1、2020 年浙江省杭州市拱墅区中考数学四模试卷年浙江省杭州市拱墅区中考数学四模试卷 一、选择题： （每题一、选择题： （每题 3 分）分） 1下列各式计算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba2a3a6 C （a3b2）3a6b5 D （a2）3（a3）2 2截止到 5 月 6 日，全球累计确诊新型冠状病毒肺炎病例约 3640000 人，将 3640000 用科学记数法表示应 为（ ） A36.4105 B3.64105 C0.364107 D3.64106 3点 A（3，4）关于 x 轴的对称点的坐标为（ ） A （3，4） B （3，4） C （3，4） D （4，3） 4以下说法中正确的
2、是（ ） A若 ab，则 ac2bc2 B若 a|b|，则 a2b2 C若 ab，则 D若 ab，cd，则 acbd 5肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计 会有 225 人感染 （225 人可以理解为三轮感染的总人数） ， 若设 1 人平均感染 x 人， 依题意可列方程 （ ） A1+x225 B1+x2225 C （1+x）2225 D1+（1+x2 ）225 6如图，ABC 的两条中线 BE、CD 交于点 O，则下列结论不正确的是（ ） A B CSDOE：SBOC1：2 DADEABC 7如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的
3、 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 x 10 x A平均数、中位数 B众数、方差 C平均数、方差 D众数、中位数 8已知函数 yax22ax1（a 是常数，a0） ，下列结论正确的是（ ） A当 a2 时，函数图象与 x 轴没有交点 B若 a0，函数图象的顶点始终在 x 轴的下方 C若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 D不论 a 为何值，函数图象必经过（2，1） 9已知实数 a，b，c 满足 a4b7，bc+2，当c5 时，总有 abc；当 2c4 时，则 b+ca，上述结论（ ） A错误错误 B正确错误 C错误正
4、确 D正确正确 10如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 上的点，DE 交 AC 于 M，AF 交 BD 于点 N，若 AF 平 分BAC，DEAF，记 x，y，z，则有（ ） Axyz Bxyz Cxyz Dxyz 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 4 分）分） 11因式分解：4a29a4 12已知方程组，则 x+y 的值为 13在如图所示的正方形网格中，1 2 （填“” ， “” ， “” ） 14若 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是直线 y2x 上不同的两点，记 m，则函数 ymx+3 的图象经 过第 象限 15如图，在O 中，直径 AB 与弦 CD 的交
5、点为 E，ACOD若BEC72，则B 16如图，RtABC 中，ACB90，AC6cm，BC8cm如果 AD 平分BAC，ADCD，那么点 D 到 AB 的距离为 三解答题（共三解答题（共 68 分）分） 17化简式子（x） ，并在1，0，1，2 中选一个合适的数字代入求值 18在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的边长为 1 时，它的另一边长为 3 （1）设矩形的相邻边长分别为 x，y 求 y 关于 x 的函数表达式； 当 y3 时，求 x 的取值范围； （2）方方说矩形的周长可以等于 6，你认为方方的说法正确吗？为什么？ 19为了满足学生的兴趣爱好，学校决定在七年级开设兴趣班，兴趣班设
6、有四类：A、围棋班；B、象棋班； C、书法班；D、摄影班为了便于分班，年级组随机抽查（每人选报一类） ，并绘制了如图所示的两幅 统计图（不完整） ，请根据图中信息，解答下列问题； （1）求扇形统计图中 m，n 的值，并补全条形统计图； （2）已知该校七年级有 300 名学生，学校计划开设三个“围棋班” ，每班要求不超过 25 人，实行随机分 班 学校的开班计划是否能满足选择“围棋班”的学生意愿，说明理由； 纪昆、纪仑是一对双胞胎，他们都选择了“围棋班” ，并且希望能分到同一个班，用树状图或列表法 求他们的希望得以实现的概率 20在ABC 中，AD 是边 BC 上的高，点 D 在线段 BC 上，
7、且有 tanBAD+tanCAD，BC5，AC （）求线段 AD 的长； （）求 cosBsinC； （）求ABC 中 AB 上的中线长 21已知：正方形 ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点 D 处，使三角板绕点 D 旋转 （1）当三角板旋转到图 1 的位置时、猜想 CE 与 AF 的数量关系，并加以证明； （2）若 BC6，点 M 是边 AB 的中点，连接 DM，DM 与 AC 交于点 O，当三角板的边 DF 与边 DM 重 合时（如图 2） ，若 OF，求出 DF 和 DN 的长 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1kx+1（k0）经过点 A（2，3） ，与抛物线
