1、中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5252） 一、例题分析 1. 如图，抛物线 2 yaxbxc的对称轴为直线1x ，则下列结论中，错误的是（ ） A. 0ac B. 2 40bac C. 20ab D. 0a bc 2. 如图，在平面直角坐标系中，2,0 ,()()0,1AB，AC由AB绕点A顺时针旋转90而得，则AC所在直 线的解析式是_ 3. 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为 0,0 ,6,0 ,6,8()()()(,0, )8ABCD ， ,AC BD交于点 EMN （1）如图（1），双曲线 1 k y x 过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式； （2）如图
2、（2），双曲线 2 k y x 与,BC CD分别交于点,M N，点C关于的对称点C在y轴上求证 CMNCBD，并求点C的坐标； （3） 如图 （3） ， 将矩形ABCD向右平移 (0)m m 个单位长度， 使过点E的双曲线 3 k y x 与AD交于点P 当 AEP为等腰三角形时，求m的值 二、巩固提高 1. 123456 ,aaaaaa，是一列数，已知第 1 个数 1 4a ，第 5 个数 5 5a ，且任意三个相邻的数之 和为 15，则第 2019 个数 2019 a的值是_ 2. 如图，ABC为等边三角形，点P从 A 出发，沿ABCA作匀速运动，则线段AP的长度 y 与运动时间 x 之
3、间的函数关系大致是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，交AB延长线于点F （1）若 ,AEDCEBCD ，求证：DEBC； （2）若 2,45OBABBDDAF，求CF的长 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5353） 一、例题分析 1.如图 3，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE=3，AF=5，则 AC 的长 为（ ） （A）54 （B）34 （C）10 （D）8 2、如图 6 放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长
4、为_.（结果保留） 3. 已知抛物线 G：32y 2 mxmx有最低点。求二次函数32y 2 mxmx的最小值（用含 m 的式子 表示）；将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1。经过探究发现，随着 m 的变化，抛物线 G1顶点的纵 坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函数关系， （1）求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）所求的函数为 H，抛物线 G 与函数 H 的图像交于点 P，结合图像，求点 P 的纵坐标的取值范围。 二、巩固提高 1.关于 x 的一元二次方程02) 1( 2 kxkx有两个实数根 21,x x，若32)2(2 212121 xxxxxx，则
5、k 的值（ ） （A）0 或 2 （B）-2 或 2 （C）-2 （D）2 2.如图 7，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合） ，DAM=45，在射线 AM 上， 且BEAF2，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论： ECF=45 AEG的周长为a 2 2 1 222 EGDGBE EAF的面积的最大值 2 8 1 a 其中正确的结论是_.（填写所有正确结论的序号） 3.如图 11，等边ABC中，AB=6，点 D 在 BC 上，BD=4，点 E 为边 AC 上一动点（不与点 C 重合），CDE 关于 DE 的轴对称图形为
6、FDE. （1）当点 F 在 AC 上时，求证：DF/AB； （2）设ACD的面积为 S1，ABF的面积为 S2，记 S=S1-S2，S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的 最大值；若不存在，请说明理由； （3）当 B，F，E 三点共线时。求 AE 的长。 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5454） 一、例题分析. 1.如图，二次函数 2 yaxbx的图象开口向下，且经过第三象限的点P，若点 P 的横坐标为1，则一次 函数yab xb的图象大致是( ) A. B. C. D. 2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，
