1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学年普通高等学校招生全国统一考试数学( (预测卷二预测卷二) ) 一、单选题一、单选题 1. 已知函数 1 ( ) 1 f x x 的定义域为 M，g(x)=ln(1) x的定义域为 N，则 MN= A. 1x x B. |1x x C. | 11xx D. 2. 若复数 12 ,z z在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1 1zi ，则 1 2 z z ( ) A. i B. i C. 1 D. 1 3. 定义“有增有减”数列 n a如下： * tN ，满足 1tt aa ，且 * sN ，满足 1SS aa .已知“有增有 减”数列 n a共 4项，
2、若, ,(1,2,3,4) i ax y zi，且x yz ，则数列 n a共有( ) A. 64 个 B. 57 个 C. 56 个 D. 54 个 4. 海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两 表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰， 与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言 来解释，其意思为：立两个 3丈高的标杆，之间距离为 1000 步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一 个标杆 M处后退 123 步，人眼贴地面，从地上 A 处仰望
3、岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的 一个标杆 N处后退 127 步，从地上 B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3 丈 =5步)( ) A. 1200步 B. 1300步 C. 1155步 D. 1255步 5. 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的 大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200个.若在这座楼阁的灯球中， 随机选取两个灯球， 则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为( ) A. 119 1077 B. 160 359 C.
4、 958 1077 D. 289 359 6. 一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险现给某病人注射了这 种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起 经过( )小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效(附：1g20.301，1g30.4771，答案采取四 舍五入精确到0.1h) A. 2.3小时 B. 3.5 小时 C. 5.6 小时 D. 8.8小时 7. 在 RtABC中，C90 ，CB2，CA4，P 在边 AC的中线 BD上，则CPBP的最小值为( ) A. 1 2 B. 0 C. 4 D.
5、1 8. 已知点 F为双曲线 E： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点，直线 ykx(k0)与 E 交于不同象限内的 M，N 两点，若 MFNF，设MNF，且, 12 6 ，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 2, 26 B. 2, 31 C. 2, 26 D. 2, 31 二、多选题二、多选题 9. 已知斜率为3的直线 l经过抛物线 C： 2 2ypx( 0p )的焦点 F，与抛物线 C交于点 A，B两点(点 A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若8AB ，则以下结论正确的是( ) A. 11 1 AFBF B. 6AF C. 2BDBF D. F为 AD中点
6、 10. 下列有关命题的说法正确的是( ) A. 命题:PxR ，都有cos1x，则 0 PxR :，使得 0 cos1x B. 函数( )11f xxx 与函数 2 ( )1g xx 是同一个函数 C. 0 0,x，使得 2 sin2 2 sin x x 成立 D. 若 x，y，z均为正实数，且3412 xyz ， ( ,1)() xy n nnN z ，则4n 11. 设 n a是无穷数列， 若存在正整数 k， 使得对任意n N， 均有 n kn aa ， 则称 n a是间隔递增数列， k 是 n a的间隔数，下列说法正确的是( ) A. 公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B.
7、已知 4 n an n ，则 n a是间隔递增数列 C. 已知21 n n an ，则 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 2 D. 已知 2 2020 n antn，若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则45t 12. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的 坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争. 下侧的图表展示了 2 月 14日至 29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是( ) A. 16 天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且 19日的降幅最大 B
8、. 16 天中每日新增确诊病例的中位数大于新增疑似病例的中位数 C. 16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000 D. 19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 三、填空题三、填空题 13. 若光线由点(2,3)P射到 x轴上，反射后过点 (1 1)Q ，则反射光线所在直线方程是_. 14. 已知ABC的面积等于 1，若 1BC ，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A_ 15. 在三棱锥PABC中，PA 平面,120 ,2, 2,ABCBACAPABM是线段BC上动点，线 段PM长度最小值为3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为
9、_ 16. 如图，在边长为 1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以 A为圆心，AB为半径的圆弧(在正方 形内，包括边界点)上的任意一点，则AB BP 的取值范围是_；若向量ACDEAP，则 的最小值为_. 四、解答题四、解答题 17. 已知非空集合|21 35Axaxa ，|322Bxx， (1)当10a 时，求AB，AB； (2)求能使ABB成立的a的取值范围. 18. ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150 . (1)若 a= 3c，b=27，求ABC的面积； (2)若 sinA+ 3sinC= 2 2 ，求 C 19. 近年，国家逐步推行全新高考制度.
