1、2020 年安徽省合肥市十校联盟中考数学天机试卷年安徽省合肥市十校联盟中考数学天机试卷 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分分) 1的倒数是（ ） A B C3 D3 2下列运算正确的是（ ） Aa5a3a2 Ba6a2a3 C （2a）38a3 D2a 2 32020 年 5 月 22 日，第十三届全国人大三次会议在北京胜利召开 2020 年政府工作报告中显示，我 国贫困人口减少 1109 万，贫困发生率降至 0.6%，脱贫攻坚取得决定性成就数据“1109 万”用科学记 数法表示为（ ） A1.109107 B0.110910
2、7 C1.109108 D0.1109108 4如图是一个螺母零件的立体图形，它的左视图是（ ） A B C D 5已知 46，57，则的整数部分可以是（ ） A9 B10 C11 D12 6若反比例函数 y与一次函数 yx1 有两个交点，则 k 的取值范围是（ ） Ak B0k Ck且 k0 Dk 7甲、乙两队参加中国汉字听写大会比赛，两队各 10 人，比赛成绩总分 10 分）统计如表： 甲 8 9 7 10 7 10 9 10 10 9 乙 8 7 10 8 9 10 10 9 10 10 根据表格中的信息，判断下列结论正确的是（ ） A甲队成绩的中位数是 9.5 分 B乙队成绩的众数是
3、10 分 C甲队的成绩比较稳定 D乙队的平均成绩是 9 分 8某市 2019 年的扶贫资金为 a 万元，比 2018 年增长了 x%，计划 2020 年的增幅图调整为上一年的 2 倍， 则这 3 年的扶贫资金总额将达到（ ） Aa（3+3x%）万元 B万元 Ca（3+x%）万元 D万元 9在抛物线 yax2+bx+c（a0）中，当 x 满足2x2 时，则2y2，且该抛物线经过点（2，2） 、 （2，2） ，则 a 的取值范围为（ ） A B C D 10如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，E、F 分别是 BC、AC 上的动点，且 CEAF，连接 AE、BF 交于点 G，则 CG 最小值是（
4、 ） A3 B21 C D2 二、填空题二、填空题(本大共本大共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分) 11的平方根为 12因式分解：12x3y+27xy3 13如图，BPC 内接于O，点 PABC，AP1，BP，PC3，则弧 PC 的长是 14如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个 动点，把EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B处若CDB恰为等腰三角形，则 DB的长为 三、三、(本大题共本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分分) 15计算： 16中国
5、人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题，原文：今 有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每 3 人共乘一 车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 四、四、(本大题共本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分分) 17如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形 ABC（顶点是网格线的 交点） ，并建立平面直角坐标系 （1）将ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90得到A1B1C1（点 A，B，C 的对应点分别为点
6、 A1，B1，C1） ， 画出A1B1C1； （2）在 x 轴上找一点 P，使PAB 的周长最小，请画出PAB （3）在（2）的条件下，求点 P 到线段 AB 的距离 18 （1）观察下面的图案与等式的关系，并填空 1+3+112+22 1+3+5+3+1 + 1+3+5+7+5+3+1 + （2）通过猜想，写出第 n 个图案相对应的等式 五、五、(本大题共本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分分) 19如图，在ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PMDC，且 PMDC，连接 BM，CM， AP，BD （1）求证：ADPBCM； （2
7、）若 PAPC，设ABP 的面积为 S，四边形 BPCM 的面积为 T，求的值 20中国古代人在公元前 2 世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的淮南万毕术中有这样 的记载： “取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣 ”如图 1 所示其工作原理主要利用光的反射原理， 在图 2 中，A、B、C 共线，OBAC 于点 B，入射角COD30，OAE15（入射角等于反射角） ， AC12 米，求 OB 的高度 （参考数据：） 六、六、(本题满分本题满分 12 分分) 21学校对九年级 1、2、3、4 班的体育成绩作了模拟测评，将各个班的满分人数绘制成两幅不完整的统计 图（如图） ，其中 2 班，
