1、2020 年湖南年湖南省省长沙市岳麓区长沙市岳麓区二校联考中考数学二校联考中考数学模试卷模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 12 的绝对值是（ ） A2 B2 C D2 2甲型 H1N1 流感病毒变异后的直径为 0.00000013 米，将这个数写成科学记数法是（ ） A1.310 5 B0.1310 6 C1.310 7 D1310 8 3下面的计算正确的是（ ） A3x24x212x2 Bx3x5x15 Cx4xx3 D （x5）2x7 42019 年 6 月全国开始实行生活垃圾分类，下列四个图标分别为可回收垃圾、厨余垃圾、湿垃圾和有害
2、垃 圾，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 5某班举办元旦联欢会，班长对全班同学最爱吃哪几种水果这一问题作了调查，班长在确定购买哪一种水 果时，最值得关注的统计量是（ ） A中位数 B平均数 C众数 D加权平均数 6如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 7菱形不具备的性质是（ ） A四条边都相等 B对角线一定相等 C是轴对称图形 D是中心对称图形 8按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 10 的是（ ） Ax3，y2 Bx3，y2 Cx2，y3 Dx3，y3 9如果点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）是直线 ykx+b 上的两点，且当
3、 x1x2时，y1y2，那么函数 y 的图象位于象限（ ） A一、四 B二、四 C三、四 D一、三 10 如图， A、 B、 C 三点在O 上， D 是 CB 延长线上的一点， ABD40， 那么AOC 的度数为 （ ） A80 B70 C50 D40 11在直角坐标平面中，已知点 P（a，b） （|a|b|） ，设点 P 关于直线 yx 的对称点为 Q，点 P 关于原点 的对称点为 R，则PQR 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 12如图，点 P 是矩形 ABCD 内一点，连接 PA、PB、PC、PD，已知 AB3，BC4，设PAB、PBC、 PCD、PD
4、A 的面积分别为 S1、S2、S3、S4，以下判断： PA+PB+PC+PD 的最小值为 10；若PABPCD，则PADPBC； 若 S1S2，则 S3S4；若PABPDA，则 PA2.4其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分） 13因式分解 3a2+a 14关于 x 的一元一次不等式组的解集是 15我国古代数学著作九章算术中记载： “今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛问大小器 各容几何 ”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛（斛，音 hu， 是古代的一种容量单
5、位） 1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，问 1 个大桶、一个小桶分别可以盛酒多 少斛？若设 1 个大桶可以盛酒 x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛，根据题意，可列方程组为 16一个圆锥的母线长为 4，侧面积为 12，则这个圆锥的底面圆的半径是 17有 4 条长度分别为 1，3，5，7 的线段，现从中任取三条能构成三角形的概率是 18 如图， 抛物线 yax2+c 的顶点为 B， A、 C 两点在该抛物线上， O 为坐标原点， 四边形 ABCO 为正方形， 则 ac 三、解答题（三、解答题（8 小题，共小题，共 66 分）分） 19计算： 20先化简再求值： （+a），其中 a，b 满
6、足条件（a2020）2+0 21从某校参加科普知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本了解竞赛成绩的分布情况，将样本分成 A、B、 C、D、E 五个组，绘制成如图所示的频数分布直方图，图中 A、B、C、D、E 各小组的长方形的高的比 是 1：4：6：3：2，且 A 组的频数是 5，请结合直方图提供的信息，解答下列问题 （1）通过计算说明，样本数据中，中位数落在哪个组？并求该小组的频率； （2）估计该校在这次竞赛中，成绩高于 80 分的学生人数占参赛人数的百分比 22我市某工厂计划招聘 A、B 两个工种的工人共 120 人，A、B 两个工种的工人月工资分别为 2000 元和 2500 元 （1）若某工
