1、盐城市盐城市 2021 届高三年级第一学期期中考试届高三年级第一学期期中考试 数学试题数学试题 一一 单选题：本题共单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 40 分分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.) 1. 命题“ (0,1)x ， 2 0 xx”的否定是( ) A. (0,1)x ， 2 0 xx B. (0,1)x ， 2 0 xx C. (0,1)x ， 2 0 xx D. (0,1)x ， 2 0 xx 【答案】D 【解析】 【分析】
2、 根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 【详解】解：命题为特称命题，则命题“(0,1)x ， 2 0 xx”的否定 (0,1)x ， 2 0 xx， 故选：D. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题. 2. 已知集合 ln1Ax yx ，集合 1 ,2 2 x By yx ，则AB ( ) A. B. 1,4 C. 1,4 D. 4, 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合,A B，然后直接求解AB即可 【详解】集合ln11Ax yxx x， 集合 1 ,204 2 x By yxyy ， AB 1,4 故选：C 3. 已知向量a，b满足ab rr ，且a，b的夹角为 3
3、 ，则b与ab的夹角为( ) A. 3 B. 2 C. 3 4 D. 2 3 【答案】D 【解析】 【分析】 先设abk=， 再求a b ， 进而可求()ab b， 再求 2 ab， 即可求ab rr ， 利用 cos abb ab b ， 结合0,，即可求解. 【详解】设abk=，( 0)k 2 cos 32 k a bab ， 2 22 222 22ababa bkkk，abk 22 22 22 kk ab ba bbk ， 设向量ab与b的夹角为， 2 2 2 cos 2 1 k abb ab b k ， 因为0,， 所以 2 3 ， 所以ab与b的夹角为 2 3 . 故选：D 4. 在
4、九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也 日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后 每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚 33 尺，则两鼠几日可相逢( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列，小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比 为 1 2 的等比数列，设两鼠n天可相逢，求两数列的前n项和加起来大于或等于 33 的最小的正整数n即可. 【详解】设两鼠n天可相逢， 由题意知：大鼠每天打洞
5、的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列， 大鼠n天打洞尺寸为1 221 1 2 n n ， 小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为 1 2 的等比数列， 小鼠n天打洞尺寸为 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n n ， 两鼠n天打洞尺寸之和为： 11 11 21221 22 nn nn ， 令 1 1 2133 2 n n ， 经验证：5n 时， 1 1 2133 2 n n 不成立； 6n时， 1 1 2133 2 n n 成立； 所以两鼠 6 日可相逢， 故选：B 【点睛】方法点睛： 数列实际应用中常见模型： (1)等差模型：如果增加或减少的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定
6、的数就是公差； (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公 比； (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n项 n a与第1n项 1n a 的递推关系，还是前n项和 n S与前1n和 1n S 之间的递推关系. 5. 函数 ,00, sin x f xx xx 的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解； 【 详 解 】 解 ： 因 为 ,00, sin x f xx xx ， 定 义 域 关 于 原
7、点 对 称 ， 又 sinsin xx fxf x xxxx ，所以 ,00, sin x f xx xx 为偶函数，函数 图象关于y轴对称，所以排除 A、D； 22 sinsincossin sinsin x xxxxxxxx fx xxxx 令 cossing xxxx， 则 s i ng xxx ， 所以当0,x时 0g x ， 所以 cossing xxxx 在0,x上单调递减， 又 00g， 所以 0g x 在0,x上恒成立， 所以 0fx 在0,x 上恒成立，即函数 sin x f x xx 在0,上单调递减，故排除 C， 故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)
8、从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停 止新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.经科学测定，14C的半衰期为 5730(设14C的原始量 为 1， 经过x年后， 14C 的含量 x f xa， 即 1 5730 2 f).现有一古物， 测得共14C为原始量的79.37%， 则该古物距今约多少年？( )(参考数据：3 1 0.