8、y2ax2+bx+a 的对称轴 交于点 C（m，2） （1）求 m 的值； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）设函数 yy2y1，已知函数 y 的图象有 P（m1，n1）和 Q（m2，n2）两点，且当 m1m22 时， 始终都有 n1n2，求 a 的取值范围 23如果一个三角形的两个内角 ， 满足 +290，那么我们称这样的三角形为“非常三角形” （1）若ABC 是“非常三角形” ，C90，A50，求B 的度数； （2）如图，ABC 中，ABAC，D 是边 BC 上一点，以 BD 为直径的O 经过点 A，连接 AD 求证：ADC 为“非常三角形” ； 若 sinB，AB8，弦 AB 上是否存在
9、一点 P，使得BDP 是“非常三角形” ，若存在，请求出线段 AP 的长度；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列各式计算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba2a3a6 C （a3b2）3a6b5 D （a2）3（a3）2 【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方及合并同类项法则，逐个计算得结论 【解答】解：a2与 a3不是同类项，不能加减，故选项 A 错误； a2a3a5a6，故选项 B 错误； （a3b2）3a9b6a6b5，故选项 C 错误； （a2）3a6， （a3）2a6，故选项 D 正确 故选：D 2截止到 5
10、 月 6 日，全球累计确诊新型冠状病毒肺炎病例约 3640000 人，将 3640000 用科学记数法表示应 为（ ） A36.4105 B3.64105 C0.364107 D3.64106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 3640000 用科学记数法表示为：3.64106 故选：D 3点 A（3，4）关于 x 轴的对称点的坐标为（ ） A （3，4） B （3，4）
11、 C （3，4） D （4，3） 【分析】利用关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即点 P（x，y）关于 x 轴 的对称点 P的坐标是（x，y） ，得出即可 【解答】解：点 A（3，4）关于 x 轴对称点的坐标为： （3，4） 故选：A 4以下说法中正确的是（ ） A若 ab，则 ac2bc2 B若 a|b|，则 a2b2 C若 ab，则 D若 ab，cd，则 acbd 【分析】根据不等式的性质和绝对值的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可 【解答】解：A若 ab，c0，则 ac2bc2，即 A 选项不合题意， B|b|0，a|b|，则 a0，即 a2b2，即 B
12、选项符合题意， C若 ab，a0，b0，则，如即 C 选项不合题意， D若 ab，cd，则cd，则 ac 和 bd 大小无法判断，如 a1，b5，c7，d20， 此时，ac 小于 bd，即 D 选项不合题意， 故选：B 5肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计 会有 225 人感染 （225 人可以理解为三轮感染的总人数） ， 若设 1 人平均感染 x 人， 依题意可列方程 （ ） A1+x225 B1+x2225 C （1+x）2225 D1+（1+x2 ）225 【分析】此题可设 1 人平均感染 x 人，则第一轮共感染（x+1）人，第二
13、轮共感染 x（x+1）+x+1（x+1） （x+1）人，根据题意列方程即可 【解答】解：设 1 人平均感染 x 人， 依题意可列方程： （1+x）2225 故选：C 6如图，ABC 的两条中线 BE、CD 交于点 O，则下列结论不正确的是（ ） A B CSDOE：SBOC1：2 DADEABC 【分析】根据中线 BE、CD 交于点 O，可得 DE 是ABC 的中位线，根据三角形的中位线定理得出 DE BC，DEBC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可 【解答】解：BE 和 CD 是ABC 的中线， DE 是ABC 的中位线， DEBC，DEBC， ，故 A 选项正确； D
14、EBC， ，故 B 选项正确； DEBC， DOECOB， （）2（）2，故 C 选项错误； DEBC， ADEABC，故 D 选项正确； 故选：C 7如表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） 年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 x 10 x A平均数、中位数 B众数、方差 C平均数、方差 D众数、中位数 【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为 10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多 的数据及第 15、16 个数据的平均数，可得答案 【解答】解：由表可知，年龄为 15 岁与年龄为 16 岁的频数和为 x+10 x1
