1、 1 2021 年山东省枣庄市中考模拟数学试题 03 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选 出来，每小题选对得出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。 1 （3 分）9 的平方根是（ ） A3 B3 C3 D 2 （3 分）如图，数轴上的单位长度为 1，有三个点 A、B、C，若点 A、B 表示的数互为相反数，则图中 点 C 对应的数是（ ） A2 B0 C1 D4 3 （3 分）下
2、列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ） A B C D1 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （x+y）2x2+y2 B （xy2）3x3y6 Cx6x3x2 D2 5（3 分）当 axa+1 时，函数 yx22x+1 的最小值为 4，则 a 的值为（ ） A2 B4 C4 或 3 D2 或 3 6（3 分）如图，ABC 的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD2，BC5， 则ABC 的周长为（ ） A16 B14 C12 D10 7 （3 分）如图，Rt ABC中，9AB ，6BC ，90B，将ABC折叠，使A点与BC的中点D重 合，折痕
3、为MN，则线段BN的长为( ) 2 A 5 3 B 5 2 C4 D5 8 （3 分）如图，BD为O的直径，点A为弧BDC的中点，35ABD，则(DBC ) A20 B35 C15 D45 9 （3 分）已知直线/ /mn，将一块含30角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两 点分别落在直线m、n上，若135 ，则2的度数是( ) A35 B30 C25 D55 10 （3 分）如图，ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AEBC，垂足为 E，AB，AC2，BD 4，则 AE 的长为（ ） A B C D 11 （3 分）如图，在ABC 中，CACB4，ACB90，以
4、 AB 中点 D 为圆心，作圆心角为 90 的扇形 DEF，点 C 恰好在 EF 上，下列关于图中阴影部分的说法正确的是（ ） 3 A面积为 2 B面积为1 C面积为 24 D面积随扇形位置的变化而变化 12 （3 分）已知抛物线 2 3yaxbx在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B， P是其对称轴1x 上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：20ab，3x 是 2 30axbx的一个根，PAB周长的最小值是103 2其中正确的是( ) A B仅有 C仅有 D仅有 二、填空题二、填空题：本大题共：本大题共 6 小题，满分小题，满分 24 分。只填写最后结果，每小题填对得
5、分。只填写最后结果，每小题填对得 4 分。分。 13 （4 分）已知关于 x 的不等式组有且仅有三个整数解，则 a 的取值范围是 14 （4 分）将一副三角板如图放置，使点 A 落在 DE 上，若 BCDE，则AFC 的度数为 15 （4 分）已知关于x的一元二次方程 2 (3)30axax 有两个实数根，则a的取值为 16 （4 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，2ACBC，以点A为圆心，AC的长为半径作CE交 AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作CD交AB于点D，则阴影部分的面积为 4 17 （4 分）在同一坐标系内，直线 y1x3 与双曲线 y2相交于点 A 和点 B，则 y
6、1y2时自变量 x 的取值范围是 18 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD，在边 CD 上有一点 E，使 EB 平分AEC若 P 为 BC 边上一点，且 BP2CP，连接 EP 并延长交 AB 的延长线于 F给出以下五个结论： 点 B 平分线段 AF；PFDE；BEFFEC；S矩形ABCD4SBPF；AEB 是正 三角形 其中正确结论的序号是 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共 7 小题，满分小题，满分 60 分。解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 19 （8 分）化简求值：（a2b），其中 a，b 满
7、足 20 （8 分）某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、 动画四类电视节目的喜爱情况， 进行了统计调查随 机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘 成如下不完整的统计图根据两图提供的信息，回答下列问题： （1）最喜欢娱乐类节目的有 人，图中 x ； （2）请补全条形统计图； （3）根据抽样调查结果，若该校有 1800 名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目； （4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁 4 名同学中选取 2 人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学