9、7937 2 ，5730 1 0.9998 2 ) A. 1910 B. 3581 C. 9168 D. 17190 【答案】A 【解析】 【分析】 由 1 (5730) 2 f 可得 5730 1 2 a ，令( )0.7937f x ，得log 0.7937 a x ，利用换底公式结合对数的运算性质即 可求出x的值 【详解】解：设14C的原始量为 1，经过x年后，14C的含量( ) x f xa， 由题意可知： 1 (5730) 2 f，即 5730 1 2 a， 5730 1 2 a ， 令 ( )0.7937f x ，得：0.7937 x a ， 3 5730 111 0.793757
10、30 232 log 0.79371910 11 31 57302 2 a lglg lg x lga lg lg ， 该古物距今约 1910 年 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，主要是换底公式的应用 log log log c a c b b a 01aa且且01cc且 7. 已知数列 n a满足 1 1a ， 2 4a ， 3 10a ，且 1nn aa 是等比数列，则 8 1 i i a ( ) A. 376 B. 382 C. 749 D. 766 【答案】C 【解析】 【分析】 利用累加法求出通项 n a，然后利用等比数列的求和公式，求解 8 1 i
11、 i a 即可 【详解】由已知得， 21 3aa， 32 6aa ，而 1nn aa 是等比数列，故2q =， 11221 ()()() nnnn aaaaaa 2 363 2n 1 1 3 3 2 3 23 1 2 n n ， 1n aa 1 3 23 n ，化简得 1 3 22 n n a ， 8 7 12 8 1 8 1 2 3 (1 22 )2 8316 1 2 i i aaaa 8 3 219749 故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题 8. 设, 0,x y，若sin sincos cosxy，则cos sinx与sin cos y的大小关系为
12、( ) A. B. C. D. 以上均不对 【答案】A 【解析】 【分析】 设sinx，cos y，利用正弦、余弦函数的值域，结合题目条件得0,1，1,1 ，再利用 诱导公式，结合题目条件得sinsin 2 ，再利用正弦函数的性质得 2 ，或 2 ， 再分类讨论，分别计算可得； 【详解】解：设sinx，cos y 因为,0,x y 所以0,1，1,1 又因为sin sincos cosxy 所以sincossin 2 而1,1 222 所以 2 ，或 22 所以当 2 时，cos sincoscossin 2 x sin cossiny，所以cos sinsin cosxy 当 2 时，cos
13、 sincoscossin 2 x sin cossiny， 因此：当1,0 时，sinsin，所以cos sinsin cosxy 当 0 时，sinsin0，所以cos sinsin cosxy 当0,1时， sinsin ，所以cos sinsin cosxy 故选：D 二二 多选题：多选题：(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0分，请在答题纸的指定位分，
14、请在答题纸的指定位 置填涂答案选项置填涂答案选项.) 9. 设函数 5 x f x ， 2 g xaxx aR，若 15fg ，则a( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】BD 【解析】 【分析】 代入解析式即可求解. 【详解】由 5 x f x ， 2 g xaxx aR， 1 1155 a fgf a ， 可得11a，解得0a或2a. 故选：BD 10. 函数 2 1 22ln 2 f xaxaxx单调递增的必要不充分条件有( ) A. 2a B. 2a C. 1a D. 2a 【答案】AC 【解析】 【分析】 求导，把问题转化为 2 220axax在区间0,恒成立，a分三
15、种情况讨论即可得出结论。判断 选项即可. 【详解】由函数 2 1 22ln 2 f xaxaxx在区间0,单调递增， 则 2 222 20 axax fxaxa xx 在区间0,恒成立， 即 2 220axax在区间0,恒成立， 当0a时，2201xx ，不满足题意； 当0a 时， 2 2 2210axaxa xx a ， 又 2 0 a ， 即 2 101xxx a ，不满足题意； 当0a时， 2 2 2210axaxa xx a ， 又 2 0 a ， 2 220axax在区间0,恒成立， 则 22 28202aaaa ， 综上：函数 2 1 22ln 2 f xaxaxx单调递增的充要条
