1、 专题 12 二次函数的综合 2021 届中考数学压轴大题专项训练（解析版） 1如图，直线AB过x轴上一点2,0A，且与抛物线 2 yax相交于B，C两点，B点的坐标为1,1 （1）求直线AB的表达式及抛物线 2 yax的表达式 （2）求点C的坐标 （3）点 1 ,P m y在直线AB上，点 2 ,Q m y在抛物线 2 yax上，若 21 yy，直接写出m的取值范围 （4）若抛物线上有一点D（在第一象限内） ，使得 AODCOB SS ，直接写出点D的坐标 【解析】解： （1）设直线AB的解析式为y kxb ， 把2,0A，1,1B代入得 20 1 kb kb ，解得 1 2 k b 所以直
2、线AB的解析式为2yx ； 把1,1B代入 2 yax得1a ， 所以抛物线解析式为 2 yx=； （2）解方程组 2 2yx yx 得 1 1 x y 或 2 4 x y ， 所以2,4C （3）观察图象，当抛物线在直线的下方时，满足 21 yy，即21m （4）设 2 ,0D t tt ， AODCOB SS ， 2 1 23 2 t ，解得 3t 或t 3 （舍去） ， 3,3D 2已知抛物线 2 3yxbx 的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线 1x.连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点 F设点D的横坐标为m
3、（1）求AB的长度； （2）连接AE、CE，当ACE的面积最大时，求点D的坐标； （3）当m为何值时，ADF与CDE相似 【解析】 （1）对称轴 1 2 ( 1) b x ， 2b ， 2 23yxx 当0y 时， 2 x2x30，解得 1 3x ， 2 1x ， 即( 3,0)A ， (1,0)B ， 1 ( 3)4 AB. （2）经过点( 3,0)A 和(0,3)C的直线AC关系式为3yx=+， 点D的坐标为( , 3)m m. 在抛物线上的点E的坐标为 2 ,23mmm， 22 23(3)3DEmmmmm ， 111 222 ACE SDE FDE OFDE OA 22 139 33 2
4、22 mmmm ， 当 9 3 2 32 2 2 m 时， ACE S的最大值是 2 339327 22228 ， 点D的坐标为 33 ,3 22 ，即 3 3 , 2 2 ， （3）连EF， 情况一：如图，当/CE AF时，ADFCDE， 当 3y 时， 2 233xx，解得 1 0 x ， 2 2x ， 点E的横坐标为2，即点D的横坐标为2， 2m 情况二：点( 3,0)A 和(0,3)C， OAOC，即45OAC. 如图，当ADFEDC时， 45OACCED，90AFDDCE， 即EDC为等腰直角三角形， 过点C作CGDE，即点CG为等腰Rt EDC的中线， 22mDECG， 3DFm，
5、 EFDEDF，即 2 2323mmmm ， 解得1m，0m（舍去） 综述所述，当1m或2 时，ADF与CDE相似 3如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数 2 8 3 yaxxc的图像与 y 轴交于点 B(0， 4)，与 x 轴交 于点 A(1，0)和点 D (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点和点 D的坐标； (3)在抛物线上是否存在点 P，使得 BOP 的面积等于 5 2 ？如果存在，请求出点 P 的坐标？如果不存在，请 说明理由 【解析】解：(1)把点 A(1，0)和点 B(0， 4)代入二次函数 2 8 3 yaxxc中得： 28 0=11 3 4 ac c 解得： 4
6、3 4 a c 所以二次函数的解析式为： 2 48 4 33 yxx ； （2）根据（1）得点 D 的坐标为（3，0） ， 2 48 4 33 yxx = 2 2 4416 241 333 xxx ， 顶点坐标为（1，16 3 ） ； (3)存在这样的点 P，设 P的坐标为 P(x，y)，到 y 轴的距离为x S BOP 1 2 BOx 5 2 1 2 4x 解得：x 5 4 所以 x5 4 把 x 5 4 代入 2 48 4 33 yxx 中得： 2 4585 4 3434 y 即：y 21 4 ， 把 x 5 4 代入 2 48 4 33 yxx 中得： 2 4585 4 3434 y 即