10、新高考不再分文理科，某省采用3 3模式，其中语文、数学、外 语三科为必考科目，每门科目满分均为150分.另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的 兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每 门科目满分均为100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人，女生450人) 中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人. (1)求n的值； (2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目， 为了了解学生对这两个科目的选课情况， 对抽取到的n名学生进行问卷调查(假定每名学
11、生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能 选择一个科目)， 下表是根据调查结果得到的一个不完整的22列联表， 请将下面的22列联表补充完整， 并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 10 女生 25 总计 (3)在抽取到的45名女生中，按(2)中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽 取4人， 设这4人中选择“物理”的人数为X， 求X的分布列及期望.附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab ac cd bd ， na b cd 2 0 P Kk 0.05 0 01 0.00
12、5 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC，90BAC点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2 (1)求证：MN平面 BDE； (2)求二面角 C-EM-N 的正弦值； 21. 已知椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab ab 过点 0,1，离心率e为 2 2 (1)求椭圆方程； (2)已知不过原点的直线0lykxt k：与椭圆E相交于,A B两点，点A关于x轴的对称点为M，直 线,AB MB分别与x轴相交于点,P Q，求OP OQ的值 2
13、2. 已知函数 3 2 ln 212 3 x f xaxxax aR (1)若2x为 f x的极值点，求实数a的值； (2)若 yf x在3,上为增函数，求实数a的取值范围； (3)当 1 2 a 时，方程 3 1 1 3 xb fx x 有实根，求实数b最大值 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学( (预测卷二预测卷二) ) 一、单选题一、单选题 1. 已知函数 1 ( ) 1 f x x 的定义域为 M，g(x)=ln(1) x的定义域为 N，则 MN= A. 1x x B. |1x x C. | 11xx D. 【答案】C 【解析】 考查函数的
14、定义域和集合的基本运算 由解不等式 1-x0 求得 M=(-， 1)， 由解不等式 1+x0 求得 N=(-1， +)，因而 MN=(-1，1)，故选 C 2. 若复数 12 ,z z在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1 1zi ，则 1 2 z z ( ) A. i B. i C. 1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 利用已知求得 2 1zi ，再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解 【详解】 1 1zi ，复数 12 ,z z在复平面内的对应点关于虚轴对称， 2 1zi ， 1 2 z z 12 1112 11ii i ii ii i 故选:B 【点睛】本题主要考查了复数的对称关
15、系，还考查了复数的除法、乘法运算，属于基础题 3. 定义“有增有减”数列 n a如下： * tN ，满足 1tt aa ，且 * sN ，满足 1SS aa .已知“有增有 减”数列 n a共 4项，若, ,(1,2,3,4) i ax y zi，且x yz ，则数列 n a共有( ) A. 64 个 B. 57 个 C. 56 个 D. 54 个 【答案】D 【解析】 【分析】 先确定元素，再确定排序，注意相同元素在排序时的重复情况视为一种. 【详解】(法一)： 由题意不妨设1,2,3xyz= 1,2,3, (1,2,3,4) i ai 记 1234 =Paaaa热? 则满足条件的P有： (
16、1)P中有两个元素时：选元素： 2 3 3C 种；排循序： 4 223 38-=(减去：全相同 2 种，顺序 3 种， 倒序 3 种)；共有3 8=24种； (2)P中有三个元素时：选元素： 1 3 3C 种；排循序： 11 43 1 1 10C C -=(减去：顺序 1 种，倒序 1 种)；共 有3 10=30种； 所以共有24+30=54P=种. (法二)： 当四个数中只有两个数相同或只有两对数时，共有 4 21 4 132 22 22 (22)24 A NCC A A 种，当四个数中有三个 数相同时，共有 4 1 4 23 2 2 (2)30 A NC A 种，所以总方法数有 12 54
17、NNN 【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，按四个数 中，只有两类数和有三类数进行分类，其中两类数中又有小类，三个相同和两两相同 4. 海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两 表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰， 与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言 来解释，其意思为：立两个 3丈高的标杆，之间距离为 1000 步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一 个标杆 M处后退 123 步，人
