1、湖南省长沙市雨花区湖南省长沙市雨花区 2020-2021 学年九年级（上）期末数学试卷学年九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（ “我曾踏月来，只因你在山中”请作出最准确的选择一、选择题（ “我曾踏月来，只因你在山中”请作出最准确的选择.本大题共本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1在1，1，0 这四个实数中，最小的是（ ） A1 B C1 D0 2湖南省占地面积约为 211800 平方公里将 211800 用科学记数法表示应为（ ） A0.2118106 B2.118106 C2.118105 D21.18104 3下列四个立体图形中，左视图为矩形的是（ ） A B C D 4
2、下列计算中，正确的是（ ） A2x+3y5xy B （x5）2x225 C4a3aa D （xy2）3x3y5 5如图，ABED，CDBF，若ABCEDF，则还需要补充的条件可以是（ ） AACEF BBCDF CABDE DBE 6盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（ ） A三角形的稳定性 B两点之间线段最短 C两点确定一条直线 D垂线段最短 7若反比例函数的图象经过点（m，3m） ，其中 m0，则此反比例函数图象经过（ ） A第一、三象限 B第一、二象限 C第二、四象限 D第三、四象限 8下列命题中错误的是（ ） A一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形
3、 B不在同一直线上的三点确定一个圆 C三角形的外心到三角形各边距离相等 D对角线相等的平行四边形是矩形 9在平面直角坐标系中，将函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位后，得到的图 象的函数表达式是（ ） Ay（x+1）2+5 By（x1）2+5 Cy（x+1）25 Dy（x1）25 10某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从 1 月份到 3 月份，该店销售额平 均每月的增长率是（ ） A20% B25% C50% D62.5% 11如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6） ，B（8，2） ，以原点 O 为位似中心，在
4、第一象限内将 线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（ ） A （3，3） B （4，3） C （3，1） D （4，1） 12已知直线 yx+7a+1 与直线 y2x2a+4 同时经过点 P，点 Q 是以 M（0，1）为圆心，MO 为半 径的圆上的一个动点，则线段 PQ 的最小值为（ ） A B C D 二、填空题（ “愿岁月善待你我，一切努力皆有结果”请慎重对待结果，本大题共二、填空题（ “愿岁月善待你我，一切努力皆有结果”请慎重对待结果，本大题共 4 小题，共小题，共 12 分）分） 13已知 x2y214，xy2，则 x+y 等于 14对于命题“如果 ab，那么
5、 acbc ” ，它的逆命题是 命题 （填“真”或“假” ） 15如图，四边形 ABCD 内接于O，已知ADC140，则AOC 16如图，平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCO 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，反比例函数 y （x0） 的图象分别与边 BC， AB 交于点 D 和点 E， 连接 OD， EFOD 交 OA 于点 F， 若 OF2FA， 且 ODk，则 k 的值为 三、解答题（ “所谓的努力就是慢慢来的过程”请规范你书写的过程，本题共三、解答题（ “所谓的努力就是慢慢来的过程”请规范你书写的过程，本题共 9 个小题，共个小题，共 72 分）分） 17 （
6、6 分）计算|1|（3）0+（） 1+2cos60 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 a 是方程 x2x6 的根 19 （6 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BC 相交于点 N， 连接 BM，DN （1）求证：四边形 BMDN 是菱形； （2）若 AB4，AD8，求 MD 的长 20 （8 分） “春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销 量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用 A、B、C、D 表示）这四种不同口味饺子 的喜爱情况， 在节前对某居民区市民进行了抽样调查，
