1、 1 专题专题 26 与弧长、扇形面积有关的问题与弧长、扇形面积有关的问题 1.扇形弧长面积公式 （1）弧长的计算公式 （2）扇形面积计算公式 2.弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长弦长弧长 （3）弓形的面积 当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示， 3圆柱侧面积体积公式 （1）圆柱的侧面积公式 S侧=2rh （2）圆柱的表面积公式：S表=S底2+S侧=2r 2+2r h 专题知识回顾专题知识回顾 180 2 360 rn r n l 2
2、 360 r n slrs 2 1 或 2 4.圆锥侧面积体积公式 （1）圆锥侧面积计算公式 从右图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，圆锥侧面积计 算公式:S圆锥侧=S扇形= = rl （2）圆锥全面积计算公式:S圆锥全=S圆锥侧S圆锥底面= r l r 2=r（l r） 【例题【例题 1 1】 （】 （20192019湖北武汉）湖北武汉）如图，AB是O的直径，M、N是（异于 A.B）上两点，C是上一动点， ACB的角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则 C.E两点的 运动路径长的比是（ ） A B C D 【答案】A
3、 【解析】如图，连接EB设OAr易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动 轨迹是，由题意MON2GDF，设GDF，则MON2，利用弧长公式计算即可解决问题 如图，连接EB设OAr 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 AB是直径， ACB90， E是ACB的内心， AEB135， ACDBCD， ， ADDBr， ADB90， 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， MON2GDF，设GDF，则MON2 【例题【例题 2 2】(2019(2019 山西）山西）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=32，BC=2，以AB的中点为圆心，
4、OA的 长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 35 B. 24 35 C.32 D. 2 34 【答案】A 【解析】作DEAB于点E，连接OD，在RtABC中： tanCAB= 23 32 3 BC AB ， CAB=30，BOD=2CAB=60. 在RtODE中：OE= 2 1 OD= 2 3 ，DE=3OE= 2 3 . 4 S阴影=SABC-SAOD-S扇形BOD= 2 1160 22360 AB BCOD DEOB = 2 113605 3 2 323( 3) 22236042 ，故选A 【例题【例题 3 3】 （】 （20192019贵州安顺）贵州安顺
5、）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆 的半径r2，扇形的圆心角120，则该圆锥母线l的长为 【答案】6 【解析】根据题意得 22， 解德l6， 即该圆锥母线l的长为 6 一一. .选择题选择题 1.1.（20192019四川省广安市）四川省广安市）如图，在RtABC中，ACB90，A30，BC4，以BC为直径的半圆O 交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ） 专题典型训练题 专题典型训练题 5 A B C D 【答案】A 【解析】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，中考常考题型 根据三角形的内角和得到B60，根据圆周角定理
6、得到COD120，CDB90，根据扇形和三角 形的面积公式即可得到结论 在RtABC中，ACB90，A30， B60， COD120， BC4，BC为半圆O的直径， CDB90， OCOD2， CDBC2， 图中阴影部分的面积S扇形CODSCOD21 。 2 2 （ （20192019山东青岛）山东青岛）如图，线段AB经过O的圆心，AC，BD分别与O相切于点C，D若ACBD4， A45，则的长度为（ ） A B2 C2 D4 【答案】B 【解析】连接OC、OD，根据切线性质和A45，易证得AOC和BOD是等腰直角三角形，进而求得OC OD4，COD90，根据弧长公式求得即可 6 连接OC、OD
7、， AC，BD分别与O相切于点C，D OCAC，ODBD， A45， AOC45， ACOC4， ACBD4，OCOD4， ODBD， BOD45， COD180454590， 的长度为：2。 3.3.（20192019四川省凉山州）四川省凉山州）如图，在AOC中，OA3cm，OC1cm，将AOC绕点O顺时针旋转 90后得到 BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm 2 A B2 C D 【答案】B 【解析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD的面积，利用扇形的面 积公式即可求解 AOCBOD， 阴影部分的面积扇形OAB的面积扇形OCD的面积2，故选
8、：B 7 4 4 （ （20192019浙江绍兴）浙江绍兴）如图，ABC内接于O，B65，C70若BC2，则的长为（ ） A B C2 D2 【答案】A 【解析】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本 知识，属于中考常考题型 连接OB，OC首先证明OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题 连接OB，OC A180ABCACB180657045， BOC90， BC2， OBOC2， 的长为 5 5 （ （20192019山东泰安）山东泰安）如图所示，将O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若O的半径为 3，则的长 为（ ） A B C2 D3 【答案
