1、第第 17 章勾股定理章勾股定理 章末综合优生辅导训练章末综合优生辅导训练 1如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 AE 10，BE24，则 EF 的长是（ ） A14 B13 C14 D14 2下列各组数中，以 a、b、c 为边长的三角形不是直角三角形的是（ ） Aa1，b，c Ba7，b24，c25 Ca5，b12，c13 Da，b4，c 3如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm，现有一长为 16cm 的吸管插入到盒 的底部，则吸管露在盒外的部分 h 的取值范围为（ ） A3h4 B3h4 C2h4 Dh4 4
2、已知ABC 中，AB10，AC17，BC 边上的高 AD8，则ABC 的面积为（ ） A168 B84 C84 或 36 D168 或 72 5 “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形如图，每一个直角三角形的 两条直角边的长分别是 3 和 6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ ） A9 B36 C27 D34 6已知，RtABC 中，ACB90，AC3cm，BC4cm，CAB 的平分线交 BC 于点 D，则 BD 的长 度为（ ） Acm B2cm Ccm D3cm 7如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从 A 处先往东走 4m，又往北走 1.5m，遇到障碍后
3、又往西 走 2m，再转向北走 4.5m 后往东一拐，仅走 0.5m 就到达了 B则点 A 与点 B 之间的直线距离是（ ） A10m B8.5m C7m D6.5m 8如图，RtABC 中，ACB90，DE 垂直平分 AB 交 BC 的延长线于点 E若 AC12，BC5，则 EC 的值为（ ） A8 B11.9 C12 D13 9如图，四边形 ABCD 中，ABCCDA90，以它的四条边为斜边分别向外作等腰直角三角形，其 中 3 个三角形的面积分别为 2，5，9，则第 4 个三角形的面积为（ ） A6 B9 C11 D12 10若ABC 的三边分别为 a，b，c，且（a+b） （ab）c2，则
4、（ ） AABC 不是直角三角形 Ba 的对角为直角 Cb 的对角为直角 Dc 的对角为直角 11如图，RtABC 中，ACB90，D、E 分别为 AC、BC 边的中点，若 BD，AE，则斜边 AB 长为 12等腰ABC 的腰长 ABAC10，一腰上的高 BD6，则底边 BC 13如图，在ABC 中，C90，若 AB15，则 AB2+AC2+BC2 14若一个三角形的三边长为 m+1，12，m+5，当 m 时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为 m+5 15如图，在四边形 ABCD 中，AB90，AB4，BC9，CD5，AD6，动点 P 从点 B 出发， 以每秒 1 个单位的速度沿 BCCDD
5、A 向终点 A 运动， 设点 P 的运动时间为 t 秒， 当 t 的值为 秒 时，ABP 是等腰三角形 16 已知三角形相邻两边长分别为 13cm 和 15cm， 第三边上的高为 12cm， 则此三角形的面积为 cm2 17如图所示，一棵大树在离地面 9 米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部 12 米处这棵大树在折断之前 是 米 18在平面直角坐标系中，若点 M（x，4）到原点的距离是 5，则 x 的值是 19一架长为 5 米的梯子 AB 斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端距离 C 处 3 米，如果梯子顶端沿墙下滑 1 米，梯子的底端沿水平方向滑动 米 20 如图， 有一块菜地， 已知 AB4m
6、， BC3m， ABBC， AD5m， CD10m， 则这块地的面积是 21如图，在 RtABC，ABC90，AB16cm，BC12cm，BDAC （1）求出 AC 的长和 BD 的长 （2）点 P 从点 C 出发，以每秒 1cm 的速度沿 CAB 运动，运动到点 B 时停止，设运动时间为 t 秒， 当 t 为何值时，PBC 的面积为 36cm2？ 22如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫格点，已知ABC 是网格 中的格点三角形 （1）求 BC 的长 （2）求ABC 的面积 （3）求 BC 边上的高 23著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都
7、为 a，较小的直角边长都为 b，斜边 长都为 c） ，大正方形的面积可以表示为 c2） ，也可以表示为 4ab+（ab）2，由此推导出重要的勾股 定理：如果直角三角形两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则 a2+b2c2 （1）图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” ，请你利用图推导勾股定理 （2）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 ABAC，由 于某种原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A、H、 B 在同一条直线上） ，并新修一条路 CH，且 CHAB测得 CH1.2 千米，HB0.9 千米，