7、以点 P 为圆心，PM 长为 半径作P.当P与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为_ 3. 如图1， 直线l： 3 yxb 4 与x轴交于点A 4 0， 与y轴交于点B， 点C是线段OA上一动点 16 (0AC). 5 以点 A 为圆心，AC 长为半径作A交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE 并延长交A于点 F 求直线 l 的函数表达式和tanBAO的值； 如图 2，连结 CE，当CEEF时，求证：OCEOEA 求点 E 的坐标； 当点 C 在线段 OA 上运动时，求OE EF的最大值 二、巩固提高 1. 在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和b(ab)的正
8、方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置(图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部 分的面积为 1 S，图 2 中阴影部分的面积为 2 S .当ADAB2时， 21 SS 的值为( ) A 2a B. 2b C. 2a2b D. 2b 2. 如图， 在菱形ABCD中，AB2，B是锐角，AEBC于点E， M是AB的中点， 连结MD，ME.若EMD90， 则cosB的值为_ 3. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形 1（）已知ABC是比例三角形，AB2，BC3，请直接写出所有满足条件的
9、AC 的长； 2（ ）如图 1，在四边形 ABCD 中，AD/BC，对角线 BD 平分ABC，BACADC.求证：ABC是比例三角 形 3（）如图 2，在2（ ）的条件下，当ADC90时，求 BD AC 的值 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5555） 一、例题分析 1. 如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面半径，已知 BC=6cm，圆锥的侧面积为 15cm 2，则 sinABC 的值为 （ ） A. 3 4 B. 3 5 C. 4 5 D. 5 3 2. 如图，点 A，B 是反比例函数 y= k x （x0）图象上的两点，过点 A，B 分别作 ACx 轴于点 C，BDx 轴 于
10、点 D，连接 OA，BC，已知点 C（2，0），BD=2，SBCD=3，则 SAOC=_ 3. 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距 水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所 示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系 （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须 在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形
11、状不变的前提下，把水池的直 径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造 后喷水池水柱的最大高度 二、巩固提高 1. 如图，AC 是O直径，弦 BDAO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF 的 长度是（ ） A. 3cm B. 6 cm C. 2.5cm D. 5 cm 2. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移 a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样 的图形运动叫作图形的（a，）变换如图，等边ABC 的边长为 1，点 A 在第一象限，点 B 与原点 O 重合，点 C
12、 在 x 轴的正半轴上A1B1C1就是ABC 经（1，180）变换后所得的图形 若ABC 经（1，180）变换后得A1B1C1，A1B1C1经（2，180）变换后得A2B2C2，A2B2C2经（3， 180）变换后得A3B3C3，依此类推 An1Bn1Cn1经（n，180）变换后得AnBnCn，则点 A1的坐标是 ，点 A2018的坐标是 3. 如图，RtOAB 的直角边 OA 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为（6，8），直线 CD 交 AB 于点 D（6，3），交 x 轴于点 C（12，0） （1）求直线 CD 的函数表达式； （2）动点 P 在 x 轴上从点（10，0）出发，以每秒 1 个
13、单位的速度向 x 轴正方向运动，过点 P 作直线 l 垂直于 x 轴，设运动时间为 t 点 P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA=B？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由； 请探索当 t 为何值时，在直线 l 上存在点 M，在直线 CD 上存在点 Q，使得以 OB 为一边，O，B，M，Q 为顶 点的四边形为菱形，并求出此时 t 的值 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5656） 一、例题分析 1. 如图， 在平面直角坐标系中， 将OAB （顶点为网格线交点） 绕原点 O 顺时针旋转 90， 得到OAB， 若反比例函数 y= k x 的图象经过点 A 的对应点