16、件为2a， 故选：AC. 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的单调性以及求解必要不充分条件. 求定义域； 利用已知条件转化问题为 2 220axax在区间0,恒成立； 对参数分类讨论. 11. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 22 abbc，则角A可为( ) A. 3 4 B. 4 C. 7 12 D. 2 3 【答案】BC 【解析】 【分析】 本题首先可根据 22 abbc以及余弦定理得出cos 2 cb A b - =，然后依次将四个选项代入cos 2 cb A b - =中， 通过化简得2AB，依次检验选项即可得出结果. 【详解】因为 22 abbc，所以 22222
17、2 cos 222 bcabcbbccb A bcbcb +-+- =， 所以 sinsin cos 2sin CB A B - =， 所以2cossinsinsinsin()sinsincoscossinsinABCBABBABABB=-=+-=+- 所以sinsin()BAB，结合角为三角形内角可得BAB，所以2AB 若 3 4 A ，则 3331 ,0 8848 BC=-=-，故 A 错误； 若 4 A ，则 5 , 8848 BC=-=，故 B 正确； 若 7 12 A ，此时 777 , 2424128 BC=-=，故 C正确； 若 2 3 A ，则 2 ,0 333 BC=-=，故
18、 D 错误； 故选：BC. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查的公式为 () coscos cossin sina babab+=-、 222 cos 2 bca A bc ，可通过将选项中的答案代入题目给出的条件并判断是是否成立得出结果，考查计算 能力，是中档题. 12. 设数列 n x，若存在常数a，对任意正数r，总存在正整数N，当nN，有 n xar，则数列 n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有( ) A. 等差数列不可能是收敛数列 B. 若等比数列 n x是收敛数列，则公比1,1q C. 若数列 n x满足sincos 22 n xnn ，则 n x是收敛数列 D. 设公差
19、不为 0的等差数列 n x的前n项和为0 nn SS ，则数列 1 n S 一定是收敛数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据等差数列前n和公式以及收敛数列定义可判断 A； 根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断 B； 根据收敛的定义可判断 C；根据等差数列前n和公式以及收敛数列的定义可判断 D. 【详解】当0 n S 时，取 2 111 222222 n dddddd Snannnana ， 为使得 1 n S r ，所以只需要 1 1 22 dd na r 1 1 1 22 2 2 d a radr r nN d dr . 对于 A，令1 n x ，则存在1a ，使0 n xar
20、，故 A错； 对于 B， 1 1 n n xx q ，若1q ，则对任意正数r， 当 1 1 log1 q r n x 时， 1 n xr ，所以不存在正整数N使得定义式成立， 若1q ，显然符合；若1q 为摆动数列 1 1 1 n n xx ， 只有 1 x两个值，不会收敛于一个值，所以舍去； 若1,1q ，取0a， 1 log11 q r N x ， 当nN时， 1 11 1 0 n n r xx qxr x ，故 B 正确； 对于 C， 1 sincossin0 222 n xnnn ，符合； 对于 D， 1 1 n xxnd， 2 1 22 n dd Snxn ， 当0d 时， n S
21、单调递增并且可以取到比 1 r 更大的正数， 当 11 2 22 ddd xx r nN d 时， 11 0 nn r SS ，同理0d ，所以 D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n和公式以及等比数列的通项 公式求解，属于中档题. 三三 填空题填空题(本大题共本大题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 20 分分.请把答案写在答题纸的指定位置上请把答案写在答题纸的指定位置上) 13. 若 2 sin 43 ，则sin2_. 【答案】 1 9 【解析】 【分析】 由已知利用两角差的正弦函数公式可得 2 2 sincos 3 ，
22、两边平方，由同角三角函数基本关系式，二 倍角的正弦函数公式即可计算得解 【详解】 2 sinsincoscossinsincos 42 2 344 ， 得 2 2 sincos 3 ， 等式 2 2 sincos 3 两边平方得 8 1 sin2 9 ，解得 1 sin2 9 . 故答案为： 1 9 . 14. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，若 44bc且 2 AB ADAB ，则cosA_，中线AD的长为_. 【答案】 (1). 1 4 (2). 19 2 【解析】 分析】 利用平行四边形法则可得 11 22 ADABAC，由 21 2 AB ADAB
