湖南省长沙市雨花区三校联考2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

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资源描述

1、湖南省长沙市雨花区湖南省长沙市雨花区 2020-2021 学年九年级(上)期末数学试卷学年九年级(上)期末数学试卷 一、选择题( “我曾踏月来,只因你在山中”请作出最准确的选择一、选择题( “我曾踏月来,只因你在山中”请作出最准确的选择.本大题共本大题共 12 小题,共小题,共 36 分)分) 1在1,1,0 这四个实数中,最小的是( ) A1 B C1 D0 2湖南省占地面积约为 211800 平方公里将 211800 用科学记数法表示应为( ) A0.2118106 B2.118106 C2.118105 D21.18104 3下列四个立体图形中,左视图为矩形的是( ) A B C D 4

2、下列计算中,正确的是( ) A2x+3y5xy B (x5)2x225 C4a3aa D (xy2)3x3y5 5如图,ABED,CDBF,若ABCEDF,则还需要补充的条件可以是( ) AACEF BBCDF CABDE DBE 6盖房子时,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,利用的几何原理是( ) A三角形的稳定性 B两点之间线段最短 C两点确定一条直线 D垂线段最短 7若反比例函数的图象经过点(m,3m) ,其中 m0,则此反比例函数图象经过( ) A第一、三象限 B第一、二象限 C第二、四象限 D第三、四象限 8下列命题中错误的是( ) A一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形

3、 B不在同一直线上的三点确定一个圆 C三角形的外心到三角形各边距离相等 D对角线相等的平行四边形是矩形 9在平面直角坐标系中,将函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位,再向上平移 5 个单位后,得到的图 象的函数表达式是( ) Ay(x+1)2+5 By(x1)2+5 Cy(x+1)25 Dy(x1)25 10某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元,3 月份的销售额是 4.5 万元,从 1 月份到 3 月份,该店销售额平 均每月的增长率是( ) A20% B25% C50% D62.5% 11如图,线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(6,6) ,B(8,2) ,以原点 O 为位似中心,在

4、第一象限内将 线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD,则端点 C 的坐标为( ) A (3,3) B (4,3) C (3,1) D (4,1) 12已知直线 yx+7a+1 与直线 y2x2a+4 同时经过点 P,点 Q 是以 M(0,1)为圆心,MO 为半 径的圆上的一个动点,则线段 PQ 的最小值为( ) A B C D 二、填空题( “愿岁月善待你我,一切努力皆有结果”请慎重对待结果,本大题共二、填空题( “愿岁月善待你我,一切努力皆有结果”请慎重对待结果,本大题共 4 小题,共小题,共 12 分)分) 13已知 x2y214,xy2,则 x+y 等于 14对于命题“如果 ab,那么

5、 acbc ” ,它的逆命题是 命题 (填“真”或“假” ) 15如图,四边形 ABCD 内接于O,已知ADC140,则AOC 16如图,平面直角坐标系 xOy 中,正方形 ABCO 的顶点 A,C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上,反比例函数 y (x0) 的图象分别与边 BC, AB 交于点 D 和点 E, 连接 OD, EFOD 交 OA 于点 F, 若 OF2FA, 且 ODk,则 k 的值为 三、解答题( “所谓的努力就是慢慢来的过程”请规范你书写的过程,本题共三、解答题( “所谓的努力就是慢慢来的过程”请规范你书写的过程,本题共 9 个小题,共个小题,共 72 分)分) 17 (

6、6 分)计算|1|(3)0+() 1+2cos60 18 (6 分)先化简,再求值:,其中 a 是方程 x2x6 的根 19 (6 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M,与 BC 相交于点 N, 连接 BM,DN (1)求证:四边形 BMDN 是菱形; (2)若 AB4,AD8,求 MD 的长 20 (8 分) “春节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“饺子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销 量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺(以下分别用 A、B、C、D 表示)这四种不同口味饺子 的喜爱情况, 在节前对某居民区市民进行了抽样调查,