8、的概 率 5 21 （8 分）如图，一次函数(0)ykxb k的图象与反比例函数(0) m ym x 的图象交于点A、B，与 y轴交于点C过点A作ADx轴于点D，2AD ，45CAD，连接CD，已知ADC的面积 等于 6 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点E是点C关于x轴的对称点，求ABE的面积 22 （8 分）为满足市场需求，某超市在中秋节来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是 40 元超市 规定每盒售价不得少于 45 元根据以往销售经验发现；当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出 20 盒 （1）当每盒售价定为多少元时，每
9、天销售的利润 P（元）最大？最大利润是多少？ （2）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于 58 元如果超市想要每天获得 6000 元的利润，那么超市每天销售月饼多少盒？ 23 （8 分）如图，平行四边形 ABCD 中，CGAB 于点 G，ABF45，F 在 CD 上，BF 交 CD 于点 E，连接 AE，AEAD （1）若 BG1，BC，求 EF 的长度； （2）求证：CE+BEAB 6 24 （10 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 外，ABC 的平分线与O 交于点 D，C90 （1）CD 与O 有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CDB60，AB6，求的长
10、 25 （10 分）如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1） ，且与直线 yx2 交于 B，C 两点 （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）求ABC 的面积； （3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 7 2021 年山东省枣庄市中考模拟数学试题答案解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的
11、选项选 出来，每小题选对得出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。 1 （3 分）9 的平方根是（ ） A3 B3 C3 D 【分析】利用平方根定义计算即可得到结果 【解答】解：（3）29， 9 的平方根是3， 故选：A 2 （3 分）如图，数轴上的单位长度为 1，有三个点 A、B、C，若点 A、B 表示的数互为相反数，则图中 点 C 对应的数是（ ） A2 B0 C1 D4 【分析】首先确定原点位置，进而可得 C 点对应的数 【解答】解：点 A、B 表示的数互为相反数， 原点在线段 AB 的中点处， 点 C 对应的数是
12、1， 故选：C 3 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形判断，进而利用概率公式求出答案 【解答】解：第 1 个不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 第 2 个是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 第 3 个是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； 第 4 个不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意 故既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是： 故选：A 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念以及概率公式，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 4
13、 【分析】根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即 可 8 【解答】解： （x+y）2x2+2xy+y2，A 错误； （xy2）3x3y6，B 错误； x6x3x3，C 错误； 2，D 正确； 故选：D 【点评】本题考查的是完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及算术平方根的计算，掌握完全 平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义是解题的关键 5【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当 y4 时 x 的值，结合当 axa+1 时函数有最小 值 1，即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：当 y4 时，有
14、x22x+14， 解得：x11，x23 当 axa+1 时，函数有最小值 4， a3 或 a+11， a3 或 a2， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐 标特征找出当 y4 时 x 的值是解题的关键 6【分析】根据切线长定理得到 AFAD2，BDBE，CECF，根据 BC5，于是得到ABC 的周 长2+2+5+514， 【解答】解：ABC 的内切圆O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F， AFAD2，BDBE，CECF， BE+CEBC5， BD+CFBC5， ABC 的周长2+2+5+514， 故选：B 【点评】本
15、题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键 7.【分析】设BNx，则由折叠的性质可得9DNANx，根据中点的定义可得3BD ，在Rt BDN 中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解 【解答】解：设BNx，由折叠的性质可得9DNANx， D是BC的中点， 9 3BD， 在Rt BDN中， 222 3(9)xx， 解得4x 故线段BN的长为 4 故选：C 【点评】考查了翻折变换（折叠问题） ，涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合 性较强，但是难度不大 8.【分析】先根据圆周角ABD的度数求出AD的度数，求出AB和AC的度数，即可求出DC的度