7、厂每月支付的工人工资为 275000 元，求 A、B 两个工种的工人各招聘了多少人？ （2）若要求 B 工种的人数不少于 A 工种人数的 2 倍，那么招聘 A 工种的工人多少人时，可使工厂每月 支付的工人工资最少？ 23某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下列数据：如图， 从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30， 斜坡 AE 的长为 16 米， 地面 B 点 （与 E 点在同一个水平线） 距停车场顶部 C 点（A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂直）1.2 米 （1）试求该校地下停车场的高度 AC； （2）求 CD 的高度，一辆高为 6 米的车能否
8、通过该地下停车场（1.73，结果精确到 0.1 米） 24已知抛物线 G：ymx22mx3 有最低点 P （1）求二次函数 ymx22mx3 的最小值（用含 m 的式子表示） ； （2）若点 P 关于坐标系原点 O 的对称点仍然在抛物线上，求此时 m 的值； （3）将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1经过探究发现，随着 m 的变化，抛物线 G1顶点的 纵坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 25如图 1，若ABC 的三条边 a、b、c 满足 a：bb：c，则称ABC 为等比三角形 （1）若等比ABC 三边满足条件：b2，且
9、a、c 都为整数，通过计算判断ABC 的形状； （2）若 RtABC 是等比三角形，且ACB90，BCAC，求 sinBAC 的值； （3）如图 2，在等比ABC 中，BCACAB，AC2，作BADBCA，且 ADAC，延长 DA、BC 交于点 E，求线段 AE 的取值范围 26在平面直角坐标系 xOy 中，过点 N（6，1）的两条直线 l1，l2，与 x 轴正半轴分别交于 M、B 两点， 与 y 轴分别交于点 D、A 两点，已知 D 点坐标为（0，1） ，A 在 y 轴负半轴，以 AN 为直径画P，与 y 轴的另一个交点为 F （1）求 M 点坐标； （2）如图 1，若P 经过点 M 判断P
10、 与 x 轴的位置关系，并说明理由；求弦 AF 的长； （3）如图 2，若P 与直线 l1的另一个交点 E 在线段 DM 上，求NE+AF 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 12 的绝对值是（ ） A2 B2 C D2 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答 【解答】解：|2|2，故选：A 2甲型 H1N1 流感病毒变异后的直径为 0.00000013 米，将这个数写成科学记数法是（ ） A1.310 5 B0.1310 6 C1.310 7 D1310 8 【分析】小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n
11、，与较大数的科学记数法不同 的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000 000 131.310 7 故选：C 3下面的计算正确的是（ ） A3x24x212x2 Bx3x5x15 Cx4xx3 D （x5）2x7 【分析】根据单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等知识点进行判断 【解答】解：A、3x24x212x4，故本选项错误； B、x3x5x8，故本选项错误； C、正确； D、 （x5）2x10，故本选项错误 故选：C 42019 年 6 月全国开始实行生活垃圾分类，下列四个图标分别为可回收垃圾、厨余垃圾、湿垃圾和有
12、害垃 圾，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，不合题意； 故选：B 5某班举办元旦联欢会，班长对全班同学最爱吃哪几种水果这一问题作了调查，班长在确定购买哪一种水 果时，最值得关注的统计量是（ ） A中位数 B平均数 C众数 D加权平均数 【分析】根据平均数、中位数、众数的意义进行分析选择 【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是为举办元旦联欢会，那 么买的水果肯定是大多