9、】C 【解析】连接OA、OB，作OCAB于C，根据翻转变换的性质得到OCOA，根据等腰三角形的性质、三角 形内角和定理求出AOB，根据弧长公式计算即可 连接OA、OB，作OCAB于C， 8 由题意得，OCOA， OAC30， OAOB， OBAOAC30， AOB120， 的长2 6 6 （ （20192019浙江宁波）浙江宁波） 如图所示， 矩形纸片ABCD中，AD6cm， 把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ） A3.5cm B4cm C4.5cm D5cm 【答案】B 【解析】本题考查了圆锥
10、的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解 决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 设ABxcm，则DE（6x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可 根据题意，得（6x） ， 解得x4 7.(20197.(2019云南云南) )如图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB5，BC13，CA 12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( ) A4 B6.25 C7.5 D9 9 【答案】A 【解析】 此题主要考查了已知直角三角形三边的长， 如何求其内切圆的半径 由切线长定理可知RtAB
11、C(a、 b为直角边，c为斜边)的内切圆半径r=)( 2 1 cba，也可根据面积公式求直角三角形内切圆的半径 AB=5，BC=13，CA=12，AB 2+AC2=BC2，ABC 为直角三角形，且A=90， O为ABC内切圆，AFO=AEO=90，且AE=AF，四边形AEOF为正方形，设O的半径为r，则 OE=OF=AE=AF=r，BD=BF=ABr，CD=CE=ACr， BC=BD+CD= ABr+ ACr，r=)( 2 1 BCACAB=2， S四边形AEOF=r=4，故选 A 8.8.（20192019 山东枣庄）山东枣庄）如图，在边长为 4 的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径
12、画弧，交对角线BD于 点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留） （ ） A8 B162 C82 D8 【答案】C 【解析】 本题考查扇形的面积的计算， 正方形的性质等知识， 解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积 根 据S阴SABDS扇形BAE计算即可 S阴SABDS扇形BAE4482 9.9.（20192019 四川巴中）四川巴中）如图，圆锥的底面半径r6，高h8，则圆锥的侧面积是（ ） 10 A15 B30 C45 D60 【答案】D 【解析】圆锥的侧面积：S侧2rlrl，求出圆锥的母线l即可解决问题 圆锥的母线l10， 圆锥的侧面积10660。 二二. .填空题填空题 10.10.（20
13、192019湖北省鄂州市）湖北省鄂州市）一个圆锥的底面半径r5，高h10，则这个圆锥的侧面积是 【答案】 【解析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值 代入即可求解 圆锥的底面半径r5，高h10， 圆锥的母线长为5， 圆锥的侧面积为55 。 11.11.（20192019湖北省荆门市）湖北省荆门市）如图，等边三角形ABC的边长为 2，以A为圆心，1 为半径作圆分别交AB，AC 边于D，E， 再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F， 连接E，F， 那么图中阴影部分的面积为 【答案】+ 【解答】过A作AMBC于M，ENBC于N， 等边三角形ABC的边长
14、为 2，BACBACB60， AMBC2， ADAE1， ADBD，AECE， ENAM， 图中阴影部分的面积SABCS扇形ADESCEF（SBCDS扇形DCF） 11 2（） + 12.12.（20192019湖北湖北十堰）十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB6，将半圆绕点A顺时针旋转 60，点B旋转到点 C的位置，则图中阴影部分的面积为 【答案】6 【解析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积由图可得， 图中阴影部分的面积为：6 13.13.（20192019湖北天门）湖北天门）75的圆心角所对的弧长是 2.5cm，则此弧所在圆的半径是 6 cm 【
15、答案】6 【解析】由弧长公式：l计算 由题意得：圆的半径R1802.5（75）6cm 14.14.（20192019湖北省咸宁市）湖北省咸宁市）如图，半圆的直径AB6，点C在半圆上，BAC30，则阴影部分的面积为 （结果保留） 【答案】3 【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的 12 面积减去AOC和扇形BOC的面积 连接OC.BC，作CDAB于点D， 直径AB6，点C在半圆上，BAC30， ACB90，COB60， AC3， CDA90， CD， 阴影部分的面积是：3， 15.15.（20192019广东广州）广东广州）如图放置的一个圆