14、 A，则 k 的值为（ ） A. 6 B. 3 C. 3 D. 6 2. 一个书包的标价为 115 元，按 8 折出售仍可获利 15%，该书包的进价为_元 3. 如图，AB 为O 的直径，点 C 为O 上一点，将弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧 BC 的中点 D 恰好与圆心 O 重 合， 连接 OC， CD， BD， 过点 C 的切线与线段 BA 的延长线交于点 P， 连接 AD， 在 PB 的另一侧作MPB=ADC （1）判断 PM 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 PC=3，求四边形 OCDB 的面积 二、巩固提高 1. 如图，在正方形 ABCD 中，连接 AC，以点 A 为圆心
15、，适当长为半径画弧，交 AB、AC 于点 M，N，分别以 M， N 为圆心，大于 MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点 H，连结 AH 并延长交 BC 于点 E，再分别以 A、E 为圆 心，以大于 AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点 P，Q，作直线 PQ，分别交 CD，AC，AB 于点 F，G，L，交 CB 的延长线于点 K，连接 GE，下列结论：LKB=22.5，GEAB，tanCGF= KB LB ，SCGE：SCAB=1： 4其中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图：图象均是以 P0为圆心，1 个单位长度为半径的扇形，将图形分别沿东北，正南，西 北方向同时平移，每次移动一
16、个单位长度，第一次移动后图形的圆心依次为 P1P2P3，第二次移动后图 形的圆心依次为 P4P5P6，依此规律，P0P2018=_个单位长度 3. 如图：在平面直角坐标系中，直线 l：y= 1 3 x 4 3 与 x 轴交于点 A，经过点 A 的抛物线 y=ax 23x+c 的对 称轴是 x= 3 2 （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线 l 经过原点 O，得到直线 m，点 P 是直线 m 上任意一点，PBx 轴于点 B，PCy 轴于点 C， 若点 E 在线段 OB 上，点 F 在线段 OC 的延长线上，连接 PE，PF，且 PE=3PF，求证：PEPF； （3）若（2）中的点 P 坐标为
17、（6，2），点 E 是 x 轴上的点，点 F 是 y 轴上的点，当 PEPF 时，抛物线上 是否存在点 Q，使四边形 PEQF 是矩形？如果存在，请求出点 Q 的坐标，如果不存在，请说明理由 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5252） 三、例题分析 1. 如图，抛物线 2 yaxbxc的对称轴为直线1x ，则下列结论中，错误的是（ ） A. 0ac B. 2 40bac C. 20ab D. 0a bc 【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛 物线与 x 轴交点情况进行推理，进
18、而对所得结论进行判断 【详解】A、由抛物线的开口向下知0a ，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得0c ，因此0ac，故 本选项正确，不符合题意； B、由抛物线与x轴有两个交点，可得 2 40bac，故本选项正确，不符合题意； C、由对称轴为1 2 b x a ，得2ab，即20ab，故本选项错误，符合题意； D、由对称轴为1x 及抛物线过(3,0)，可得抛物线与x轴的另外一个交点是( 1,0)，所以0a bc ， 故本选项正确，不符合题意 故选 C 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与 方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 2.
19、如图，在平面直角坐标系中，2,0 ,()()0,1AB，AC由AB绕点A顺时针旋转90而得，则AC所在直 线的解析式是_ 【答案】24yx 【解析】 【分析】 过点 C 作 CDx 轴于点 D，易知ACDBAO（AAS），已知 A（2，0），B（0，1），从而求得点 C 坐标， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将点 A，点 C 坐标代入求得 k 和 b，从而得解 【详解】解：2,0 ,()()0,1AB 2,1OAOB过点C作CDx轴于点D， BOA=ADC=90.BAC=90,BAO+CAD=90.ABO+BAO=90, CAD=ABO.AB=AC， ()ACDBAO AAS.1,2