13、数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数 故选：C 6如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可 【解答】解：从左边看竖直叠放 2 个正方形 故选：C 7菱形不具备的性质是（ ） A四条边都相等 B对角线一定相等 C是轴对称图形 D是中心对称图形 【分析】根据菱形的性质即可判断； 【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等， 故选：B 8按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 10 的是（ ） Ax3，y2 Bx3，y2 Cx2，y3
14、Dx3，y3 【分析】根据运算程序图，可知输出的结果计算 x2+|2y|即可，根据非负数的意义，通过尝试当 x2，y 3 时满足 x2+|2y|10，进而得出答案 【解答】解：由题意得：x2+|2y|10， 当 x2，y3 满足 x2+|2y|10， 故选：C 9如果点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）是直线 ykx+b 上的两点，且当 x1x2时，y1y2，那么函数 y 的图象位于象限（ ） A一、四 B二、四 C三、四 D一、三 【分析】根据一次函数的增减性判断出 k 的符号，再根据反比例函数的性质解答即可 【解答】解：当 x1x2时，y1y2， k0， k0 函数 y的图象在二、四
15、象限， 故选：B 10 如图， A、 B、 C 三点在O 上， D 是 CB 延长线上的一点， ABD40， 那么AOC 的度数为 （ ） A80 B70 C50 D40 【分析】作所对的圆周角AEC，如图，先利用邻补角计算出ABC140，再利用圆内接四边形的 性质计算出E40，然后根据圆周角定理得到AOC 的度数 【解答】解：所对的圆周角AEC，如图， ABD40， ABC18040140， AEC+ABC180， E40， AOC2AEC24080 故选：A 11在直角坐标平面中，已知点 P（a，b） （|a|b|） ，设点 P 关于直线 yx 的对称点为 Q，点 P 关于原点 的对称点为
16、 R，则PQR 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，得出 R 点，再根据平 面内点关于 yx 对称的点的特点，得出 Q 点，根据点的特点推理出 OQOPOR，再根据直角三角形 性质得出结论 【解答】解：如图， 点 P 关于直线 yx 对称 确定点 Q， 点 P 关于原点对称， 确定点 R， 根据平面内点关于 yx 对称的点的特点， OQOP， 又P，Q 点关于原点对称， OPOR， OQOPOR， 即：OQPR， PQR 斜边上的中线等于斜边的一半， PQR 为直角三角形， 故选：B 12
17、如图，点 P 是矩形 ABCD 内一点，连接 PA、PB、PC、PD，已知 AB3，BC4，设PAB、PBC、 PCD、PDA 的面积分别为 S1、S2、S3、S4，以下判断： PA+PB+PC+PD 的最小值为 10；若PABPCD，则PADPBC； 若 S1S2，则 S3S4；若PABPDA，则 PA2.4其中正确的是（ ） A B C D 【分析】当点 P 是矩形 ABCD 两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD 的值最小，根据勾股定理可得 PA+PB+PC+PD 的最小值，即可判断； 根据全等三角形的性质可得 PAPC，PBPD，那么 P 在线段 AC、BD 的垂直平分线上，即 P
18、是矩 形 ABCD 两对角线的交点，易证PADPBC，即可判断； 易证 S1+S3S2+S4，所以若 S1S2，则 S3S4，即可判断； 根据相似三角形的性质可得PABPDA，PAB+PADPDA+PAD90，利用三角形内角 和定理得出APD180（PDA+PAD）90，同理可得APB90，那么BPD180， 即 B、P、D 三点共线，根据三角形面积公式可得 PA2.4，即可判断 【解答】解：当点 P 是矩形 ABCD 两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD 的值最小，根据勾股定理得， ACBD5，所以 PA+PB+PC+PD 的最小值为 10，故正确； 若PABPCD， 则 PAPC， P
19、BPD， 所以 P 在线段 AC、 BD 的垂直平分线上， 即 P 是矩形 ABCD 两对角线的交点，所以PADPBC，故正确； 如图，若 S1S2， 过点 P 作 PHBC 于 H，HP 的延长线交 AD 于 G， 则 PGAD 四边形 ABHG 是矩形， GHAB， S2+S4ADPG+BCPHBC （PH+PG）BCGHBCAB， 过点 P 作 PMAB 于 M，MP 的延长线交 CD 于 N， 同理 S1+S3BCAB， S1+S3S2+S4，则 S3S4，故正确； 若PABPDA，则PABPDA，PAB+PADPDA+PAD90，APD180（ PDA+PAD）90，同理可得APB9
