江西省赣州市石城县2020-2021学年九年级4月学生竞赛数学试题(含答案)

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1、石城县石城县 2 2021021 年九年级学生数学竞赛试题年九年级学生数学竞赛试题 (考试时间:120 分钟 满分:120 分) 2021 年 4 月 一、选择题(本题共 6 小题,每小题 5 分共 30 分,在每小题给出的 4 个选项中,只有一个项符合 题目要求) 1.下图中的长方体是由下面 A、B、C、D的四个小几何体拼成的,那么图中第四部分对应的几何体 是( ). A. B. C. D. 2.小颖用 4 张长为 a、 宽为( )的长方形纸片, 按如图的方式拼成一个边长为( + ) 的正方形, 图中空白部分的面积为1,阴影部分的面积为2.若 = 2,则1、2之间的数量关系为 ( ) A.

2、1= 3 22 B. 1= 22 C. 1= 5 22 D. 1= 32 3.如图, 中, = 90, = 4, = 8, 绕点 O逆时针旋转到 处,此时线段与 BO的交点 E 为 BO 的中点,则线段的长度为( ). A. 35 B. 125 5 C. 95 5 D. 165 5 4.如图,(1,1),(1,4),(5,4),点 P是 边上一动点,连接 OP,以 OP 为斜边在 OP 的右上方作直角三角形,其中 = 90, = 30,当点 P在 的三条边上运动一周 时,点 Q 运动的路径长为( ). A. 4 B. 6 C. 43 D. 63 5. 满足方程 22 419151xxyy的整数

3、对()x y,有( ). A0 对 B2 对 C4 对 D6 对 6. 如图,正方形 ABCD和正方形 CGFE 的顶点 C,D,E 在同一条直线上,顶点 B,C,G在同一条 直线上O是 EG的中点,的平分线 GH过点 D,交 BE 于点 H,连接 FH 交 EG于点 M,连 (第 6 题) (第 2 题) (第 3 题) (第 4 题) 接.以下四个结论: ; ; = 2 1; = 2 2,其 中正确的结论是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 7. 若(2020 )(2019 ) = 2021,则(2020 )2+ ( 2019)2=

4、_ 8.在平面内有 n 个点,其中每三个点都能构成等腰三角形,人们将具有这样性质的 n个点构成的点 集称为爱尔特希点集如图,是由五个点 A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集(它们为正五边形 的任意四个顶点及正五边形的中心构成),则的度数是_ 9. 如图各图形是由大小相同的黑点组成, 图1中有2个点, 图2中有7个点, 图3中有 14个点, , 按此 规律,第 10个图中黑点的个数是_ _ 10.如图, 在 中, = 3, 将 平移 5个单位长度得到 111, 点 P、 Q分 别是 AB、 11的 中点,PQ的最小值等于_. 11.如图,点 A 是双曲线 = 9 在第二象限分支上的一个动点,连接

5、 AO 并延长交另一分支于点 B, 以 AB为底作等腰 ,且 = 120,点 C 在第一象限,随着点 A 的运动,点 C 的位置也 不断变化,但点 C 始终在双曲线 = 上运动,则 k 的值为_ 12.如图,矩形 ABCD 中,E是 AB上一点,连接 DE,将 沿 DE 翻折,恰好使点 A 落在 BC 边 的中点 F 处,在 DF 上取点 O,以 O为圆心,OF长为半径作半圆与 CD相切于点.若 = 4,则 图中阴影部分的面积为_ (第 8 题) (第 9 题) (第 10 题) (第 11 题) (第 12 题) 三、解答题(本题共 6 小题,每小题 10 分,共 60 分,解答应写出必要的

6、文字说明,证明过程和演 算步骤) 13. (1)已知关于 x的方程2 (2 1) + 2= 0有两个实根1,2,且满足: 12 |1| |2| = 2,求实数 k 的值; (2)已知 0,且 + = 6,求(+ ) 3的值 14. 如图,I 是ABC 的内心,IHAB 于 H,HEBC 于 E,AFBC 于 F,D 为 HE 与 BI 交点求证:BAC=2DFE 15. 如图,在 中,弦 AB与直径 CD 垂直,垂足为 M,CD的延长线上有一点 P,满足 = .过点 P作 ,交 OA的延长线于点 N,连接 DN 交 AP于点 H (1)求证:BP 是 的切线; (2)如果 = 5, = 4,求