7、并将调查情况绘制成如下两幅统计图 (尚不完整) 请根据以上信息回答 (1)本次参加抽样调查的居民有 人; (2)将两幅不完整的图补充完整; (3)若居民区有 8000 人,请估计爱吃 D 饺的人数; (4)若有外型完全相同的 A、B、C、D 饺子各一个,煮熟后,小王吃了两个用列表或画树状图的方 法,求他吃到 C 饺的概率 21 (8 分)如图,某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中,欲测量一棵古树 DE 的高度, 他们在这棵古树的正前方一平房顶 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为 30,在这棵古树的正前方 C 处, 测得古树顶端 D 的仰角为 60,在 A 点处测得 C 点的俯角为

8、30已知 BC 为 4 米,且 B、C、E 三点 在同一条直线上 (1)求平房 AB 的高度; (2)请求出古树 DE 的高度(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计) 22 (9 分)骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱,各种品牌的山地自行车相继投放市场,顺风车行经营的 A 型车去年 6 月份销售总额为 3.2 万元,今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元,若 今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同,则今年 6 月份 A 型车销售总额将比去年 6 月份销售总 额增加 25% A,B 两种型号车的进货和销售价格表: A 型车 B 型车 进货价格(元/辆) 11

9、00 1400 销售价格(元/辆) 今年的销售价格 2400 (1)求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元; (2)该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆,且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两 倍,应如何进货才能使这批车获利最多? 23 (9 分)已知:如图,RtABC 中,ABC90,AD 平分BAC 交 BC 于 D (1)用尺规画圆 O,使圆 O 过 A、D 两点,且圆心 O 在边 AC 上 (保留作图痕迹,不写作法) (2)求证:BC 与圆 O 相切; (3)设圆 O 交 AB 于点 E,若 AE2,CD2BD求线段 BE 的长和弧 DE 的长 2

10、4我们约定:图象关于 y 轴对称的函数称为偶函数 (1)下列函数是偶函数的有 (填序号) ; yx+1;y2020 x2+5;y|;y2021x22020 x+2018 (2)已知二次函数 y(k+1)x2+(k21)x+1(k 为常数)是偶函数,将此偶函数进行平移得到新的 二次函数 yax2+bx+c,新函数的图象与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,若 AB 2,且以 AB 为直径的圆恰好经过点 C,求平移后新函数的解析式; (3)如图,已知偶函数 yax2+bx+c(a0)经过(1,2) , (2,5) ,过点 E(0,2)的一次函数的图象 与二次函

11、数的图象交于 A, B 两点 (A 在 B 的左侧) , 过点 AB 分别作 ACx 轴于点 C, BDx 轴于点 D, 分别用 S1,S2,S3表示ACE,ECD,EDB 的面积,问:是否存在实数 m,使 S22mS1S3都成立? 若成立,求出 m 的值,若不存在,说明理由 25 (20 分)如图 1,已知抛物线 F1:yax236a(a0)与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,直线 l:ykx+b 经过点 B,与 y 轴负半轴交于点 D (1)若 D(0,8)为ABC 的外心,求 a 的值; (2)如图 2,若 D 为ABC 的内心且ABC 的内切圆半

12、径为 3,点 P 为线段 BC 的中点,求经过点 P 的 反比例函数的解析式; (3)如图 3,点 E 是抛物线 F1与直线 l 的另一个交点,已知 OC2OD,BCE 的面积为 6,点 E 在双 曲线 F2:y上,若当 mxn(其中 mn0)时,二次函数 yx2+2x+c 的函数值的取值范围恰 好是 2my2n,求 m+n 的值 2020-2021 学年湖南省长沙市雨花区九年级(上)期末数学试卷学年湖南省长沙市雨花区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题( “我曾踏月来,只因你在山中”请作出最准确的选择一、选择题( “我曾踏月来,只因你在山中”请作出最准确