16、数， 即可得出答案 【解答】解：35ABD， AD的度数都是70， BD为直径， AB的度数是18070110 ， 点A为弧BDC的中点， AC的度数也是110， DC的度数是11011018040 ， 1 4020 2 DBC ， 故选：A 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能求出各个弧的度数是解此题的关键 9.【分析】利用平行线的性质求出3即可解决问题 【解答】解：如图， / /mn， 1335 ， 10 60ABC， 2360 ， 225 ， 故选：C 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 10 【分析】 由勾股定理的逆定理可
17、判定BAO 是直角三角形， 所以平行四边形 ABCD 的面积即可求出 【解答】解：AC2，BD4，四边形 ABCD 是平行四边形， AOAC1，BOBD2， AB， AB2+AO2BO2， BAC90， 在 RtBAC 中，BC SBACABACBCAE， 2AE， AE， 故选：D 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出BAC 是直角三角形是解此题 的关键 11 【分析】连接 CD，证明BDHCDG，利用扇形面积公式、三角形面积公式计算即可 【解答】解：连接 CD， ACB90，CACB， DCBD2，BDC90，BDCA45， BDHCDG， 在BDH 和CDG 中，
18、 ， BDHCDG， 图中阴影部分的面积2224， 11 故选：C 【点评】本题考查的是扇形面积的计算、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，债务扇 形面积公式是解题的关键 11.【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系； 根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是 3； 利用两点间直线最短来求PAB周长的最小值 【解答】解：根据图象知，对称轴是直线1 2 b x a ，则2ba ，即20ab 故正确； 根据图象知，点A的坐标是( 1,0)，对称轴是1x ，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线 与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，所以3x 是 2 30axbx的一
19、个根，故正确； 如图所示，点A关于1x 对称的点是A，即抛物线与x轴的另一个交点 连接BA与直线1x 的交点即为点P， 则PAB周长的最小值是()BAAB的长度 (0,3)B，(3,0)A， 3 2BA 即PAB周长的最小值是3 210 故正确 综上所述，正确的结论是： 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间直线最短解答该 题时，充分利用了抛物线的对称性 12 二、填空题二、填空题：本大题共：本大题共 6 小题，满分小题，满分 24 分。只填写最后结果，每小题填对得分。只填写最后结果，每小题填对得 4 分。分。 13 【分析】根据解不等式组，可得不
20、等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案 【解答】解：解不等式 2x3（x2）+5，得：x1， 不等式组有且仅有三个整数解， 此不等式组的整数解为 1、0、1， 又 x2a3， 22a31， 解得：a1， 故答案为：a1 【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于 a 的不等式是解题关键 14 【分析】先根据 BCDE 及三角板的度数求出EAB 的度数，再根据三角形内角与外角的性质即可 求出AFC 的度数 【解答】解：BCDE，ABC 为等腰直角三角形， FBCEAB（18090）45， AFC 是AEF 的外角， AFCFAE+E45+3075 故答案为：75 【点评】本
21、题考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系，解题时注意：两直线平行，内错角 相等 15.【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0a 且 2 (3)43 0aa ，然后解不等式 求出它们的公共部分即可 【解答】解：根据题意得0a 且 2 (3)43 0aa ， 解得0a 故答案为0a 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 2 0(0)axbxca的根与 2 4bac有如下关系： 当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无 实数根 16.【分析】空白处的面积等于ABC的面积减去扇形BCD的面积的 2 倍，阴影部分的面积等于ABC的 13 面
22、积减去空白处的面积即可得出答案 【解答】解：90ACB，2ACBC， 1 222 2 ABC S ， 2 4521 3602 BCD S 扇形 ， 1 224 2 S 空白 ， 242 ABC SSS 阴影空白 ， 故答案为2 【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键 17 （4 分）在同一坐标系内，直线 y1x3 与双曲线 y2相交于点 A 和点 B，则 y1y2时自变量 x 的取值范围是 x0 或 1x2 【分析】先将直线与双曲线的解析式联立得到方程组，解方程组求出它们的交点坐标，然后 在同一坐标系中画出两个函数的图象，根据图象找出直线落在双曲线下方的自变量的取值范围即可 【解