7、：y 17 12 满足条件的点 P 有两个，坐标分别为 P1( 5 4 ， 21 4 )、P2( 517 , 412 ) 4已知抛物线 yx22x3与 x 轴交于点 A、B，与 y轴交于点 C，点 D为 OC 中点，点 P 在抛物线上 （1）直接写出 A、B、C、D 坐标； （2）点 P 在第四象限，过点 P 作 PEx轴，垂足为 E，PE交 BC、BD于 G、H，是否存在这样的点 P，使 PGGHHE？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由 （3）若直线 y 1 3 x+t 与抛物线 yx22x3在 x轴下方有两个交点，直接写出 t的取值范围 【解析】解： （1）在 yx22x3中，
8、 当 x0时，y3；当 y0时，x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ， D 为 OC的中点， D（0， 3 2 ） ； （2）存在，理由如下： 设直线 BC的解析式为 ykx3， 将点 B（3，0）代入 ykx3， 解得 k1， 直线 BC的解析式为 yx3， 设直线 BD的解析式为 ymx 3 2 ， 将点 B（3，0）代入 ymx 3 2 ， 解得 m 1 2 ， 直线 BD的解析式为 y 1 2 x 3 2 ， 设点 P 的坐标为（x，x22x3） ，则 E（x，0） ，H（x， 1 2 x 3 2 ） ，G（x，x3） ， EH 1 2 x+ 3 2 ，HG
9、 1 2 x 3 2 （x3） 1 2 x+ 3 2 ，GPx3（x22x3）x2+3x， 当 EHHGGP 时， 1 2 x+ 3 2 x2+3x， 解得 x1 1 2 ，x23（舍去） ， 点 P 的坐标为（ 1 2 ， 15 4 ） ； （3）当直线 y 1 3 x+t 经过点 B 时， 将点 B（3，0）代入 y 1 3 x+t， 得，t1， 当直线 y 1 3 x+t与抛物线 yx22x3 只有一个交点时，方程 1 3 x+tx22x3只有一个解， 即 x2 7 3 x3t0， （ 7 3 ）24（3t）0， 解得 t 157 36 ， 由图 2可以看出，当直线 y 1 3 x+t与
10、抛物线 yx22x3在 x 轴下方有两个交点时，t的取值范围为： 157 36 t1时 5已知：如图，抛物线 2 3yaxbx与坐标轴分别交于点A， ( 3)B ，0，(1,0)C，点P是线段AB上 方抛物线上的一个动点 （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线的对称轴 l上找一点M，使MAMC的值最小，求出点 M的坐标； （3）当点P运动到什么位置时，PAB的面积最大？ 【解析】解： （1）把( 3)B ，0，(1,0)C代入抛物线 2 3yaxbx得： 9330 0 ab abc ，解得： 1 2 a b ， 抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3； （2）由题意可得：抛物线的对称轴为直线
11、3 1 1 2 x ，点0,3A， 要使MAMC的值最小，对称轴直线 x=-1 与线段 AB的交点即为所求点 M， 设直线 AB的解析式为：y kxb ，把点 A 和点 B的坐标代入，解得：1,3kb， 直线 AB：y=x+3， M（-1，2） ； （3）连接 OP，如图所示： 设 P(t，-t2-2t+3)，其中 t0，-t2-2t+30，由（1） （2）可得： OA=3，OB=3， PAO的高为点 P 到 y轴的距离， PBO 的高为点 P 到 x 轴的距离， PABPAOBPOAOB SSSS =0.5 3 （-t）+0.5 3 （-t2-2t+3）-0.5 3 3 =-0.5(t+0.
12、5)2+3.375； 0.50a，即抛物线的开口向下， 当 t=-0.5时，S最大，此时，点 P(-0.5，3.75) 6如图，二次函数 2 1 2 5 yxbxc 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A（-1，0）和点 B（0，2） ，图象的 对称轴交 x 轴于点 C，一次函数 2 ymxn的图象经过点 B，C，与二次函数图象的另一个交点为点 D （1）求二次函数的解析式 1 y和一次函数的解析式 2 y； （2）求点 D 的坐标； （3）结合图象，请直接写出 12 yy 时，x 的取值范围：_ 【解析】解： （1）将点( 1,0)A 和点(0,2)B代入 2 1 2 5 yxbxc ，得：