13、的选择.本大题共本大题共 12 小题,共小题,共 36 分)分) 1在1,1,0 这四个实数中,最小的是( ) A1 B C1 D0 【分析】根据负数都小于 0,推出 0 最大,求出每个负数的绝对值,根据绝对值大的反而小,比较即可 【解答】解:, 最小的是, 故选:B 2湖南省占地面积约为 211800 平方公里将 211800 用科学记数法表示应为( ) A0.2118106 B2.118106 C2.118105 D21.18104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把 原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小

14、数点移动的位数相同当原数绝对值10 时,n 是正整数;当原数的绝对值1 时,n 是负整数 【解答】解:2118002.118105, 故选:C 3下列四个立体图形中,左视图为矩形的是( ) A B C D 【分析】根据左视图是分别从物体左面看,所得到的图形,即可解答 【解答】解:长方体左视图为矩形;球左视图为圆;圆锥左视图为三角形;圆柱左视图为矩形; 因此左视图为矩形的有 故选:B 4下列计算中,正确的是( ) A2x+3y5xy B (x5)2x225 C4a3aa D (xy2)3x3y5 【分析】根据合并同类项法则,完全平方公式,积的乘方的计算法则对各选项计算后利用排除法求解 【解答】解

15、:A、不是同类项不能合并,故本选项错误; B、应为(x5)2x210 x+25,故本选项错误; C、4a3aa,故本选项正确; D、应为(xy2)3x3y6,故本选项错误 故选:C 5如图,ABED,CDBF,若ABCEDF,则还需要补充的条件可以是( ) AACEF BBCDF CABDE DBE 【分析】因为 ABED,所以BD,又因为 CDBF,则添加 ABDE 后可根据 SAS 判定ABC DEF 【解答】解:ABED, BD, CDBF,CFFC, BCDF 在ABC 和DEF 中 BCDF,BD,ABDE, ABCDEF 故选:C 6盖房子时,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,利

16、用的几何原理是( ) A三角形的稳定性 B两点之间线段最短 C两点确定一条直线 D垂线段最短 【分析】在窗框上斜钉一根木条,构成三角形,故可用三角形的稳定性解释 【解答】解:盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,这样就构成了 三角形,故这样做的数学道理是三角形的稳定性 故选:A 7若反比例函数的图象经过点(m,3m) ,其中 m0,则此反比例函数图象经过( ) A第一、三象限 B第一、二象限 C第二、四象限 D第三、四象限 【分析】由反比例函数的图象经过点(m,3m) ,其中 m0,将 xm,y3m 代入反比例解析式中 表示出 k,根据 m 不为 0,得到 k 恒大

17、于 0,利用反比例函数图象的性质得到此反比例函数图象在第一、 三象限 【解答】解:反比例函数的图象经过点(m,3m) ,m0, 将 xm,y3m 代入反比例解析式得:3m, k3m20, 则反比例 y图象过第一、三象限 故选:A 8下列命题中错误的是( ) A一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形 B不在同一直线上的三点确定一个圆 C三角形的外心到三角形各边距离相等 D对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】 根据平行四边形的判定定理、 确定圆的条件、 三角形的外心的性质、 矩形的判定定理判断即可 【解答】解:一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形,A 正确,不符合题意; 不在同

18、一直线上的三点确定一个圆,B 正确,不符合题意; 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,C 错误,符合题意; 对角线相等的平行四边形是矩形,D 正确,不符合题意; 故选:C 9在平面直角坐标系中,将函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位,再向上平移 5 个单位后,得到的图 象的函数表达式是( ) Ay(x+1)2+5 By(x1)2+5 Cy(x+1)25 Dy(x1)25 【分析】根据向右平移横坐标加,向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式 形式写出即可 【解答】解:函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位,再向上平移 5 个单位, 平移后的抛物线的顶点坐标为(1,