20、0，那么BPD180，B、P、D 三点共线，PA 是直角 BAD 斜边上的高，根据面积公式可得 PA2.4，故正确 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13因式分解 3a2+a a（3a+1） 【分析】直接提公因式 a 即可 【解答】解：3a2+aa（3a+1） ， 故答案为：a（3a+1） 14关于 x 的一元一次不等式组的解集是 2x3 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集 【解答】解：解不等式 2x4，得：x2， 解不等式 3x0，得：x3， 则不等式组的解集为2x3， 故答案为：2x3 15我国古代数学著作九章算术中记载： “今有大器五小器一容三斛，大器一
21、小器五容二斛问大小器 各容几何 ”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛（斛，音 hu， 是古代的一种容量单位） 1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，问 1 个大桶、一个小桶分别可以盛酒多 少斛？若设 1 个大桶可以盛酒 x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛，根据题意，可列方程组为 【分析】 设 1 个大桶可以盛酒 x 斛， 1 个小桶可以盛酒 y 斛， 根据 “5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛， 1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛”即可得出关于 x、y 的二元一次方程组 【解答】解：设 1 个大桶可以盛酒 x 斛，1 个小桶可以
22、盛酒 y 斛， 根据题意得：， 故答案为 16一个圆锥的母线长为 4，侧面积为 12，则这个圆锥的底面圆的半径是 3 【分析】根据圆锥的侧面积底面半径母线长，进而求出即可 【解答】解：母线为 4，设圆锥的底面半径为 x， 圆锥的侧面积4x12 解得：x3 故答案为：3 17有 4 条长度分别为 1，3，5，7 的线段，现从中任取三条能构成三角形的概率是 【分析】从 4 条中任取 3 条的可能有 4 种，要构成三角形要满足 abca+b，将 4 组数据代入，看是 否满足，用满足的个数除以总的个数即可 【解答】解：从 4 条中任取 3 条的可能有 4 种即 1、3、5；1、3、7；3、5、7；1、
23、5、7 能构成三角形的 数有 3，5，7 一组，故其概率为： 18 如图， 抛物线 yax2+c 的顶点为 B， A、 C 两点在该抛物线上， O 为坐标原点， 四边形 ABCO 为正方形， 则 ac 2 【分析】抛物线 yax2+c 的顶点 B 点坐标为（0，c） ，由四边形 ABCO 是正方形，则 C 点坐标为（， ） ，代入抛物线即可解答 【解答】解：抛物线 yax2+c 的顶点 B 点坐标为（0，c） ，四边形 ABCO 是正方形， COB45，COBC， COB 是等腰直角三角形， C 点横纵坐标绝对值相等，且等于 BO 长度一半， C 点坐标为（，） ， 将点 C 代入抛物线方程中
24、得 ac2 故答案为：2 三解答题三解答题 19计算： 【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式2+21 2+1+21 4 20先化简再求值： （+a），其中 a，b 满足条件（a2020）2+0 【分析】原式被除式通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结 果，利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，代入计算即可求出值 【解答】解：原式 （a+b） （ab） a2b2， （a2020）2+0， a2020，b2019， 则原式2020220192（2020+2019）（20202019）4039 21从
25、某校参加科普知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本了解竞赛成绩的分布情况，将样本分成 A、B、 C、D、E 五个组，绘制成如图所示的频数分布直方图，图中 A、B、C、D、E 各小组的长方形的高的比 是 1：4：6：3：2，且 A 组的频数是 5，请结合直方图提供的信息，解答下列问题 （1）通过计算说明，样本数据中，中位数落在哪个组？并求该小组的频率； （2）估计该校在这次竞赛中，成绩高于 80 分的学生人数占参赛人数的百分比 【分析】 （1）根据 E 组的频数是 10，以及各小组的长方形的高的比求出即可；利用样本容量以及长方形 的高求出各组频数即可； （2）利用样本容量得出成绩高于 70 分的学生
