1、洛阳市洛阳市 20192020 学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 2 至 4 页.共 150 分. 考试时间 120 分钟. 第 I 卷（选择题，共 60 分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.考试结束，将答题卡交回. 一、选锋题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.设集合 1 |0 2 x Ax x ，集合 | 5213Bx
2、x ，则集合AB （ ） A 3, 2) B( 2,1) CR D 2.已知直线 1 l：sin210xy ，直线 2 l：cos30xy，若 12 ll，则tan2（ ） A 2 3 B 4 3 C 2 5 D 4 5 3.已知复数 z 满足| 1z ，则|13 |zi 的最小值为（ ） A2 B1 C3 D2 4.命题 p： “0x ，都有1 x ex ” ，则命题 p 的否定为（ ） A0x ，都有1 x ex B0x ，都有1 x ex C 0 0x，都有 0 0 1 x ex D 0 0x，都有 0 0 1 x ex 5.已知正项等比数列 n a的前 n 项和为 n S，若 4 1
3、8 a ， 11 3 4 Sa，则 4 S （ ） A 1 16 B 1 8 C 31 16 D 15 8 6.已知 m，n 为两条不同直线， 为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A，m，则m Bm，n，m，n，则 Cmn，m，n，则 Dm，mn，则n 7.已知( )f x是偶函数，且在(0,)上单调递增，则函数( )f x可以是（ ） A 42 ( )2f xxx B( ) 2 xx ee f x C 2 1 ( )cos 3 f xxx D( )sinf xxx 8.已知点 O 是ABC内部一点，且满足0OA OB，又2AB AC，60BAC，则OBC 的面积为（ ） A 3 3 B
4、 3 2 C1 D3 9.已知圆 C： 22 ()4(2)xaya与直线2 220xy相切，则圆 C 与直线40xy相交 所得弦长为（ ） A1 B2 2 D2 2 10.已知函数( )2sin()1(0,(0, )f xx与 x 轴的两个交点最短距离为 3 ，若将函数( )f x 的图象向左平移 12 个单位，得到的新函数图象关于 y 轴对称，则 的可能取值为（ ） A 3 B 4 C 6 D 12 11.设 F 为拋物线 C： 2 4yx的焦点，其准线 l 与 x 轴的交点为 M，过点 F 且倾斜角为60的直线交拋物 线 C 于 A，B 两点，则AMB的面积为（ ） A 8 3 3 B 4
5、 3 3 C8 D4 12.函数 2 1xx y x 与3sin1 2 x y 的图象有n个交点， 其坐标依次为 11 (,)x y， 22 (,)xy， ，(,) nn xy， 则 12n yyy（ ） A0 B2 C4 D2n 第第 II 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量a，b满足 1, 3a ，2b ， abb，则向量a，b的夹角为_. 14.已知非负实数 x，y 满足 10, 210. xy xy 则 1 1 y z x 的最大值是_. 15.设 1 F， 2 F为双曲线 C： 22 22
6、1 xy ab (0,0)ab的左，右焦点，以 12 FF为直径的圆与双曲线 C 在第 一象限交于 P 点.若 2 |PF， 1 |PF， 12 |FF构成等差数列，则双曲线 C 的率心率为_. 16.已知数列 n a的首项 1 am， 其前 n 项和为 n S， 且满足 2 1 23 nn SSnn ， 若数列 n a是递增数列， 则实数 m 的取值范围是_. 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 如图，长方体 1112 ABCDABC D的底面ABCD为正方形，2AB . 1 3AA .E 为棱 1
7、AA上一点， 1AE ，F 为棱 11 BC上任意一点. （1）证明：BEEF； （2）求点 1 B到平面 1 BEC的距离. 18.（本小题满分 12 分） 随着生活水平的逐步提高， 人们对文娱活动的需求与日俱增， 其中观看电视就是一种老少咸宜的娱乐活动， 但我们在观看电视娱乐身心的同时，也要注意把握好观看时间，近期研究显示，一项久坐的生活指标 看电视时间，是导致视力下降的重要因素，即看电视时间越长，视力下降的风险越大.研究者在某小区统计 了每天看电视时间 x（单位：小时）与视力下降人数 y 的相关数据如下： 编号 1 2 3 4 5 x 1 1.5 2 2.5 3 y 12 16 22 2
8、4 26 （1）请根据上面的数据求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）我们用第（1）问求出的线性回归方程 ybxa的 y 估计回归方程ybxa中的bxa，由于随 机误差()eybxa，所以eyy是 e 的估计值，e称为相应于点( ,) ii x y的残差. 填写下面的残差表，并绘制残差图： 编号 1 2 3 4 5 x 1 1.5 2 2.5 3 y 12 16 22 24 26 e 若残差图所在带状区域宽度不超过 4.我们则认为该模型拟合精度比较高.回归方程的预报精度较高.试根 据绘制的残差图分析该模型拟合精度是否比较高？ 附：回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为（ ） 1
9、11 0 2 22 11 nn iii ii n ii ii xxyyx ynx y b xxxnx ，aybx. 19.（本小题满分 12 分） 已知ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且coscosaBbA，BC边上的中线AD的长为 4. （1）若 6 A ，求 c； （2）求2ac的最大值. 20.（本小题满分 12 分） 已知平面内动点 P 与点( 2,0)A ，(2,0)B连线的斜率之积为 3 4 . （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点(1,0)F的直线与曲线 C 交于 P，Q 两点，直线AP，AQ与直钱4x 分别交于 M，N 两点，直 线4x 与