19、5) , 平移后得到的函数关系式为 y(x1)2+5 故选:B 10某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元,3 月份的销售额是 4.5 万元,从 1 月份到 3 月份,该店销售额平 均每月的增长率是( ) A20% B25% C50% D62.5% 【分析】设每月增长率为 x,据题意可知:三月份销售额为 2(1+x)2万元,依此等量关系列出方程,求 解即可 【解答】解:设该店销售额平均每月的增长率为 x,则二月份销售额为 2(1+x)万元,三月份销售额为 2(1+x)2万元, 由题意可得:2(1+x)24.5, 解得:x10.550%,x22.5(不合题意舍去) , 答:该店销售额平均每月的

20、增长率为 50%; 故选:C 11如图,线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(6,6) ,B(8,2) ,以原点 O 为位似中心,在第一象限内将 线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD,则端点 C 的坐标为( ) A (3,3) B (4,3) C (3,1) D (4,1) 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标 【解答】解:线段 AB 的两个端点坐标分别为 A(6,6) ,B(8,2) ,以原点 O 为位似中心,在第一象 限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD, 端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的一半, 端点 C 的坐标为: (3,3) 故选:A

21、 12已知直线 yx+7a+1 与直线 y2x2a+4 同时经过点 P,点 Q 是以 M(0,1)为圆心,MO 为半 径的圆上的一个动点,则线段 PQ 的最小值为( ) A B C D 【分析】先解方程组得 P 点坐标为(3a1,4a+2) ,则可确定点 P 为直线 yx+上一 动点,设直线 yx+与坐标的交点为 A、B,如图,则 A(,0) ,B(0,) ,利用勾股定理计 算出 AB,过 M 点作 MP直线 AB 于 P,交M 于 Q,此时线段 PQ 的值最小,证 RtMBPRt ABO,利用相似比计算出 MP,则 PQ,即线段 PQ 的最小值为 【解答】解:解方程组得, P 点坐标为(3a

22、1,4a+2) , 设 x3a1,y4a+2, yx+, 即点 P 为直线 yx+上一动点, 设直线 yx+与坐标的交点为 A、B,如图,则 A(,0) ,B(0,) , AB, 过 M 点作 MP直线 AB 于 P,交M 于 Q,此时线段 PQ 的值最小, MBPABO, RtMBPRtABO, MP:OABM:AB,即 MP:, MP, PQ1, 即线段 PQ 的最小值为 故选:C 二、填空题( “愿岁月善待你我,一切努力皆有结果”请慎重对待结果,本大题共二、填空题( “愿岁月善待你我,一切努力皆有结果”请慎重对待结果,本大题共 4 小题,共小题,共 12 分)分) 13已知 x2y214

23、,xy2,则 x+y 等于 7 【分析】第一个等式左边利用平方差公式变形,将 xy2 代入计算即可求出 x+y 的值 【解答】解:x2y2(x+y) (xy)14,xy2, x+y7 故答案为:7 14对于命题“如果 ab,那么 acbc ” ,它的逆命题是 假 命题 (填“真”或“假” ) 【分析】写出原命题的逆命题,根据等式的性质判断即可 【解答】解:命题“如果 ab,那么 acbc ” ,它的逆命题是“如果 acbc,那么 ab ” , 是假命题, 故答案为:假 15如图,四边形 ABCD 内接于O,已知ADC140,则AOC 80 【分析】根据圆内接四边形的性质求出B 的度数,根据圆周

24、角定理计算即可 【解答】解:四边形 ABCD 内接于O, B+ADC180,又ADC140, B40, 由圆周角定理得,AOC2B80, 故答案为:80 16如图,平面直角坐标系 xOy 中,正方形 ABCO 的顶点 A,C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上,反比例函数 y (x0) 的图象分别与边 BC, AB 交于点 D 和点 E, 连接 OD, EFOD 交 OA 于点 F, 若 OF2FA, 且 ODk,则 k 的值为 【分析】FAa,则 OF2a,则正方形 ABCO 的边长为 3a,求出点 D 的坐标为(,3a) 、点 E 的坐标为(3a,) ,即可求解 【解答】解:FAa,则 O

