2021届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题（含答案详解）

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1、20212021 届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题一一单项选择题单项选择题 1. “1,2m”是“ln 1m”成立的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 函数 1 ( )lg 2x f xx的零点所在区间为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 3. 某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到 3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派 1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有( ) A. 18 种 B. 24 种 C. 36

2、种 D. 48 种 4. 若Rx ，使得 (2)axx成立，则实数a的最大值为( ) A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 0 5. 已知 cos,0 11,(0) xx f x f xx ，则 44 ( )() 33 ff的值为( ) A. 1 B. 1 2 C. 0 D. 1 6. 已知函数 ( )f x的部分图象如图所示，则( )f x的解析式可能为( ) A. sin| ( ) 2cos x f x x B. sinln | ( ) 2cos xx f x x C. cosln| ( ) 2cos xx f x x D. cos ( ) x f x x 7. 为了普及环保知识，增强环

3、保意识，某中学随机抽取 30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如表：得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为 e m，众数为 0 m，平均数为x，则( ) A. 0e mmx B. 0e mmx C. 0e mmx D. 0e mmx 8. 已知函数 ( )f x的定义域为R，且(1)f x 是偶函数， (1)f x 是奇函数， ( )f x在 1,1 上单调递增，则 ( ) A. (0)(2020)(2019)fff B. (0)(2019)(2020)fff C. (2020)(2019)(0)fff D. (2

4、020)(0)(2019)fff 二二多项选择题多项选择题 9. 设全集U R，集合 2 |,RAy yxx ，集合 2 |20,RBx xxx，则( ) A. (0,1)AB B. ( 2,)AB C. R ()(0,)AB D. R ()RAB 10. 已知函数 ( 0,0,0)f xAcosxA的图象的一个最高点为,3 12 ，与之相邻的一个对称中心为 ,0 6 ，将 f x的图象向右平移 6 个单位长度得到函数 g x的图象，则( ) A. g x为偶函数 B. g x的一个单调递增区间为 5 , 12 12 C. g x为奇函数 D. g x在0, 2 上只有一个零点 11. 下

5、列说法正确的是( ) A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍； B. 若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形的概率为 1 4 ； C. 线性相关系数r越大，两个变量线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为 1 9 ，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为 2 3 . 12. 定义：若函数 F x在区间ab，上的值域为 ab，则称区间ab，是函数 F x的“完美区间”，另外，定义区间 F x的“复区间长度”为2 ba，已知函数 2 1

6、f xx ，则( ) A. 0,1是 f x的一个“完美区间” B. 15 15 , 22 是 f x的一个“完美区间” C. f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 5 D. f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 2 5 三三填空题填空题 13. 已知随机变量服从正态分布 N(4，2)，若 P(2)0.3，则 P(26)_ 14. 7 2 x x 的展开式中x的系数为_. 15. 若x2 是函数 21 f1 x xxaxe 的极值点，则 f x的极小值为 _ 16. 已知函数 2 2 , ( ) ,. x xa f x xxa 若1a ，则不等式 ( )1f x 解

7、集为_.若存在实数b，使函数( )( )g xf xb有两个零点，则实数a的取值范围是_. 四四解答题解答题 17. 已知 5 sin 25 ，(0, ). (1)求 3 sincos 22 sin()cos(3) 的值； (2)求 3 cos 2 4 的值. 18. 设函数 xx f xamb，其中,a m bR (1)若2a， 1 2 b 且 f x为 R 上偶函数，求实数 m 的值； (2)若4a，2b且 f x在 R 上有最小值，求实数 m 的取值范围； (3) 0,1a， 1b ，解关于 x 的不等式 0f x 19. 江苏实行的“新高考方案：312 ”模式，其中统考科目：“3”

8、指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2” 指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的 3 4 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为 2 3 ；在选历史的条件下，选地理的概率为 4 5 (1)求该校最终选地理的学生概率； (2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X 求随机变量2X 的概率；求X的概率分布列以及数学期望 20. 已知函数 2 232 4 f xsinxcos x ()求 f(x)的最小正周期和单调递减区间； ()将函数 f(x)的图象向

