1、 20212021 年中考数学查缺补漏再训练年中考数学查缺补漏再训练 2626 个微专题个微专题 ( (全国通用全国通用) ) 专题专题 26 26 探究探索压轴题下功夫练探究探索压轴题下功夫练 ( (共共 1414 道题道题) ) 1阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一 项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an所 以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an， 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常
2、数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示如：数列 1，3，5，7，为等差数列，其中a11，a2 3，公差为d2 根据以上材料，解答下列问题： （1）等差数列 5，10，15，的公差d为 ，第 5 项是 （2）如果一个数列a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2a1d，a3 a2d，a4a3d，anan1d， 所以 a2a1+d a3a2+d（a1+d）+da1+2d， a4a3+d（a1+2d）+da1+3d， 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：ana1+（ ）d （3）4041 是不是等差数列5，7，9的项？如果是，是第几项？ 【答案】见解析。 【解析】 （
3、1）根据题意得，d1055； a315， a4a3+d15+520， a5a4+d20+525， 故答案为：5；25 （2）a2a1+d a3a2+d（a1+d）+da1+2d， a4a3+d（a1+2d）+da1+3d， ana1+（n1）d 故答案为：n1 （3）根据题意得， 等差数列5，7，9的项的通项公式为：an52（n1） ， 则52（n1）4041， 解之得：n2019 4041 是等差数列5，7，9的项，它是此数列的第 2019 项 2 【材料阅读】 地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 1 中的O） 人们在北半球可观测到北 极星， 我国古人在观测北极星的过
4、程中发明了如图 2 所示的工具尺 （古人称它为“复矩” ） ， 尺的两边互相垂直， 角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直站在不同的观测点，当工具尺的长 边指向北极星时，短边与棉线的夹角 的大小是变化的 【实际应用】 观测点A在图 1 所示的O上，现在利用这个工具尺在点A处测得 为 31，在点A所在子午线往北的另 一个观测点B，用同样的工具尺测得 为 67PQ是O的直径，PQON （1）求POB的度数； （ 2 ） 已 知OP 6400km， 求 这 两 个 观 测 点 之 间 的 距 离 即 O上的 长 （ 取 3.1 ） 【答案】见解析。 【分析】 （1） 设点B的切
5、线CB交ON延长线于点E，HDBC于D，CHBH交BC于点C， 则DHC67， 证出HBDDHC67，由平行线的性质得出BEOHBD67，由直角三角形的性质得出BOE 23，得出POB902367； （2）同（1）可证POA31，求出AOBPOBPOA36，由弧长公式即可得出结果 【解答】 （1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HDBC于D，CHBH交BC于点C，如图所示： 则DHC67， HBD+BHDBHD+DHC90， HBDDHC67， ONBH， BEOHBD67， BOE906723， PQON， POE90， POB902367； （2）同（1）可证POA31， AOBPOB
6、POA673136， 3968（km） 【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式 是解题的关键 3 3 （ （20202020武威）武威）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验下表是一个函数的自变量x与函数值 y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： x 0 1 2 3 4 5 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）当x 时，y1.5； （2）根据表中数值描点（x，y） ，并画出函数图象； （3）观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： 【答案】见解析。 【分析】 （1）观察函数的自变量x与函数值y的部分对应值表可
7、得当x3 时，y1.5； （2）根据表中数值描点（x，y） ，即可画出函数图象； （3）观察画出的图象，即可写出这个函数的一条性质 【解析】 （1）当x3 时，y1.5； 故答案为：3； （2）函数图象如图所示： （3）观察画出的图象，这个函数的一条性质： 函数y随x的增大而减小 故答案为：函数y随x的增大而减小 4在等边ABC 中， （1）如图 1，P，Q 是 BC 边上的两点，AP=AQ，BAP=20，求AQB 的度数； （2）点 P，Q 是 BC 边上的两个动点（不与点 B，C 重合） ，点 P 在点 Q 的左侧，且 AP=AQ，点 Q 关于直 线 AC 的对称点为 M，连接 AM，PM