25、F2a,则正方形 ABCO 的边长为 3a, 点 B 的坐标为(3a,3a) , 则 CD,故点 D 的坐标为(,3a) , 设直线 OD 的表达式为 ymx, 则 3am,解得 m, 故直线 OD 的表达式为 yx, EFOD 且直线 EF 过点 F(2a,0) , 则直线 EF 的表达式为 y(x2a) , 则当 x3a 时,y(x2a),故点 E 的坐标为(3a,) , 点 E、D 均在函数图象上, k3a3a, 解得 k, 故答案为 三、解答题( “所谓的努力就是慢慢来的过程”请规范你书写的过程,本题共三、解答题( “所谓的努力就是慢慢来的过程”请规范你书写的过程,本题共 9 个小题,

26、共个小题,共 72 分)分) 17 (6 分)计算|1|(3)0+() 1+2cos60 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别 化简得出答案 【解答】解:原式11+4+(2)+2 3 18 (6 分)先化简,再求值:,其中 a 是方程 x2x6 的根 【分析】先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简,再根据 a 是方程 x2x6 的根求出 a 的值,代入 原式进行计算即可 【解答】解:原式 a 是方程 x2x6 的根, a2a6, 原式 19 (6 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M,与

27、BC 相交于点 N, 连接 BM,DN (1)求证:四边形 BMDN 是菱形; (2)若 AB4,AD8,求 MD 的长 【分析】(1) 根据矩形性质求出 ADBC, 推出MDONBO, DMOBNO, 证DMOBNO, 推出 OMON,得出平行四边形 BMDN,推出菱形 BMDN; (2)根据菱形性质求出 DMBM,在 RtAMB 中,根据勾股定理得出 BM2AM2+AB2,推出 x2x2 16x+64+16,求出即可 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是矩形, ADBC,A90, MDONBO,DMOBNO, 在DMO 和BNO 中, , DMOBNO(AAS) , OMON, OB

28、OD, 四边形 BMDN 是平行四边形, MNBD, 平行四边形 BMDN 是菱形 (2)解:四边形 BMDN 是菱形, MBMD, 设 MD 长为 x,则 MBDMx, 在 RtAMB 中,BM2AM2+AB2 即 x2(8x)2+42, 解得:x5, 所以 MD 长为 5 20 (8 分) “春节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“饺子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销 量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺(以下分别用 A、B、C、D 表示)这四种不同口味饺子 的喜爱情况, 在节前对某居民区市民进行了抽样调查, 并将调查情况绘制成如下两幅统计图 (尚不完整) 请根据以上信息回答 (

29、1)本次参加抽样调查的居民有 600 人; (2)将两幅不完整的图补充完整; (3)若居民区有 8000 人,请估计爱吃 D 饺的人数; (4)若有外型完全相同的 A、B、C、D 饺子各一个,煮熟后,小王吃了两个用列表或画树状图的方 法,求他吃到 C 饺的概率 【分析】 (1)根据 B 类有 60 人,所占的百分比是 10%即可求解; (2)利用总人数减去其他类型的人数即可求得 C 类型的人数,然后根据百分比的意义求出 A 组和 C 组 所占的百分比,将两幅不完整的图补充完整即可; (3)由居民区总人数乘以爱吃 D 饺的人所占的百分比即可; (4)画树状图,再由概率公式求解即可 【解答】解:

30、(1)本次参加抽样调查的居民人数是 6010%600(人) ; 故答案为:600; (2)A 组所对应的百分比是100%30%, C 组的人数是 60018060240120(人) ,所占的百分比是100%20%, 将两幅不完整的图补充完整如下: (3)若居民区有 8000 人,则估计爱吃 D 饺的人数为 800040%3200(人) ; (4)画树状图如图: 共有 12 个等可能的结果,小王吃到 C 饺的结果有 6 个, 小王吃到 C 饺的概率为 21 (8 分)如图,某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中,欲测量一棵古树 DE 的高度, 他们在这棵古树的正前方一平房顶 A 点处测