9、右平移 6 个单位，得到函数 g(x)的图象，求 g(x)在区间 4 4 ，上的值域 21. 某种产品的质量按照其质量指标值 M 进行等级划分，具体如下表：质量指标值 M 80M 80110M 110M 等级三等品二等品一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了 100 件作为样本，对其质量指标值 M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. (1)记 A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A概率； (2)已知该企业这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为 10 元、6元、2 元，试估计该企业销售 10000件该产品的利润； (3)根据该产品质量指标值

10、 M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值(精确到 0.01) 22. 已知函数 2 1 ( )ln(1) 2 f xxaxaxe，( )1 x g xex，其中aR，e为自然对数的底数. (1)求函数 f x的最小值； (2)若对于任意的 1 0,1x ，都存在唯一的 2 1, xe，使得 12 g xf x，求实数a的取值范围. 20212021 届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题一一单项选择题单项选择题 1. “1,2m”是“ln 1m”成立的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也

11、非必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论【详解】解：1lnm ，0me 1，2(0, ) e ， “1,2m ”是“1lnm ”成立的充分非必要条件，故选：A 【点睛】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题 2. 函数 1 ( )lg 2x f xx的零点所在区间为( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【答案】B 【解析】【分析】根据 ( )f x的解析式，可检验(1)(2)ff 的正负，根据零点存在性定理，即可得答案. 【详解】因为函数 1 ( )lg 2x f xx，所以 1 1

12、1 (1)lg10 22 f ， 2 11 (2)lg2lg20 24 f，所以(1)(2)0ff，由零点存在性定理可知，零点在区间(1,2)内，故选：B 【点睛】本题考查函数的零点存在性定理的应用，考查分析计算的能力，属基础题. 3. 某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到 3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派 1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有( ) A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分 2步进行分析：将甲、乙、丙、丁四位专家分为 3 组，将分好的三组全排列，对应 3 所乡镇卫生院，由

13、分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意，分 2步进行分析：将甲、乙、丙、丁四位专家分为 3 组，有 2 4 6C 种分组分法；将分好的三组全排列，对应 3 所乡镇卫生院，有 3 3 6A 种情况，则有6 636 种选派方案；故选：C 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 4. 若Rx ，使得 (2)axx成立，则实数a的最大值为( ) A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式求出(2)xx的最大值，max(2)axx即可. 【详解】可得 2 (2) (2)1 2 xx xx ，当且仅当2xx，即1x

14、时等号成立，若Rx ，使得(2)axx成立，则max(2)axx， 1a . 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的能成立问题，求最值即可解决，属于基础题. 5. 已知 cos,0 11,(0) xx f x f xx ，则 44 ( )() 33 ff的值为( ) A. 1 B. 1 2 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】【分析】直接利用分段函数的解析式，求解函数值即可【详解】因为 cos(0) ( ) (1) 1(0) x x f x f xx ，所以 4444 ( )()(1)1cos() 3333 fff 14 ( )1cos 33 f 1 (1)2cos 33 f 2

15、1 2() 32 f 21 cos()2 32 11 21 22 故选：D 【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力 6. 已知函数 ( )f x的部分图象如图所示，则( )f x的解析式可能为( ) A. sin| ( ) 2cos x f x x B. sinln | ( ) 2cos xx f x x C. cosln| ( ) 2cos xx f x x D. cos ( ) x f x x 【答案】B 【解析】【分析】由函数图象关于原点对称，排除 AC，再根据当x从正数趋近于0时，函数值为负数排除 D，进而得答案. 【详解】解：根据图象得函数 ( )f

17、, 2 x 为正数，故排除，故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与特殊值选函数图象，是中档题. 7. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如表：得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为 e m，众数为 0 m，平均数为x，则( ) A. 0e mmx B. 0e mmx C. 0e mmx D. 0e mmx 【答案】D 【解析】【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可【详解】由图知，众数是 0 5m ；中位数是第 15 个数与第 1

