求解. 【详解】设向量,ABa ACb,其中2,3,2 3cos3 3 aba b , 因为2BDDC,所以BC ACABba , 221212 () 333333 ADABBDABBCABACABABACab, 所以 22 12112411 ()()16 3333333 AD BCab baa bab . 故答案为: 11 3 【点睛】平面向量的数量积的运算策略: 1、定义法:建立一个平面基底,结合向量的

13、线性运算法则表示出向量,利用向量的数量积的定义,即可求 解; 2,坐标运算法:先建立适当的平面直角坐标系,写出向量的应用坐标,结合坐标运算的公式,即可求解, 可起到化繁为简的妙用 15. 黄金比例,用希腊字母 表示,借用古希腊数学家欧几里德的话:当整条线段的长度与线段中较长段的 比例等于较长段与较短段的比例时,就是根据黄金比例来分割线段.用 A,B分别表示较长段与较短段的线 段长度,于是将欧几里德的描述用代数方法表示出来:= AAB BA ,从可以解出 的值.类似地,可以定 义其他金属比例.假设把线段分成 n+1段,其中有 n段长度相等,记这 n 段的每一段长为 A.面剩下的一段长 为 B (

14、长度较短的).如果 A与 B 之比等于整条线段的长与 A之比,我们用 n 来表示这个比例,即 n = A B 对 于 n(n N )的每个值对应一个 n ,则称 n 为金属比例.当 n=1时,即为黄金比例,此时 = 51 2 ;当 n=2 时,即为白银比例,我们用希腊字母表示该比例,则 _ 【答案】 21 【解析】 分析】 转化条件为 2AAB BA ,通过换元解方程即可得解. 【详解】由题意, 2AAB BA 即2 AB BA , 设1 A m B ,则 1 2m m 即 2 210mm , 解得 21m= 或 12m (舍去), 所以 2 1 . 故答案为: 21 . 16. 已知函数 f

15、(x)= 2 4 ,0 4, xx x x xa , 其中 a0, 若函数 g(x)=f(x)- 3|x|有两个零点, 则实数 a的取值范围是_ 【答案】(0,1) 【解析】 【分析】 当0 x时,函数( )g x有一个零点,将问题转化为当xa时,4yx与3|yx有且只有 1 个交点即 可. 【详解】当0 x时,令( )0g x ,则 2 43xxx ,解得0 x或1x (舍),要使函数 ( )g x有两个零 点, 只需4yx与3|yx的图象 在( , )a 上只有 1个交点即可, 作出函数4yx与3|yx的图象,由图象可得(0,1). 故答案为:0,1 【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程

16、有根)求参数值(取值范围)常用的方法: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,利 用数形结合的方法求解. 四、解答题四、解答题(本大题共本大题共 6 小题,计小题,计 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 在a= 2,S= 2 c cosB,C= 3 这三个条件中任选-一个,补充在下面问题中,并对其进行求解. 问题:在ABC中,

17、内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c, 面积为 S,3bcosA=acosC+ccosA, b=1, _, 求 c的值. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 利用正弦定理进行边化角,得到 3 cos 3 A ,然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择 ,或,进行求解即可 【详解】在ABC中,因为3 coscoscosbAaCcA, 所以根据正弦定理得3sincossincossincosBAACCA 所以 3sincossinBAB ,因为sin0B,所以 3 cos 3 A 选择,由余弦定理 222 2cosab

18、cbcA得 2 2 3 10 3 cc ,解得3c 选择, 1 cossin 22 c SBbcA,所以cossincos() 2 BAA 所以 2 BA ,即 2 C ,解得 3c 选择, 3 C ,因为 36 sinsin()sincoscossin 3336 BAAA , 所以由 sinsin cb CB 得 sin 2 64 sin bC c B 【点睛】关键点睛:解题关键在于由正弦定理进行边化角,得到 3 cos 3 A ,然后利用三角函数的相关公 式进行求解,难度属于中档题 18. 已知函数 2 3 ( )3cossin()sin() 362 f xxxx (1)求 f x最小正周

19、期及对称中心; (2)若 1 ( ) 6 f,且() 12 3 ,求cos2的值. 【答案】(1)T;对称中心为(,0),Z 26 k k ;(2) 32 2 6 . 【解析】 【分析】 (1)利用二倍角公式、辅助角公式化简得 1 ( )sin(2) 23 f xx 求得最小正周期及对称中心; (2)求得 1 sin(2) 33 ,对角拆分2(2) 33 利用两角和差的余弦公式得解. 【详解】(1) 1cos23 ( )3sin()sin() 22662 x f xxx 31 cos22cos()sin() 2266 xxx 31 cos2sin(2) 223 xx 3113113 cos2(