26、人数占参赛人数的百分率 【解答】解： （1）设样本容量为 x，由题意得，解得：x80，所以样本容量是 80 B、 C、 D、 E 各组的频数分别为： B：， C：， D：， E： 由以上频数知：中位数落在 C 组；C 组的频数为 30，频率为 0.375 （2）样本中成绩高于 80 分的人数为 15+1025（人） ，估计学校在这次竞赛中成绩高于 80 分的人数占 参赛人数的百分比为31.25% 22我市某工厂计划招聘 A、B 两个工种的工人共 120 人，A、B 两个工种的工人月工资分别为 2000 元和 2500 元 （1）若某工厂每月支付的工人工资为 275000 元，求 A、B 两个工
27、种的工人各招聘了多少人？ （2）若要求 B 工种的人数不少于 A 工种人数的 2 倍，那么招聘 A 工种的工人多少人时，可使工厂每月 支付的工人工资最少？ 【分析】 （1）A，B 两个工种的工人的月工资乘以它们的人数就是工厂每月所支付的工资为 110000 元， 因此可列方程，进而解答； （2）在（1）的基础之上又多出了一个最值问题，需要运用函数，考虑函数和自变量的增减性，找出自 变量取值范围，进行解答 【解答】解： （1）设招聘 A 工种工人 x 人，则招聘 B 工种工人（120 x）人， 根据题意得：2000 x+2500（120 x）275000， 解得 x50， 则 120 x70，
28、故 A 工种的工人招聘了 50 人，B 工种的工人招聘了 70 人； （2）设每月所支付的工资为 y 元，招聘 A 工种工人 x 人，则招聘 B 工种工人（120 x）人， 根据题意得：y2000 x+2500（120 x）500 x+300000， 因为 120 x2x， 解得 x40， y500 x+300000 中的 y 随 x 的增大而减少， 所以当 x40 时，y 取得最小值 100000 故当招聘 A 工种的工人 40 人时，可使工厂每月支付的工人工资最少 23某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下列数据：如图， 从地面 E 点测得地下停车场
29、的俯角为 30， 斜坡 AE 的长为 16 米， 地面 B 点 （与 E 点在同一个水平线） 距停车场顶部 C 点（A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂直）1.2 米 （1）试求该校地下停车场的高度 AC； （2）求 CD 的高度，一辆高为 6 米的车能否通过该地下停车场（1.73，结果精确到 0.1 米） 【分析】 （1）由E30知 ABAE8 米，结合 AB8 可得答案； （2）由 CDACcosDCA6.85.9，据此即可作出判断 【解答】解： （1）由题意得，ABEB，CDAE CDAEBA90， E30， ABAE8 米， BC1.2 米， ACABBC6.8 米； （2）DCA9
30、0A30， CDACcosDCA6.85.96 所以高为 6 米的车不能通过该地下停车场 24已知抛物线 G：ymx22mx3 有最低点 P （1）求二次函数 ymx22mx3 的最小值（用含 m 的式子表示） ； （2）若点 P 关于坐标系原点 O 的对称点仍然在抛物线上，求此时 m 的值； （3）将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1经过探究发现，随着 m 的变化，抛物线 G1顶点的 纵坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 【分析】 （1）抛物线有最低点即开口向上，m0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值 （2）由矩形
31、求得顶点 P 的坐标，进而求得对称点的坐标，代入解析式即可求得 m 的值； （3）写出抛物线 G 的顶点式，根据平移规律即得到抛物线 G1的顶点式，进而得到抛物线 G1顶点坐标 （m+1，m3） ，即 xm+1，ym3，x+y2 即消去 m，得到 y 与 x 的函数关系式再由 m0， 即求得 x 的取值范围 【解答】解： （1）ymx22mx3m（x1）2m3，抛物线有最低点， 二次函数 ymx22mx3 的最小值为m3； （2）ymx22mx3m（x1）2m3， 抛物线的顶点 P 为（1，m3） ， 点 P 关于坐标系原点 O 的对称点（1，m+3） ， 对称点仍然在抛物线上， m+3m+2