13、 2 2 0 5 c bc ， 解得： 8 5 2 b b c ， 二次函数的解析式为 2 1 28 2 55 yxx 二次函数的对称轴为直线 8 5 2 2 2 () 5 x ， (2,0)C， 一次函数 2 ymxn的图象经过点B、C， 2 20 n mn ，解得 1 2 m n ， 一次函数的解析式为 2 2yx （2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得： 2 28 2 55 2 yxx yx ， 解之得 0 2 x y 或 13 2 9 2 x y ， 点 D 的坐标为 13 ( 2 ， 9) 2 ， （3）由图象可知，当0 x或 13 2 x 时，有 12 yy 7平面直角坐标
14、系中，抛物线 yax2+bx+3交 x 轴于 A，B 两点，点 A，B 的坐标分别为（3，0） ， （1，0） ， 与 y轴交于点 C，点 D为顶点 （1）求抛物线的解析式和 tanDAC； （2）点 E 是直线 AC下方的抛物线上一点，且 S ACE2S ACD，求点 E 的坐标； （3）如图 2，若点 P是线段 AC上的一个动点，DPQDAC，DPDQ，则点 P 在线段 AC 上运动时， D 点不变，Q点随之运动求当点 P从点 A运动到点 C 时，点 Q运动的路径长 【解析】解： （1）将 A（3，0） ，B（1，0）分别代入抛物线 yax2+bx+3可得： 0933 03 ab ab ，
15、解得 1 2 a b ； 抛物线解析式为 yx22x+3， D（1，4） ，C（0，3） ； AC3 2，DC2 ； tanDAC 21 = 33 2 DC AC （2） 如图 1所示， 过 E作 EF/x轴交 AC 于点 F，设点 E （m，m22m+3） ， 直线 AC 的表达式为 ykx+n， 将 A（3，0） ，C（0，3）分别代入 ykx+n 可得： 03 3 kn n ，解得 1 3 k n ， 直线 AC表达式为 yx+3， F（m22m，m22m+3） ， EFm+m2+2mm2+3m， S ACE 1 2 （xCxA）EF， S ACD 1 2 ACCD3， S ACE 1
16、2 （xCxA）EF2S ACD6， 3 2 （m2+3m）6， 解得 m11，m24（舍） ， E（1，0） （3）如图 2所示 当点 P 与点 A重合时， ADQ=DCA=90 ， DAC+ADC=90 =ADC+QDC， DAC=QDC， 又DCA=DCQ=90 ， ADCDQC， DCCQ ACDC ， 222 . 33 2 CQ ， 当点 P 与点 C重合时， QDC=ACD=90 ， DQCQ， DAC=QPD，QDP=ACD=90 ， ADCPQD， DQDC DCAC ， 2 3 DQ， DQ=CQ， 四边形 DQQC 是平行四边形， QQ=CD= 2 8已知0a，点0,1A，
17、抛物线 2 1 yxbx a 经过点1,1B，且与直线AB交于点P，与x轴交于点 Q（异于原点O） （1）填空：用含a的代数式表示b_； （2）若OBQ是直角三角形，求a的值； （3）点M是抛物线的顶点，连接OM与BP交于点N，当点N是BP三等分点时，求a的值 【解析】 （1）抛物线 2 1 yxbx a 经过点 B（1，1） ， 1 1 a b， b1 1 a ， 故答案为： 1 1 a ； （2） 1 1b a ，抛物线的解析式为： 2 11 1yxx aa 令0y ，则 2 11 10 xx aa ，解得 1 0 x ， 2 1xa 点Q异于原点， 点Q的坐标为 1,0a 1OQa， 1
18、,1B，Q（a+1，0） 2 2OB ，OQ 2= 2 1a， 22 1BQa ， OBQ是直角三角形， 222 OBBQOQ， 即 2 2 2 11aa 1a （3）如图， 2 11 1yxx aa 1 a （x 1 2 a ）2 2 1 4 a a ， 点 M（ 1 2 a ， 2 1 4 a a ） ， 设直线 OM的解析式为 y=kx， 把 M（ 1 2 a ， 2 1 4 a a ）代入得 k= 2 1 4 1 2 a a a = 1 2 a a 直线 OM的解析式为 y 1 2 a a x， 当 y1 时，x 2 1 a a ， 点 N（ 2 1 a a ，1） ， 2 11 1y
19、xx aa 与直线 AB 交于点 P， 1 1 a x2（1 1 a ）x， x11，x2a， 点 P（a，1） ， 点 N是 BP 三等分点， BN2PN， 1 2 1 a a 2（ 2 1 a a a） ， 解得：a1 或 1 2 9 如图， 在坐标系中， ABC 是等腰直角三角形， BAC = 90 ， A(1， 0)， B(0， 2) 抛物线 2 1 2 2 yxbx 的图象过 C点，交 y轴于点 E （1）求抛物线的解析式； （2）在 x 轴上是否存在点 P 使得 BPC 的周长最小，若存在，请求出点 P 坐标，若不存在，请说明理由； （3） 直线 BC 解析式为 1 2 3 yx