16、锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，则该圆锥侧 面展开扇形的弧长为 （结果保留） 【答案】2 【解析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长底面圆的周长即可解决问题 某圆锥的主视图是一个腰长为 2 的等腰直角三角形， 斜边长为 2， 则底面圆的周长为 2， 该圆锥侧面展开扇形的弧长为 2。 16.16.（20192019江苏泰州）江苏泰州）如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称 为莱洛三角形若正三角形边长为 6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm 13 【答案】6 【解析】本题考查了弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 也考查了等边 三角
17、形的性质直接利用弧长公式计算即可 该莱洛三角形的周长36（cm） 17.17.（20192019山东省聊城市）山东省聊城市）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm） ，计算这个圆锥侧 面展开图圆心角的度数为 【答案】120 【解析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到 圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角 圆锥的底面半径为 1， 圆锥的底面周长为 2， 圆锥的高是 2， 圆锥的母线长为 3， 设扇形的圆心角为n， 2， 解得n120 即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为 120 18. 18. （20192
18、019黑龙江省齐齐哈尔市）黑龙江省齐齐哈尔市）将圆心角为 216，半径为 5cm的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成 14 的这个圆锥的高为 cm 【答案】4 【解析】设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得 2r，解得r3， 所以圆锥的高4（cm） 三、解答题三、解答题 19.19.（20192019湖南邵阳）湖南邵阳）如图，在等腰ABC中，BAC120，AD是BAC的角平分线，且AD6，以点A 为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F （1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，A
19、E与AF正好重合，圆锥侧面无 重叠，求这个圆锥的高h 【答案】见解析。 【解析】 （1）利用等腰三角形的性质得到ADBC，BDCD，则可计算出BD6，然后利用扇形的面积公 式，利用由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积SABCS扇形EAF进行计算； 在等腰ABC中，BAC120， B30， AD是BAC的角平分线， ADBC，BDCD， BDAD6， BC2BD12， 由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积 SSABCS扇形EAF6123612； （2） 设圆锥的底面圆的半径为r， 利用圆锥的侧面展开图为一扇形， 这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
20、扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2r，解得r2，然后利用勾股定理计算这个 15 圆锥的高h 根据题意得 2r，解得r2， 这个圆锥的高h4 20.20.（20192019山东省德州市山东省德州市 ）如图，BPD120，点 A.C分别在射线PB.PD上，PAC30，AC2 （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 A.C两点分别与射线PB和PD相切要求：写出作法，并保留作 图痕迹； （2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； （3）求所得的劣弧与线段PA.PC围成的封闭图形的面积 【答案】见解析。 【解答】 （1）过 A.C分别作PB.PD的垂线，它们相交于O，然后
21、以OA为半径作O即可。 如图所示。 （2）写出已知、求证，然后进行证明；连接OP，先证明RtPAORtPCO，然后根据切线的判定方法判 断PB.PC为O的切线。 已知：如图，BPD120，点 A.C分别在射线PB.PD上，PAC30，AC2，过 A.C分别作PB.PD 的垂线，它们相交于O，以OA为半径作O，OAPB， 求证：PB.PC为O的切线； 证明：BPD120，PAC30， PCA30， PAPC， 连接OP， OAPA，PCOC， PAOPCO90， OPOP， RtPAORtPCO（HL） OAOC， 16 PB.PC为O的切线； （3）先证明OAC为等边三角形得到OAAC2，AO
22、C60，再计算出AP2，然后根据扇形的面积 公式，利用劣弧AC与线段PA.PC围成的封闭图形的面积进行计算 OAPOCP903060， OAC为等边三角形， OAAC2，AOC60， OP平分APC， APO60， AP22，劣弧AC与线段PA.PC围成的封闭图形的面积 SS四边形APCOS扇形AOC22242 21.21.（20192019黑龙江省齐齐哈尔市）黑龙江省齐齐哈尔市）如图，以ABC的边BC为直径作O，点A在O上，点D在线段BC的 延长线上，ADAB，D30 （1）求证：直线AD是O的切线； （2）若直径BC4，求图中阴影部分的面积 【答案】见解析。 17 【解析】 （1）证明：连接OA，则COA2B， ADAB， BD30， COA60， OAD180603090， OAAD， 即CD是O的切线； （2）解：BC4， OAOC2， 在RtOAD中，OA2，D30， OD2OA4，AD2， 所以SOADOAAD222， 因为COA60， 所以S扇形COA， 所以S阴影SOADS扇形COA2