23、ABACAB，整理可得 2 AB ACAB ，利用向量数量积可求；将 11 22 ADABAC两边平方即可求解. 【详解】AD为BC边上的中线， 11 22 ADABAC， 21 2 AB ADABABACAB， 2211 22 ABAB ACAB， 即 2 AB ACAB ， 2 cosbcAc， cosbAc， 1 cos 4 c A b . 由 11 22 ADABAC得 222111 442 ADABACAB AC 11111119 161 44 4424424 ， 又 2 2 ADAD， 19 2 AD . 故答案为： 1 4 ； 19 2 15. 若 n a是单调递增的等差数列，且
24、4 n an aa ，则数列 n a的前 10项和为_. 【答案】220 【解析】 【分析】 设0 n aknb k，利用等差数列的通项公式代入求出4k 、0b，再利用等差数列的前n项和公式 即可求解. 【详解】设0 n aknb k， 44 n an aak knbknb， 则 2 44 40 kbbbk kkb ， 则4 n an=，所以 10 10 440 220 2 S . 故答案为：220 16. 若函数 2 1 ln 2 fxxbxax在1,2上存在两个极值点，则39bab 的取值范围是_. 【答案】 81 4, 16 【解析】 【分析】 先求导，设 2 g xxaxb，把问题转化
25、为 g x在1,2上存在两个零点，设为 12 ,x x且 12 xx，再利 用韦达定理求解，代入39bab ，整理利用二次函数求取值范围即可. 【详解】因为 2 1 ln0 2 f xxbxax x， 所以 2 bxaxb fxxa xx ， 设 2 g xxaxb， 因为函数 f x在1,2上存在两个极值点， 所以 fx 在1,2上存在两个零点， 所以 g x在1,2上存在两个零点，设为 12 ,x x且 12 xx， 所以根据韦达定理有： 12 12 xxa x xb ， 故 2 3939babbabb 2 12121212 39xxxxxxxx 22 1122 33xxxx ， 因为 1
26、 1,2x ， 所以 2 2 111 399 3, 2 244 xxx ， 2 2 222 399 3, 2 244 xxx ， 由于 12 xx， 所以 22 1122 81 334, 16 xxxx . 故答案为： 81 4, 16 . 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的极值问题. 把函数在区间存在两个极值点的问题转化为导函数在区间内存在两个零点，利用韦达定理得到参数和系数 的关系，最后利用二次函数求取值范围. 四四 解答题解答题(本大题共本大题共 6小题，计小题，计 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请 把答案写在
27、答题纸的指定区域内把答案写在答题纸的指定区域内) 17. 设函数 cos2 sinf xxmx，0,x. (1)若函数 f x在 2 x 处的切线方程为1y ，求m的值； (2)若0,x ， 0f x 恒成立，求m取值范围. 【答案】(1)2；(2) 1,. 【解析】 【分析】 (1)利用已知条件求出切点坐标，代入到原函数即可得到m的值；(2)利用已知条件得到 cos2 sin x m x ，令 cos21 2sin sinsin x g xx xx ，sin xt，0,1t，得到 1 2g tt t ，求导分析函数 g t的单调 性即可得到m的取值范围. 【详解】(1)由题意，函数 cos2
28、sinf xxmx，0,x， 且函数 f x在 2 x 处的切线方程为1y ， 所以该函数过点,1 2 ， 故cos 2sin112 222 fmmm ， 所以m的值为2； (2)对0,x ， 0f x 恒成立， 即cos2sin0 xmx， 所以cos2sinxmx， 又因为0,x，所以sin0 x ， 故可化简为 cos2 sin x m x ， 令 2 cos21 2sin1 2sin sinsinsin xx g xx xxx ， 再令sin xt，则0,1t， 所以 1 2g tt t ， 2 1 20g t t ， 所以 g t在0,1上单调递增， 故 max 12 1 1g tg
29、 ， 又由式可得，当0,1t时， mg t恒成立， 所以 max1mg t， 综上所述：m的取值范围是： 1,. 【点睛】结论点睛：利用导数研究不等式恒成立问题. (1) f xa恒成立 minf xa； f xa成立 maxf xa； (2) f xb恒成立 maxf xb； f xb成立 minf xb； (3) f xg x恒成立，令 F xf xg x，则 min0F x. 18. 设 sinf xx，其中为正整数， 2 .当0时，函数 f x在, 5 5 单调递增且 在, 3 3 不单调. (1)求正整数的值； (2)在函数 f x向右平移 12 个单位得到奇函数；函数 f x在0,