8、 依题意将图 2 补全； 小茹通过观察、实验提出猜想：在点 P，Q 运动的过程中，始终有 PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进 行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：要证明 PA=PM，只需证APM 是等边三角形； 想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BN=BP，要证明 PA=PM，只需证ANPPCM； 想法 3：将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60，得到线段 BK，要证 PA=PM，只需证 PA=CK，PM=CK 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA=PM（一种方法即可） 【答案】见解析。 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到APQ=AQP，由邻补角的定义得
9、到APB=AQC，根据三角形 外角的性质即可得到结论； （2）如图 2 根据等腰三角形的性质得到APQ=AQP，由邻补角的定义得到APB=AQC，由点 Q 关于 直线 AC 的对称点为 M，得到 AQ=AM，OAC=MAC，等量代换得到MAC=BAP，推出APM 是等 边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论 解： （1）AP=AQ， APQ=AQP， APB=AQC， ABC 是等边三角形， B=C=60， BAP=CAQ=20， AQB=APQ=BAP+B=80； （2）如图 2，AP=AQ， APQ=AQP， APB=AQC， ABC 是等边三角形， B=C=60， BAP=CAQ，（
10、将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60， 得到线段 BK， 要证 PA=PM， 只需证 PA=CK， PM=CK 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA=PM） 点 Q 关于直线 AC 的对称点为 M， AQ=AM，QAC=MAC， MAC=BAP， BAP+PAC=MAC+CAP=60， PAM=60， AP=AQ， AP=AM， APM 是等边三角形， AP=PM证明ABPACMBCK 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质， 熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键 5 5. .（20192019 自贡自贡） （1）如图 1，E是
11、正方形ABCD边AB上一点，连接BD、DE，将BDE绕点D逆时针旋转 90，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. 线段DB和DG的数量关系是； 写出线段BE，BF和DB之间的数量关系. （2）当四边形 ABCD 是菱形，ADC=60，点E是菱形ABCD边AB所在直线上一点，连接BD、DE，将 BDE绕点D逆时针旋转 120，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. 如图 2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明； 如图 3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2，直接写出线段GM的长度. 【答案】见解析 【
12、解析】 （1）答案：DB=DG. BDE绕点D逆时针旋转 90得到GDF, EDF=GDB=90，BDE=GDF， 四边形ABCD是正方形， DBC=DBA=1 2ABC=45. BDG=90， DBG=G=45. DB=DG. 线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=2BD，理由如下： EDB=FDG，DB=DG,DBE=G， EDBFDG. BE=GF. 故答案为DB=DG. 在RtBDG中，DBG=45， cosDBG=BD BG = 2 2 , 即BG=2BD， 又BG=BF+FG=BF+BE, BF+BE=2BD. （2）线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=3BD，理由如下： B
13、DE绕点D逆时针旋转 120得到GDF, EDF=GDB=120，BDE=GDF， 四边形ABCD是菱形， ABC=ADC=60，BD平分ABC, EBD=DBG=1 2ABC=30， G=180-DBG-BDG=30， G=DBG， BD=GD， EDB=FDG，DB=DG,DBE=G， DBEDGF, BE=GF, BG=BF+GF=BF+BE. 过D作DHBG于H， 又DB=DG, BH =1 2BG， 在RtBDH中，DBG=30， cosHBD=BH BD = 3 2 , BH= 3 2 BD, 又BH =1 2BG， BG=3BD. 又BG=BF+BE， BF+BE= 3 BD.