20、， 若平移该抛物线的对称轴所在直线 l， 当 l移动到何处时， 恰好将 ABC 的面积分为相等的两部分? 【解析】 （1）解： （1）如图 1所示，过点 C作 CDx轴于点 D， 则CAD+ACD90 AOB90 OBA+OAB90 ， BAC90 OAB+CAD90 ， OABACD，OBACAD 在 AOB与 CDA 中， OABACD ABCA OBADAC ， AOBCDA（ASA） CDOA1，ADOB2 ODOA+AD3 C（3，1） 点 C（3，1）在抛物线 y 1 2 x2+bx2上， 1= 1 2 9+3b2，解得：b= 1 2 抛物线的解析式为： 2 11 2 22 yxx
21、； （2）把 x=0 代入 2 11 2 22 yxx，得 y=-2， 点 E 坐标为(0，-2)， B(0，2)， 点 B，E关于 x轴对称，连接 EC 交 x 轴于点 P，则 BP+PC最小即 BPC 的周长最小 设直线 CE 解析式为y mxn ， 把点 E（0，-2） ，C（3，1）代入解析式y mxn ， 得 2 31 n mn ，解得 1 2 m n ， 直线 EC的解析式为 y=x-2， ， 令 y=0，解得 x=2， P 点坐标为(2，0)； （3）如图 2，设直线 AC 解析式为y pxq ， 把点 A（1,0） ，C（3，1）代入解析式y pxq ， 得 0 31 pq p
22、q ，解得 1 2 1 2 p q ， 直线 EC的解析式为 11 22 yx， 如图设直线 l与 BC、AC分别交于点 E、F， 11155 2 32262 EFxxx 在 CEF中，EF 边上的高 h=ODx=3x 由题意得：S CEF= 1 2 S ABC， 即 EFh= 1 2 S ABC 1 551 11 31231 2 2 2 262 22 xx ，整理得： （3x） 2=3 解得 x=3 3或 x=3+3（不合题意，舍去） 当直线 l解析式为 x=33时，恰好将 ABC的面积分为相等的两部分 10 把函数 2 1: 230yaxaxa aC的图象绕点0P m，旋转 180 ， 得
23、到新函数 2 C的图象， 我们称 2 C 是 1 C关于点P的相关函数， 2 C是图象的对称轴与x轴交点坐标为0t， （1）若1a ，0m时， 1 C的相关函数 2 C为_； （2）t的值为_（用含m的代数式表示） ； （3）若1a，当 1 2 xt时，函数 1 C的最大值为 1 y，最小值为 2 y，且 12 1yy，求 2 C的解析式 【解析】 （1）1a ，0m， 函数 1 C为： 2 2 2314yxxx的顶点坐标为（1，-4） ， 绕原点旋转 180 后的抛物线的顶点坐标为（-1，4） ， 1 C的相关函数 2 C为 2 14yx ，即 2 23yxx ， 故答案为： 2 23yxx
24、 ； （2） 1 C： 2 2 2314yaxaxaa xa，顶点坐标为（1，4a） ， 顶点（1，4a）围绕点 P（m，0）旋转 180 的对称点为（21m，4a） ， 1 C的相关函数 2 C为： 2 (21)4ya xma ， 函数的对称轴为：21xm， 21tm， 故答案为：21m； （3）1a时， 1 C： 2 14yx ， 1 0a ，对称轴为直线1x ， 当 1 1 2 t 时， 1 2 x 时，有最小值 2 15 4 y ， xt时，有最大值 2 1 14yt ， 则 2 12 15 141 4 yyt ， 整理得： 23 1 4 t ，无解； 当 3 1 2 t 时， 1x
25、时，有最大值 1 4y ， 3 2 x 时，有最小值 2 15 4 y ， 12 151 41 44 yy（舍去） ； 当 3 2 t 时， 1x 时，有最大值 1 4y ， xt时，有最小值 2 2 14yt ， 2 12 11yyt， 解得：0t (舍去)或2t ， 故 2 C： 2 2 244yxxx， 故 2 C的解析式为 2 4yxx 11已知函数 22 22 22 () 22 () xkxkk x k y xkxkk xk ， （k为常数） （1）当1k 时， 求此函数图象与y轴交点坐标 当函数y的值随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为_ （2）若已知函数经过点（1，5） ，求
26、k的值，并直接写出当20 x 剟时函数y的取值范围 （3）要使已知函数y的取值范围内同时含有2和4这四个值，直接写出k的取值范围 【解析】 （1）当1k 时， 2 2 23(1) 23(1) xxx y xxx 01 ， 把 x0代入 2 23yxx得 3y 此函数图象与 y轴交点坐标为（0,3） 当 x1时， 2 23yxx 配方得 2 (1)2yx a10，对称轴为直线 x1， 当 x1，y随 x 的增大而增大，符合题意， 当 x1时， 2 23yxx， 配方得 2 (1)2yx， a10，对称轴为直线 x1， 当 x1时，y随 x的增大而增大，符合题意， 综上所述：当函数y的值随x的增大