18、眼贴地面，从地上 A 处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的 一个标杆 N处后退 127 步，从地上 B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3 丈 =5步)( ) A. 1200步 B. 1300步 C. 1155步 D. 1255步 【答案】D 【解析】 【分析】 设海岛的高为h步，用h表示AC和BC，列出方程即可求出h. 【详解】解：设海岛的高为h步，由题意知，5FMGN步，123AM 步，127BN 步， 1000MN 步，则, FMAM GNBN DCACDCBC ，即 123 5 AM DCh AC FM ， 127 5 BN DCh BC GN ，
19、所以MNBCACBNAM， 则 127123 1000127 123 55 hh ，解得1255h，即海岛高为1255步， 故选：D. 5. 镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的 大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200个.若在这座楼阁的灯球中， 随机选取两个灯球， 则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为( ) A. 119 1077 B. 160 359 C. 958 1077 D. 289 359 【答案】C 【解析】 【分析】 首先明确两类灯球的个数，再利用古
20、典概型及对立事件求出结果 【详解】设一大二小与一大四小的灯球数分别为 , x y，则 360 241200 xy xy ，解得 120 240 x y ，若随机选取 两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为 2 120 2 360 958 1 1077 C C . 故选 C 【点睛】本题以古文化为背景，考查了古典概型公式，考查了对立事件的概念，考查了学生逻辑推理能力 及运算能力，属于基础题 6. 一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危险现给某病人注射了这 种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起
21、 经过( )小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效(附：1g20.301，1g30.4771，答案采取四 舍五入精确到0.1h) A. 2.3 小时 B. 3.5 小时 C. 5.6 小时 D. 8.8 小时 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数模型列出方程，解之可得 【详解】设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效 则2500 0.81500 x ，0.80.6 x ，lg0.8lg0.6 x ， lg0.8lg0.6x ， 6 lg lg0.6lg2lg3 10.301 0.4771 1 10 2.3 8 lg0.83lg2 13 0.301 1 lg 10 x
22、故选：A 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查对数的运算，根据已知模型列出方程是解题关键 7. 在 RtABC中，C90 ，CB2，CA4，P 在边 AC的中线 BD上，则CPBP的最小值为( ) A. 1 2 B. 0 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，建立平面直角坐标系，设出点P坐标，写出CPBP ， 的坐标，利用坐标计算数量积，结合二次 函数的最小值，即可求得结果. 【详解】依题意，以 C 为坐标原点，分别以 AC，BC所在的直线为 x，y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则 B(0，2)，D(2，0)，所以直线 BD的方程为 yx2， 因为点 P 在
23、边 AC的中线 BD上，所以可设 P(t，2t)(0t2)， 所以CP(t，2t)，BP(t，t)， 所以CPBPt2t(2t)2t22t2 2 1 2 t 1 2 ， 当 t 1 2 时，CPBP取得最小值 1 2 ， 故选：A. 【点睛】本题考查用解析法求平面向量的数量积，注意参数范围即可，属基础题. 8. 已知点 F为双曲线 E： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点，直线 ykx(k0)与 E 交于不同象限内的 M，N 两点，若 MFNF，设MNF，且, 12 6 ，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A. 2, 26 B. 2, 31 C 2, 26 D. 2, 31
24、 【答案】D 【解析】 【分析】 作出图像，结合双曲线第一定义和直角三角形性质可得 22 2MFNFca ，联立 SMNF2SMOF，结 合正弦定理面积公式即可求解 【详解】如图，设左焦点为 F，连接 MF，NF，令|MF|r1，|MF|r2，则|NF|MF|r2，由双曲线定义 可知 r2r12a， 点 M与点 N关于原点对称， 且 MFNF， |OM|ON|OF|c， 222 12 4rrc， 由得 r1r22(c2a2)，又知 SMNF2SMOF， 1 2 r1r22 1 2 c2 sin2，c2a2c2 sin2， 2 1 1 sin2 e ，又, 12 6 ， 13 sin2, 22