8、3 班，4 班满分人数比是 2：1：4，2 班满分人数和 3 班满分人数一共有 6 人 根据图中信息解答以下问题： （1）本次九年级体育模拟测评中 4 个班满分人数一共有多少人； （2）扇形统计图中， “2 班”所在扇形的圆心角是 度，并补全条形统计图； （3）九年级 2 班满分同学中有 3 名男生，其余是女生，跳远动作十分标准，2 班班主任准备从这些同学 中任选 2 名给本班同学示范，请利用画树状图或列表的方法求出选出 2 名同学恰好是一男一女的概率 七、七、(本题满分本题满分 12 分分) 22某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元，在整个销售旺季的 80 天里，销售
9、 单价 P（元/千克）与时间第 t（天）之间的函数关系为：P，日销 售量 y（千克）与时间第 t（天）之间的函数关系如图所示： （1）求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 千克小龙虾，就捐赠 m（m7）元给村里的特困 户在这前 40 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 m 的取值范围 八、八、(本题满分本题满分 14 分分) 23已知：点 P 在ABC 内，且满足APBAPC（如图） ，APB+BAC180 （1）求证：PABPCA； （2）如果APB120
10、，ABC90，求的值； （3）如果BAC45，且ABC 是等腰三角形，试求 tanPBC 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的倒数是（ ） A B C3 D3 【分析】根据倒数的定义求解即可 【解答】解：的倒数是3， 故选：D 2下列运算正确的是（ ） Aa5a3a2 Ba6a2a3 C （2a）38a3 D2a 2 【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则和负指数幂的性质分别计算判断即可 【解答】解：A、a5a3，无法计算，故此选项错误； B、a6a2a4，故此选项错误； C、 （2a）38a3，故此选项正确； D、2a 2
11、 ，故此选项错误； 故选：C 32020 年 5 月 22 日，第十三届全国人大三次会议在北京胜利召开 2020 年政府工作报告中显示，我 国贫困人口减少 1109 万，贫困发生率降至 0.6%，脱贫攻坚取得决定性成就数据“1109 万”用科学记 数法表示为（ ） A1.109107 B0.1109107 C1.109108 D0.1109108 【分析】首先把数写成 11090000，再把数记成 a10n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，n 是正 整数 【解答】解：1109 万110900001.109107， 故选：A 4如图是一个螺母零件的立体图形，它的左视图是（ ） A B C
12、 D 【分析】从左边看螺母零件的立体图形，确定出左视图即可 【解答】解：如图是一个螺母零件的立体图形，它的左视图是， 故选：D 5已知 46，57，则的整数部分可以是（ ） A9 B10 C11 D12 【分析】根据已知，分别估算出 a、b 的范围，然后确定 a+b 的范围，最后估算出的整数部分 【解答】解：46，57， 16a36，25b49， 41a+b85， ， 的整数部分为 6，的整数部分为 9， 的整数部分为：6、7、8、9 故选：A 6若反比例函数 y与一次函数 yx1 有两个交点，则 k 的取值范围是（ ） Ak B0k Ck且 k0 Dk 【分析】联立两个函数表达式得 x2x+
13、k0，则14k0，解得 k，而 k0，即可求解 【解答】解：联立两个函数表达式得：x1， 整理得：x2x+k0， 则14k0，解得 k， 而 k0， 故 k且 k0， 故选：C 7甲、乙两队参加中国汉字听写大会比赛，两队各 10 人，比赛成绩总分 10 分）统计如表： 甲 8 9 7 10 7 10 9 10 10 9 乙 8 7 10 8 9 10 10 9 10 10 根据表格中的信息，判断下列结论正确的是（ ） A甲队成绩的中位数是 9.5 分 B乙队成绩的众数是 10 分 C甲队的成绩比较稳定 D乙队的平均成绩是 9 分 【分析】分别根据中位数的定义、众数的定义、方差及平均数的定义逐一
14、计算即可得出答案 【解答】解：A甲队数据重新排列为 7、7、8、9、9、9、10、10、10、10，所以甲队数据的中位数是 9（分） ，此选项错误； B乙队成绩的众数是 10 分，此选项正确； C8.9，9.1， 2（78.9）2+（88.9）2+3（98.9）2+4（108.9）21.29， （79.1）2+2（89.1）2+2（99.1）2+5（109.1）21.09， ， 乙队的成绩比较稳定，此选项错误； D由 C 选项知乙队的平均成绩是 9.1 分，此选项错误； 故选：B 8某市 2019 年的扶贫资金为 a 万元，比 2018 年增长了 x%，计划 2020 年的增幅图调整为上一年的