20、sin2cos2)(sin2cos2) 2222222 xxxxx 1 sin(2) 23 x . 所以 ( )f x的最小正周期 2 2 T . 由2,Z 3 xkk 得,Z 26 k xk ,所以( )f x的对称中心为(,0),Z 26 k k . (2) 由 1 ( ) 6 f得 1 sin(2) 33 ,因为(,) 12 3 ,所以2(, ) 32 , 所以 22 12 2 cos(2)1sin (2)1( ) 3333 , 所以cos2cos(2)cos(2) cossin(2) sin 333333 2 2 11332 2 32326 . 【点睛】熟练运用二倍角公式、辅助角公式、

21、两角和差的余弦公式及合理拆分角是解题关键,属于基础题. 19. 已知函数( )(0 x kx f xaaa 且1)a 是定义在R上的奇函数 (1)求实数k的值; (2)若 10f,且不等式 2 (34)( 21) 0ftxfx 对任意 1t ,1成立,求实数x的取值范围 【答案】(1)0k ;(2) 11 ,. 【解析】 【分析】 (1)由(0)0f,解得k,检验即可; (2)由 10f, 可得01a, 判断 ( )f x是R上的减函数, 将原不等式化为 2 34 21txx对任意 1t , 1成立令 2 ( )352g ttxx ,由 ( 1) 0g 且 10g,解不等式可得所求范围 【详解

22、】解:(1)因为 f x是R上的奇函数,所以 010 k fa ,解得0k 下面检验,此时 xx f xaa,故()( ) xx fxaaf x ,所以 ( )f x为奇函数 (2)由 10f得 1 0a a ,解得01a, 所以 xx f xaa是 R 上的减函数, 因为 ( )f x为奇函数,所以由 2 3 +4210ftxfx得 22 3 +42121ftxfxfx 因为 f x是 R 上的减函数,所以 2 3421txx对任意 1,1t 成立 令 22 ( )3421352g ttxxtxx ,则( )0g t 对任意 1,1t 成立, 等价于 2 2 (1)3520 ( 1)3520

23、 gxx gxx , 解得11x ,所以x的取值范围是 11 ,. 【点睛】对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函 数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若 f(x)为偶函数,则 f(x)f(x)f(|x|) 20. 如图,在三棱柱 ABC- 111 ABC中,四边形 AB 11 B A和 A 11 ACC均为菱形,平面 AB 11 B A 平面 A 11 ACC. 1 A AC= 3 , 1 AAB= 4 ,E为棱 A 1 A上一点,BEA 1 A. (1)求证: BE 11 AC (2)设 AB=2,求二面角 B- C 1 C-A 的余弦

24、值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 15 5 . 【解析】 【分析】 (1)证明BE 平面 11 AACC,即证 BE 11 AC; (2)作 1 EFCC于F,以E为坐标原点,以EA,EB,EF所在直线为坐标轴,建立如图所示空间直角坐 标系E xyz ,利用向量法求二面角 B- C 1 C-A 的余弦值. 【详解】 (1)证明: 平面 11 ABB A 平面 11 AACC, 平面 11 ABB A平面 111 AACCAA, 1 BEAA,BE 平面 11 ABB A, BE平面 11 AACC, 又 11 C A 平面 11 AACC, 11 BEC A (2)解:作 1 EFCC于

25、F,则 1 EFAA, 平面 11 AACC 平面 11 ABB A,平面 11 ABB A平面 111 AACCAA,EF 平面 11 AACC, EF平面 11 ABB A, 在菱形 11 ABB A中, 2AB , 1 4 BAA , 2AEBE , 在菱形 11 AACC中, 1 2AA , 1 3 A AC , 3EF , 21CF , 以E为坐标原点,以EA,EB,EF所在直线为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系E xyz , 则(0,2,0)B, 1( 2, 2,0) B ,( 21,0, 3)C, 1 ( 2BB ,0,0),( 21BC , 2 ,3), 由(1)知BE 平面

26、 11 AACC,平面 1 ACC的一个法向量 1 (0,1,0)n , 设平面 1 BCC的法向量 2 ( , , )nx y z,则 21 2 0 0 n BB n BC ,即 20 ( 21)230 x xyz , 令 2z 可得平面 1 BCC的一个法向量 2 (0, 3, 2)n , 1 cosn, 12 2 12 315 5|15 n n n nn , 二面角 1 BCCA的余弦值为 15 5 【点睛】方法点睛:二面角的求法: 方法一:(几何法)找作(定义法、三垂线法、垂面法)证(定义)指求(解三角形) 方法二:(向量法)首先求出两个平面的法向量,m n;再代入公式cos m n