20、ADOBCDOA ()3,2C设直线AC的解析式为y kxb ，将点A，点C坐标代入得 02 23 kb kb 2 4 k b 直线AC的解析式为24yx故答案为24yx 【点睛】本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等 3. 在平面直角坐标系中， 矩形ABCD的顶点坐标为0,0 ,6,0 ,6,8()()()(,0, )8ABCD，,AC BD交于点E （1）如图（1），双曲线 1 k y x 过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式； （2）如图（2），双曲线 2 k y x 与,BC CD分别交于点,M N，点C关于MN的对称点C在y轴上求 证CMNCBD，并求
21、点C的坐标； （3） 如图 （3） ， 将矩形ABCD向右平移 (0)m m 个单位长度， 使过点E的双曲线 3 k y x 与AD交于点P 当 AEP为等腰三角形时，求m的值 【答案】（1）()3,4E， 12 y x ；（2）证明见解析， 7 0, 2 C ；（3）满足条件的m的值为 3 或 12 【解析】 【分析】 （1）利用中点坐标公式求出点 E 坐标即可 （2）由点 M，N 在反比例函数的图象上，推出 DNAD=BMAB，因为 BC=AD，AB=CD，推出 DNBC=BMCD，推出 DNCD BMBC ，可得 MNBD，由此即可解决问题 （3）分两种情形：当 AP=AE 时当 EP=
22、AE 时，分别构建方程求解即可 【详解】解：（1）如图 1 中， 四边形ABCD是矩形，DEEB，6,0 ,()()0,8BD，()3,4E， 双曲线 1 k y x 过点E， 1 12k 反比例函数的解析式为 12 y x （2）如图 2 中， 点,M N在反比例函数的图象上，DN ADBM AB， ,BCAD ABCD，DN BCBM CD， DNCD BMBC ，MNBD ， CMNCBD6,0 ,()()0,8BD，直线BD的解析式为 4 8 3 yx ，,C C关于BD对称， CCBD，()6,8C，直线CC的解析式为 37 42 yx， 7 0, 2 C （3）如图 3 中， 当5
23、APAE时，,5 ,4()3,()P mE m，,P E在反比例函数图象上，()543mm， 12m当EPAE时，点P与点D重合，,8 ,4()3,()P mE m，,P E在反比例函数图象上， ()843mm，3m综上所述，满足条件m的值为 3 或 12 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了中点坐标公式，待定系数法等知识，解题的关键是学会用分 类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题 四、巩固提高 1. 123456 ,aaaaaa，是一列数，已知第 1 个数 1 4a ，第 5 个数 5 5a ，且任意三个相邻的数之 和为 15，则第 2019 个数 2019
24、 a的值是_ 【答案】6 【解析】 【分析】 由任意三个相邻数之和都是 15，可知 a1、a4、a7、a3n+1相等，a2、a5、a8、a3n+2相等，a3、a6、a9、a3n 相等，可以得出 a5=a2=5，根据 a1+a2+a3=15 得 4+5+a3=15，求得 a3，进而按循环规律求得结果 【详解】解：由任意三个相邻数之和都是 15 可知： 123 15aaa， 234 15aaa， 345 15aaa， 12 15 nnn aaa ， 可以推出： 14731n aaaa ， 25832n aaaa ， 3693n aaaa， 所以 52 5aa， 则 3 4515a ， 解得 3 6
25、a ， 2019 3673 ， 因此 20193 6aa 故答案为 6 【点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第 1、4、7个数之间的关系，第 2、5、8 个数之间的关系，第 3、6、9个数之间的关系问题就会迎刃而解 2. 如图，ABC为等边三角形，点P从 A 出发，沿ABCA作匀速运动，则线段AP的长度 y 与运动时间 x 之间的函数关系大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点 P 从点 A 运动到点 B 时以及从点 C 运动到点 A 时是一条线段，故可排除选项 C 与 D；点 P 从 点 B 运动到点 C 时，y 是 x 的二次函
26、数，并且有最小值，故问题可得解 【详解】根据题意得，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项 C 与选项 D 不合题意； 点P从点B运动到点C时，假设等边三角形的边长为 a，点 P 的运动速度为 v，则有：过点 P 作 PDAB 交 AB 于点 D，如图所示： PB v xa ， B=60，PDB=PDA=90， 13131 , 22222 BDv xaPDv xaADav xaavx ， 2 2 22222 313 33 222 APADPDavxv xav xavxa ， va， 定值， y是x的二次函数，并且有最小值， 选项 B 符合题意，选项 A 不合题意 故选