15、 2 倍， 则这 3 年的扶贫资金总额将达到（ ） Aa（3+3x%）万元 B万元 Ca（3+x%）万元 D万元 【分析】根据题意先求出 2018 年和 2020 年扶贫资金，再求得这三年的扶贫资金总额即可 【解答】解：2019 年的扶贫资金为 a 万元，比 2018 年增长了 x%， 2018 年的扶贫资金为万元， 计划 2020 年的增幅图调整为上一年的 2 倍， 2020 年的扶贫资金为 a（1+2x%）万元， 这 3 年的扶贫资金总额将达到：+a+a（1+2x%）万元 故选：D 9在抛物线 yax2+bx+c（a0）中，当 x 满足2x2 时，则2y2，且该抛物线经过点（2，2） 、
16、（2，2） ，则 a 的取值范围为（ ） A B C D 【分析】把点（2，2） 、 （2，2）代入 yax2+bx+c（a0）可求得 b1，根据题意得到 2，即可求得a0 【解答】解：抛物线经过点（2，2） 、 （2，2） ， ， 得，4b4， b1， 在抛物线 yax2+bx+c（a0）中，当 x 满足2x2 时，则2y2， 2， 4a1， a0， 故选：C 10如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，E、F 分别是 BC、AC 上的动点，且 CEAF，连接 AE、BF 交于点 G，则 CG 最小值是（ ） A3 B21 C D2 【分析】 作ABG 的外接圆， 圆心为 O， 根据等边三角
17、形的性质得到 ABBC， ABCC， 证明ABE BCF，根据全等三角形的性质，三角形的外角的性质计算，得到AOB120，即可得到AOB 120， 证明AOCBOC， 根据全等三角形的性质得到BOCAOC60， BCOACO30， 即可求得OBC90，解直角三角形求得 OC4，OB2，当当 O、G、C 在同一直线上时，CG 最小，最小值为 OCOG 【解答】解：作ABG 的外接圆，圆心为 O， ABC 为等边三角形， ABBC，ABCC， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（SAS） BAECBF， ABG+CBF60， AGB120， AOB120， 在AOC 和BOC 中， ， A
18、OCBOC（SSS） ， BOCAOC60，BCOACO30， OBC90， OC4， OB2， 当 O、G、C 在同一直线上时，CG 最小， CG 的最小值为：OCOG422， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11的平方根为 2 【分析】 根据立方根的定义可知 64 的立方根是 4， 而 4 的平方根是2， 由此就求出了这个数的平方根 【解答】解：4 的立方等于 64， 64 的立方根等于 4 4 的平方根是2， 故答案为：2 12因式分解：12x3y+27xy3 3xy（2x+3y） （2x3y） 【分析】首先提取公因式3xy，再利用公式法分解因式即可 【解答】解：1
19、2x3y+27xy33xy（4x29y2） 3xy（2x+3y） （2x3y） 故答案为：3xy（2x+3y） （2x3y） 13如图，BPC 内接于O，点 PABC，AP1，BP，PC3，则弧 PC 的长是 【分析】连接 OP，OC根据勾股定理得到 AB1，求得 APAB，得到 BAPB45，根据圆周角定理得到POC2B90，推出POC 是等腰直角三角形，求得 OPPC3，根据弧长公式即可得到结论 【解答】解：连接 OP，OC PABC， PAB90， AP1，BP， AB1， APAB， BAPB45， POC2B90， POC 是等腰直角三角形， PC3， OPPC3， 弧 PC 的长为
20、， 故答案为： 14如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个 动点， 把EBF沿EF折叠， 点B落在B处 若CDB恰为等腰三角形， 则DB的长为 16或4 【分析】根据翻折的性质，可得 BE 的长，根据勾股定理，可得 CE 的长，根据等腰三角形的判定，可 得答案 【解答】解： （i）当 BDBC 时， 过 B点作 GHAD，则BGE90， 当 BCBD 时，AGDHDC8， 由 AE3，AB16，得 BE13 由翻折的性质，得 BEBE13 EGAGAE835， BG12， BHGHBG16124， DB4 （ii
21、）当 DBCD 时，则 DB16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合） （iii）当 CBCD 时，则 CBCB，由翻折的性质，得 EBEB，点 E、C 在 BB的垂直平分 线上，EC 垂直平分 BB，由折叠，得 EF 也是线段 BB的垂直平分线，点 F 与点 C 重合，这与已 知“点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去 综上所述，DB的长为 16 或 4 故答案为：16 或 4 三解答题三解答题 15计算： 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、有理数的乘方、绝对值的性质分别化 简得出答案 【解答】解：原式8+41