18、6 个数的平均值，由图知将数据从大到小排第 15 个数是 5，第 16 个数是 6，所以中位数是 56 5.5 2 e m ；平均数是 1 2 33 4 10 56 63 72 82 92 106 30 x ； 0e mmx 故选：D 【点睛】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题 8. 已知函数 ( )f x的定义域为R，且(1)f x 是偶函数， (1)f x 是奇函数， ( )f x在 1,1 上单调递增，则 ( ) A. (0)(2020)(2019)fff B. (0)(2019)(2020)fff C. (2020)(2019)(0)fff D. (

19、2020)(0)(2019)fff 【答案】B 【解析】【分析】通过周期性奇偶性找到周期性，再由单调性确定函数值大小. 【详解】(1)f x是偶函数,得(1)1f xfx ，即( )2f xfx ， (1)f x 是奇函数，得 (1)1f xfx ，即 ( )2f xfx ， (2)2fxfx ，得8T 由 (1)f x 是奇函数，得 (0 1)10ff ，因为 ( )f x在 1,1 上单调递增，所以(0)0f 2019310fff， 2020400fff 所以(0)(2019)(2020)fff，故选：B 【点睛】() 2 ab f axf bxx 是函数( )f x的对称轴， (

20、),0 2 ab f axf bx 是函数 ( )f x的对称中心. 二二多项选择题多项选择题 9. 设全集U R，集合 2 |,RAy yxx ，集合 2 |20,RBx xxx，则( ) A. (0,1)AB B. ( 2,)AB C. R ()(0,)AB D. R ()RAB 【答案】AB 【解析】【分析】根据幂函数的值域得出集合 A，解一元二次不等式得集合 B，按照集合间的交、并、补混合运算逐一判断即可. 详解】 2 |,R0,Ay yxx ， 2 |20,R2,1Bx xxx ， 0,1AB ，即 A 正确；2,AB ，即 B正确； R 0ABx x1x x 或2 = 1+

21、x ，即 C 错误； R 0ABx x1x x 或 2 =, 20 +x ，即 D 错误；故选：AB. 【点睛】本题主要考查了集合的表示以及集合间的混合运算，属于基础题. 10. 已知函数 ( 0,0,0)f xAcosxA的图象的一个最高点为,3 12 ，与之相邻的一个对称中心为 ,0 6 ，将 f x的图象向右平移 6 个单位长度得到函数 g x的图象，则( ) A. g x为偶函数 B. g x的一个单调递增区间为 5 , 12 12 C. g x为奇函数 D. g x在0, 2 上只有一个零点【答案】BD 【解析】【分析】先根据余弦函数的图象和性质，求得 f x的解析式，再结

22、合三角函数的图象变换，求得函数 g x的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意，可得() 46124 T ，所以T，可得 2 2w T ，所以 3cos(2)f xx，因为()3cos2 ()3 1212 f ，所以2, 6 kkZ ，因为0，所以 6 ，即 3cos(2) 6 f xx ，所以 3cos2()3cos(2) 666 g xxx ，可得函数 g x为非奇非偶函数，令222, 6 kxkkZ ，可得 5 , 1212 kxkkZ ，当0k 时，函数 g x的一个单调递增区间为 5 , 12 12 ；由2, 62 xkkZ ，解得, 3 x

23、kkZ ，所以函数 g x在0, 2 上只有一个零点. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 11. 下列说法正确的是( ) A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍； B. 若四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从中任取 3 条，则这 3 条线段能够成三角形的概率为 1 4 ； C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为 1 9 ，

24、A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为 2 3 . 【答案】BD 【解析】【分析】 A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B 利用古典概型的概率公式进行判断.C 结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可【详解】A:设一组数据为X,则每个数据都乘以同一个非零常数a后,可得YaX，则 2 D YD aXa D X，所以方差也变为原来的 2 a倍，故 A不正确. B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为 1 4 ，故 B 正确. C: 由1r ，两

25、个变量的线性相关性越强， 0r ，两个变量的线性相关性越弱，故 C 不正确. D: 根据题意可得 1 9 P AP B, P AP BP AP B 设 ,P Ax P By 则 1 11 9 11 xy xyyx ，得 1 1 9 xyxy xy ，即 2 1 21 9 xx 解得 2 3 x 或 4 3 (舍) 所以事件A发生的概率为 2 3 ，故 D 正确. 故选：B D 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题. 12. 定义：若函数 F x在区间ab，上的值域为 ab，则称区间ab，是函数 F x的“完美区间”，另外，定义区间 F x的“复