31、得古树顶端 D 的仰角为 30,在这棵古树的正前方 C 处, 测得古树顶端 D 的仰角为 60,在 A 点处测得 C 点的俯角为 30已知 BC 为 4 米,且 B、C、E 三点 在同一条直线上 (1)求平房 AB 的高度; (2)请求出古树 DE 的高度(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计) 【分析】 (1)在 RtACB 中,解直角三角形即可; (2)首先求出 AC,在 RtACD 中,求出 CD,再在 RtCDE 中,求出 DE 即可; 【解答】解: (1)在 RtABC 中,BC4m,ACB30, tan30, ABm (2)在 RtACB 中,易知 AC2ABm, 在 RtACD

32、 中,ACD90,DAC60, CDAC8, 在 RtCDE 中,sin60, DE4m 22 (9 分)骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱,各种品牌的山地自行车相继投放市场,顺风车行经营的 A 型车去年 6 月份销售总额为 3.2 万元,今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元,若 今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同,则今年 6 月份 A 型车销售总额将比去年 6 月份销售总 额增加 25% A,B 两种型号车的进货和销售价格表: A 型车 B 型车 进货价格(元/辆) 1100 1400 销售价格(元/辆) 今年的销售价格 2400 (1)求今年 6

33、月份 A 型车每辆销售价多少元; (2)该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆,且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两 倍,应如何进货才能使这批车获利最多? 【分析】 (1)设去年 6 月份 A 型车每辆销售价 x 元,那么今年 6 月份 A 型车每辆销售(x+400)元,根 据销售总额和每辆销售价列出方程,即可解决问题 (2)设今年 7 月份进 A 型车 m 辆,则 B 型车(50m)辆,获得的总利润为 y 元,先求出 m 的范围, 构建一次函数,利用函数性质解决问题 【解答】解: (1)设去年 6 月份 A 型车每辆销售价 x 元,那么今年 6 月份 A 型

34、车每辆销售(x+400)元, 根据题意得, 解得:x1600, 经检验,x1600 是方程的解 x1600 时,x+4002000 答:今年 6 月份 A 型车每辆销售价 2000 元 (2)设今年 7 月份进 A 型车 m 辆,则 B 型车(50m)辆,获得的总利润为 y 元, 根据题意得 50m2m, 解得:m16, y(20001100)m+(24001400) (50m)100m+50000, y 随 m 的增大而减小, 当 m17 时,可以获得最大利润 答:进货方案是 A 型车 17 辆,B 型车 33 辆 23 (9 分)已知:如图,RtABC 中,ABC90,AD 平分BAC 交

35、 BC 于 D (1)用尺规画圆 O,使圆 O 过 A、D 两点,且圆心 O 在边 AC 上 (保留作图痕迹,不写作法) (2)求证:BC 与圆 O 相切; (3)设圆 O 交 AB 于点 E,若 AE2,CD2BD求线段 BE 的长和弧 DE 的长 【分析】 (1)要使O 过 A、D 两点,即 OAOD,所以点 O 在线段 AD 的垂直平分线上,且圆心 O 在 AC 边上,所以作出 AD 的垂直平分线与 AC 的交点即为点 O; (2)要证明 BC 与O 相切,连接 OD 后,只需要证明ODC90即可; (3)由于 AE 是O 的弦,可过点 O 作 OFAE 于点 F,然后利用垂径定理可知

36、AF1,利用AOF ACB 求出 AB 的值,所以 BEABAE再利用OCDACB,求出半径 OD,可知AOE 是等边 三角形,所以所对的圆心角为 60,利用弧长公式即可求出的长度 【解答】解: (1)O 即为所求: (2)连接 OD, OAOD, OADODA, AD 平分BAC, BADOAD, BADODA, ODAB, ODCABC90, OD 是半径, BC 与O 相切; (3)连接 OE,过点 O 作 OFAB 于点 F, AE2, 由垂径定理定理可知:AF1, CD2BD, , OFBC, AOFACB, , OFBD, , , AB3, BEABAE1, ODAB, OCDAC