27、B 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到 y 与 x 的函数关系， 3. 如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，交AB延长线于点F （1）若,AEDCEBCD ，求证：DEBC； （2）若2,45OBABBDDAF，求CF的长 【答案】（1）见解析；（2） 22CF . 【解析】 【分析】 （1）由圆心角、弧、弦之间的关系得出AE DC ，由圆周角定理得出ADE=DBC，证明ADEDBC， 即可得出结论； （2）连接 CO 并延长交 AB 于 G，作 OHAB 于 H，则OHG=OHB=90，由切线的性质得出FCG=90，得 出CFG、OGH
28、 是等腰直角三角形，得出 CF=CG，OG= 2OH，由等边三角形的性质得出OBH=30，由直 角三角形的性质得出 OH= 1 2 OB=1，OG= 2，即可得出答案 【详解】（1）证明：AEDC，AE DC ，ADEDBC， 在ADE和DBC中， ADEDBC EBCD AEDC ，()ADEDBC AAS，DEBC； （2）解：连接CO并延长交AB于G，作OHAB于H，如图所示： 则90OHGOHB，CF与O相切于点C，90FCG，45F， CFG、OGH是等腰直角三角形，,2CFCG OGOH，ABBDDA， ABD是等边三角形，60ABD，30OBH， 1 1 2 OHOB， 2OG
29、， 22CFCGOCOG 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定与性质、 等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5353） 二、例题分析 1.如图 3，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE=3，AF=5，则 AC 的长 为（ ） （A）54 （B）34 （C）10 （D）8 答案答案：A 考点考点：线段的中垂线定理。解析解析：连结 AE，设 AC 交 EF 于 O， 依题意，有 AOOC，AOF
30、COE，OAFOCE，所以，OAFOCE，所以，ECAF5， 因为 EF 为线段 AC 的中垂线，所以，EAEC5，又 BE3，由勾股定理，得：AB4， 所以，AC 22 16ABBC 2 （3+5） 4 5 2.如图 6 放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长 为_.（结果保留） 答案答案： 22 考点考点：三视图，圆锥的侧面开图。解析解析：圆锥的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形， 所以，圆锥底面半径为：R 22 1 222 2 圆锥侧面展开扇形的弧长为圆锥底面的圆周长，所以，弧 长为： 22 3.已知抛物线 G：32y 2 mxmx
31、有最低点。 （1）求二次函数32y 2 mxmx的最小值（用含 m 的式子表示）； （2）将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1。经过探究发现，随着 m 的变化，抛物线 G1顶点的纵 坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）记（2）所求的函数为 H，抛物线 G 与函数 H 的图像交于点 P，结合图像，求点 P 的纵坐标的取值 范围。 考点考点：二次函数，平移变换。 解析解析： （3）由题知：m0， 2 232mxmxx得： 2 1 0 2 x m xx 由（2）知 x1， 所以，x+10，所以， 2 20 xx，即：12
32、x，所以， 2 pp yx ，4 p y3 二、巩固提高 1.关于 x 的一元二次方程02) 1( 2 kxkx有两个实数根 21,x x，若 32)2(2 212121 xxxxxx，则 k 的值（ ） （A）0 或 2 （B）-2 或 2 （C）-2 （D）2 答案答案：D 考点考点：韦达定理，一元二次方程根的判别式。 解析解析：由韦达定理，得： 12 xxk1， 12 2x xk ,由32)2(2 212121 xxxxxx，得： 2 1212 423xxx x ，即 2 121212 4423xxx xx x ， 所以， 2 142(2)3kk ,化简，得： 2 4k ，解得：k2，
33、因为关于 x 的一元二次方程02) 1( 2 kxkx有两个实数根， 所以， 2 14(2)kk 2 27kk0，k2 不符合，所以，k2 选 D。 2.如图 7，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，B 重合），DAM=45，点 F 在射线 AM 上，且 BEAF2 ，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论： ECF=45 AEG的周长为a 2 2 1 222 EGDGBEEAF的面积的最大值 2 8 1 a 其中正确的结论是_.（填写所有正确结论的序号） 答案答案： 考点考点：三角形的全等，二次函数的性质，正方形的性质。 解析解析