7、并将调查情况绘制成如下两幅统计图 （尚不完整） 请根据以上信息回答 （1）本次参加抽样调查的居民有 人； （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）若居民区有 8000 人，请估计爱吃 D 饺的人数； （4）若有外型完全相同的 A、B、C、D 饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个用列表或画树状图的方 法，求他吃到 C 饺的概率 21 （8 分）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树 DE 的高度， 他们在这棵古树的正前方一平房顶 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为 30，在这棵古树的正前方 C 处， 测得古树顶端 D 的仰角为 60，在 A 点处测得 C 点的俯角为
8、30已知 BC 为 4 米，且 B、C、E 三点 在同一条直线上 （1）求平房 AB 的高度； （2）请求出古树 DE 的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计） 22 （9 分）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的 A 型车去年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元，若 今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 6 月份 A 型车销售总额将比去年 6 月份销售总 额增加 25% A，B 两种型号车的进货和销售价格表： A 型车 B 型车 进货价格（元/辆） 11
9、00 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2400 （1）求今年 6 月份 A 型车每辆销售价多少元； （2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两 倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 23 （9 分）已知：如图，RtABC 中，ABC90，AD 平分BAC 交 BC 于 D （1）用尺规画圆 O，使圆 O 过 A、D 两点，且圆心 O 在边 AC 上 （保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：BC 与圆 O 相切； （3）设圆 O 交 AB 于点 E，若 AE2，CD2BD求线段 BE 的长和弧 DE 的长 2
10、4我们约定：图象关于 y 轴对称的函数称为偶函数 （1）下列函数是偶函数的有 （填序号） ； yx+1；y2020 x2+5；y|；y2021x22020 x+2018 （2）已知二次函数 y（k+1）x2+（k21）x+1（k 为常数）是偶函数，将此偶函数进行平移得到新的 二次函数 yax2+bx+c，新函数的图象与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，若 AB 2，且以 AB 为直径的圆恰好经过点 C，求平移后新函数的解析式； （3）如图，已知偶函数 yax2+bx+c（a0）经过（1，2） ， （2，5） ，过点 E（0，2）的一次函数的图象 与二次函
11、数的图象交于 A， B 两点 （A 在 B 的左侧） ， 过点 AB 分别作 ACx 轴于点 C， BDx 轴于点 D， 分别用 S1，S2，S3表示ACE，ECD，EDB 的面积，问：是否存在实数 m，使 S22mS1S3都成立？ 若成立，求出 m 的值，若不存在，说明理由 25 （20 分）如图 1，已知抛物线 F1：yax236a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，直线 l：ykx+b 经过点 B，与 y 轴负半轴交于点 D （1）若 D（0，8）为ABC 的外心，求 a 的值； （2）如图 2，若 D 为ABC 的内心且ABC 的内切圆半
12、径为 3，点 P 为线段 BC 的中点，求经过点 P 的 反比例函数的解析式； （3）如图 3，点 E 是抛物线 F1与直线 l 的另一个交点，已知 OC2OD，BCE 的面积为 6，点 E 在双 曲线 F2：y上，若当 mxn（其中 mn0）时，二次函数 yx2+2x+c 的函数值的取值范围恰 好是 2my2n，求 m+n 的值 2020-2021 学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）期末数学试卷学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（ “我曾踏月来，只因你在山中”请作出最准确的选择一、选择题（ “我曾踏月来，只因你在山中”请作出最准确
13、的选择.本大题共本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1在1，1，0 这四个实数中，最小的是（ ） A1 B C1 D0 【分析】根据负数都小于 0，推出 0 最大，求出每个负数的绝对值，根据绝对值大的反而小，比较即可 【解答】解：， 最小的是， 故选：B 2湖南省占地面积约为 211800 平方公里将 211800 用科学记数法表示应为（ ） A0.2118106 B2.118106 C2.118105 D21.18104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小