37、B, , OD2, OAODAE, AOE 是等边三角形, AEO60 ODAB, EOD60, 的长度是: 24我们约定:图象关于 y 轴对称的函数称为偶函数 (1)下列函数是偶函数的有 (填序号) ; yx+1;y2020 x2+5;y|;y2021x22020 x+2018 (2)已知二次函数 y(k+1)x2+(k21)x+1(k 为常数)是偶函数,将此偶函数进行平移得到新的 二次函数 yax2+bx+c,新函数的图象与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,若 AB 2,且以 AB 为直径的圆恰好经过点 C,求平移后新函数的解析式; (3)如图,已知

38、偶函数 yax2+bx+c(a0)经过(1,2) , (2,5) ,过点 E(0,2)的一次函数的图象 与二次函数的图象交于 A, B 两点 (A 在 B 的左侧) , 过点 AB 分别作 ACx 轴于点 C, BDx 轴于点 D, 分别用 S1,S2,S3表示ACE,ECD,EDB 的面积,问:是否存在实数 m,使 S22mS1S3都成立? 若成立,求出 m 的值,若不存在,说明理由 【分析】 (1)根据每个函数是否关于 y 轴对称进行判断; (2)根据偶函数的概念可得:k210 且 k+10,即可求得抛物线解析式,再依据平移的性质可知 a 2,设 A(x1,0) ,B(x2,0) (x1x

39、2) ,利用根与系数关系及乘法公式可得:b28c16,再根据圆的 性质和勾股定理得:b2+16c216,从而求得 b、c,即可得到新函数的解析式; (3)由偶函数性质可知 b0,再利用待定系数法即可得函数解析式,设过点 E(0,2)的一次函数解 析式为:ykx+2,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2k,x1x21,根据题意建立方程求解即可 【解答】解: (1)yx+1 的图像经过第一、三象限,y 轴不是其对称轴,所以 yx+1 不是偶函数; y2020 x2+5 的图像抛物线是轴对称图形,且对称轴是 y 轴,是偶函数; y|是关于 y 轴对称的,是偶函数; y2021x

40、22020 x+2018 的图像抛物线是轴对称图形,对称轴是直线 x,不是偶函数; 故答案为:; (2)二次函数 y(k+1)x2+(k21)x+1(k 为常数)是偶函数, ,解得:k1, 该二次函数解析式为:y2x2+1, 平移抛物线时,开口方向和形状都不变,即 a 的值不变, 平移得到新的二次函数为 y2x2+bx+c, 由题意知,新函数的图象与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C, 设 A(x1,0) ,B(x2,0) (x1x2) , 令 x0,得 yc, C(0,c) , AB2, x2x12, 由根与系数关系可知:x1+x2,x1x2, (x1+

41、x2)24x1x2(x2x1)2, ()2422,即 b28c16, 以 AB 为直径的圆恰好经过点 C, 该圆的圆心为 F(,0) ,即 F(,0) , CF1,即()2+c21,整理,得:b2+16c216, 联立方程组:, 解得:,; 平移后新函数的解析式为:y2x24x 或 y2x2+4x 或 y2x22x或 y2x2+2x; (3)偶函数 yax2+bx+c(a0)经过(1,2) , (2,5) , b0,即 yax2+c, ,解得:, yx2+1, 设过点 E(0,2)的一次函数解析式为:ykx+2, 将 yx2+1 代入,得:x2+1kx+2,即 x2kx10, 设 A(x1,y

42、1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2k,x1x21, y1y2(kx1+2) (kx2+2)k2x1x2+2k(x1+x2)+4k2+4, 用 S1,S2,S3表示ACE,ECD,EDB 的面积, S1AC (x1)y1 (x1)x1y1, S2CDOE(x2x1)2x2x1, S3BDx2x2y2, S22(x2x1)2(x1+x2)24x1x2k24(1)k2+4, S1S3x1y1x2y2(x1x2) (y1y2)(1)(k2+4)(k2+4) , S22mS1S3, k2+4m(k2+4) , m4 25 (20 分)如图 1,已知抛物线 F1:yax236a(a0)与 x 轴交