32、m3， 解得 m3； （3）抛物线 G：ym（x1）2m3 平移后的抛物线 G1：ym（x1m）2m3 抛物线 G1顶点坐标为（m+1，m3） xm+1，ym3 x+ym+1m32 即 x+y2，变形得 yx2 m0，mx1 x10 x1 y 与 x 的函数关系式为 yx2（x1） 25如图 1，若ABC 的三条边 a、b、c 满足 a：bb：c，则称ABC 为等比三角形 （1）若等比ABC 三边满足条件：b2，且 a、c 都为整数，通过计算判断ABC 的形状； （2）若 RtABC 是等比三角形，且ACB90，BCAC，求 sinBAC 的值； （3）如图 2，在等比ABC 中，BCACAB
33、，AC2，作BADBCA，且 ADAC，延长 DA、BC 交于点 E，求线段 AE 的取值范围 【分析】 （1）由等比三角形定义得 ac4，进而根据题目中三角形边的条件和三角形的三边关系求得 a 与 c，便可判断三角形的形状； （2）由等比三角形定义得 acb2，再根据勾股定理得，c2a2ac，解方程求得，便可得结果； （3）由等比三角形得 ac4，再根据三角形的三边关系得出 a 的取值范围，再证明ACEBAE，用 a 表示 AE，便可求得 AE 的取值范围 【解答】解： （1）ABC 为等比三角形， a：bb：c， b2， ac4， a、c 都为正整数， a1，c4，或 a2，c2， 1+2
34、4， 1，2，4 不能构成三角形，应舍去 a1，c4， a2，c2， abc， ABC 为等边三角形； （2）RtABC 是等比三角形，且ACB90，BCAC， a：bb：c， b2ac， c2a2b2， c2a2ac， ， 设，则， x2+x10， 解得，x，或 x（x0，舍去） ， sinBAC； （3）设 BCa，ABc， BCACAB，即 a2c， ABC 为等比三角形， a：22：c， ac4， c， 由三角形三边关系性质知，ac2， a2， 即 a2+2a4， 也即（a+1）25， a0， a1， 故1a2， BADBCA， ABC+CBACAE+CAB， ABECAE， EE，
35、ACEBAE， ，即， EC， AE2EC2+aEC， ， AE， 解得，AE， ac4，c222a2即 c24a2， AE， 1a2， 62a4， 2a3+ 26在平面直角坐标系 xOy 中，过点 N（6，1）的两条直线 l1，l2，与 x 轴正半轴分别交于 M、B 两点， 与 y 轴分别交于点 D、A 两点，已知 D 点坐标为（0，1） ，A 在 y 轴负半轴，以 AN 为直径画P，与 y 轴的另一个交点为 F （1）求 M 点坐标； （2）如图 1，若P 经过点 M 判断P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；求弦 AF 的长； （3）如图 2，若P 与直线 l1的另一个交点 E 在线段
36、DM 上，求NE+AF 的值 【分析】 （1）求出直线 l1的表达式为 yx+1，即可求解； （2）证明AND 为等腰三角形，得到 PMy 轴，即 PMx 轴，即可求解； 求出直线 AM 的表达式为 y3x+b，得到点 A（0，9） ，求出 AN10，则圆的半 径为 5，进而求解； （3）证明NE+AF（NE+AF）HN，在 RtFDH 中，DHDFsin（1+1） ，则 HNDNHD2，故NE+AFHN18 【解答】 解：（1） 设直线 l1的表达式为 ykx+b， 将点 D、 N 的坐标代入上式得， 解得， 故直线 l1的表达式为 yx+1， 令 yx+10，解得 x3， 故点 M（3，0
37、） ； （2）相切，理由： 连接 PM、AM，过点 P 作 PNOA 于点 N， 由点 D、M、N 的坐标知，点 M 是 DN 的中点， 而 AN 是圆的直径，故 AMMN，则AND 为等腰三角形， 故 AM 平分DAB，即DAMNAM， PMPA，故MABAMPDAM， PMy 轴，即 PMx 轴， 故P 与 x 轴的位置关系是相切； 由由直线 l1的表达式知，tanDMO，则 tanOAM3， 故设直线 AM 的表达式为 y3x+b，将点 M 的坐标代入上式得：033+b，解得 b9， 故点 A（0，9） ， 由点 A、N 的坐标得，AN10，则圆的半径为 5， 在 RtAPN 中，AP5，PNOM3，则 AN4， 则 AF2AN8； （3）连接 AE，则 AEMN，过点 F 作 FGAE 于点 G，作 FHMN 于点 H， 连接 FN，则 FNy 轴，则点 F（0，1） ， 由直线 l1的表达式知，该直线倾斜角的正切值为，即 tanDMO， DHODOM90，则DFHDMO，设DFHDEO，则 tan，则 sin， AEDN，FHDN，则 FHAE，故DAE， 在 RtAFG 中，FGAFsinAF， 则NE+AF（NE+AF）（NE+EH）HN， 在 RtFDH 中，DHDFsin（1+1） ， 由点 DN 的坐标得，ND2， 则 HNDNHD2， 故NE+AFHN18