22、（32） 8+213+2 4+4 16中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题，原文：今 有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每 3 人共乘一 车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【分析】设共有 x 人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果 【解答】解：设共有 x 人， 根据题意得：+2， 去分母得：2x+123x27， 解得：x39， 15， 则共有 39 人，15 辆车 17如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形
23、 ABC（顶点是网格线的 交点） ，并建立平面直角坐标系 （1）将ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90得到A1B1C1（点 A，B，C 的对应点分别为点 A1，B1，C1） ， 画出A1B1C1； （2）在 x 轴上找一点 P，使PAB 的周长最小，请画出PAB （3）在（2）的条件下，求点 P 到线段 AB 的距离 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可解决问题 （2）作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 BA交 x 轴于点 P，连接 PA，PAB 即为所求作 （3）利用面积法求解即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求作 （2）如图，点 P 即为所求
24、作 （3）设点 P 到 AB 的距离为 h AB，SPABABh2， h 点 P 到线段 AB 的距离为 18 （1）观察下面的图案与等式的关系，并填空 1+3+112+22 1+3+5+3+1 22 + 32 1+3+5+7+5+3+1 32 + 42 （2）通过猜想，写出第 n 个图案相对应的等式 【分析】 （1）观察图案 2，可得出等式的右边为 4+9，即 1+3+5+3+122+32；观察图案 3，可得出等式 的右边为 9+16，即 1+3+5+7+5+3+132+42； （2）根据各等式的变化，可找出变化规律“1+3+5+（2n+1）+5+3+1n2+（n+1）2” 【解答】解： （
25、1）观察图形，可知：1+3+5+3+122+32；1+3+5+7+5+3+132+42 故答案为：22；32；32；42 （2）根据各等式的变化，猜测第 n 个图案相对应的等式为 1+3+5+（2n+1）+5+3+1n2+（n+1） 2 19如图，在ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PMDC，且 PMDC，连接 BM，CM， AP，BD （1）求证：ADPBCM； （2）若 PAPC，设ABP 的面积为 S，四边形 BPCM 的面积为 T，求的值 【分析】 （1）依据四边形 CDPM 是平行四边形，四边形 ABMP 是平行四边形，四边形 ABCD 是平行四边 形，即
26、可得出ADP 与BCM 三条边对应相等，即可得出全等； （2）依据 S四边形BMCPS平行四边形ABCD，SABPS平行四边形ABCD，即可得到的值 【解答】解： （1）PMDC，且 PMDC， 四边形 CDPM 是平行四边形， PDMC， ABDC，且 ABDC，PMDC，且 PMDC， ABPM，且 ABPM， 四边形 ABMP 是平行四边形， APBM， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ADPBCM（SSS） ； （2）由（1）可得 SADPSBCM， S四边形BMCPSBCM+SBCPSADP+SBCPS平行四边形ABCD， 又PAPC， SABPSABCS平行四边形AB
27、CD， 的值为 20中国古代人在公元前 2 世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的淮南万毕术中有这样 的记载： “取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣 ”如图 1 所示其工作原理主要利用光的反射原理， 在图 2 中，A、B、C 共线，OBAC 于点 B，入射角COD30，OAE15（入射角等于反射角） ， AC12 米，求 OB 的高度 （参考数据：） 【分析】根据题目中的数据，利用锐角三角函数和勾股定理，可以求得 OB 的长，然后根据， 即可计算出 OB 的高度 【解答】解：COD30， （入射角等于反射角） ， AOD30， AOC60， AEAB，OBAB，OAE15， AEBO
28、，OBAOBC90， OAEAOB15， BOCAOCAOB45， CBOC， OBBC， 作 AFOC 交 OC 于点 F， AC12，C45， AF6， AFO90，AOF60， AO4， 设 BCx，则 AB12x，OBx， OBA90， AB2+OB2OA2， （12x）2+x2（4）2， 解得 x16+2，x262， OBAB， 62不合题意， OB6+26+21.79.4（米） ， 即 OB 的高度是 9.4 米 21学校对九年级 1、2、3、4 班的体育成绩作了模拟测评，将各个班的满分人数绘制成两幅不完整的统计 图（如图） ，其中 2 班，3 班，4 班满分人数比是 2：1：4，