23、答】解：由，解得，或， 所以直线 y1x3 与函数 y2的图象交于点 A（1，2） ，B（2，1） 如图所示： 根据图象可知，y1y2时自变量 x 的取值范围是 x0 或 1x2 故答案为 x0 或 1x2 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两 个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点也考 14 查了函数的图象以及数形结合思想 18 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD，在边 CD 上有一点 E，使 EB 平分AEC若 P 为 BC 边上一点，且 BP2CP，连接 EP 并延长交 AB
24、的延长线于 F给出以下五个结论： 点 B 平分线段 AF；PFDE；BEFFEC；S矩形ABCD4SBPF；AEB 是正 三角形 其中正确结论的序号是 【分析】由角平分线的定义和矩形的性质可证明AEBABE，可求得 AEAB2，在 RtADE 中可求得 DE1，则 EC1，又可证明PECPBF，可求得 BF2，可判定；在 RtPBF 中 可求得 PF，可判定；在 RtBCE 中可求得 BE2，可得BEFF，可判定；容易计算出 S 矩形ABCD和 SBPF；可判定；由 AEABBE 可判定；可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ABCD， CEBABE， 又BE 平分AEC， AE
25、BCEB， AEBABE， AEAB2， 在 RtADE 中，AD，AE2，由勾股定理可求得 DE1， CECDDE211， DCAB， PCEPBF， ，即， BF2， ABBF， 点 B 平分线段 AF， 15 故正确； BCAD， BP， 在 RtBPF 中，BF2，由勾股定理可求得 PF， DE1， PFDE， 故正确； 在 RtBCE 中，EC1，BC，由勾股定理可求得 BE2， BEBF， BEFF， 又ABCD， FECF， BEFFEC， 故正确； AB2，AD， S矩形ABCDABAD22， BF2，BP， SBPFBFBP2， 4SBPF， S矩形ABCD4SBPF， 故不
26、正确； 由上可知 ABAEBE2， AEB 为正三角形， 故正确； 综上可知正确的结论为： 故答案为： 【点评】 本题主要考查矩形的性质和相似三角形的判定和性质、 等腰三角形的判定和性质、 勾股定理、 等边三角形的判定等知识点的综合应用根据条件求得 AEAB，求得 DE 的长是解题的关键，从而 可求得 BF、PF、BE 等线段的长容易判断本题知识点较多，综合性较强，难度较大在 16 解题时注意勾股定理的灵活运用 三、三、解答题：本大题共解答题：本大题共 7 小题，满分小题，满分 60 分。解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
27、19 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式， ， ， ， ， a，b 满足， a+3b2， 当 a+3b2 时，原式 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型 20 【分析】 （1）先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减去其他三个类型人 数即可求得“娱乐”类人数，用“动画”类人数除以总人数可得 x 的值； （2）根据（1）中所求结果即可补全条形图； （3）总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同 学的情况，然后利用概率公式
28、求解即可求得答案 【解答】解： （1）被调查的总人数为 612%50 人， 最喜欢娱乐类节目的有 50（6+15+9）20，x%100%18%，即 x18， 故答案为：20、18； （2）补全条形图如下： 17 （3）估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有 1800720 人； （4）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有 2 种情况， 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识列表法或 画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合 两步或两步以上完成
29、的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21.【分析】 （1）依据6 AODADC SS ，可得(6,2)A，将(6,2)A代入 m y x ，得12m ，即可得到反比 例函数解析式为 12 y x ；将点(6,2)A，点(0, 4)C代入ykxb，可得一次函数解析式为4yx； （2）依据(0,4)E，可得8CE ，解方程组 12 4 y x yx ，即可得到( 2, 6)B ，进而得出ABE的面积 【解答】解： （1）ADx轴于点D，设( ,2)A a， 2AD， 45CAD， 45AFD， 2FDAD， 连接AO， / /ADy轴， 6 AODADC SS ， 18 6OD，
30、(6,2)A， 将(6,2)A代入 m y x ，得12m ， 反比例函数解析式为 12 y x ； 45OCFCAD ， 在COF中，624OCOFODFD， (0, 4)C， 将点(6,2)A，点(0, 4)C代入ykxb，可得 4 62 b kb ， 1 4 k b ， 一次函数解析式为4yx； （2）点E是点C关于x轴的对称点， (0,4)E， 8CE， 解方程组 12 4 y x yx ， 得 2 6 x y 或 6 2 x y ， ( 2, 6)B ， 1111 |828632 2222 ABEBCEACExx SSSCEBCEA 19 【点评】本题考查的是反比例函数图象与一次函数