26、区间长度”为2 ba，已知函数 2 1f xx ，则( ) A. 0,1是 f x的一个“完美区间” B. 15 15 , 22 是 f x的一个“完美区间” C. f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 5 D. f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3 2 5 【答案】AC 【解析】【分析】根据定义，当0,1x时求得 f x的值域，即可判断 A；对于 B，结合函数值域特点即可判断；对于 C、 D，讨论1b与1b两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】对于 A，当0,1x时， 22 11fxxx ，则其值域为0,1，满足定义域与值域的范围相同

27、，因而满足“完美区间”定义，所以 A 正确；对于 B，因为函数 2 10f xx ，所以其值域为0,，而1 5 0 2 ，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以 B 错误；对于 C，由定义域为ab，可知0ab，当1b时，0,1ab，此时 22 11fxxx ，所以 f x在ab，内单调递减，则满足 2 2 1 1 f aab f bba ，化简可得 22 aabb ，即 22 11 22 ab ，所以 11 22 ab或 11 22 ab，解得ab(舍)或1ab，由 2 1 1 ab ab 解得1b或0b(舍)，所以10ab ，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为0,1，

28、则“复区间长度”为22ba；当1b时，若01a，则1ab，此时 min 10f xf.当 f x在ab，的值域为ab，则 0,af bb，因为1b ，所以 2 1f bbb ，即满足 2 10bb ，解得 15 2 b ， 15 2 b (舍).所以此时完美区间为 15 0, 2 ，则“复区间长度”为 15 2215 2 ba ；若1a，则 2 1f xx，xab，此时 f x在ab，内单调递增，若 f x的值域为ab，则 2 2 1 1 f aaa f bbb ，则, a b为方程 2 10 xx 的两个不等式实数根，解得 1 15 2 x ， 2 15 2 x ，所以 15 2

29、 15 2 a b ，与1a矛盾，所以此时不存在完美区间. 综上可知，函数 2 1f xx 的“复区间长度”的和为2 1535 ，所以 C正确，D错误；故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题. 三三填空题填空题 13. 已知随机变量服从正态分布 N(4，2)，若 P(2)0.3，则 P(26)_ 【答案】0.4 【解析】【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合 (2)0.3P ，求得 (6)0.3P ，则 (26)P 可求【详解】随机变量服从正态分布 2 (4,)N，其对称轴方程

30、为 4x ，又 (2)0.3P ， (6)(2)0.3PP ，则 (26)12 0.30.4P 故答案为：0.4 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 14. 7 2 x x 的展开式中x的系数为_. 【答案】280 【解析】分析】写出 7 2 x x 的展开式通项，令x的指数为1，求出参数的值，再代入通项即可得解. 【详解】 7 2 x x 的展开式通项为 77 2 177 2 2 r r rrrr r TCxCx x ，令721r，解得3r . 因此， 7 2 x x 的展开式中x的系数为 3 3 7 2

31、358280C . 故答案为：280. 【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题. 15. 若x2 是函数 21 f1 x xxaxe 的极值点，则 f x的极小值为 _ 【答案】1 【解析】分析】求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可【详解】函数 21 f1 x xxaxe ，可得 121 21 xx fxxaexaxe （）（）（）， x2 是函数 21 f1 x xxaxe 的极值点，可得 33 244210faeae ：（）（）（），即43 20aa （）解得1a 可得 12121 2112

32、xxx fxxexxexxe （）（）（）（），函数的极值点为：21xx，当21xx或时，0fx （）函数是增函数，21x （，）时，函数是减函数，1x 时，函数取得极小值： 21 1 111 11fe （）（）即答案为-1. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力 16. 已知函数 2 2 , ( ) ,. x xa f x xxa 若1a ，则不等式( )1f x 的解集为_.若存在实数b，使函数( )( )g xf xb有两个零点，则实数a的取值范围是_. 【答案】 (1). (,0 (2). (,2)(4,) 【解析】【分析