7、 PN 的值; (3)如果 = ,求证: = 16.已知 0abc ,且0 bccaab abc , 求证: 222222 0 bcbccacaabab b cc aa b 17. 定义:如图,若两条抛物线关于直线 = 成轴对称,当 时,取顶点 = 左侧的抛物线的 部分;当 时,取顶点在 = 右侧的抛物线的部分,则我们将像这样的两条抛物线称为关 于直线 = 的一对伴随抛物线 例如: 抛物线 = ( + 1)2( 0)与抛物线 = ( 1)2( 0) 就是关于直线 = 0(轴)的一对伴随抛物线 (第 14 题) (第 15 题) (1)求抛物线 = ( + 1)2+ 3( 1.5)关于直线 =

8、1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式 (2)设抛物线 = 2 22 + 2( 0, 4)交 y轴于点 A,交直线 = 4于点 B 求直线 AB平行于 x轴时的 m 的值 求是直角时抛物线 = 2 22 + 2关于直线 = 4的“伴随抛物线”的顶点横坐标 已知点 C、D 的坐标分别为(8,2)、(8,0),直接写出抛物线 = 2 22 + 2及其关于直线 = 4的 “伴随抛物线”与矩形 OACD 不同的边有四个公共点时 m 的取值范围 18.如图 1,P 为平分线 OC 上一点,以 P 为顶点的两边分别与射线 OM 和 ON 交于 A、 B两点, 如果在绕点P旋转时始终满足 = 2, 我

9、们就把叫做的关联角 (1)如图 2,P 为平分线 OC 上一点,过 P作 于 B, 于 P,那么 _的关联角(填“是”或“不是”) (2)如图 3,如果 = 60, = 2,是的关联角,连接 AB,求 的面积和的度数; 如果 = (0 0)图象上一个动点,过点 C的直线 CD分别交 x 轴和 y 轴于 A, B 两点,且满足 = 2,求出的关联角的顶点 P的坐标 (第 17 题) (第 18 题) 石城县石城县 2021 年九年级学生数学竞赛试题年九年级学生数学竞赛试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题: 1. A; 2.B; 3. B; 4 D.; 5.C ; 6.A. 二、

10、填空题: 7. 4043; 8.18; 9.119; 10. 7 2 ; 11. 3; 12. 2 3 9 三、解答题: 13. 解:13.解:(1)根据题意得= (2 1)2 42 0, 解得 1 4;1 分 (2)1+ 2= 2 1,12= 2, 1 4, 1+ 2= 2 1 0,而12= 2 0, 1 0,2 0,2 分 12 |1| |2| = 2, 1 2+ 1+ 2= 2,3 分 即2+ (2 1) = 2,整理得2+ 2 3 = 0, 解得1= 3,2= 1,4 分 而 1 4, = 3;5 分 (2) + = 6, 2+ 2= 6,6 分 ( + )2= 8, ( )2= (

11、+ )2 4 = 4,7 分 (+ ) 2 = (+)2 ()2 = 2, + = 2,8 分 0, + 0, + 0, + = 2 9 分 (+ ) 3 = 22 答:(+ ) 3的值为2210 分 14. 证明:如图,连结 IA,1 分 I 是ABC 的内心, EBD=HIB,BAC=2IAH 2 分 IHBH,DEBE, RtEBDRtHBI 3 分 BEDE BHIH 5 分 又 AFBC, HEAF,6 分 BEEF BHHA 7 分 DEEF IHHA 8 分 RtDEFRtIHA 9 分 DFE=IAH,BAC=2DFE 10 分 15.(1)证明:如图,连接 BC,OB1 分

12、是直径, = 90, = , = , = , = , = , = = 90,2 分 , 是 的切线3 分 (2)解: , = , = , = , (), = = 90, = 90, = 2 2= 52 42= 3,4 分 = , = , , = , 5 = 3 5, = 25 3 ,5 分 , = = 90, = , 4 = 3 25 3 , = 100 9 6 分 (3)证明: = , = , = + , = + , + = 90, + = 90, = , = , = = , , = ,7 分 = , = = 90, ,8 分 = , = , = = ,9 分 = 10 分 16.解: ()