14、数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：2118002.118105， 故选：C 3下列四个立体图形中，左视图为矩形的是（ ） A B C D 【分析】根据左视图是分别从物体左面看，所得到的图形，即可解答 【解答】解：长方体左视图为矩形；球左视图为圆；圆锥左视图为三角形；圆柱左视图为矩形； 因此左视图为矩形的有 故选：B 4下列计算中，正确的是（ ） A2x+3y5xy B （x5）2x225 C4a3aa D （xy2）3x3y5 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，积的乘方的计算法则对各选项计算后利用排除法求解 【解答】解
15、：A、不是同类项不能合并，故本选项错误； B、应为（x5）2x210 x+25，故本选项错误； C、4a3aa，故本选项正确； D、应为（xy2）3x3y6，故本选项错误 故选：C 5如图，ABED，CDBF，若ABCEDF，则还需要补充的条件可以是（ ） AACEF BBCDF CABDE DBE 【分析】因为 ABED，所以BD，又因为 CDBF，则添加 ABDE 后可根据 SAS 判定ABC DEF 【解答】解：ABED， BD， CDBF，CFFC， BCDF 在ABC 和DEF 中 BCDF，BD，ABDE， ABCDEF 故选：C 6盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利
16、用的几何原理是（ ） A三角形的稳定性 B两点之间线段最短 C两点确定一条直线 D垂线段最短 【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释 【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了 三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性 故选：A 7若反比例函数的图象经过点（m，3m） ，其中 m0，则此反比例函数图象经过（ ） A第一、三象限 B第一、二象限 C第二、四象限 D第三、四象限 【分析】由反比例函数的图象经过点（m，3m） ，其中 m0，将 xm，y3m 代入反比例解析式中 表示出 k，根据 m 不为 0，得到 k 恒大
17、于 0，利用反比例函数图象的性质得到此反比例函数图象在第一、 三象限 【解答】解：反比例函数的图象经过点（m，3m） ，m0， 将 xm，y3m 代入反比例解析式得：3m， k3m20， 则反比例 y图象过第一、三象限 故选：A 8下列命题中错误的是（ ） A一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形 B不在同一直线上的三点确定一个圆 C三角形的外心到三角形各边距离相等 D对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】 根据平行四边形的判定定理、 确定圆的条件、 三角形的外心的性质、 矩形的判定定理判断即可 【解答】解：一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形，A 正确，不符合题意； 不在同
18、一直线上的三点确定一个圆，B 正确，不符合题意； 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，C 错误，符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，D 正确，不符合题意； 故选：C 9在平面直角坐标系中，将函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位后，得到的图 象的函数表达式是（ ） Ay（x+1）2+5 By（x1）2+5 Cy（x+1）25 Dy（x1）25 【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式 形式写出即可 【解答】解：函数 yx2的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 5 个单位， 平移后的抛物线的顶点坐标为（1，
19、5） ， 平移后得到的函数关系式为 y（x1）2+5 故选：B 10某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从 1 月份到 3 月份，该店销售额平 均每月的增长率是（ ） A20% B25% C50% D62.5% 【分析】设每月增长率为 x，据题意可知：三月份销售额为 2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求 解即可 【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率为 x，则二月份销售额为 2（1+x）万元，三月份销售额为 2（1+x）2万元， 由题意可得：2（1+x）24.5， 解得：x10.550%，x22.5（不合题意舍去） ， 答：该店销售额平均每月的