27、而增大时，自变量x的取值范围为 x1或 x1； （2）当 k1 时， 把（1,5）代入 22 22yxkxkk，得 2 1225kkk ， 解得 2 460kk无实根 当 k1时， 把（1,5）代入 22 22yxkxkk，得 2 1225kkk， 解得 1 2k （不合题意，舍去） ， 2 2k 2k 2 2 48(2) 48(2) xxx y xxx 当 x2 时，将 x2代入 2 48yxx 得：y4， 当2x0 时， 2 48yxx 配方得 2 (2)4yx a10，对称轴为直线 x2， 当2x0时，8y20， 综上所述：当2x0 时，y的取值范围为 4y 或 8y20 （3）由题意可
28、知 2 2 ()2 () ()2 () xkk x k y xkk xk ， 当 k0 时，函数图像如图所示， 则 2 ()2 ()yxkk x k 的最大值 2k2即可， 解得 k1， 1k0， 当 0k2 时， 2 ()2 ()yxkk x k 的最大值 2k4 则当 xk 时， 2 ()2 ()yxkk xk的最小值4 即可， 将 xk，y4 代入得 2 424kk 解得 12 117117 , 44 kk （舍去） ， 0k1 17 4 ， 当 k2 时， 2 ()2 ()yxkk x k 的最大值 2k4， 如图，此时在左边的图像上的最大值不小于 4，符合题意， k2， 综上所述：1
29、k1 17 4 或 k2 12如图，抛物线 y 1 4 x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A在点 B的左侧） ，与 y轴交于点 C，抛物线 的顶点为 M，对称轴交 x轴于 E，点 D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DEOC，DM 25 4 （1）求抛物线的对称轴方程； （2）若 DADC，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线 BM上只存在一个点 Q，使PQC 45 ，求点 P 的坐标 【解析】 （1）OCc，DEOCc，点 D在抛物线对称轴上， 点 D纵坐标为 c， 点 M 是抛物线顶点， 点 M 的纵坐标为 2 42 4
30、acb cb a ， 则 DMc（cb2） 25 4 ， 2 25 4 b ； 解得 b 5 2 （舍去） ，或 b 5 2 ， 抛物线的对称轴为直线 x 2 b a 5 2 1 2 4 =5； （2）由（1）可知抛物线的表达式为 y 1 4 x2 5 2 x+c， 令 y 1 4 x2 5 2 x+c0，设 A、B两点横坐标为 xA、xB，则 xA+xB10，xAxB4c， 则 AB 2 () AB xx 2 ()4 ABAB xxx x100 16c， 在 RtADE中，AE 1 2 AB，DEc，ADDC5， 由勾股定理得：AD2DE2+AE2， 222 100 16 5() 2 c c
31、 ， 25c2+254c，化简得： 2 40cc ，解得 c4， 故抛物线的表达式为 y 1 4 x2 5 2 x+4； （3）如图，连接 PQ、PC、QC，作PQC的外接圆 K，连接 KP、KC， 过点 K作 y轴的垂线，交 y轴于点 F，交抛物线的对称轴于点 N， 设点 K的坐标为（m，n） ，点 P（5，t） ， PQC45 ，故PKC90 ，且 PKCKQK， FKC+NKP90 ，NKP+NPK90 ， FKCNPK， RtKFCRtPNK（AAS） ， CFNK，PNMK， 4n5m，tnm， nm1，t2m1， 故点 K的坐标为（m，m1） ，点 P 的坐标为（5，2m1） 由抛
32、物线的表达式知，顶点 M的坐标为（5， 9 4 ） ，点 B 的坐标为（8，0） ， 由点 B、M 的坐标得，直线 MB 的表达式为 y 3 4 x6， 设点 Q的坐标为（r， 3 4 r6） ， 由 KC2KQ2得，m2+（m14）2（mr）2+（m1 3 4 r+6）2 ， 整理得： 25 16 r2（ 7 2 m+ 15 2 ）r+20m0，关于 r 的一元二次方程， 直线 BM 上只存在一个点 Q，r的解只有一个， （ 7 2 m+ 15 2 ）2425 16 20m0， 解得 m5或 45 49 ， 点 P 坐标（5，t） ，t2m1，当 m5 时，t9； 当 m 45 49 时，t 41 49 ； 故点 P 的坐标为（5，9）或（5， 41 49 ）