31、图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运 用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键 22 【分析】 （1）根据“当售价定为每盒 45 元时，每天可以卖出 700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要 少卖出 20 盒”即可得出每天的销售量与每盒售价 x（元）之间的函数关系式，然后根据利润1 盒月 饼所获得的利润销售量列式整理，再进行配方从而可求得答案； （2）先由（1）中所求得的 P 与 x 的函数关系式，根据这种月饼的每盒售价不得高于 58 元，且每天 销售月饼的利润等于 6000 元，求出 x 的值，再根据（1）中所求得的销售量与每盒售价 x（元）之间 的函数
32、关系式即可求解 【解答】解： （1）由题意得销售量70020（x45）20 x+1600， P（x40） （20 x+1600）20 x2+2400 x6400020（x60）2+8000， x45，a200， 当 x60 时，P最大值8000 元 即当每盒售价定为 60 元时，每天销售的利润 P（元）最大，最大利润是 8000 元； （2）由题意，得20（x60）2+80006000， 解得 x150，x270 每盒售价不得高于 58 元， x270（舍去） ， 2050+1600600（盒） 答：如果超市想要每天获得 6000 元的利润，那么超市每天销售月饼 600 盒 【点评】本题考查的
33、是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润1 盒月饼所获得 的利润销售量，求得销售量与 x 之间的函数关系式是解题的关键 23 【分析】 （1）根据勾股定理得到 CG3，推出 BGEG1，得到 CE2，根据平行 四边形的性质得到 ABCD，于是得到结论； （2）延长 AE 交 BC 于 H，根据平行四边形的性质得到 BCAD，根据平行线的性质得到AHB HAD，推出GAEGCB，根据全等三角形的性质得到 AGCG，于是得到结论 【解答】解： （1）CGAB， AGCCGB90， BG1，BC， CG3， ABF45， 20 BGEG1， CE2， 四边形 ABCD 是平行四边形，
34、ABCD， GCDBGC90，EFGGBE45， CFCE2， EFCE2； （2）如图，延长 AE 交 BC 于 H， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD， AHBHAD， AEAD， AHBHAD90， BAH+ABHBCG+CBG90， GAEGCB， 在BCG 与EAG 中， BCGEAG（AAS） ， AGCG， ABBG+AGCE+EG+BG， BGEGBE， CE+BEAB 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质， 正确的识别图形是解题的关键 24如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 外，ABC 的平分线与O 交于点 D，
35、C90 21 （1）CD 与O 有怎样的位置关系？请说明理由； （2）若CDB60，AB6，求的长 【分析】 （1）连接 OD，只需证明ODC90即可； （2）由（1）中的结论可得ODB30，可求得弧 AD 的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即 可 【解答】解： （1）相切理由如下： 连接 OD， BD 是ABC 的平分线， CBDABD， 又ODOB， ODBABD， ODBCBD， ODCB， ODCC90， CD 与O 相切； （2）若CDB60，可得ODB30， AOD60， 又AB6， AO3， 25如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A（1，1） ，且与直线 yx2 交于 B，
36、C 两点 22 （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）求ABC 的面积； （3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MNx 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得 C 点坐标； （2）设直线 AC 的解析式为 ykx+b，与 x 轴交于 D，得到 y2x1，求得 BD2于是得到 结论； （3）设出 N 点坐标，可表示出 M 点坐标，从而可表示出 MN、ON 的长度，当MON 和ABC 相似
37、时，利用三角形相似的性质可得或，可求得 N 点的坐标 【解答】解： （1）顶点坐标为（1，1） ， 设抛物线解析式为 ya（x1）2+1， 又抛物线过原点， 0a（01）2+1，解得 a1， 抛物线解析式为 y（x1）2+1， 即 yx2+2x， 联立抛物线和直线解析式可得， 解得或， B（2，0） ，C（1，3） ； （2）设直线 AC 的解析式为 ykx+b，与 x 轴交于 D， 把 A（1，1） ，C（1，3）的坐标代入得， 解得：， 23 y2x1， 当 y0，即 2x10， 解得：x， D（，0） ， BD2 ABC 的面积SABD+SBCD1+33； （可以利用勾股定理的逆定理证明
38、ABC90） （3）假设存在满足条件的点 N，设 N（x，0） ，则 M（x，x2+2x） ， ON|x|，MN|x2+2x|， 由（2）知，AB，BC3， MNx 轴于点 N， ABCMNO90， 当ABC 和MNO 相似时，有或， 当时， ，即|x|x+2|x|， 当 x0 时 M、O、N 不能构成三角形， x0， |x+2|， x+2，解得 x或 x， 此时 N 点坐标为（，0）或（，0） ； 当或，时， ， 即|x|x+2|3|x|， |x+2|3， x+23， 24 解得 x5 或 x1， 此时 N 点坐标为（1，0）或（5，0） ， 综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（5，0）