25、， 2 2 1 2,31 1 sin2 e . 又 e1，2, 3 1e 故选：D 【点睛】 本题考查由几何关系求解双曲线离心率取值范围， 设法找出a与c的关系是解题关键， 属于中档题. 二、多选题二、多选题 9. 已知斜率为3的直线 l经过抛物线 C： 2 2ypx( 0p )的焦点 F，与抛物线 C交于点 A，B两点(点 A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D，若8AB ，则以下结论正确的是( ) A. 11 1 AFBF B. 6AF C. 2BDBF D. F为 AD中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由 条 件 ，60 xFA, 则 1 30FDA， 设B Dx， 所 以
26、11 | |,| 4+ 22 xx BFBBAA, 由 | |4+8 22 xx ABAFBF,可解出x，可得出答案. 【详解】根据题意作出其图像，过,A B分别作准线的垂线，垂直分别为 11 ,A B如下 直线 l的倾斜角为 3，即60 xFA，则 1 30FDA 设BDx, 则 1 RtDBB, 1 RtDAA中，可得 1 | 2 x BB ， 1 |4 2 x AA 所以 1 | | 2 x BBBF ， 1 | | 4 2 x AAAF | | 448 22 xx ABAFBFx,解得4x 所以| 2|,| 6BFAF,所以 B正确. 所以 1111 1 62AFBF ，所以 A 不正
27、确. 所以| 4BD ,满足| 42|BDBF,所以 C正确. 而| | 426 |DFBDBFAF,所以 D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查抛物线的过焦点弦的基本性质，属于中档题. 10. 下列有关命题的说法正确的是( ) A. 命题:PxR ，都有cos1x ，则 0 PxR :，使得 0 cos1x B. 函数( )11f xxx 与函数 2 ( )1g xx 是同一个函数 C. 0 0,x，使得 2 sin2 2 sin x x 成立 D. 若 x，y，z均为正实数，且3412 xyz ， ( ,1)() xy n nnN z ，则4n 【答案】AD 【解析】 【分析】 由全称
28、命题否定可判断 A选项，求两函数的定义域即可判断 B选项，结合已知条件求sinx的取值范围，结 合基本不等式即可求出 2 sin sin x x 的取值范围，即可判断 C，设3 412 xyz k，由指数和对数的互化 可求出 xy z 的表达式，结合对数函数的单调性可求出 xy z 的取值范围，从而可求出n的取值. 【详解】解：A:由全称命题否定格式可知，A正确；B：令 10 10 x x ，解得1x，令 2 10 x ， 解得1x或1x，即两个函数定义域不同，故 B 不正确； C:当 0 0,x时， 0 sin0,1x ，则 22 sin2sin2 2 sinsin xx xx ， 当且仅当
29、 2 sin sin x x ，即 2 sin2x 时，等号成立，显然 2 sin2x ， 所以 2 sin2 2 sin x x ，故 C不正确； D:设3412 xyz k，则 3412 log,log,logxk yk zk，所以 34 12 loglog log kkxy zk 32 lglg lg4lg31lg3lg4 222log 2log 3 lg lg3lg42 lg12 kk k ，因为243256， 所以 88 243256 ，即 5 8 32 ，所以 5 8 333 log 3log 2log 3 ，即 3 5 log 21 8 ， 因为89，所以89，即 3 2 23
30、，所以 3 2 222 log 2log 3log 4 ，即 2 3 log 32 2 ， 所以 32 1 422log 2log 35 2 ，即(4,5) xy z ，则4n，即 D正确； 故选:AD. 【点睛】关键点睛： 本题的难点是 D选项的判断，结合对数函数的单调性求出 32 log 2,log 3的取值范围是本题的关键. 11. 设 n a是无穷数列， 若存在正整数 k， 使得对任意n N， 均有 n kn aa ， 则称 n a是间隔递增数列， k 是 n a的间隔数，下列说法正确的是( ) A. 公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知 4 n an n ，则 n
31、a是间隔递增数列 C. 已知21 n n an ，则 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 2 D. 已知 2 2020 n antn，若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则45t 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】A. 111 111 1 n knn n k kn aaaaqqqaq ，因为1q ，所以当 1 0a 时， n kn aa ，故错 误； B. 2 4444 1 + n kn nkn aanknkk nknn k nn k n ， 令 2 4t nk n， t在n N 单调递增，则 1140tk ，解得3k ，故正确； C. 2121
32、2111 n knnk n kn aanknk ，当n为奇数时， 2110 k k ，存在1k 成立，当n为偶数时，2110 k k ，存在2k 成立，综上： n a是 间隔递增数列且最小间隔数是 2，故正确； D. 若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3， 则 2 22 2020202020 n kn aankt nkntnknktk ，n N成立， 则 2 20kt k，对于3k 成立，且 2 20kt k，对于k2成立 即20kt，对于3k 成立，且20kt，对于k2成立 所以23t，且22t 解得45t ，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的