30、 3 上的最小值为 1 2 ；函数 f x的一条对称轴为 12 x 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中， 并完成解答.已知函数 f x满 足_，在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ab， f Af B.试问： 这样的锐角ABC是否存在，若存在，求角C；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)2；(2)选，不存在；选，存在， 3 C ；选 ：存在， 6 C 【解析】 【分析】 (1)根据函数的单调区间可得, 25 3 ，解不等式即可求解. (2)利用平移变换、最值以及对称轴求出函数的解析式，再由 f Af B，代入解析式可得
31、sin 2sin 2 66 AB 或sin 2sin 2 66 AB 或sin 2sin 2 33 AB ， 根据正弦 函数的性质以及三角形的内角取值范围即可求解. 【详解】(1)0时， sinf xx，N ， 由题意知： 35 , 25 322 ， 又N ，故2. (2)选：函数 sin 2f xx向右平移 12 个单位得到 sin 2 6 g xx ， 又平移后所得函数为奇函数，则, 6 kkZ ，解得, 6 kkZ 又 2 ，故 6 ，所以 sin 2 6 f xx ， f Af B，即sin 2 sin 2 66 AB ， 222 66 ABk 或222, 66 ABkkZ ， 即AB
32、k或, 3 ABkk Z， 又A、B为ABC内角，且ab，故 3 AB ，所以 2 3 C 这样的锐角ABC不存在， 选： sin 2f xx在0, 3 上的最小值为 1 2 ， 由 2 ，则 sin 2f xx在0, 3 上最小值 1 0sin 2 f ， 所以 6 ，所以 sin 2 6 fxx ， f Af B，即sin 2 sin 2 66 AB ， 222 66 ABk 或222, 66 ABkkZ ， 即ABk或 2 , 3 ABkkZ ， 又A、B为ABC内角，且ab，故 2 3 AB ，所以 3 C 这样的锐角ABC存在， 3 C . 选 ： sin 2f xx关于 12 x
33、对称， 则, 62 kkZ ，解得 2 , 3 kkZ ， 又 2 ，故 3 ，所以 sin 2 3 f xx ， f Af B，即sin 2sin 2 33 AB ， 222 33 ABk 或222, 33 ABkkZ ， 即ABk或 5 , 6 ABkkZ ， 又A、B为ABC内角，且ab，故 5 6 AB ， 因此，这样的ABC存在，且 6 C . 【点睛】关键点点睛：解决此题，关键是根据函数的单调性，确定对称轴, 25 3 x ，并且利用对 称轴求出函数的解析式，属于中档题. 19. 设函数 x f xax e. (1)求函数的单调区间； (2)若对于任意的0,x，不等式 2f xx恒
34、成立，求a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为,1a，单调递减区间为1,a ；(2)2a. 【解析】 【分析】 (1)求出导函数，分别令导函数大于零、小于零可得答案； (2)由已知得到 2 x x ax e ，然后令 2 ( ) x x g xx e ，0,x利用导数求( )g x的最小值可得答案. 【详解】(1) 1 x fxaxe ， 令 0fx ，得1xa，令 0fx ，得1xa， 所以 f x的单调递增区间为,1a，单调递减区间为1,a . (2)若对于任意的0,x，不等式 2f xx恒成立， 即 2 x x ax e 对于任意的0,x恒成立， 令 2 ( ) x x g xx
35、e ，0,x， (1) ( ) x x ex g x e ，令( )(1) x h xex，0,x， ( )1(0)0 x h xeh ，所以( ) h x在0,x单调递增，即( )(0)0h xh ， ( )g x在0,x上恒有( )0g x 恒成立， 所以( )g x在0,x单调递增，所以( )(0)2g xg，所以2a. 【点睛】关键点睛：本题第二问考查的是常量分离求参数的取值范围问题，解决的关键是构造函数，利用 导数求最值， 当导函数无法直接判断符号时， 可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试再求一次求导数， 进而通过单调性和关键点(边界点，零点)等确定符号. 20. 在ABC中，D为
36、边BC上一点， 2DC ， 6 BAD . (1)若 23 55 ADABAC，且角 6 B ，求AC的长； (2)若3BD ，且角 3 C ，求角B的大小. 【答案】(1)7；(2) 4 B 【解析】 【分析】 (1)根据向量减法的几何意义可得 3 ADC ，在ACD中，由余弦定理即可求解. (2)设0, 2 B ，可得 6 ADC ， 2 CAD ，在ABD中以及在ACD中，利用 正弦定理可得 22 cos3 AD ，再利用三角恒等变换即可求解. 【详解】(1)因为 23 55 ADABAC，则 22 55 CDADACABACCB， 又2DC ，则5CB ，3BD， 又 6 BADB ，