33、】第一空：1a 时，分1x 和1x分别求解不等式( )1f x ，取并集得答案；第二空：将2,24,4aaa在平面直角坐标系内作出两函数2xyxa与 2 yxxa图象，数形结合即可求得使函数( )( )g xf xb有两个零点的实数a的取值范围【详解】解：第一空：当1a 时， 2 2 ,1, ( ) ,1. x x f x xx ，则 21 ( )1 1 x f x x 或 2 1 0 1 x x x 即不等式( )1f x 的解集为(,0；第二空：将2,24,4aaa在平面直角坐标系内作出两函数2xyxa与 2 yxxa的图象如图，由图可知，当(,2)(4,)a 时，( )y

34、f x与yb有两个交点，即函数( )( )g xf xb有两个零点，实数a的取值范围是(,2)(4,) 故答案为：(,0；(,2)(4,) 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题四四解答题解答题 17. 已知 5 sin 25 ，(0, ). (1)求 3 sincos 22 sin()cos(3) 的值； (2)求 3 cos 2 4 的值. 【答案】(1) 1 3 ；(2) 2 10 . 【解析】【分析】 (1)先根据条件，利用诱导公式可得cos，进而可得sin，将目标式化简，代入cos，si

35、n计算即可； (2)利用倍角公式求出22cos,sin，代入 3 cos 2 4 的展开式中计算即可【详解】解：(1)由已知 5 cossin 25 ，又(0, )， 2 2 5 sin1 cos 5 ， 3 52 5 sincos cossin122 55 sin()cos(3)sincos32 55 55 ； (2) 5 cos 5 ， 2 5 sin 5 ， 4 sin22sincos 5 ， 2 3 cos22cos1 5 ， 32223242 cos 2cos2sin2 422252510 . 【点睛】本题考查诱导公式，倍角公式在三角运算中的应用，考查了学生计算能力，是中档题 1

36、8. 设函数 xx f xamb，其中,a m bR (1)若2a， 1 2 b 且 f x为 R 上偶函数，求实数 m 的值； (2)若4a，2b且 f x在 R 上有最小值，求实数 m 的取值范围； (3) 0,1a， 1b ，解关于 x 的不等式 0f x 【答案】(1)1m；(2)0m；(3)答案见解析. 【解析】【分析】 (1)先由( 1)(1)ff求得m的值，再根据偶函数的定义验证，得到答案； (2)换元法令20 x t ，则转化成 2 g ttmt在0,上有最小值，再由( )g t的对称轴大于 0，得到 m的取值范围； (3)由 0 xx f xamb化简得到 x x x aa

37、 m bb ，再分类讨论m的范围，得到不等式的解集. 【详解】解：(1) 1 2 2 x x f xm ，所以 1 1212 22 m ffm，所以1m，检验，此时 1 2 2 x x fx ， 1 2 2 x x fx ，所以 fxf x， f x为偶函数； (2) 4? 2 xx f xm，令 20 x t ，则 2 g ttmt在0,上有最小值，所以0 2 m ，得0m； (3) 0 xx f xamb，所以 xx amb ，所以 x x x aa m bb ，因为0,1a，1b，所以0,1 a b 0m，即0m，解集为 R； 0m，即0m，解集为,loga b m 【点睛】本

38、题考查了奇偶性的应用，指数不等式的解法，指数与对数的综合应用，考查了学生的分析推理能力，分类讨论思想，属于中档题. 19. 江苏实行的“新高考方案：312 ”模式，其中统考科目： “3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣， “1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门； “2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的 3 4 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为 2 3 ；在选历史的条件下，选地理的概率为 4 5 (1)求该校最终选地理的学生概率； (2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X

39、求随机变量2X 的概率；求X的概率分布列以及数学期望【答案】(1) 7 10 ；(2) 441 1000 ；分布列见解析， 21 10 E X . 【解析】【分析】 (1)利用独立事件的概率乘法公式可求得事件“该校最终选地理的学生”的概率； (2)由题意可知 7 3,10XB ，利用独立重复试验的概率公式可求得随机变量2X 的概率；利用二项分布可求得随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望. 【详解】(1)该校最终选地理的学生为事件A， 32147 434510 P A ；因此，该校最终选地理的学生为 7 10 ； (2)由题意可知， 7 3,10XB ，所以， 2

