1、考点十八 二项式定理 1 A卷 PART ONE 一、选择题 1在 x22 x 6 的展开式中，常数项为( ) A240 B60 C60 D240 解析 x22 x 6 的展开式的通项公式为Tr1Cr 6(x 2)6r 2 x rCr 6(2) rx12 3r，令 123r0，得 r4，即 T5C4 6(2) 4240，故选 D. 答案答案 解析解析 2(2020 北京高考)在( x2)5的展开式中，x2的系数为( ) A5 B5 C10 D10 解析 ( x2)5的展开式的通项公式为Tr1Cr 5( x) 5r(2)r(2)rCr 5 x5r 2 ，令5r 2 2，得 r1，则 x2的系数为
2、(2)1C1 5(2)510.故选 C. 答案答案 解析解析 3(2020 山东泰安五模)(1x)(1x)3的展开式中，x3的系数为( ) A2 B2 C3 D3 解析 由题意， (1x)(1x)3(1x)3x(1x)3， (1x)3的通项公式为 Tr1Cr 3 1 3r xrCr 3 x r，令 r3，则 Cr 3C 3 31；令 r2，则 C r 3C 2 33.所 以(1x)(1x)3的展开式中，x3的系数为 132.故选 B. 答案答案 解析解析 4(2020 北京东城区期末) 3x 1 x 6 的展开式中各项系数之和为( ) A26 B36 C46 D1 解析 令 x1，得 3x 1
3、 x 6 的展开式中各项系数之和为(31)626.故 选 A. 答案答案 解析解析 5(2020 湖南长沙长郡中学高考模拟二)(1 x)10的二项展开式中，x 的系数与 x4的系数之差为( ) A220 B90 C90 D0 解析 因为(1 x)10的二项展开式中， 通项公式为 Tr1Cr 10 (1) r xr 2， 故 x 的系数与 x4的系数之差为 C2 10C 8 100，故选 D. 答案答案 解析解析 6. y x x y 16 的展开式的项中，整式的个数是( ) A1 B3 C5 D7 解析 二项展开式的通项公式 Tr1Cr 16 y x 16r x y r(1)rCr 16x3r
4、 2 8y163r 2 (rZ,0r16)，要使得它为整式，则3r 2 8 与 163r 2 均为非负 整数，即 83r 2 16，r6,8,10，有 3 项，故选 B. 答案答案 解析解析 7(2020 广东韶关二模)若 xa x 5 的展开式中1 x的系数为80，则实数 a ( ) A2 B1 C2 D1 解析 二项式 xa x 5 的展开式的通项公式为Tr1Cr 5x 5r a x rar Cr 5 x 5 2r；令 52r1，得 r3，a3C3 580，a2.故选 C. 答案答案 解析解析 8(2x2x1)5的展开式中 x2的系数为( ) A400 B120 C80 D0 解析 (2x
5、2x1)5(x1)5(2x1)5，(x1)5的二项展开式的通项为 Cr 5x 5r(1)r，(2x1)5 的二项展开式的通项为 Ck 5(2x) 5k，(x1)5(2x1)5 的展开式的通项为(1)r25kCr 5C k 5x 10(kr)， kr8，即展开式中 x2 的系数 为(1)522C5 5C 3 5(1) 421C4 5C 4 5(1) 3C3 5C 5 50. 答案答案 解析解析 9(2020 天津南开区期末)若 2x2 3 x n(nN*)的展开式中常数项为第 9 项，则 n 的值为( ) A7 B8 C9 D10 解析 2x2 3 x n(nN*)的展开式中的第 9 项 T 9
6、C 8 n (3) 8 2n8 x2n 20 为常数项，故有 2n200，n10，故选 D. 答案答案 解析解析 10(2020 山东临沂二模、枣庄三调) x2 x n 的展开式的二项式系数之 和为 64，则展开式中的常数项为( ) A120 B120 C60 D60 解析 由题意， 得 2n64， 解得 n6， 展开式通项公式为 Tr1Cr 6( x) 6 r 2 x r(2)rCr 6x 63r 2 ，令63r 2 0，得 r2，所以常数项为(2)2C2 6 60.故选 C. 答案答案 解析解析 11已知(1x)(1ax)5的展开式中 x2的系数为5 8，则 a( ) A1 B1 2 C1