13、()()bccaabbc bcac caab ab abcabc 222 ()()()a bca cbbc bc abc 2 分 2 ()()bcaa bcbc abc () =0 bc ab ac abc ) 4 分 0ab 或0b c 或0ab , 即ab或bc 或ac . 6 分 不妨设ab,代入所要证等式左边,得: 左边= 2222422222 2 +212bcb cbccbbbcbc b cc bbb cbb c 8 分 又0abc且ab 20bc =右边9 分 如果bc 或a c ,结论同样成立,所以所证等式成立. 10 分 17.解:(1) 抛物线 = ( + 1)2+ 3( 1

14、.5)的顶点坐标(1,3), (1,3)关于直线 = 1.5的对称点坐标为(4,3)1 分 “伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为: = ( 4)2+ 3( 1.5); 2 分 (2) 抛物线 = 2 22 + 2( 0, 4)交 y 轴于点 A, 点(0,2),3 分 直线 AB 平行于 x 轴,抛物线交直线 = 4于点 B 点(4,2),4 分 2 = 16 82+ 2, = 0(舍去), = 2, = 2;5 分 如图 1 和图 2, = 90, 点 B 在 x 轴上, 点 B 的坐标是(4,0), 把(4,0)代入 = 2 22 + 2中,得 16 82+ 2 = 0, 解得, = 2

15、+5 2 或25 2 ,6 分 = 2 22 + 2的顶点横坐标为: = 22 2 = , 即抛物线 = 2 22 + 2的顶点横坐标为2+5 2 或25 2 ,7 分 则抛物线 = 2 22 + 2关于直线 = 4的“伴随抛物线”的顶点横坐标为: 4 + (4 2+5 2 ) = 145 2 ,或4 + (4 25 2 ) = 14+5 2 , “伴随抛物线”的顶点横坐标为145 2 或14+5 2 ;8 分 2+5 2 .10 分 如图 3 和图 4, 点 C、 D 的坐标分别为(8,2)、 (8,0), (0,2), 抛物线 = 2 22 + 2及其关于直线 = 4的 “伴随抛物线”与矩

16、形 OACD 不同的边有四个公共点, 点 B 在 x 轴下方, 设(4,),则 0, 把(4,)代入 = 2 22 + 2中,得 = 16 82+ 2, = 16 82+ 2 0, 由二次函数 = 16 82+ 2图象可知, 当 0时,若 0,则 0时,若 2+5 2 故 2+5 2 18.解:(1)是;1 分 (2)如图,过点 A 作 , 是的关联角, = 2, = 2= 4,2 分 在 中, = 90, sin = , = , = 1 2 = 1 2 60 = 1 2 2 3 2 = 3,3 分 2= , = , 点 P 为的平分线上一点, = = 1 2 = 30,4 分 , = , =

17、 + = + = 180 30 = 150,5 分 由有,= 1 2 = 1 2 2 ;6 分 (3) 过点 C 的直线 CD 分别交 x 轴和 y 轴于 A,B 两点,且满足 = 2, 只有点 A 在 x 轴正半轴, 当点 B 在 y 轴负半轴时,点 A 只能在 x 轴正半轴即:点 P 只能在第四象限, 设(,0),(0,)( 0, 0), 2= 22, 22= 1, = 2 2 或 = 2 2 (舍), 点( 2 2 , 2 2 )8 分 当点 B 在 y 轴正半轴,由于 = 2,所以,点 A 只能在 x 轴正半轴上, 设(,0),(0,)( 0, 0) 点(2 3 , 3), 2 3 3 = 2, = 9, 的关联角 2= = = 9, = 3, 点 P 在的平分线上,即:点 P 在第一象限,设(,),( 0) 2= 22, 22= 9, = 32 2 或 = 32 2 (舍) 即:点(32 2 , 32 2 ), 综上所述,( 2 2 , 2 2 )或(32 2 , 32 2 ).10 分

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