40、2 3 73441 2 10101000 P XC ；由于 7 3,10XB ，则 3 327 0 101000 P X ， 12 1 3 73189 1 10101000 P XC ， 2 2 3 73441 2 10101000 P XC ， 3 3 3 7343 3 101000 P XC ，所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 P 27 1000 189 1000 441 1000 343 1000 721 3 1010 E X 【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，同时也考查了利用二项分布计算随机变量的概率分布列以及数学期望，考查计算能力

41、，属于中等题. 20. 已知函数 2 232 4 f xsinxcos x ()求 f(x)的最小正周期和单调递减区间； ()将函数 f(x)的图象向右平移 6 个单位，得到函数 g(x)的图象，求 g(x)在区间 4 4 ，上的值域【答案】()最小正周期， 5 1212 kk ，(kZ)()0，3 【解析】【分析】 ()先用降幂公式,辅助角公式将 ( )f x化简,然后求得最小正周期和单调减区间; ()先通过平移得到( )g x的解析式,由x 4 4 ， ,可计算得到 2 2 363 x ,结合余弦函数的图象和单调性,可得解. 【详解】()函数 2 232 4 f xsinxcos x

42、 1cos(2x 2 ) 323221221 6 cos xcos xsin xcosx 所以函数的最小正周期为 2 2 T ，令222 6 kxk (kZ)，整理得 1212 kxk (kZ)，所以函数的单调递减区间为 5 1212 kk ，(kZ) ()将函数 f(x)的图象向右平移 6 个单位，得到函数 g(x)2cos(2x 36 )+1221 6 cosx 的图象，由于 x 4 4 ，，所以 2 2 363 x ，故 1 21 26 cosx ，所以 0g(x)3，故函数的值域为0，3 【点睛】本题考查了三角函数的性质综合,考查了学生综合分析,转化化归,数学运算的能力,难

43、度较易. 21. 某种产品的质量按照其质量指标值 M 进行等级划分，具体如下表：质量指标值 M 80M 80110M 110M 等级三等品二等品一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了 100 件作为样本，对其质量指标值 M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. (1)记 A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品” ，试估计事件A的概率； (2)已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为 10元、6 元、2元，试估计该企业销售 10000件该产品的利润； (3)根据该产品质量指标值 M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值(精确到 0.01)

44、【答案】(1)0.84；(2)61200 元；(3)94.67. 【解析】【分析】 (1)记B表示事件“一件这种产品为二等品” ，C表示事件“一件这种产品为一等品” ，则事件 B，C 互斥，且由频率分布直方图估计( ), ( )P B P C,用公式( )()P AP BC估计出事件A的概率； (2)由(1)可以求出任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值，任取一件产品是三等品的概率估计值，这样可以求出 10000 件产品估计有一等品、二等品、三等品的数量，最后估计出利润； (3)求出质量指标值90M 的频率和质量指标值100M 的频率，这样可以求出质量指标值M的中位数估计值. 【详解

45、】解：(1)记B表示事件“一件这种产品为二等品” ，C表示事件“一件这种产品为一等品” ，则事件 B，C互斥，且由频率分布直方图估计( )0.20.30.150.65P B ， ( )0.1 0.090.19P C ，又( )()( )( )0.84P AP BCP BP C，故事件A的概率估计为 0.84. (2)由(1)知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为 0.19，065，故任取一件产品是三等品的概率估计值为 0.16，从而 10000 件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为 1900，6500，1600 件，故利润估计为1900 10 6500 6 1600 261200 元 (3)因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，质量指标值90M 的频率为0.060.1 0.20.360.5，质量指标值100M 的频率为0.060.1 020.30.660.5，故质量指标值M的中位数估计值为 0.50.36 9094.67 0.03 . 【点睛】本题考查了频率直方图的应用，考查了互斥事件的概率、和事件概率的求法，考查了应用数学知识解决实际问题的能力. 22. 已知函数 2 1 ( )ln(1) 2 f xxaxaxe，( )1 x g xex

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