20、增长率为 50%； 故选：C 11如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（6，6） ，B（8，2） ，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将 线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为（ ） A （3，3） B （4，3） C （3，1） D （4，1） 【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标 【解答】解：线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（6，6） ，B（8，2） ，以原点 O 为位似中心，在第一象 限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD， 端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的一半， 端点 C 的坐标为： （3，3） 故选：A
21、 12已知直线 yx+7a+1 与直线 y2x2a+4 同时经过点 P，点 Q 是以 M（0，1）为圆心，MO 为半 径的圆上的一个动点，则线段 PQ 的最小值为（ ） A B C D 【分析】先解方程组得 P 点坐标为（3a1，4a+2） ，则可确定点 P 为直线 yx+上一 动点，设直线 yx+与坐标的交点为 A、B，如图，则 A（，0） ，B（0，） ，利用勾股定理计 算出 AB，过 M 点作 MP直线 AB 于 P，交M 于 Q，此时线段 PQ 的值最小，证 RtMBPRt ABO，利用相似比计算出 MP，则 PQ，即线段 PQ 的最小值为 【解答】解：解方程组得， P 点坐标为（3a
22、1，4a+2） ， 设 x3a1，y4a+2， yx+， 即点 P 为直线 yx+上一动点， 设直线 yx+与坐标的交点为 A、B，如图，则 A（，0） ，B（0，） ， AB， 过 M 点作 MP直线 AB 于 P，交M 于 Q，此时线段 PQ 的值最小， MBPABO， RtMBPRtABO， MP：OABM：AB，即 MP：， MP， PQ1， 即线段 PQ 的最小值为 故选：C 二、填空题（ “愿岁月善待你我，一切努力皆有结果”请慎重对待结果，本大题共二、填空题（ “愿岁月善待你我，一切努力皆有结果”请慎重对待结果，本大题共 4 小题，共小题，共 12 分）分） 13已知 x2y214
23、，xy2，则 x+y 等于 7 【分析】第一个等式左边利用平方差公式变形，将 xy2 代入计算即可求出 x+y 的值 【解答】解：x2y2（x+y） （xy）14，xy2， x+y7 故答案为：7 14对于命题“如果 ab，那么 acbc ” ，它的逆命题是 假 命题 （填“真”或“假” ） 【分析】写出原命题的逆命题，根据等式的性质判断即可 【解答】解：命题“如果 ab，那么 acbc ” ，它的逆命题是“如果 acbc，那么 ab ” ， 是假命题， 故答案为：假 15如图，四边形 ABCD 内接于O，已知ADC140，则AOC 80 【分析】根据圆内接四边形的性质求出B 的度数，根据圆周
24、角定理计算即可 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， B+ADC180，又ADC140， B40， 由圆周角定理得，AOC2B80， 故答案为：80 16如图，平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCO 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，反比例函数 y （x0） 的图象分别与边 BC， AB 交于点 D 和点 E， 连接 OD， EFOD 交 OA 于点 F， 若 OF2FA， 且 ODk，则 k 的值为 【分析】FAa，则 OF2a，则正方形 ABCO 的边长为 3a，求出点 D 的坐标为（，3a） 、点 E 的坐标为（3a，） ，即可求解 【解答】解：FAa，则 O
25、F2a，则正方形 ABCO 的边长为 3a， 点 B 的坐标为（3a，3a） ， 则 CD，故点 D 的坐标为（，3a） ， 设直线 OD 的表达式为 ymx， 则 3am，解得 m， 故直线 OD 的表达式为 yx， EFOD 且直线 EF 过点 F（2a，0） ， 则直线 EF 的表达式为 y（x2a） ， 则当 x3a 时，y（x2a），故点 E 的坐标为（3a，） ， 点 E、D 均在函数图象上， k3a3a， 解得 k， 故答案为 三、解答题（ “所谓的努力就是慢慢来的过程”请规范你书写的过程，本题共三、解答题（ “所谓的努力就是慢慢来的过程”请规范你书写的过程，本题共 9 个小题，
26、共个小题，共 72 分）分） 17 （6 分）计算|1|（3）0+（） 1+2cos60 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别 化简得出答案 【解答】解：原式11+4+（2）+2 3 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 a 是方程 x2x6 的根 【分析】先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据 a 是方程 x2x6 的根求出 a 的值，代入 原式进行计算即可 【解答】解：原式 a 是方程 x2x6 的根， a2a6， 原式 19 （6 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与