7、 3 D1 4 解析 根据题意，知(1ax)5的展开式的通项为 Cr 5(a) rxr，(1x)(1 ax)5的展开式中 x2的系数为 C2 5a 2C1 5a5 8，即 10a 25a5 8，解得 a 1 4，故选 D. 答案答案 解析解析 解析 在 3x1 x n 的展开式中，令 x1，可得各项系数和为 4n，二项式 系数和为 2n，各项系数和与二项式系数和之比为4 n 2n64，n6， 3x1 x n 的展开式的通项公式为 Tr1Cr 6 3 6r x62r.令 62r0，求得 r3，可得 展开式中的常数项等于 C3 6 3 3540.故选 A. 12(2020 湖北襄阳模拟)在 3x1
8、 x n 的展开式中，各项系数和与二项式 系数和之比为 641，则展开式中常数项为( ) A540 B480 C320 D160 答案答案 解析解析 解析 (1px)n展开式的通项为 Tr1Cr n 1 nr (px)rCr n (px) r， 故 b 1 C1 n (p)pn3，b2C 2 n p 2nn1 2 p24，解得 n9，p1 3.故选 C. 13(2020 山东泰安二轮复习质量检测)已知(1px)nb0b1xb2x2 bnxn，若 b13，b24，则 p( ) A1 B1 2 C1 3 D1 4 答案答案 解析解析 14(2020 江西 6 月大联考)已知(ab)2n的展开式的第
9、 4 项与第 8 项的 二项式系数相等，则(2x1)n的展开式中 x3的系数为( ) A80 B40 C40 D80 解析 由题意，得 C3 2nC 7 2n，所以 372n，解得 n5，则(2x1) 5 的展开式的通项公式为 Tr1Cr 5(2x) 5r (1)r(1)r 25rCr 5x 5r，由 5r 3，得 r2，所以 x3的系数为(1)2 C2 5 2 380.故选 A. 答案答案 解析解析 15(2020 全国卷) xy 2 x (xy)5的展开式中 x3y3的系数为( ) A5 B10 C15 D20 答案答案 解析 (xy)5的展开式的通项公式为 Tr1Cr 5x 5ryr(r
10、N 且 r5)，所 以 xy 2 x 与(xy)5展开式的乘积可表示为 xTr1xCr 5x 5ryrCr 5x 6ryr 或y 2 x Tr 1y 2 x Cr 5x 5ryrCr 5x 4ryr2.在 xT r1C r 5x 6r yr 中，令 r3，可得 xT4C3 5x 3y3 10 x3y3，该项中 x3y3的系数为 10，在y 2 x Tr1Cr 5x 4ryr2 中，令 r1，可得 y2 x T2C1 5x 3y35x3y3，该项中 x3y3 的系数为 5，所以 x3y3的系数为 10515. 故选 C. 解析解析 16(2020 山东新高考质量测评联盟高三 5 月联考)设函数
11、f(x) x14，x1， 3 x1，x1， 则当 0x1， 3 x1，x1， 当 0x1，故 f(f(x) f(3x1)(3x2)4，而(3x2)4的展开式共有 5 项，故其中二项式系数 的最大值为 C2 46，故选 D. 解析解析 17在 2 x x2020 2019 12 的展开式中，x5的系数为( ) A252 B264 C512 D528 解析 2 x x2020 2019 12 的展开式的通项公式为 Tr1C r 12(2 x) 12 r x2020 2019 r，必须满足 r0，T 1(2 x) 12，x5 的系数为 22C10 12264. 答案答案 解析解析 18(2020 山