14、（2）GM=19 3 ，理由如下： 由旋转可知，BDF=120 0， 又ABC=60 0，四边形 ABCD为菱形， CDB=CBD=1 2ABC=30 0， FDC=BDF-BDC=90 0， 在RtCDF中，DCF=180 0-BCD=600， FC= DCF = 2 1 2 =4. ABCD， CDMBEM， = = 2 1， CM=2 3= 4 3. 由（2）可知，BDEFDG， GF=BE=1. GM=FG+FC+CM=1+4+4 3= 19 3 . 6 6. . （20202020 年浙江舟山）年浙江舟山） 在一次数学研究性学习中， 小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF
15、 拼在一起， 使点 A 与点 F 重合， 点 C 与点 D 重合 （如图 1） ， 其中ACBDFE90， BCEF3cm， ACDF4cm， 并进行如下研究活动 活动一：将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移，连结 AE，BD（如图 2），当点 F 与点 C 重合时停止平移 【思考】图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由 【发现】当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形（如图 3）求 AF 的长 活动二：在图 3 中，取 AD 的中点 O，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度（090），连结 OB， OE（如图 4） 【探究】当
16、EF 平分AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由 【答案】见解析 【分析】【思考】 由全等三角形的性质得出 ABDE，BACEDF，则 ABDE，可得出结论； 【发现】 连接 BE 交 AD 于点 O，设 AFx（cm），则 OAOE（x+4），得出 OFOAAF2x，由勾股 定理可得，解方程求出 x，则 AF 可求出； 【探究】 如图 2，延长 OF 交 AE 于点 H，证明EFOEFH（ASA），得出 EOEH，FOFH，则EHOEOH OBDODB，可证得EOHOBD（AAS），得出 BDOH，则结论得证 解：【思考】四边形 ABDE 是平行四边形 证明：如图，ABCD
17、EF， ABDE，BACEDF， ABDE， 四边形 ABDE 是平行四边形； 【发现】如图 1，连接 BE 交 AD 于点 O， 四边形 ABDE 为矩形， OAODOBOE， 设 AFx（cm），则 OAOE（x+4）， OFOAAF2x， 在 RtOFE 中，OF 2+EF2OE2， ， 解得：x， AFcm 【探究】BD2OF， 证明：如图 2，延长 OF 交 AE 于点 H， 四边形 ABDE 为矩形， OABOBAODEOED，OAOBOEOD， OBDODB，OAEOEA， ABD+BDE+DEA+EAB360， ABD+BAE180， AEBD， OHEODB， EF 平分OE
18、H， OEFHEF， EFOEFH90，EFEF， EFOEFH（ASA），来源:Zxxk.Com EOEH，FOFH， EHOEOHOBDODB， EOHOBD（AAS）， BDOH2OF 7 （20202020黑龙江龙东）黑龙江龙东）如图，在 RtABC中，ACB90，ACBC，点D、E分别在AC、BC边上， DCEC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN （1）BE与MN的数量关系是 （2） 将DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置， 判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想， 并利用图或图进行证明 【答案】见解析。 【分析】 （1）如图
19、中，只要证明PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题 （2）如图中，结论仍然成立连接AD，延长BE交AD于点H由ECBDCA，推出BEAD，DAC EBC，即可推出BHAD，由M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，推出PMBE，PM= 1 2BE，PN AD，PN= 1 2AD，推出 PMPN，MPN90，可得BE2PM2 2 2 MN= 2MN 解： （1）如图中， AMME，APPB， PMBE，PM= 1 2BE， BNDN，APPB， PNAD，PN= 1 2AD， ACBC，CDCE， ADBE， PMPN， ACB90， ACBC， PMBC，PNAC， PM