33、能力，属于中档题. 12. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的 坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争. 下侧的图表展示了 2 月 14日至 29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是( ) A. 16 天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且 19 日的降幅最大 B. 16 天中每日新增确诊病例的中位数大于新增疑似病例的中位数 C. 16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000 D 19 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑
34、似病例之和 【答案】C 【解析】 【分析】 由折线图分别观察变化趋势，估计中位数，计算极差，确认新增治愈病例数量与新增确诊与新增疑似病例 之和，判断各选项后可得结论 【详解】从新增确诊折线看 19 日降幅最大，但并不呈下降趋势，如 20 日比 19 日就是上升的，27,28,29 三 天还是增加的趋势，A错； 新增确诊病例和新增疑似病例的中位数在 21、22 日前后，新增疑似病例的中位数比新增确诊病例的中位数 大，B 错； 三根折线中最大值与最小值的差都大于 2000，C 正确； 20 日新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，D 错误 故选：C 【点睛】本题考查折线图的认识，考查学生
35、的数据处理能力属于基础题 三、填空题三、填空题 13. 若光线由点 (2,3)P 射到 x轴上，反射后过点(1 1)Q，则反射光线所在直线方程是_. 【答案】450 xy 【解析】 【分析】 求出(2,3)P关于 x 轴的对称点坐标，由直线的两点式方程即可求出反射光线所在的直线方程. 【详解】解：(2,3)P关于 x 轴的对称点2, 3 P 在反射光线上，所以 31 3 212 y x ， 整理得，450 xy， 故答案为: 450 xy. 14. 已知ABC的面积等于 1，若 1BC ，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A_ 【答案】 8 17 【解析】 【分析】 设三条高分别
36、为, abc h h h，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转化为sin A最大来 求解. 【详解】依题意可知1a ，三条高分别为, abc h h h，根据三角形面积公式有 1 1 2 1 1 2 1 1 2 a b c ah bh ch ，故2 a h ， 88 abc hhh abcbc ，而 1 sin1 2 bcA ，即 1sin 2 A bc ，所以 8 4sin abc hhhA bc .故当sin A取得最 大值时， 三条高的乘积取得最大值.作平行于BC且与BC距离为2的平行直线l， 作BC的垂直平分线AD， 交直线l于A.过AD上一点O作圆O， 使圆经过,
37、,A B C三个点， 由于由于圆外角小于圆周角， 故此时BAC 取得最大值，也即sin BAC取得最大值.在三角形ABC中， 17 ,1 2 ABACBC，由余弦定理得 1717 1 15 44 cos 171717 2 22 BAC ， 2 8 sin1 cos 17 BACBAC.即三角形的三条高的乘积取最大 值时 8 sin 17 A. 【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式， 考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 15. 在三棱锥PABC中，PA 平面,120 ,2,2,ABCBACAPAB M是线段BC上动点，线 段PM的长度最小
38、值为3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_ 【答案】18 【解析】 【分析】 首先确定三角形 ABC为等腰三角形，进一步确定球球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积. 【详解】如图所示， 在三棱锥PABC中，PA 平面,2,2ABC APAB， 在M是线段BC上一动点，线段PM的长度最小值为 3， 则当AMBC时，线段PM达到最小值， 由于PA 平面ABC， 所以 222 PAAMPM ，解得1AM ， 所以3BM ，则60BAM， 由于120BAC， 所以60MAC， 则ABC为等腰三角形， 所以2 3BC ， 在ABC中，设外接圆圆心为 1 O，外接圆的直径为 2 3 24 sin12
39、0 r ，则2r =， 即 1 2O A, 过 1 O作 11 1 / /, 2 OOAP OOAQAP， 则OAOBOCOP, 即O为棱锥外接球球心， 所以外接球的半径 2 2 29 2 22 R ， 即 9 418 2 S 故答案为：18 【点睛】本题考查三棱锥外接球，球的表面积，考查空间想象能力，属于中档题 16. 如图，在边长为 1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以 A为圆心，AB为半径的圆弧(在正方 形内，包括边界点)上的任意一点，则AB BP 的取值范围是_；若向量ACDEAP，则 的最小值为_. 【答案】 (1). 0,1 (2). 1 2 【解析】 【分析】 建立坐标系