12、东省实验中学 6 月模拟)在二项式 x 1 x n 的展开式中，各 项系数的和为 128，把展开式中各项重新排列，则有理项都互不相邻的概率 为( ) A. 4 35 B3 4 C 3 14 D 1 14 答案答案 解析 二项式 x 1 x n 的展开式中第 k1 项为 Tk1Ck nx nk 1 x kCk nxn 3 2k， 则 C 0 nC 1 nC n n2 n128， 则 n7， 则展开式中有 8 项， 当 k0， k2，k4，k6 时， 73 2k N，即有理项有 4 项，无理项有 4 项，8 项 重新排列共 A8 8种排列数，先排列无理项共 A 4 4种排列数，要使得有理项不相 邻
13、，则 4 项有理项的排列数为 A4 5，所以有理项都互不相邻的概率为A 4 5A 4 4 A8 8 1 14，故选 D. 解析解析 答案 10 二、填空题 19(2020 天津高考)在 x 2 x2 5 的展开式中，x2的系数是_ 解析 因为 x 2 x2 5 的展开式的通项公式为 Tr1Cr 5x 5r 2 x2 rCr 5 2 r x5 3r(r0,1,2,3,4,5)，令 53r2，解得 r1.所以 x2 的系数为 C1 5210. 答案答案 解析解析 答案 22 20(2020 山东济宁嘉祥县第一中学四模)若多项式 x22x11a0a1(x 1)a10(x1)10a11(x1)11，则
14、 a10_. 解析 2x112(x1)111的展开式的通项为 Tr12Cr 11(x1) 11r( 1)r，令 11r10，解得 r1，则 a102C1 11(1)22. 答案答案 解析解析 答案 30 21(2020 山东滨州三模)(x22) x1 x 10 的展开式中，x6的系数为 _ 解析 x1 x 10 展开式的通项公式为 C r 10 x 10r (x1)r(1)r Cr 10 x 10 2r.102r4r3,102r6r2，根据乘法分配律可知，(x22) x1 x 10 的展开式中，含 x6的项为 x2 (1)3 C3 10 x 42 (1)2 C2 10 x 6(12090) x
15、6 30 x6.所以 x6的系数为30. 答案答案 解析解析 22(2020 浙江宁波二模)若 ax1 x (2x1)5的展开式中各项系数的和为 2，则实数 a_，该展开式中常数项为_ 解析 因为 ax1 x (2x1)5的展开式中各项系数的和为 2，所以令 ax1 x (2x1)5中的 x1 可得 a12， 所以 a1.因为(2x1)5的展开式的 通项公式为 Tr1Cr 5(2x) 5r(1)rCr 5(1) r25r x5r，r0,1,2,3,4,5，所以 x1 x (2x1)5展开式中常数项为 1C4 5(1) 4210. 解析解析 1 10 2 B卷 PART TWO 解析 由通项公式
16、 Cr 5x 5r 1 x2 rCr 5x 53r，代入 r0,1,2,3 验证，当 r0 时，可得其含有 x5项；当 r1 时，可得其含有 x2项；当 r2 时，可得其 含有 x1项；当 r3 时，可得其含有 x4项故选 C. 一、选择题 1(2020 吉林长春高三质量监测三)在 x 1 x2 5 的展开式中，一定含有 ( ) A常数项 Bx 项 Cx1项 Dx3项 答案答案 解析解析 2(2020 山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)(1x2) x1 x 6 的展 开式中的常数项为( ) A35 B5 C5 D35 答案答案 解析 (1x2) x1 x 6 x1 x 6x2 x1 x 6
17、，展开式的通项为 Ck 6 x 6k 1 x k x2C r 6 x 6r 1 x r C k 6 (1) k x62k C r 6 (1) r x82r ，令 62k0， 82r0， 得 k3， r4， 因此，(1x2) x1 x 6 展开式中的常数项为C3 6C 4 635，故选 A. 解析解析 3 若二项式 x 2 3 x n 的展开式中第 m 项为常数项， 则 m， n 应满足( ) A3n4(m1) B4n3(m1) C3n4(m1) D4n3(m1) 解析 x 2 3 x n 的展开式的通项公式为 Tr1C r nx nr 2 3 x rCr n( 2)rxn4r 3 ，第 m 项