20、PN， PMN的等腰直角三角形， MN= 2PM， MN= 21 2BE， BE= 2MN， 故答案为BE= 2MN （2）如图中，结论仍然成立 理由：连接AD，延长BE交AD于点H ABC和CDE是等腰直角三角形， CDCE，CACB，ACBDCE90， ACBACEDCEACE， ACDECB， ECBDCA（AAS） ， BEAD，DACEBC， AHB180（HAB+ABH） 180（45+HAC+ABH） 180（45+HBC+ABH） 18090 90， BHAD， M、N、P分别为AE、BD、AB的中点， PMBE，PM= 1 2BE，PNAD，PN= 1 2AD， PMPN，M
21、PN90， BE2PM2 2 2 MN= 2MN 8 （20202020 浙江宁波浙江宁波）问题小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式x 3+3x2x30 的解集 他经历了如下思考过程： 回顾 （1）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1ax+b与双曲线y2 k x 交于A （1，3）和B（3，1） ， 则不等式ax+b k x 的解集是 探究将不等式x 3+3x2x30 按条件进行转化： 当x0 时，原不等式不成立； 当x0 时，不等式两边同除以x并移项转化为x 2+3x13 x ； 当x0 时，不等式两边同除以x并移项转化为x 2+3x13 x （2）构造函数，画出图象： 设y3x
22、2+3x1，y 4 3 x ，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象； 双曲线y4 3 x 如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线yx 2+3x1 （不用列表） （3）确定两个函数图象公共点的横坐标： 观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3y4的所有x的值为 解决 （4）借助图象，写出解集： 结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式x 3+3x2x30 的解集为 【答案】见解析 【解析】 （1）如图 1 中，观察图形可知：不等式ax+b k x 的解集为x1 或3x0 故答案为：x1 或3x0 （2）函数y3x 2+3x1 的图形如图所示： （3）观察
23、图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为3，1，1 经过检验可知：点（3，1） ，点（1，3） ，点（1，3）是两个函数的交点坐标， 满足y3y4的所有x的值为3 或1 或 1 故答案为3 或1 或 1 （4）观察图象，当x0 时，不等式两边同除以x并移项转化为x 2+3x13 x 的解集为x1， 当x0 时，不等式两边同除以x并移项转化为x 2+3x13 x 的解集为x3 或1x0， 不等式x 3+3x2x30 的解集为 x1 或x3 或1x0 故答案为x1 或x3 或1x0 【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质等知 识，解题的关键是学会利
24、用数形结合的思想思考问题，把不等式问题转化为函数图象问题解决，属于中考 压轴题 9 （20202020泰安）泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图 形，ACB与ECD恰好为对顶角，ABCCDE90，连接BD，ABBD，点F是线段CE上一点 探究发现： （1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2） ） ，小明经过探究，得到结论：BDDF你认为此结 论是否成立？ （填“是”或“否” ） 拓展延伸： （2）将（1）中的条件与结论互换，即：BDDF，则点F为线段CE的中点请判断此结论是否成立若 成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 问题解决
25、： （3）若AB6，CE9，求AD的长 【答案】见解析。 【分析】 （1）证明FDC+BDC90可得结论 （2）结论成立：利用等角的余角相等证明EEDF，推出EFFD，再证明FDFC即可解决问题 （3）如图 3 中，取EC的中点G，连接GD则GDBD利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问 题即可 【解析】 （1）如图（2）中， EDC90，EFCF， DFCF， FCDFDC， ABC90， A+ACB90， BABD， AADB， ACBFCDFDC， ADB+FDC90， FDB90， BDDF 故答案为是 （2）结论成立： 理由：BDDF，EDAD， BDC+CDF90，EDF+CD