27、BC 相交于点 N， 连接 BM，DN （1）求证：四边形 BMDN 是菱形； （2）若 AB4，AD8，求 MD 的长 【分析】（1） 根据矩形性质求出 ADBC， 推出MDONBO， DMOBNO， 证DMOBNO， 推出 OMON，得出平行四边形 BMDN，推出菱形 BMDN； （2）根据菱形性质求出 DMBM，在 RtAMB 中，根据勾股定理得出 BM2AM2+AB2，推出 x2x2 16x+64+16，求出即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，A90， MDONBO，DMOBNO， 在DMO 和BNO 中， ， DMOBNO（AAS） ， OMON， OB
28、OD， 四边形 BMDN 是平行四边形， MNBD， 平行四边形 BMDN 是菱形 （2）解：四边形 BMDN 是菱形， MBMD， 设 MD 长为 x，则 MBDMx， 在 RtAMB 中，BM2AM2+AB2 即 x2（8x）2+42， 解得：x5， 所以 MD 长为 5 20 （8 分） “春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销 量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用 A、B、C、D 表示）这四种不同口味饺子 的喜爱情况， 在节前对某居民区市民进行了抽样调查， 并将调查情况绘制成如下两幅统计图 （尚不完整） 请根据以上信息回答 （
29、1）本次参加抽样调查的居民有 600 人； （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）若居民区有 8000 人，请估计爱吃 D 饺的人数； （4）若有外型完全相同的 A、B、C、D 饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个用列表或画树状图的方 法，求他吃到 C 饺的概率 【分析】 （1）根据 B 类有 60 人，所占的百分比是 10%即可求解； （2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得 C 类型的人数，然后根据百分比的意义求出 A 组和 C 组 所占的百分比，将两幅不完整的图补充完整即可； （3）由居民区总人数乘以爱吃 D 饺的人所占的百分比即可； （4）画树状图，再由概率公式求解即可 【解答】解：
30、（1）本次参加抽样调查的居民人数是 6010%600（人） ； 故答案为：600； （2）A 组所对应的百分比是100%30%， C 组的人数是 60018060240120（人） ，所占的百分比是100%20%， 将两幅不完整的图补充完整如下： （3）若居民区有 8000 人，则估计爱吃 D 饺的人数为 800040%3200（人） ； （4）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，小王吃到 C 饺的结果有 6 个， 小王吃到 C 饺的概率为 21 （8 分）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树 DE 的高度， 他们在这棵古树的正前方一平房顶 A 点处测
31、得古树顶端 D 的仰角为 30，在这棵古树的正前方 C 处， 测得古树顶端 D 的仰角为 60，在 A 点处测得 C 点的俯角为 30已知 BC 为 4 米，且 B、C、E 三点 在同一条直线上 （1）求平房 AB 的高度； （2）请求出古树 DE 的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计） 【分析】 （1）在 RtACB 中，解直角三角形即可； （2）首先求出 AC，在 RtACD 中，求出 CD，再在 RtCDE 中，求出 DE 即可； 【解答】解： （1）在 RtABC 中，BC4m，ACB30， tan30， ABm （2）在 RtACB 中，易知 AC2ABm， 在 RtACD
32、 中，ACD90，DAC60， CDAC8， 在 RtCDE 中，sin60， DE4m 22 （9 分）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的 A 型车去年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元，若 今年 6 月份与去年 6 月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 6 月份 A 型车销售总额将比去年 6 月份销售总 额增加 25% A，B 两种型号车的进货和销售价格表： A 型车 B 型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆） 今年的销售价格 2400 （1）求今年 6
33、月份 A 型车每辆销售价多少元； （2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两 倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【分析】 （1）设去年 6 月份 A 型车每辆销售价 x 元，那么今年 6 月份 A 型车每辆销售（x+400）元，根 据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题 （2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为 y 元，先求出 m 的范围， 构建一次函数，利用函数性质解决问题 【解答】解： （1）设去年 6 月份 A 型车每辆销售价 x 元，那么今年 6 月份 A 型