43、于 A,B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C,直线 l:ykx+b 经过点 B,与 y 轴负半轴交于点 D (1)若 D(0,8)为ABC 的外心,求 a 的值; (2)如图 2,若 D 为ABC 的内心且ABC 的内切圆半径为 3,点 P 为线段 BC 的中点,求经过点 P 的 反比例函数的解析式; (3)如图 3,点 E 是抛物线 F1与直线 l 的另一个交点,已知 OC2OD,BCE 的面积为 6,点 E 在双 曲线 F2:y上,若当 mxn(其中 mn0)时,二次函数 yx2+2x+c 的函数值的取值范围恰 好是 2my2n,求 m+n 的值 【分析】 (1)在 ya

44、x236a 中,令 y0,可求得点 A,B 的坐标,根据 D(0,8)为ABC 的外心, 可得 DADBDC,再运用勾股定理即可求得 a 的值; (2)根据勾股定理可求得 ACBC,可得 SABCABOC216a,再根据 D 为ABC 的内心且ABC 的内切圆半径为 3, 亦可得 SABC (AB+BC+AC) 3, 建立方程即可求得 a 的值, 从而可得点 C 坐标,再利用中点坐标公式可得点 P 坐标,即可求得结论; (3)先运用待定系数法求得直线 l 解析式,再联立方程组求得点 E 坐标,利用BCE 的面积建立方程求 a 的值,通过点 E 坐标求得 c 的值,从而得到抛物线解析式,再结合二

45、次函数增减性和最值进行分类讨 论求得 m,n 的值即可得到答案 【解答】解: (1)在 yax236a 中,令 y0,得:ax236a0, 解得:x16,x26, A(6,0) ,B(6,0) , D(0,8)为ABC 的外心, DADBDC, 抛物线 F1:yax236a(a0)与 y 轴交于点 C, C(0,36a) , DC8(36a)36a8, 在 RtBOD 中,DB10, 36a810, a; (2)由(1)知:AB6(6)12,OC36a, 由勾股定理得:ACBC, D 为ABC 的内心且ABC 的内切圆半径为 3, SABC(AB+BC+AC)3, SABCABOC1236a2

46、16a, (AB+BC+AC)3216a, 即(12+2)3216a, 解得:a1,a2, C(0,4)或 C(0,12) , 点 P 为线段 BC 的中点, P(3,2)或 P(3,6) , 设经过点 P 的反比例函数的解析式为 y, 将 P(3,2)或 P(3,6)分别代入,得:k6 或18, 经过点 P 的反比例函数的解析式为 y或 y; (3)由(1)知:B(6,0) ,C(0,36a) , OC2OD, D(0,18a) , 直线 l:ykx+b 经过点 B,与 y 轴负半轴交于点 D, , 解得:, 直线 l 解析式为:y3ax18a, 点 E 是抛物线 F1与直线 l 的另一个交

47、点, , 解得:(舍去), E(3,27a) , SBCEDC(3+6)18a(36a)981a, BCE 的面积为 6, 81a6, 解得:a, E(3,2) , 点 E 在双曲线 F2:y上, c+16, c5, 当 mxn(其中 mn0)时,二次函数 yx2+2x+c 的函数值的取值范围恰好是 2my2n, 二次函数 yx2+2x+5,当 mxn(其中 mn0)时,2my2n,且 m0, 由 yx2+2x+5(x1)2+6,可知:抛物线对称轴为直线 x1,顶点(1,6) , 当 n1 时,y 随 x 增大而增大,又 xm 时,y2m,xn 时,y2n, 2mm2+2m+5 或 2nn2+2n+5, 解得:m或,n或, m0,0n1, m,n(不符合题意) ; 当 n1 时,则 2n6,解得 n3, 若1m0,则最小值在 x3 处取得, 即 2m32+23+52,解得:m10,不符合题意,舍去; 若 m1,最小值在 xm 处取得, 即 2mm2+2m+5, 解得:m1,m2(舍去) , m,n3, 综上所述,m,n3; m+n3

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