18、为 Cm1 n (2)m1xn4m1 3 ，由 n4m1 3 0，得 3n 4(m1)，故选 C. 答案答案 解析解析 解析 由(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令 x1，得(21)5a0 a1a2a3a4a5 ，令 x1，得2(1)5a0a1a2a3a4 a5 ，联立，得 a0a2a41243 2 122，a1a3a51243 2 121，所以a 0a2a4 a1a3a5 122 121.故选 B. 4设(2x)5a0a1xa2x2a5x5，那么a 0a2a4 a1a3a5的值为( ) A244 241 B122 121 C61 60 D1 答案答案 解析解析 5在二项式(12x)n的展
19、开式中，偶数项的二项式系数之和为 128，则 展开式的中间项的系数为( ) A960 B960 C1120 D1680 解析 因为偶数项的二项式系数之和为 2n1128，所以 n17，n 8，则展开式共有 9 项，中间项为第 5 项，因为(12x)8的展开式的通项 公式为 Tr1Cr 8(2x) rCr 8(2) rxr， 所以 T 5C 4 8(2) 4x4， 其系数为 C4 8(2) 4 1120. 答案答案 解析解析 解析 因为 x5 1 32(2x1)1 5，二项式(2x1)15 的展开式的通项 公式为 Tr1Cr 5 (2x1) 5r 1rCr 5 (2x1) 5r， 令 r3， 所
20、以 T 4C 3 5 (2x1) 2， 因此有 a2 1 32 C 3 5 1 32 C 2 5 1 32 54 2 5 16.故选 C. 6(2020 大同一中高三一模)若 a0a1(2x1)a2(2x1)2a3(2x1)3 a4(2x1)4a5(2x1)5x5，则 a2的值为( ) A.5 4 B5 8 C 5 16 D 5 32 答案答案 解析解析 7(多选)(2020 海南四模)对于 2x 1 x2 6 的展开式，下列说法正确的是 ( ) A展开式共有 6 项 B展开式中的常数项是240 C展开式中各项系数之和为 1 D展开式中的二项式系数之和为 64 答案答案 解析 2x 1 x2
21、6 的展开式共有 7 项，故 A 错误； 2x 1 x2 6 的通项为 Tr1 Cr 6(2x) 6r 1 x2 r(1)r26rCr 6x 63r，令 63r0，r2，展开式中的常 数项为(1)224C2 6240，故 B 错误；令 x1，则展开式中各项系数之和为 (211)61， 故 C 正确； 2x 1 x2 6 的展开式中的二项式系数之和为 2664， 故 D 正确故选 CD. 解析解析 8(多选)关于 x2 1 x22 3 的展开式，下列结论正确的是( ) A所有项的二项式系数和为 32 B所有项的系数和为 0 C常数项为20 D二项式系数最大的项为第 3 项 答案答案 解析 因为
22、x2 1 x22 3 x1 x 2 3 x1 x 6，所以二项式系数和为 26 64，故 A 错误；令 x1 代入得 0，即所有项的系数和为 0，故 B 正确；因 为 x1 x 6 展开式的通项为 Tr1Cr 6x 6r 1 x r(1)rCr 6x 62r，令 62r0 得 r3，所以常数项为(1)3C3 620，故 C 正确；二项式系数最大为 C 3 6，为 第 4 项，故 D 错误故选 BC. 解析解析 答案 1 二、填空题 9 (2020 山东聊城一模)已知 ax 2 x2 5 的展开式中 x1的系数为40， 则 实数 a_. 解析 由二项式定理可得， ax 2 x2 5 的展开式的通