27、m n (其中,m n分别是两个平 面的法向量,是二面角的平面角.)求解.(注意先通过观察二面角的大小选择“”号). 21. 某校从高二年级随机抽取了 20 名学生数学总评成绩和物理总评成绩,记第 i位学生的成绩为( ii xy,) (i=1,2,3.20),其中 ii xy,分别为第 i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下( 按数 学成绩降序整理): 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学总评成绩 x 95 92 91 90 89 88 88 87 86 85 物理总评成绩 y 96 90 89 87 92 81 86 88 83 84 序号 11 12 13

28、 14 15 16 17 18 19 20 数学总评成绩 x 83 82 81 80 80 79 78 77 75 74 物理总评成绩 81 80 82 85 80 78 79 81 80 78 (1)根据统计学知识,当相关系数|r|0.8 时,可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据,能否说明数学 总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明. 参考数据: 202020 22 111 ()()485.()678.()476 iiii iii xxyyxxyy 参考公式:相关系数 1 22 11 ()() . ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxxy (2)规定

29、:总评成绩大于等于 85 分者为优秀,小于 85 分者为不优秀,对优秀赋分 1,对不优秀赋分 0,从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生,若用 X 表示这 2 名学生两科赋分的和,求 X的分布列和数学期望. 【答案】(1)“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关;答案见解析;(2)分布列见解析, 9 5 . 【解析】 【分析】 (1)代入公式计算,解得0.8r 即可得解; (2)由超几何分布概率公式计算出(0)P X 、(1)P X 、(2)P X 、(3)P X 、(4)P X ,进而可得 分布列,再由数学期望的公式即可得数学期望. 【详解】(1)由题意, 20 202 2 1

30、0 1 2 1 ()() 485 678476 ()() ii i ii ii xxyy x r xyy 485485480662 60.8 7.51568048080 5180 5151 , 所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关; (2) 由题意得:X的可能取值为 0,1,2,3,4., 根据赋分规则可知,7人赋分为 2,4人赋分为 1,9 个人赋分为 0, 所以 9 2 2 20 36 (0) 190 C P X C , 49 11 2 20 36 19 (1) 0 C C P X C , 211 2 20 479 1 6 0 9 (2 9 ) CC C P X C ,

31、11 47 2 20 2 3 8 1 0 ( 9 ) C C P X C , 2 7 2 20 (4) 21 190 C P X C , 所以X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 36 190 36 190 69 190 28 190 21 190 所以 3636692821342 190190190 9 ()01234 1901901905 E X . 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是对r的值合理放缩及超几何分布的应用. 22. 已知函数 f(x)= x e-mx-2,g(x)= x e-sinx- xcosx-1. (1)当 x 2 时,若不等式 f(x) 0恒成立,求正整数 m

32、 的值; (2)当 x0时,判断函数 g(x)的零点个数,并证明你的结论,参考数据: 2 e 4.8 【答案】(1)1;(2)2 个,证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)将问题转化为 2 x 时,不等式 2 x e m x 恒成立,令( ) 2 x e h x x ,用导数法求得其最小值即可. (2) 易知 (0)0g ,则 0是( )g x的一个零点,由 2 x 时,( )sincos120 xx g xexxxex ,得到 ( )g x无零点,当0 2 x 时,用导数法结合零点存在定理求解. 【详解】(1) 因为当 x 2 时,若不等式 f(x) 0 恒成立, 所以当 2 x 时,不等

33、式 2 x e m x 恒成立, 令( ) 2 x e h x x , 则 22 (2)(1)2 ( )0 xxx e xeex h x xx , 所以( )h x在 ,) 2 上递增, 所以 2 min 228 ( )( ) 25 2 e h xh , 因为 28 12 5 ,所以正整数m的值为 1. (2) 当0 x时, 函数 ( )g x有 2 个零点. 证明如下:显然(0)0g,所以 0是( )g x的一个零点, 当 2 x 时,( )sincos120 xx g xexxxex ,所以( )g x无零点; 当0 2 x 时,( )2cossin x g xexxx, 令( )( )2

34、cossin x h xg xexxx, 则( )( )3sincos0 x h xg xexxx, 所以( ) g x 在0, 2 上递增 又 (0)10, g 2 ()0 22 ge , 所以存在唯一 1 (0,) 2 x 使得 1 ()0g x. 所以当 1 (0,)xx时,( )0g x,故( )g x递减;当 1 ( ,) 2 xx 时,( )0g x ,故( )g x递增; 因为(0)0g,所以 1 ( )0g x,又 2 ()20 2 ge , 所以存在唯一 21 ( ,) 2 xx 使得 2 ()0g x 综上得:当0 x时, 函数( )g x有 2个零点. 【点睛】方法点睛:用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断; 另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决

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