29、2 班满分人数和 3 班满分人数一共有 6 人 根据图中信息解答以下问题： （1）本次九年级体育模拟测评中 4 个班满分人数一共有多少人； （2）扇形统计图中， “2 班”所在扇形的圆心角是 72 度，并补全条形统计图； （3）九年级 2 班满分同学中有 3 名男生，其余是女生，跳远动作十分标准，2 班班主任准备从这些同学 中任选 2 名给本班同学示范，请利用画树状图或列表的方法求出选出 2 名同学恰好是一男一女的概率 【分析】 （1）由 2 班，3 班，4 班满分人数比求出 2 班满分人数是 4 人，3 班满分人数是 2 人，4 班满分 人数是 8 人，即可解决问题； （2）由 360乘以
30、2 班所占比例求出， “2 班”所在扇形的圆心角的度数，再补全条形统计图即可； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得 出答案 【解答】解： （1）2 班，3 班，4 班满分人数比是 2：1：4，2 班满分人数和 3 班满分人数一共有 6 人， 2 班满分人数是 4 人，3 班满分人数是 2 人，4 班满分人数是 8 人， 4 个班满分人数一共有：840%20（人） ； （2）扇形统计图中， “2 班”所在扇形的圆心角是36072， 故答案为：72， 补全条形统计图为： （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中选出 2 名同学
31、恰好是一男一女的结果数为 6， 选出 2 名同学恰好是一男一女的概率 22某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元，在整个销售旺季的 80 天里，销售 单价 P（元/千克）与时间第 t（天）之间的函数关系为：P，日销 售量 y（千克）与时间第 t（天）之间的函数关系如图所示： （1）求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 千克小龙虾，就捐赠 m（m7）元给村里的特困 户在这前 40 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求 m 的取值范围 【分析
32、】 （1）利用待定系数法求解可得一次函数解析式； （2）根据“日销售利润每斤的利润日销售量” ，结合 t 的取值范围分情况求解可得； （3）设日销售利润为 w，根据“日销售利润（售价成本捐款）日销售量”列出函数解析式，利 用二次函数的性质结合每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大求解可得 【解答】解： （1）设解析式为 ykt+b， 将（1，198） 、 （80，40）代入，得：， 解得：， y2t+200（1t80，t 为整数） ； （2）设日销售利润为 w，则 w（P6）y， 当 1t40 时，w（t+166） （2t+200）（t30）2+2450 当 t30 时，w最大24
33、50； 当 41t80 时，w（t+466） （2t+200）（t90）2100 当 t41 时，w最大2301， 24502301， 第 30 天的日销售利润最大，最大利润为 2450 元 （3）设日销售利润为 w， 根据题意，得：w（t+166m） （2t+200）t2+（30+2m）t+2000200m， 其函数图象的对称轴为 t2m+30， w 随 t 的增大而增大，且 1t40， 由二次函数的图象及其性质可知：2m+3039.5， 解得：m4.75， 又 m7， 4.75m7 23已知：点 P 在ABC 内，且满足APBAPC（如图） ，APB+BAC180 （1）求证：PABPCA
34、； （2）如果APB120，ABC90，求的值； （3）如果BAC45，且ABC 是等腰三角形，试求 tanPBC 的值 【分析】 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可 （2）证明PABPCA，利用相似三角形的性质解决问题即可 （3）分三种情形：ABAC，ABBC，ACBC 分别求解即可解决问题 【解答】证明： （1）ABP+BAP+APB180，APB+BAC180， ABP+BAP+APBAPB+BAC， 即ABP+BAP+APBAPB+BAP+CAP， ABPCAP， 又APBAPC， PABPCA （2）如图 1 中， APB+BAC180，APB120， BAC60， 在ABC 中，ABC90，BAC60， AB， 又PABPCA， ， ，即 （3）BAC45，APB+BAC180，APBAPC， APBAPC135 BPC360APBAPC36013513590， PCAPAB， ， 如图 2 中， 当ABC 是等腰三角形，且 ABAC 时，tanPBC1 如图 3 中， 当ABC 是等腰三角形，且 ABBC 时，ACBBAC45，ABC90， ， tanPBC2 如图 104， 当ABC 是等腰三角形，且 ACBC 时，ABCBAC45，ACB90， ， tanPBC 综合以上可得 tanPBC 的值为 1 或 2 或