34、： 3.如图 11，等边ABC中，AB=6，点 D 在 BC 上，BD=4，点 E 为边 AC 上一动点（不与点 C 重合），CDE 关于 DE 的轴对称图形为FDE. （4）当点 F 在 AC 上时，求证：DF/AB； （5）设ACD的面积为 S1，ABF的面积为 S2，记 S=S1-S2，S 是否存在最大值？若存在，求出 S 的 最大值；若不存在，请说明理由； （6）当 B，F，E 三点共线时。求 AE 的长。 考点考点：轴对称变换，最值问题，勾股定理。 解析解析： 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5454） 二、例题分析. 1. 如图，二次函数 2 yaxbx的图象开口向下，
35、且经过第三象限的点P，若点 P 的横坐标为1，则一 次函数yab xb的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的图象可以判断 a、b、a b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选 项即可得答案 【详解】由二次函数的图象可知，0a ，0b ，当1x时，0yab， yab xb 的图象经过二、三、四象限，观察可得 D 选项的图象符合，故选 D 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结 合思想解答问题是关键. 2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC
36、 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为 半径作P.当P与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为_ 【答案】3 或4 3 【解析】 【分析】分两种情况：P与直线 CD 相切、P与直线 AD 相切，分别画出图形进行求解即可得. 【详解】如图 1 中，当P与直线 CD 相切时，设PCPMm， 在Rt PBM中 ， 222 P MB MP B ， 222 x4(8x)，x5 ，PC5， BPBC PC8 53 ；如图 2 中当P与直线 AD 相切时，设切点为 K，连接 PK，则PKAD，四边 形 PKDC 是矩形， PMPKCD2BM，BM4，PM8，在Rt PBM中， 22 PB
37、844 3 ， 综上所述，BP 的长为 3 或4 3 【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题， 会利用参数构建方程解决问题是关键 3. 如图 1，直线 l： 3 yxb 4 与 x 轴交于点A 4 0，与 y 轴交于点 B，点 C 是线段 OA 上一动点 16 (0AC). 5 以点 A 为圆心，AC 长为半径作A交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE 并延长交 A于点 F 1（）求直线 l 的函数表达式和tanBAO的值； 2（ ）如图 2，连结 CE，当CEEF时， 求证：OCEOEA； 求点 E 的坐标； 3（）当点 C
38、在线段 OA 上运动时，求OE EF的最大值 【答案】 （1）直线 l 的函数表达式 3 yx3 4 ， 3 tanBAO 4 ； 2 证明见解析；E 52 36 , 25 25 ； 3 OE EF最大值为 128 25 【解析】 【分析】 1利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式，即可求出 OA，OB，即可得出结论； 2 先判断出CDF2CDE，进而得出OAEODF，即可得出结论； 设出EM3m，AM4m，进而得出点 E 坐标，即可得出 OE 的平方，再根据的相似得出比例式 得出 OE 的平方，建立方程即可得出结论； 3利用面积法求出 OG，进而得出 AG，HE，再构造相似三角形，
39、即可得出结论 【详解】（1）直线 l： 3 yxb 4 与 x 轴交于点A 4,0， 3 4b0 4 ，b3 ， 直线 l 的函数表达式 3 yx3 4 ，B 0,3，OA4，OB3， Rt AOB中， OB3 tanBAO OA4 ； 2 如图 2， 连接 DF，CEEF，CDEFDE，CDF2CDE，OAE2CDE， OAEODF，四边形 CEFD 是O的圆内接四边形， OECODF，OECOAE，COEEOA，COEEOA， 过点EOA于 M，由知，设EM3m，则AM4m， OM4 4m，AE5m， 3 tanOAB 4 E 44m,3m，AC5m，OC4 5m ， 由知，COEEOA，
40、 OCOE OEOA ， 2 OEOA OC4 4 5m1620m， E 44m,3m， 222 (44m)9m25m32m 16， 2 25m32m 161620m， m0( 舍)或 12 m 25 ， 48 44m 25 ， 36 3m 25 ， 52 36 E, 25 25 ； 3如图，设O的半径为 r，过点 O 作OGAB于 G，A 4,0，B 0,3， OA4，OB3，AB5， 11 AB OGOA OB 22 ， 12 OG 5 ， OG12416 AG tanAOB535 ， 16 EGAGAEr 5 ，连接 FH， EH是O直径，EH2r，EFH90EGO，OEGHEF，OEG