26、F90， BDCEDF， ABBD， ABDC， AEDF， A+ACB90，E+ECD90，ACBECD， AE， EEDF， EFFD， E+ECD90，EDF+FDC90， FCDFDC， FDFC， EFFC， 点F是EC的中点 （3）如图 3 中，取EC的中点G，连接GD则GDBD DG= 1 2EC= 9 2， BDAB6， 在 RtBDG中，BG= 2+ 2=(9 2) 2+ 62 = 15 2 ， CB= 15 2 9 2 =3， 在 RtABC中，AC= 2+ 2= 62+ 32=35， ACBECD，ABCEDC， ABCEDC， = ， 35 9 = 3 ， CD= 95
27、 5 ， ADAC+CD35 + 95 5 = 245 5 10 （20202020重庆）重庆）如图，在 RtABC中，BAC90，ABAC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD 绕点A逆时针旋转 90，得到AE，连接CE，DE点F是DE的中点，连接CF （1）求证：CF= 2 2 AD； （2）如图 2 所示，在点D运动的过程中，当BD2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小当PA+PB+PC的值取得最 小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长 【
28、答案】见解析。 【分析】 （1）由“SAS”可证BADCAE，可得ABDACE45，可求BCE90，由直角三角形的 性质和等腰直角三角形的性质可得结论； （2）过点G作GHBC于H，设CDa，可得BD2a，BC3a，ABAC= 32 2 a，由全等三角形的性质可 得BDCE2a， 由锐角三角函数可求GH2CH， 可求CHa， 可求BG的长， 即可求AG= 2 2 a= 2 2 CD= 2 6 BC； （3） 将BPC绕点B顺时针旋转 60得到BNM， 连接PN， 可得当点A， 点P， 点N， 点M共线时，PA+PB+PC 值最小，由旋转的性质可得BPN是等边三角形，CBM是等边三角形，可得BP
29、NBNP60，BM CM，由直角三角形的性质可求解 证明： （1）ABAC，BAC90， ABCACB45， 把AD绕点A逆时针旋转 90，得到AE， ADAE，DAE90BAC， BADCAE，DE= 2AD， 又ABAC， BADCAE（SAS） ， ABDACE45， BCEBCA+ACE90， 点F是DE的中点， CF= 1 2DE= 2 2 AD； （2）AG= 2 6 BC， 理由如下：如图 2，过点G作GHBC于H， BD2CD， 设CDa，则BD2a，BC3a， BAC90，ABAC， ABAC= 2 = 32 2 a， 由（1）可知：BADCAE， BDCE2a， CFDF，
30、 FDCFCD， tanFDCtanFCD， = =2， GH2CH， GHBC，ABC45， ABCBGH45， BHGH， BG= 2BH BH+CHBC3a， CHa，BHGH2a， BG22a， AGBGAB= 2 2 a= 2 2 CD= 2 6 BC； （3）如图 31，将BPC绕点B顺时针旋转 60得到BNM，连接PN， BPBN，PCNM，PBN60， BPN是等边三角形， BPPN， PA+PB+PCAP+PN+MN， 当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小， 此时，如图 32，连接MC， 将BPC绕点B顺时针旋转 60得到BNM， BPBN，BCBM，PBN
31、60CBM， BPN是等边三角形，CBM是等边三角形， BPNBNP60，BMCM， BMCM，ABAC， AM垂直平分BC， ADBC，BPD60， BD= 3PD， ABAC，BAC90，ADBC， ADBD， 3PDPD+AP， PD= 3+1 2 m， BD= 3PD= 3+3 2 m， 由（1）可知：CEBD= 3+3 2 m 11. （20202020 湖北襄阳）湖北襄阳） 在ABC中，90BAC，ABAC 点 D 在边BC上，DEDA且DEDA， AE交边BC于点 F，连接CE （1）特例发现：如图 1，当ADAF时，求证：BDCF；推断：ACE_ ； （2）探究证明：如图 2，
32、当AD AF 时，请探究ACE的度数是否为定值，并说明理由； （3）拓展运用：如图 3，在（2）的条件下，当 1 3 EF AF 时，过点 D 作AE的垂线，交AE于点 P，交AC 于点 K，若 16 3 CK ，求DF的长 【答案】 （1）证明见解析，90ACE ； （2）90ACE为定值，证明见解析； （3）5 2. 【解析】 （1）利用已知条件证明,ABDACF即可得到结论，先证明,DFEAFC利用相似三 角形的性质再证明,AFDCFE结合相似三角形的性质可得答案； （2）由（1）中的解题思路可得结论； （3）设,EFa 则3 ,AFa 利用等腰直角三角形的性质分别表示：,DP AP E