8、求新路 CH 比原路 CA 少多少千米？ （3）在第（2）问中若 ABAC 时，CHAB，AC4，BC5，AB6，设 AHx，求 x 的值 24某中学 A，B 两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地 ABCD，学校为了绿化环境，计划在空地上 种植花草，经测量ABC90，AB20 米，BC15 米，CD7 米，AD24 米 （1）求出四边形空地 ABCD 的面积； （2）若每种植 1 平方米的花草需要投入 120 元，求学校共需投入多少元 25如图，ABC 中，C90，AB10cm，BC6cm，若点 P 从点 A 出发，以每秒 2cm 的速度沿折线 ACBA 运动，设运动时间为 t（t0）秒
9、（1）若点 P 恰好在BAC 的平分线上，求 t 的值； （2）若CBP 为等腰三角形，求 t 的值； 26如图，在ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，M 是斜边的中点 （I）若 BC1，AC3，求 CM 的长； （II）若ACD3BCD，求MCD 的度数 参考答案参考答案 1解：AE10，BE24，即 24 和 10 为两条直角边长时， 小正方形的边长241014， EF14故选：D 2解：A、12+（）2（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； B、72+242252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； C、52+122132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； D、 （）2
10、+（）242，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形 故选：D 3解：当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为 16124（cm） ； 露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线直径为 5cm，高为 12cm， 由勾股定理可得杯里面管长为13cm，则露在杯口外的长度最长为 16133cm； 则可得露在杯口外的长度在 3cm 和 4cm 范围变化故选：B 4解：在直角三角形 ABD 中，根据勾股定理，得 BD15， 在直角三角形 ACD 中，根据勾股定理，得 CD6 当 AD 在三角形的内部时，BC15+621， 所以ABC 的面积为21884； 当 AD 在三
11、角形的外部时，BC1569， 所以ABC 的面积为9836故选：C 5解：根据题意得： 小正方形的面积（63）29，大正方形的面积32+6245， 45936 故选：B 6解：过点 D 作 DEAB 于 E， 在 RtABC 中，由勾股定理得：AB5（cm） ， AD 是角平分线，ACB90，DEAB， CDDE， 则ACBCACCD+ABDE，即343CD+5CD， 解得，CD（cm） ， BDBCCD4（cm） ， 故选：C 7解：过点 B 作 BCAD 于 C， 从图中可以看出 AC42+0.52.5（m） ， BC4.5+1.56（m） ， 在直角ABC 中，AB 为斜边， 则 AB6
12、.5（m） 答：从点 A 到点 B 之间的距离是 6.5m， 故选：D 8解：DE 垂直平分 AB，ACB90， EDBACB90， 在 RtABC 中，由勾股定理得：AB13， 即 BD， BB，EDBACB， BE， CE511.9 故选：B 9解：连接 AC， 3 个等腰直角三角形的面积分别为 2，5，9， AD2，AB2，BC26， 在 RtABC 中，AC2， 在 RtADC 中，CD4， 则第 4 个三角形的面积为 4（42）212 故选：D 10解：（a+b） （ab）c2， a2b2+c2， ABC 是直角三角形，a 为斜边， a 的对角是直角 故选：B 11解：设 AC2x，
13、BC2y， D、E 分别为 AC、BC 边的中点， ADCDx，BECEy， 在 RtACE 中，C90，AE， AC2+CE2AE2，即 4x2+y23 ， 在 RtBCD 中，C90，BD， BC2+CD2BD2，即 x2+4y22 ， +，得：5x2+5y25， 则 x2+y21， AB2AC2+BC24x2+4y24（x2+y2）4， 则 AB2， 故答案为：2 12解：等腰ABC 有两种情况： 当ABC 为锐角三角形时，如图： ABAC10，BD6， AD8， DCACAD1082， BC2； 当ABC 为钝角三角形时，如图： ABAC10，BD6， AD8， DCAC+AD10+8