23、项公式为 Tr1 Cr 5 (ax) 5r 2 x2 rCr 5 (2) r a5r x53r， 令 53r1， 解得 r2， 所以 ax 2 x2 5 的展开式中 x1的系数为 C2 5 (2) 2 a340，解得 a1. 答案答案 解析解析 10(2020 浙江高考)设(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则 a4_；a1a3a5_. 解析 (12x)5的展开式的通项公式为 Tr1Cr 5(2x) r2rCr 5x r，令 r4， 则 T524C4 5x 480 x4，故 a 480；a1a3a52 1C1 52 3C3 52 5C5 5122. 解析解析 80 122
24、解析 解法一： (x2xy)5表示 5 个因式 x2xy 的乘积， 在这 5 个因 式中，有 2 个因式选 y，其余的 3 个因式中有一个选 x，剩下的两个因式选 x2，即可得到含 x5y2的项，故含 x5y2的项系数是 C2 5 C 1 3 C 2 230. 解法二： (x2xy)5展开式的通项公式为 Tr1Cr 5 (x 2x)5ryr， 令 r2， 则(x2x)3的通项为 Tk1Ck 3(x 2)3k xkCk 3 x 6k，令 6k5，则 k1.所以 含 x5y2的项系数是 C2 5 C 1 330. 答案 30 11(2020 山东济宁嘉祥县萌山高级中学五模)(x2xy)5的展开式中
25、， x5y2的系数为_ 答案答案 解析解析 答案 18 12(2020 山东青岛一模)已知 aN，二项式 xa1 x 6 展开式中含有 x2项的系数不大于 240，记 a 的取值集合为 A，则由集合 A 中元素构成的无 重复数字的三位数共有_个 答案答案 解析 二项式 xa1 x 6 展开式的通项公式为 Tr1Cr 6 (a1) r x62r， 令 62r2，求得 r2，可得展开式中含有 x2项的系数为 C2 6 (a1) 215(a 1)2.再根据含有x2项的系数不大于240， 可得15(a1)2240， 求得5a3. 再根据 aN，可得 a0,1,2,3，即 A0，1,2,3，则由集合 A
26、 中元素构成 的无重复数字的三位数共 A1 3 A 2 333218 个 解析解析 解 (1)设 Tr1Cr 12(ax m)12r (bxn)rCr 12a 12r brxm(12r)nr 为常数项， 则有 m(12r)nr0，又 2mn0，m(12r)2mr0，r4， 它是第 5 项 解解 三、解答题 13在二项式(axmbxn)12(a0，b0，m，n0)中有 2mn0，如果 它的展开式里最大系数项恰是常数项 (1)求它是第几项； (2)求a b的取值范围 (2)第 5 项是系数最大的项， 有 C4 12a 8b4C3 12a 9b3， C4 12a 8b4C5 12a 7b5. 由，得
27、1211109 432 a8b4121110 32 a9b3， a0，b0，9 4ba，即 a b 9 4. 同理由得a b 8 5， 8 5 a b 9 4. 解解 解 (1)展开式中系数最大的项是第 4 项 T4C3 6x 320 x3. (2)由已知(1i)n32i，两边取模，得( 2)n32，所以 n10. 所以 C1 nC 3 nC 5 nC 7 nC 9 nC 1 10C 3 10C 5 10C 7 10C 9 10.而(1i) 10C0 10 C1 10iC 2 10i 2C9 10i 9C10 10i 10(C0 10C 2 10C 4 10C 6 10C 8 10C 10 10)(C 1 10C 3 10 C5 10C 7 10C 9 10)i32i，所以 C 1 10C 3 10C 5 10C 7 10C 9 1032. 解解 14设函数 f(x，n)(1x)n(nN*) (1)求 f(x,6)的展开式中系数最大的项； (2)若 f(i，n)32i(i 为虚数单位)，求 C1 nC 3 nC 5 nC 7 nC 9 n. 本课结束