40、，(cos ,sin )AP，(cos1,sin )BP， 22 coscossin1cosAP BP ，由此能求出AP BP的取值范围；求出向量 1 (2AC ， 1)(cos ，sin ) (cos 2 ， sin )(1 ，1)， 用c o s，sin表示和， 根据cos，sin 的取值范围，再结合的单调性，即可求出范围 【详解】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为 1， 则 1 (2E ，0)，(1,1)C，(0,1)D， (0,0)A ， (1,0)B 设 (cos ,sin )P， (1,1)AC(cos ,sin )AP，(cos1,sin )
41、BP， 1 , 1 2 DE 所以 22 coscossin1cosAP BP ， 0 2 剟 ，0 cos1 剟，0 sin1剟 AP BP 的取值范围是0,1，再由向量ACDEAP， 即 1 ( , 1)(cos ,sin ) 2 ACcos ,sin 2 1,1， cos1 2 sin1 ， 2sin2cos 2cossin 3 2cossin ， 32sin2cos(2cossin )sin33sin3 1 2cossin2cossin2cossin 由题意得0 2 剟，0 cos1 剟，0 sin1剟求得 2 66sin3cos ()0 (2cossin ) ， 故在0, 2 上是增
42、函数，故当0时，即cos1，这时取最小值为 3021 202 故答案为：0,1； 1 2 【点睛】关键点睛： 该题考查的是有关向量的问题，在解题的过程中，注意建立相应的坐标系，将向量坐标化，从而容易求解， 再者就是利用向量相等的条件是坐标相等，得到关于的关系式，利用三角式子的特征求得相应的最 值. 四、解答题四、解答题 17. 已知非空集合|21 35Axaxa ，|322Bxx， (1)当10a 时，求AB，AB； (2)求能使ABB成立的a的取值范围. 【答案】(1)21,22，3,25；(2)6,9 【解析】 【分析】 (1)当10a 时，集合 |2125Axx剟， |322Bxx剟，由
43、此能求出AB和AB (2)由非空集合 |2135Axaxa剟， |322Bxx剟，ABB，得AB，由此能求出a的 取值范围 【详解】(1)当10a 时，集合 |2125Axx剟， |322Bxx剟， |212221,22xxAB剟， |3253,25ABxx剟 (2)非空集合 |2135Axaxa剟， |322Bxx剟，ABB， AB， A， 35 21 21 3 35 22 aa a a ，解得69a剟 a的取值范围是6,9 【点睛】本题考查集合的交运算、根据集合间的基本关系求参数，考查函数与方程思想、转化与化归思想， 考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意集合 A 已知规定为非空数集了
44、，可以不必讨论 18. ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150 . (1)若 a= 3c，b=27，求ABC的面积； (2)若 sinA+ 3sinC= 2 2 ，求 C. 【答案】(1)3；(2)15. 【解析】 【分析】 (1)已知角B和b边，结合 , a c关系，由余弦定理建立c的方程，求解得出, a c，利用面积公式，即可得出 结论； (2)将30AC代入已知等式， 由两角差的正弦和辅助角公式， 化简得出有关C角的三角函数值， 结合C 的范围，即可求解. 【详解】(1)由余弦定理可得 2222 282cos1507bacacc ， 2,2 3,caABC
45、的面积 1 sin3 2 SacB； (2)30A C， sin3sinsin(30)3sinACCC 132 cossinsin(30 ) 222 CCC ， 030 ,303060CC， 3045 ,15CC. 【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于 基础题. 19. 近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3 3模式，其中语文、数学、外 语三科为必考科目，每门科目满分均为150分.另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的 兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考
46、试(6选3)，每 门科目满分均为100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人，女生450人) 中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人. (1)求n的值； (2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目， 为了了解学生对这两个科目的选课情况， 对抽取到的n名学生进行问卷调查(假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能 选择一个科目)， 下表是根据调查结果得到的一个不完整的22列联表， 请将下面的22列联表补充完整， 并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理” 选
47、择“地理” 总计 男生 10 女生 25 总计 (3)在抽取到的45名女生中，按(2)中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽 取4人， 设这4人中选择“物理”的人数为X， 求X的分布列及期望.附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab ac cd bd ， na b cd 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)100n；(2)联表见解析，有，理由见解析；(3)分布列见解析， 20 9 【解析】 【分析】 (1)根据分层抽样的特征，以及题意，得到 45 10004