34、车每辆销售（x+400）元， 根据题意得， 解得：x1600， 经检验，x1600 是方程的解 x1600 时，x+4002000 答：今年 6 月份 A 型车每辆销售价 2000 元 （2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为 y 元， 根据题意得 50m2m， 解得：m16， y（20001100）m+（24001400） （50m）100m+50000， y 随 m 的增大而减小， 当 m17 时，可以获得最大利润 答：进货方案是 A 型车 17 辆，B 型车 33 辆 23 （9 分）已知：如图，RtABC 中，ABC90，AD 平分BAC 交
35、 BC 于 D （1）用尺规画圆 O，使圆 O 过 A、D 两点，且圆心 O 在边 AC 上 （保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：BC 与圆 O 相切； （3）设圆 O 交 AB 于点 E，若 AE2，CD2BD求线段 BE 的长和弧 DE 的长 【分析】 （1）要使O 过 A、D 两点，即 OAOD，所以点 O 在线段 AD 的垂直平分线上，且圆心 O 在 AC 边上，所以作出 AD 的垂直平分线与 AC 的交点即为点 O； （2）要证明 BC 与O 相切，连接 OD 后，只需要证明ODC90即可； （3）由于 AE 是O 的弦，可过点 O 作 OFAE 于点 F，然后利用垂径定理可知
36、AF1，利用AOF ACB 求出 AB 的值，所以 BEABAE再利用OCDACB，求出半径 OD，可知AOE 是等边 三角形，所以所对的圆心角为 60，利用弧长公式即可求出的长度 【解答】解： （1）O 即为所求： （2）连接 OD， OAOD， OADODA， AD 平分BAC， BADOAD， BADODA， ODAB， ODCABC90， OD 是半径， BC 与O 相切； （3）连接 OE，过点 O 作 OFAB 于点 F， AE2， 由垂径定理定理可知：AF1， CD2BD， ， OFBC， AOFACB， ， OFBD， ， ， AB3， BEABAE1， ODAB， OCDAC
37、B， ， OD2， OAODAE， AOE 是等边三角形， AEO60 ODAB， EOD60， 的长度是： 24我们约定：图象关于 y 轴对称的函数称为偶函数 （1）下列函数是偶函数的有 （填序号） ； yx+1；y2020 x2+5；y|；y2021x22020 x+2018 （2）已知二次函数 y（k+1）x2+（k21）x+1（k 为常数）是偶函数，将此偶函数进行平移得到新的 二次函数 yax2+bx+c，新函数的图象与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，若 AB 2，且以 AB 为直径的圆恰好经过点 C，求平移后新函数的解析式； （3）如图，已知
38、偶函数 yax2+bx+c（a0）经过（1，2） ， （2，5） ，过点 E（0，2）的一次函数的图象 与二次函数的图象交于 A， B 两点 （A 在 B 的左侧） ， 过点 AB 分别作 ACx 轴于点 C， BDx 轴于点 D， 分别用 S1，S2，S3表示ACE，ECD，EDB 的面积，问：是否存在实数 m，使 S22mS1S3都成立？ 若成立，求出 m 的值，若不存在，说明理由 【分析】 （1）根据每个函数是否关于 y 轴对称进行判断； （2）根据偶函数的概念可得：k210 且 k+10，即可求得抛物线解析式，再依据平移的性质可知 a 2，设 A（x1，0） ，B（x2，0） （x1x
39、2） ，利用根与系数关系及乘法公式可得：b28c16，再根据圆的 性质和勾股定理得：b2+16c216，从而求得 b、c，即可得到新函数的解析式； （3）由偶函数性质可知 b0，再利用待定系数法即可得函数解析式，设过点 E（0，2）的一次函数解 析式为：ykx+2，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2k，x1x21，根据题意建立方程求解即可 【解答】解： （1）yx+1 的图像经过第一、三象限，y 轴不是其对称轴，所以 yx+1 不是偶函数； y2020 x2+5 的图像抛物线是轴对称图形，且对称轴是 y 轴，是偶函数； y|是关于 y 轴对称的，是偶函数； y2021x
40、22020 x+2018 的图像抛物线是轴对称图形，对称轴是直线 x，不是偶函数； 故答案为：； （2）二次函数 y（k+1）x2+（k21）x+1（k 为常数）是偶函数， ，解得：k1， 该二次函数解析式为：y2x2+1， 平移抛物线时，开口方向和形状都不变，即 a 的值不变， 平移得到新的二次函数为 y2x2+bx+c， 由题意知，新函数的图象与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C， 设 A（x1，0） ，B（x2，0） （x1x2） ， 令 x0，得 yc， C（0，c） ， AB2， x2x12， 由根与系数关系可知：x1+x2，x1x2， （x1+