15、0， 则总人数为：5+15+1030， 故该组数据的众数为 14 岁，中位数为：14 岁， 即对于不同的 x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：D 8已知函数 yax22ax1（a 是常数，a0） ，下列结论正确的是（ ） A当 a2 时，函数图象与 x 轴没有交点 B若 a0，函数图象的顶点始终在 x 轴的下方 C若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 D不论 a 为何值，函数图象必经过（2，1） 【分析】根据函数的图象和性质逐个求解即可 【解答】解：A当 a2 时，y2x2+4x1，424（2）（1）80，与 x 轴有两个 交点，所以 A 错误，不符合题意；
16、 B若 a0，则抛物线开口向下，而0，故抛物线和 x 轴有两个交点，故函数图象的顶点始终在 x 轴 的下方错误，故 B 不符合题意； C函数的对称轴 x1，a0，所以则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，所以 C 错误，不符 合题意； D当 x2 时，y4a4a11，所以 D 正确，符合题意； 故选：D 9已知实数 a，b，c 满足 a4b7，bc+2，当c5 时，总有 abc；当 2c4 时，则 b+ca，上述结论（ ） A错误错误 B正确错误 C错误正确 D正确正确 【分析】由题意得，结合不等式的性质代入各式判断即可得出答案 【解答】解：实数 a，b，c 满足 a4b7，bc+2 ，
17、当 abc 时，则， 解得：c4， 故错误， 当 b+ca 时，则c+2+c2c+1， 解得：c2， 故错误 故选：A 10如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 上的点，DE 交 AC 于 M，AF 交 BD 于点 N，若 AF 平 分BAC，DEAF，记 x，y，z，则有（ ） Axyz Bxyz Cxyz Dxyz 【分析】由正方形的性质得出条件证明AFBDEA（AAS） ，利用有两个角相等的三角形相似判定 ABFAON，BANCAF，从而得出 y 与 z 的值；证明AEMAME，判定 AEAM；过点 M 作 MHAD 于点 H，由角平分线的性质得出 OMHM；在等腰直角
18、三角形 AMH 中得出 AMMH， 则可得 AEOM，然后算出 x 的值，则可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABAD，BADABC90，BAC45， BAF+AFB90， DEAF， BAF+DEA90， AFBDEA， 在AFB 和DEA， ， AFBDEA（AAS） ， BAFADE，BFAE， AF 平分BAC， BAFCAF22.5， ADEBDE22.5， ABFAON90，BAFNAO， ABFAON， BANCAF，ABNACF45， BANCAF， y ， z ， yz， BFAE，ABBC， BECF， ， ADE22.5，EAD90， AEM67.5，A
19、MEADE+MAD67.5， AEMAME， AEAM， 过点 M 作 MHAD 于点 H，如图： ADE22.5，EDB45， MDOMDH22.5， MHAD，MOAC， OMHM， MAH45，MHA90， AMHMOM， AEOM， BEAE2OM， x2， xyz 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11因式分解：4a29a4 a2（2+3a） （23a） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a2（49a2） a2（2+3a） （23a） 故答案为：a2（2+3a） （23a） 12已知方程组，则 x+y 的值为 3 【分析】方程组两方
20、程相加，即可求出 x+y 的值 【解答】解：， +得：3x+3y3（x+y）9， 则 x+y3 故答案为：3 13在如图所示的正方形网格中，1 2 （填“” ， “” ， “” ） 【分析】由正切的定义可得出 tan1，tan2，由且1，2 均为锐角可得出12， 此题得解 【解答】解：在 RtABE 中，tan1； 在 RtBCD 中，tan2 ，且1，2 均为锐角， tan1tan2， 12 故答案为： 14若 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是直线 y2x 上不同的两点，记 m，则函数 ymx+3 的图象经 过第 一、二、四 象限 【分析】 由一次函数图象上点的坐标特征可得出 y12x
21、1， y22x2， 结合 m可求出 m 的值， 再利用一次函数图象与系数的关系可求出函数 ymx+3 的图象经过的象限 【解答】解：A（x1，y1） ，B（x2，y2）是直线 y2x 上不同的两点， y12x1，y22x2，y1y2， m m0，30， 函数 ymx+3 的图象经过第一、二、四象限 故答案为：一、二、四 15如图，在O 中，直径 AB 与弦 CD 的交点为 E，ACOD若BEC72，则B 42 【分析】连接 OC，由 ACOD 可得ACDCDO，CDODCO，则A2ACD，根据条件可 求出A 的度数，由圆周角定理可得B的度数 【解答】解：连接 OC， ACOD ACDCDO，