33、P PF DF 由 DFEAFC 表示,FC AC 再证明,APKACE利用相似三角形的性质建立方程求解a，即可得到 答案 【详解】证明： （1）,ADAF ,ADFAFD ,ADBAFC ,ABAC ,BC ,ABDACF .BDCF 推断：90 .ACE 理由如下： ,ADDE DADE 45 ,AEDDAE ,90 ,ABACBAC 45 ,ACB ,ACFDEF ,DFEAFC ,DFEAFC , DFFE AFFC ,AFDCFE ,AFDCFE 45 ,DAFECF 90 .ACEACFECF （2）90ACE为定值， 理由如下： 由（1）得：45 ,ACFDEF ,DFEAFC
34、,DFEAFC , DFFE AFFC ,AFDCFE ,AFDCFE 45 ,DAFECF 90 .ACEACFECF （3） 1 3 EF AF ， 设,EFa 则3 ,AFa 4 ,AEAFEFa ,DPAE DADE DADE 2 ,DPAPEPa PFa 22 5 ,2 2 ,DFDPFPa DEDAa ,DFEAFC , DFFEDE AFFCAC 52 2 , 3 aaa aFCAC 3 56 10 , 55 a FCa AC 90 ,APKACEPAKCAE ,APKACE , APAK ACAE AP AEAKAC 16 , 3 CK 6 1016 6 10 24 535 a
35、aaa ， 解得：10,a 55105 2.DFa 【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质， 更重要的是考查学生的学习探究的能力，掌握以上知识是解题的关键 12. （20202020 湖北武汉）湖北武汉）问题背景：如图（1） ，已知AABCDE ，求证：ABDACE； 尝试应用：如图（2） ，在ABC和ADE中， 90BACDAE ， 30ABCADE ，AC与 DE相交于点F点D在BC边上，3 AD BD ，求 DF CF 的值； 拓展创新： 如图 （3） ，D是ABC内一点， 30BADCBD ， 90BDC ，4AB ， 2 3AC ，
36、 直接写出AD的长 【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新： 5AD 【解析】问题背景：通过AABCDE 得到 ABAC ADAE ， ABAC ADAE ，再找到相等的角，从而可证 ABDACE ； 尝试应用：连接 CE，通过BACDAE可以证得ABDACE，得到 BDAD CEAE ，然后去证 AFEDFC ，ADFECF，通过对应边成比例即可得到答案； 拓展创新：在 AD 的右侧作DAE=BAC，AE 交 BD 延长线于 E，连接 CE，通过BACDAE， BADCAE，然后利用对应边成比例即可得到答案 【详解】问题背景：AABCDE ， BAC=DAE， ABAC ADAE
37、， BAD+DAC=CAE+DAC， BAD=CAE， ABDACE； 尝试应用：连接 CE， 90BACDAE ， 30ABCADE ， BACDAE， ABAD ACAE ， BAD+DAC=CAE+DAC， BAD=CAE， ABDACE， BDAD CEAE ， 由于 30ADE ， 90DAE ， 3 30 3 AE tan AD ， 即3 BDAD CEAE ， 3 AD BD ， 3 AD CE ， 90BACDAE ， 30ABCADE ， 60CE ， 又AFEDFC， AFEDFC， AFEF DFCF ，即 AFDF EFCF ， 又AFDEFC ADFECF， 3 DF
38、AD CFCE ； 拓展创新： 5AD 如图，在 AD 的右侧作DAE=BAC，AE 交 BD 延长线于 E，连接 CE， ADE=BAD+ABD，ABC=ABD+CBD， 30BADCBD ， ADE=ABC， 又DAE=BAC， BACDAE， ABACBC ADAEDE ， 又DAE=BAC， BAD=CAE， BADCAE， 42 3 = 32 3 BDABAD CEACAE ， 设 CD=x，在直角三角形 BCD 中，由于CBD=30， 3BDx ，2BCx， 3 2 CEx， 2 2 35 = 22 DExxx ， ABBC ADDE ， 42 5 2 x AD x ， 5AD 【
39、点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 13. （20202020 北京）北京）小云在学习过程中遇到一个函数 2 1 |(1)(2) 6 yxxxx 下面是小云对其探究的 过程，请补充完整： （1） 当20 x 时， 对于函数 1 |yx， 即 1 yx ， 当20 x 时， 1 y随x的增大而 ， 且 1 0y ； 对于函数 2 2 1yxx，当20 x 时， 2 y随x的增大而 ，且 2 0y ；结合上述分析，进一步探 究发现，对于函数y，当20 x 时，y随x的增大而 （2）当0 x时，对于函数y，当0 x时，y与x的几组对应值如下表： x 0