41、x2）24x1x2（x2x1）2， （）2422，即 b28c16， 以 AB 为直径的圆恰好经过点 C， 该圆的圆心为 F（，0） ，即 F（，0） ， CF1，即（）2+c21，整理，得：b2+16c216， 联立方程组：， 解得：，； 平移后新函数的解析式为：y2x24x 或 y2x2+4x 或 y2x22x或 y2x2+2x； （3）偶函数 yax2+bx+c（a0）经过（1，2） ， （2，5） ， b0，即 yax2+c， ，解得：， yx2+1， 设过点 E（0，2）的一次函数解析式为：ykx+2， 将 yx2+1 代入，得：x2+1kx+2，即 x2kx10， 设 A（x1，y
42、1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2k，x1x21， y1y2（kx1+2） （kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+4k2+4， 用 S1，S2，S3表示ACE，ECD，EDB 的面积， S1AC （x1）y1 （x1）x1y1， S2CDOE（x2x1）2x2x1， S3BDx2x2y2， S22（x2x1）2（x1+x2）24x1x2k24（1）k2+4， S1S3x1y1x2y2（x1x2） （y1y2）（1）（k2+4）（k2+4） ， S22mS1S3， k2+4m（k2+4） ， m4 25 （20 分）如图 1，已知抛物线 F1：yax236a（a0）与 x 轴交
43、于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，直线 l：ykx+b 经过点 B，与 y 轴负半轴交于点 D （1）若 D（0，8）为ABC 的外心，求 a 的值； （2）如图 2，若 D 为ABC 的内心且ABC 的内切圆半径为 3，点 P 为线段 BC 的中点，求经过点 P 的 反比例函数的解析式； （3）如图 3，点 E 是抛物线 F1与直线 l 的另一个交点，已知 OC2OD，BCE 的面积为 6，点 E 在双 曲线 F2：y上，若当 mxn（其中 mn0）时，二次函数 yx2+2x+c 的函数值的取值范围恰 好是 2my2n，求 m+n 的值 【分析】 （1）在 ya
44、x236a 中，令 y0，可求得点 A，B 的坐标，根据 D（0，8）为ABC 的外心， 可得 DADBDC，再运用勾股定理即可求得 a 的值； （2）根据勾股定理可求得 ACBC，可得 SABCABOC216a，再根据 D 为ABC 的内心且ABC 的内切圆半径为 3， 亦可得 SABC （AB+BC+AC） 3， 建立方程即可求得 a 的值， 从而可得点 C 坐标，再利用中点坐标公式可得点 P 坐标，即可求得结论； （3）先运用待定系数法求得直线 l 解析式，再联立方程组求得点 E 坐标，利用BCE 的面积建立方程求 a 的值，通过点 E 坐标求得 c 的值，从而得到抛物线解析式，再结合二
45、次函数增减性和最值进行分类讨 论求得 m，n 的值即可得到答案 【解答】解： （1）在 yax236a 中，令 y0，得：ax236a0， 解得：x16，x26， A（6，0） ，B（6，0） ， D（0，8）为ABC 的外心， DADBDC， 抛物线 F1：yax236a（a0）与 y 轴交于点 C， C（0，36a） ， DC8（36a）36a8， 在 RtBOD 中，DB10， 36a810， a； （2）由（1）知：AB6（6）12，OC36a， 由勾股定理得：ACBC， D 为ABC 的内心且ABC 的内切圆半径为 3， SABC（AB+BC+AC）3， SABCABOC1236a2
46、16a， （AB+BC+AC）3216a， 即（12+2）3216a， 解得：a1，a2， C（0，4）或 C（0，12） ， 点 P 为线段 BC 的中点， P（3，2）或 P（3，6） ， 设经过点 P 的反比例函数的解析式为 y， 将 P（3，2）或 P（3，6）分别代入，得：k6 或18， 经过点 P 的反比例函数的解析式为 y或 y； （3）由（1）知：B（6，0） ，C（0，36a） ， OC2OD， D（0，18a） ， 直线 l：ykx+b 经过点 B，与 y 轴负半轴交于点 D， ， 解得：， 直线 l 解析式为：y3ax18a， 点 E 是抛物线 F1与直线 l 的另一个交
47、点， ， 解得：（舍去）， E（3，27a） ， SBCEDC（3+6）18a（36a）981a， BCE 的面积为 6， 81a6， 解得：a， E（3，2） ， 点 E 在双曲线 F2：y上， c+16， c5， 当 mxn（其中 mn0）时，二次函数 yx2+2x+c 的函数值的取值范围恰好是 2my2n， 二次函数 yx2+2x+5，当 mxn（其中 mn0）时，2my2n，且 m0， 由 yx2+2x+5（x1）2+6，可知：抛物线对称轴为直线 x1，顶点（1，6） ， 当 n1 时，y 随 x 增大而增大，又 xm 时，y2m，xn 时，y2n， 2mm2+2m+5 或 2nn2+2n+5， 解得：m或，n或， m0，0n1， m，n（不符合题意） ； 当 n1 时，则 2n6，解得 n3， 若1m0，则最小值在 x3 处取得， 即 2m32+23+52，解得：m10，不符合题意，舍去； 若 m1，最小值在 xm 处取得， 即 2mm2+2m+5， 解得：m1，m2（舍去） ， m，n3， 综上所述，m，n3； m+n3