37、故3ADBD，且 3 ADC ， 在ACD中，由余弦定理： 222 2cos7ACADCDAD CDADC , 故7AC . (2)设0, 2 B ，则 6 ADC ， 2 CAD ， 在ABD中，由正弦定理：2 3 sinsin ADBD BAD ， 在ACD中，由正弦定理： sinsin ADCD CCAD ， 即 222 cos3 sin 2 AD ， 由上述两式得： 3 3cossin21 2sin ， 又20,，故2 2 ，即 4 ，即 4 B . 【点睛】关键点点睛：AC的长，关键是根据向量的减法求出 3 ADC ，借助余弦定理求解； 0, 2 B ，求角B的大小，关键是利用正弦定
38、理求出 222 cos3 sin 2 AD ，考查了计算能 力. 21. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 33 2Sa， 44 24Sa. (1)求数列 n a的通项公式； (2)令 2 2 n n n n a b S ，设数列 n b的前n项和为 n T，求证：2 n T . 【答案】(1)2 n an；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)利用等差数列的通项公式和前n项和公式将已知条件转化为关于 1 a和d的方程组， 解得 1 a和d的值， 即 可求解. (2) 2 1 1 2211 4 22221 n n nnnn n nn na b nSn ，进行裂项求和，即可求
39、证. 【详解】(1)设等差数列 n a的公差为d，则 11 11 3322 46234 adad adad ，解得 1 2 2 a d ， 所以2122 n ann ， (2) 1 22 1 22 n n n aan nS n n ， 2 1 1 2211 4 22221 n n nnnn n nn na b nSn ， 12231 111111 4 22222321221 nn n T nn L 11 11 114 42 222 nn nn 因为 1 4 0 21 n n ，所以2 n T . 【点睛】裂项求和就是把数列的通项拆成两项之差，相加的过程中消去中间项，只剩下有限项再求和，分 式数
40、列的求和多用此法. 常见的拆项公式： (1) 111 11n nnn ； (2) 11 11 n nkknnk ； (3) 1111 21 212 2121nnnn ； (4) 1 1 1 nn nn ； (5) 1111 122112n nnn nnn ； (6) 1 1 211 212121 21 n nn nn ； 22. 设函数 sin 1 x f xeax. (1)当, 2 2 x 时， 0fx ，求实数a的取值范围； (2)求证：存在正实数a，使得 0 xf x 总成立. 【答案】(1) 4 , 2e ；(2)证明见详解. 【解析】 【分析】 (1)求出导函数，分离参数可得 cos
41、 x e a x ，令 cos x e g x x ，利用导数求出 min g x即可求解. (2)取 1 2 a ，令 sinh xxx，利用导数证出0 x时，sinxx；0 x，sinxx，讨论x的取值 范围，证明 yf x与 1 1 2 x yex之间的关系即可证明. 【详解】(1), 2 2 x ， cos0 x fxeax， 即, 2 2 x ， cos x e a x ， 令 cos x e g x x ， , 2 2 x ，则 ming xa， 22 2sin cossin 4 coscos x x ex exx gx xx ， , 24 x 时， 0g x ， , 4 2 x
42、时， 0g x ， 故 g x在, 24 上递减；在, 4 2 上递增， 因此， 4 min 2 4 g xgea ， 所以实数a的取值范围为 4 , 2e . (2)取 2 1 2 2 ae ，则 1 sin1 2 x f xex， 令 sinh xxx， 1 cosh xx ，则 h x在R上单调递增. 又 00h，故0 x时， 0h x ，即sinxx； 当0 x时， 0h x ，即sinxx. 0 x时， 1 1 2 x fxex，令 1 1 2 x F xex，0 x， 1 0 2 x Fxe， 故 F x在0,递增，因此 00F xF， 所以0 x时， 0f x ，即 0 xf x . 2 x 时， 2 1 10 2 f xe ，即 0 xf x . ,0 2 x ，由(1)可知， 0fx ， 则 f x在,0 2 递增，因此 00f xf，即 0 xf x . 因此， 1 2 a 时， 0 xf x 总成立，即题意得证. 【点睛】关键点点睛：求出导函数，将不等式转化为 cos x e a x 是关键，对于证明 0 xf x 总成立，转化 为 yf x与 1 1 2 x yex之间的关系是关键，属于难题.