41、HEF， OEEG HEEF ， 2 168128 OE EFHE EG2rr2(r) 5525 ， 8 r 5 时，OE EF最大值为128 25 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定 理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，运用数理结合思想，正确添加辅助线进 行图形构建是解本题的关键 二、巩固提高 1. 在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和b(ab)的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置(图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部
42、分的面积为 1 S，图 2 中阴影部分的面积为 2 S .当ADAB2时， 21 SS的值为( ) A 2a B. 2b C. 2a2b D. 2b 【答案】B 【解析】 【分析】利用面积的和差分别表示出 1 S和 2 S，然后利用整式的混合运算计算它们的差 详解】 1 SAB aaCDbAD aAB aaAB bAD a ， 2 SAB AD aabAB a， 21 SSAB AD aabAB aAB aaAB bAD a ， AD aAB ABbAB aaba ，b AD abb AB ab ， b ADAB2b，故选 B 【点睛】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，“整体”思想在整式
43、运算中较为常见，适时采用整 体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来. 2. 如图，在菱形 ABCD 中，AB2，B是锐角，AEBC于点 E，M 是 AB 的中点，连结 MD，ME.若 EMD90，则cosB的值为_ 【答案】 31 2 【解析】 【分析】延长 DM 交 CB 的延长线于点H，首先证明DEEH，设BEx，利用勾股定理构建方程求出 x 即 可解决问题 【详解】延长 DM 交 CB 的延长线于点 H， 四边形 ABCD 是菱形，ABBCAD2，AD/CH，ADMH， AMBM，AMDHMB，ADMBHM，ADHB2， EMDH，E
44、HED，设BEx，AEBC，AEAD， AEBEAD90， 22222 AEABBEDEAD ， 2222 2x(2x)2， x3 1或31( 舍弃)， BE31 cosB AB2 ，故答案为 31 2 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识， 正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键. 3. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形 1（）已知ABC是比例三角形，AB2，BC3，请直接写出所有满足条件的 AC 的长； 2（ ）如图 1，在四边形 ABCD 中，AD/BC，对角线 BD 平分A
45、BC，BACADC.求证：ABC是 比例三角形 3（）如图 2，在2（ ）的条件下，当ADC90时，求 BD AC 的值 【答案】 1当 4 AC 3 或 9 2 或6时，ABC是比例三角形； 2证明见解析； 3 BD 2 AC 【解析】 【分析】 1根据比例三角形的定义分 2 ABBC AC、 2 BCAB AC、 2 ACAB BC三种情况分别 代入计算可得； 2先证ABCDCA得 2 CABC AD，再由ADBCBDABD知ABAD即 可得； 3作AHBD，由ABAD知 1 BHBD 2 ，再证ABHDBC得AB BCBH DB， 即 2 1 AB BCBD 2 ，结合 2 AB BCA
46、C知 22 1 BDAC 2 ，据此可得答案 【详解】 1ABC是比例三角形，且AB2、AC3， 当 2 ABBC AC时，得：43AC，解得： 4 AC 3 ； 当 2 BCAB AC时，得：92AC，解得： 9 AC 2 ； 当 2 ACAB BC时，得：AC6，解得：AC6(负值舍去)； 所以当 4 AC 3 或 9 2 或6时，ABC是比例三角形； 2AD/BC，ACBCAD，又BACADC，ABCDCA， BCCA CAAD ，即 2 CABC AD，AD/BC，ADBCBD， BD平分ABC，ABDCBD，ADBABD，ABAD， 2 CABC AB，ABC是比例三角形； 3如图，
47、过点 A 作AHBD于点 H， ABAD， 1 BHBD 2 ，AD/BC， ADC90，BCD90， BHABCD90，又ABHDBC，ABHDBC， ABBH DBBC ，即AB BCBH DB， 2 1 AB BCBD 2 ，又 2 AB BCAC， 22 1 BDAC 2 ， BD 2 AC 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角 形的判定与性质是解题的关键 中考数学提优系列题选（中考数学提优系列题选（5555） 二、例题分析 1. 如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面半径，已知 BC=6cm，圆锥的侧面积为 15cm 2，则 sinABC 的值为 （ ） A. 3 4 B. 3 5 C. 4 5 D. 5