40、1 2 1 3 2 2 5 2 3 y 0 1 16 1 6 7 16 1 95 48 7 2 综合上表，进一步探究发现，当0 x时，y随x的增大而增大在平面直角坐标系xOy中，画出当0 x 时的函数y的图象 （3）过点(0，m)（0m）作平行于x轴的直线l，结合（1） （2）的分析，解决问题：若直线l与函数 2 1 |(1)(2) 6 yxxxx 的图象有两个交点，则m的最大值是 【答案】 （1）减小，减小，减小； （2）见解析； （3） 7 3 【解析】 （1）根据题意，在函数 1 yx 中， 10k , 函数 1 yx 在20 x 中， 1 y随x的增大而减小； 22 2 13 1()
41、24 yxxx ， 对称轴为：1x ， 2 2 1yxx在20 x 中， 2 y随x的增大而减小； 综合上述， 2 1 |(1) 6 yxxx在20 x 中，y随x的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小； （2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图： （3）由（2）可知，当0 x时，y随x的增大而增大，无最大值； 由（1）可知 2 1 |(1) 6 yxxx在20 x 中，y随x的增大而减小； 20 x 中，有 当2x时， 7 3 y ， m 的最大值为 7 3 ； 故答案为： 7 3 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题 意，正确的作
42、出函数图像，并求函数的最大值 14 【操作发现】 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上 （1）请按要求画图：将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，点 B 的对应点为 B，点 C 的对应点为 C，连 接 BB； （2）在（1）所画图形中，ABB= 【问题解决】 如图，在等边三角形 ABC 中，AC=7，点 P 在ABC 内，且APC=90，BPC=120，求APC 的面积 小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 想法一：将APC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60，得到APB，连接 PP，寻找 PA，PB，PC 三条线段之间 的
43、数量关系； 想法二：将APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60，得到APC，连接 PP，寻找 PA，PB，PC 三条线段之间 的数量关系 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程 （一种方法即可） 【灵活运用】 如图，在四边形 ABCD 中，AEBC，垂足为 E，BAE=ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k 为常数） ， 求 BD 的长（用含 k 的式子表示） 【答案】见解析 【分析】 【操作发现】 （1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可； （2）只要证明ABB是等腰直角三角形即可； 【问题解决】如图，将APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60，得到APC，只要证明PPC=90
44、，利用 勾股定理即可解决问题； 【灵活运用】如图中，由 AEBC，BE=EC，推出 AB=AC，将ABD 绕点 A 逆时针旋转得到ACG，连接 DG则 BD=CG，只要证明GDC=90，可得 CG=，由此即可解决问题； 解： 【操作发现】 （1）如图所示，ABC即为所求； （2）连接 BB，将ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90， AB=AB，BAB=90， ABB=45， 故答案为：45； 【问题解决】如图， 将APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60，得到APC， APP是等边三角形，APC=APB=36090120=150， PP=AP，APP=APP=60， PPC=90，PPC=30， PP=PC，即 AP=PC， APC=90， AP 2+PC2=AC2，即（ PC） 2+PC2=72， PC=2， AP=， SAPC=APPC=7； 【灵活运用】如图中，AEBC，BE=EC， AB=AC，将ABD 绕点 A 逆时针旋转得到ACG，连接 DG则 BD=CG， BAD=CAG， BAC=DAG， AB=AC，AD=AG， ABC=ACB=ADG=AGD， ABCADG， AD=kAB， DG=kBC=4k， BAE+ABC=90，BAE=ADC， ADG+ADC=90， GDC=90， CG= BD=CG=