22、ODOC， CDODCO， ACDDCO， OAOC， AACO， A2ACD， BECA+ACD72， 3ACD72， ACD24， A48， AB 是O 的直径， ACB90， B90A904842 故答案为：42 16如图，RtABC 中，ACB90，AC6cm，BC8cm如果 AD 平分BAC，ADCD，那么点 D 到 AB 的距离为 【分析】过 E 作 EFAB，垂足为 F，延长 AD 交 BC 于 E，过 D 作 DMBC，垂足为 M，通过证明 Rt ACERtAFE，结合勾股定理可得 AE 的长，进而可求 AE 的长，再通过证明CADEAC，列比 利式可求解 ED 的长，证明MA
23、DFAE，可求解 DM 的长 【解答】解：过 E 作 EFAB，垂足为 F，延长 AD 交 BC 于 E，过 D 作 DMAB，垂足为 M， AE 平分BAC，ACB90， ECEF， 在 RtAEC 和 RtAEF 中， RtACERtAFE（HL） ， ACAF， 在 RtABC 中，AB2AC2+BC2， AC6，BC8， AB262+82100， AB10，AF6， BF4， 设 CEx，则 EFx，BE8x， x2+42（8x）2， 解得 x3， 即 EFCE3， AE， CDAE， ADCACE90， CADEAC， CADEAC， AD：ACAC：AE， AD：66：， 解得 A
24、D， DMAB， AMDAFE90， MADFAE， MADFAE， ， ， 解得 DM 故点 D 到 AB 的距离为 三解答题三解答题 17化简式子（x） ，并在1，0，1，2 中选一个合适的数字代入求值 【分析】直接将括号里通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案 【解答】解：原式 ， x（x1）0，x+10， x0，1，1， 故 x2， 当 x2 时，原式 18在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的边长为 1 时，它的另一边长为 3 （1）设矩形的相邻边长分别为 x，y 求 y 关于 x 的函数表达式； 当 y3 时，求 x 的取值范围； （2）方方说矩形的周长可以等于 6，你
25、认为方方的说法正确吗？为什么？ 【分析】 （1）直接利用矩形面积求法进而得出 y 与 x 之间的关系； 直接利用 y3 得出 x 的取值范围； （2）直接利用 x+y 的值结合根的判别式得出答案 【解答】解： （1）由题意可得：xy3， 则 y； 当 y3 时，3， 解得：x1， 故 x 的取值范围是：0 x1； （2）一个矩形的周长为 6， x+y3， x+3， 整理得：x23x+30， b24ac91230， 矩形的周长不可能是 6； 所以方方的说法不对 19为了满足学生的兴趣爱好，学校决定在七年级开设兴趣班，兴趣班设有四类：A、围棋班；B、象棋班； C、书法班；D、摄影班为了便于分班，年
26、级组随机抽查（每人选报一类） ，并绘制了如图所示的两幅 统计图（不完整） ，请根据图中信息，解答下列问题； （1）求扇形统计图中 m，n 的值，并补全条形统计图； （2）已知该校七年级有 300 名学生，学校计划开设三个“围棋班” ，每班要求不超过 25 人，实行随机分 班 学校的开班计划是否能满足选择“围棋班”的学生意愿，说明理由； 纪昆、纪仑是一对双胞胎，他们都选择了“围棋班” ，并且希望能分到同一个班，用树状图或列表法 求他们的希望得以实现的概率 【分析】（1） 根据 C 类的人数和所占的百分比求出总人数， 用总人数减去其它类别的人数求出 A 类人数， 用 A 类的人数除以总人数求出 m
27、 的值，用 360乘以 D 所占的百分比求出 n 的值； （2）用七年级的总人数乘以 A 类所占的百分比，再把这些人数平均分到三个班里，然后与 25 进行比 较即可得出答案； 根据题意画出树状图得出所有等情况数和他们的希望得以实现的情况数，然后根据概率公式即可得出 答案 【解答】解： （1）总人数1525%60（人） ， A 类人数有：602415912（人） ， 12600.220%， m20， n36054， 则 n54； 补图如下： （2）30020%320（人）25（人） ， 能满足选择“围棋班”的学生意愿； 根据题意画图如下： 共有 9 种等可能的结果数，其中他们的希望得以实现的有
28、3 种， 则他们的希望得以实现的概率是 20在ABC 中，AD 是边 BC 上的高，点 D 在线段 BC 上，且有 tanBAD+tanCAD，BC5，AC （）求线段 AD 的长； （）求 cosBsinC； （）求ABC 中 AB 上的中线长 【分析】 （）由三角函数定义得出 tanBAD+tanCAD+，即可得出 AD3； （）求出 sinC，CD1，得出 BDBCCD4，由勾股定理得出 AB5，求出 cosB，即可得出答案； （）由三角形面积得出 CFAD3，由勾股定理求出 AF1，得出 EFAEAF，由勾股定理即 可得出答案 【解答】解： （）如图 1 所示： AD 是边 BC 上的