14、18， BC6 综上，BC 的值为 2或 6 故答案为：2或 6 13解：如图，在ABC 中，C90，则由勾股定理知：AC2+BC2AB2， AB15， AB2+AC2+BC22AB22152450 故答案是：450 14解：由题意可得， （m+1）2+122（m+5）2， 解得 m15 故答案为：15 15解：当点 P 在 BC 上时，如图 1，ABBP4， t414（秒） ； 当点 P 在 CD 上时，APBP，过 P 作 PEAB 于 P， AEBE， DABABCAEP90， ADEPBC， DPPC， t9+11.5（秒） ； 当点 P 在 AD 上时，ABAP4， PDADAP64
15、2， t9+5+216（秒） ； 综上，t 的值是 4 秒或 11.5 秒或 16 秒时，ABP 是等腰三角形 故答案为：4 或 11.5 或 16 16解：第三边上的高在三角形内部； 如图所示，AB15，AC13，AD12， AD 是高， ABD、ACD 是直角三角形， BD9， 同理可得 CD5， BCBD+CD14， SABC84； 第三边上的高在三角形外部； 如图所示，AB15，AC13，AD12， AD 是高， ABD、ACD 是直角三角形， BD9， 同理可得 CD5， BCBDCD954， SABC24； 综上，则此三角形的面积为 84 或 24cm2 故答案为：84 或 24
16、17解：因为 AB9 米，AC12 米， 根据勾股定理得 BC15（米） ， 于是折断前树的高度是 15+924（米） 故答案为：24 18解：由题意知，5 解得 x3 故答案是：3 19解：在 RtACB 中，BC3，AB5，AC4 米， DC413 米 在 RtDCE 中，DC3，DE5，CE4 米， 所以 BECECB1 即梯子底端也滑动了 1 米 故答案为：1 20解：在ABC 中， B90，AB4m，BC3m， AC5（m） ， SABC346（m2） ， 在ACD 中， AD5m，AC5m，CD10m， AD2+AC2CD2， ACD 是直角三角形， SACD55（m2） 四边形
17、ABCD 的面积SABC+SACD（6+） （m2） 故答案为： （6+） （m2） 21解： （1）因为ABC90，AB16cm，BC12cm， 所以 AC2162+122400， 所以 AC20cm 因为， 所以 （cm） ， （2）当点 P 在线段 CA 上时， 所以， 此时 t7.5； 当点 P 在线段 AB 上时， 所以 BP6， 此时 t30， 所以当 t 为或 30 时，PBC 的面积为 36cm2 22解： （1）由图可知：BC （2）如图， SABCS正方形EDBFSBCFSABDSACE 44142423162437 （3）过点 A 作 AHBC 于点 H， SABCBCA
18、H， 7AH， AH BC 边上的高为 23解： （1）梯形 ABCD 的面积为（a+b） （a+b）a2+ab+b2， 也可以表示为ab+ab+c2， ab+ab+c2a2+ab+b2， 即 a2+b2c2； （2）CAx， AHx0.9， 在 RtACH 中，CA2CH2+AH2， 即 x21.22+（x0.9）2， 解得 x1.25， 即 CA1.25， CACH1.251.20.05（千米） ， 答：新路 CH 比原路 CA 少 0.05 千米； （3）设 AHx，则 BH6x， 在 RtACH 中，CH2CA2AH2， 在 RtBCH 中，CH2CB2BH2， CA2AH2CB2BH
19、2， 即 42x252（6x）2， 解得：x 24解： （1）连接 AC 在 RtABC 中，因为ABC90，AB20，BC15， 所以 AC25（米） 在ADC 中，因为 CD7，AD24，AC25， 所以 AD2+CD2242+72625AC2 所以ADC 是直角三角形，且ADC90 所以 S四边形ABCDSABC+SADC1520+724234（平方米） 所以四边形空地 ABCD 的面积为 234 平方米 （2）12023428 080（元） 所以学校共需投入 28 080 元 25解： （1）ABC 中，C90，AB10cm，BC6cm， AC8（cm） ， 当点 P 在BAC 的平分
20、线上时，如图 1，过点 P 作 PEAB 于点 E， 此时 BP（142t）cm，PEPC（2t8）cm，BE1082（cm） ， 在 RtBEP 中，PE2+BE2BP2， 即： （2t8）2+22（142t）2， 解得：t， 当 t12 秒时，点 P 与 A 重合，也符合条件， 当 t或 12 时，点 P 恰好在BAC 的平分线上； （2）根据题意得：AP2tcm， 当 P 在 AC 上时，BCP 为等腰三角形， PCBC，即 82t6， t1， 当 P 在 AB 上时，BCP 为等腰三角形， CPPB，点 P 在 BC 的垂直平分线上， 如图 2，过 P 作 PEBC 于 E， BEBC
21、3cm， PBAB，即 2t685，解得：t， PBBC，即 2t686， 解得：t10， PCBC，如图 3，过 C 作 CFAB 于 F， BFBP， ACB90， 依题意有 CF8610（cm） ， 在 RtBFC 中，BF（cm） ， PB2BF（cm） ， t（8+6+）2， 当 t1 或或 10 或时，BCP 为等腰三角形 26解： （）在ABC 中，ACB90，BC1，AC3， AB， M 是斜边的中点， CMAB； （）ACBACD+BCD90，ACD3BCD， ACD9067.5， CDAB， A+ACD90， A22.5， CMABAM， ACMA22.5， MCDACDACM67.522.545