29、高， ADBC， tanBAD+tanCAD+， BC5， AD3； （）ADBC，AD3，AC sinC，CD1， BDBCCD4， AB5， cosB， cosBsinC； （）CE 为ABC 中 AB 上的中线，作 CFAB 于 F，如图 2 所示： ABC 的面积ABCFBCAD，ABBC5， CFAD3，AF1， CE 是ABC 中 AB 上的中线， AEAB， EFAEAF， CE， 即ABC 中 AB 上的中线长为 21已知：正方形 ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点 D 处，使三角板绕点 D 旋转 （1）当三角板旋转到图 1 的位置时、猜想 CE 与 AF 的数
30、量关系，并加以证明； （2）若 BC6，点 M 是边 AB 的中点，连接 DM，DM 与 AC 交于点 O，当三角板的边 DF 与边 DM 重 合时（如图 2） ，若 OF，求出 DF 和 DN 的长 【分析】 （1）由正方形和等腰直角三角形的性质判断出ADFCDE 即可； （2）证MAODCO 得，由勾股定理得 DM3，据此求得 DO2，结合 OF知 DF，再证DFNDCO 得，据此计算可得 【解答】解： （1）CEAF， 理由如下：在正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CEF 中，FDDE，CDCA，ADCEDF90， ADFCDE， ADFCDE（SAS） ， CEAF； （2）M 是
31、AB 的中点， MAABAD， ABCD， MAODCO， ， 在 RtDAM 中，AD6，AM3， DM3， DO2， OF， DF， DFNDCO45，FDNCDO， DFNDCO， ， ， DN 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1kx+1（k0）经过点 A（2，3） ，与抛物线 y2ax2+bx+a 的对称轴 交于点 C（m，2） （1）求 m 的值； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）设函数 yy2y1，已知函数 y 的图象有 P（m1，n1）和 Q（m2，n2）两点，且当 m1m22 时， 始终都有 n1n2，求 a 的取值范围 【分析】 （1）将 A 点坐标代入直线 y1
32、kx+1 求出 k1，再根据直线过点 C 即可求得 m 的值； （2）由（1）得出抛物线的对称轴为 x1，据此知 b2a，代入 y2ax2+bx+a 即可求得答案； （3）当 a0 时，由题意，2，解不等式即可a0 时显然不成立 【解答】解： （1）直线 y1kx+1（k0）经过点 A（2，3） ， 将点 A 的坐标代入 y1kx+1 得，32k+1， 解得，k1， 直线 y1x+1， 直线 y1x+1 与抛物线 y2ax2+bx+a 的对称轴交于点 C（m，2） ， 将点 C（m，2）代入 y1x+1，得 m1； （2）由（1）知抛物线 y2ax2+bx+a 的对称轴为 x1， ，即 b2a
33、， y2ax22ax+aa（x1）2， 抛物线的顶点坐标为（1，0） ； （3）当 a0 时，yax2（2a+1）x+a1， 由题意，2， 解得 a， 当 a0 时，不符合题意 综上所述，a 的取值范围是 0a 23如果一个三角形的两个内角 ， 满足 +290，那么我们称这样的三角形为“非常三角形” （1）若ABC 是“非常三角形” ，C90，A50，求B 的度数； （2）如图，ABC 中，ABAC，D 是边 BC 上一点，以 BD 为直径的O 经过点 A，连接 AD 求证：ADC 为“非常三角形” ； 若 sinB，AB8，弦 AB 上是否存在一点 P，使得BDP 是“非常三角形” ，若存在
34、，请求出线段 AP 的长度；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据“非常三角形”的定义进行判断B，求解方程即可； （2）由 BD 为直径得到ABD 中两锐角互余，然后再利用三角形外角的性质表示出ADB，然后代 入即可得到满足“非常三角形”定义； 根据 sinB，AB8 可求出 AD、BD，由于 、 不确定位置，所以分类讨论，根据“非常三角形” 中等量关系，确定角之间的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质列等积式求解 【解答】 （1）解：ABC 是“非常三角形” ，C90，A50， A，B， A+2B90， B20； （2）证明：BD 为O 直径， BAD90， ABC+ADB90，
35、ADBC+CAD， ABC+C+CAD90， ABAC， ABCC， 2C+CAD90， 满足“非常三角形”的条件：+290， ：ADC 为“非常三角形” ； 解：BD 为O 直径，sinB， ， 设 AD3x，则 BD5x， AB， AB8， x2， AD6，BD10， 如图， 当B+2BDP90时， BD 为O 的直径， BAD90， B+BDA90， BDA2BDP， DP 平分BDA， ， 即， 解得 AP3； 当 2B+BDP90时， BD 为O 的直径， BAD90， B+ADP+BDA90， BADP， BADDAP90， ADPABD， ， 即， 解得 AP； 综上所述，AP 的长度为 3 或