10、 x 轴交于点 E，求| |EMEN的值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数( )ln1f xxax. （1）若对任意(0,)x，( )0f x 恒成立，求 a 的取值范围； （2）求证： * 24 111 111 333 e n N. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 3cos , sin xa y （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极
11、坐标系，直线 l 的极坐标方程为 1 sin 62 . （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点(2,1)A，点 B 为曲线 C 上的动点，求线段AB的中点 M 到直线 l 的距离的最大值，并求此时 点 B 的坐标. 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知 a，b，c 是正实数，且21abc . （I）求 111 abc 的最小值； （2）求证： 222 1 6 abc. 数学试卷参考答案（文）数学试卷参考答案（文） 一、选择题 1-5 ABBCD 6-10 DBADA 11-12 AC 二、填空题 13. 4 14.2 15.5 16. 1
12、5 , 4 4 三、解答题 17.（1）证明：1AE ， 1 2AE ，在长方体 1111 ABCDABC D中， 22 1111 6BEAEAB， 22 3BEAEAB， 222 11 B BB EBE，即 1 BEB E.2 分 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1111 BCAABB 平面， 11 BEA ABB 平面， 11 BEBC.3 分 又 1111 B EBCB， 11 BEBC E 平面.4 分 无论点 F 位置如何， 11 EFBC E平面，5 分 BEEF.6 分 （2）设点 1 B到平面 1 BEC的距离为 h，由（1）知， 11 BEBC E 平面， 1 B
13、EEC，又 22 11 11BCBCCC， 23 11 2 2ECDCBE，7 分 1 1 11 2 236 22 BEC SECBE ， 11 111 11 263 22 ECB SBCB E .9 分 1111 BBECB EBC VV ，即 111 11 33 ECBECB ShSBE ， 11 1 336 26 B BEC EC SBE h S ，11 分 即点 1 B到平面 1 BEC的距离为 6 2 .12 分 18.（1） 1 1.522.53 2 5 x ，1 分 1216222426 20 5 y ，2 分 5 1 218 ii i x y ， 5 2 1 22.5 i i
14、x ， 2 2185220 7.2 22.552 b ，4 分 20 7.2 25.6a ，5 分 y 关于 x 的线性回归方程为：7.25.6yx.6 分 （2）残差表： 编号 1 2 3 4 5 x 1 1.5 2 2.5 3 y 12 16 22 24 26 4e 0.8 0.4 2 0.4 1.2 8 分 残差图： 10 分 残差图所在带状区域宽度不超过 4，我们认为该模型拟合精度比较高. 12 分 19.（1）coscosaBbA， 由正弦定理得：sin cossin cosABBA，1 分 sin()0AB. A，B 为三角形的内角， 6 BA. ab.3 分 在ABC中，由正弦定
15、理得： sinsin ac AC ，即 2 sin sin 36 ac 3ca.4 分 在ADB中，由余弦定理得： 2 2 16( 3 )2( 3 )cos 226 aa aa .5 分 解得： 8 7 7 a ， 8 21 7 c .6 分 （2）在ADC中，由余弦定理得： 2 2 1624 cos 42 aa aADC .7 分 同理在ADB中可得： 2 2 1624 cos 42 aa cADB .8 分 22 264ac.9 分 22 2228 2acac，当且仅当2ac，即4 2a ，4c 时， “”成立.11 分 2ac的最大值为8 2.12 分 20.（1）设点 P 的坐标为(
16、, )x y，则由 3 4 PAPB kk 可得 3 224 yy xx ，2 分 整理得 22 1 43 xy （2x ） ，即为动点 P 的轨迹 C 的方程.4 分 （2）当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为：(1)yk x，与曲线 C 的方程联立，消去 y 得 2222 (34)84120kxk xk. 设 11 (,)P x y， 22 (,)Q xy，则 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12 2 412 34 k x x k 5 分 直线AP的方程为： 11 2 2 yx yx . 令4x ，得 1 1 6 2 y y x ，即 1 1 6 4, 2 y M x . 同理
17、 2 2 6 4, 2 y N x .6 分 221 21 211212 1166 | |36 2221 xxyy EMENk xxx xxx 21212 1212 1 36 24 x xxx k x xxx .7 分 222 1212 222 412836 2424 343434 kkk x xxx kkk .8 分 22 1212 222 41289 11 343434 kk x xxx kkk .9 分 9EMEN.10 分 当PQx轴时， 3 1, 2 P ， 3 1, 2 Q ，(4,3)M，(4, 3)N， 此时3 39EMEN 也成立，11 分 EMEN的值为 9.12 分 21
18、. 11 ( ) ax fxa xx ，1 分 若0a ，当1x 时，ln1 10xax ，不符合题意.2 分 若0a ，( )0fx得 1 0x a ，( )0fx得 1 x a ， ( )f x在 1 0, a 上递增，在 1 , a 上递减.4 分 max 1111 ( )ln1ln0f xfa aaaa .5 分 ln0a ，1a . a 的取值范围为1,).6 分 （2）由（1）知，当1a ，ln1xx（0x ） ， 11 ln 1 33 nn .8 分 1212 111111 ln1ln 1ln 1 333333 nn .9 分 而 12 1 1 11111113 1 333322
19、32 1 3 n nn 11 分 2 1111 ln111 3332 n ， * 2 111 111 333n e n N.12 分 22.（1）曲线 C 的参数方程为 3cos , sin x y （ 为参数） ， 可得 cos , 3 sin . x y 两边平方相加得： 2 2 1 3 x y ， 即曲线 C 的普通方程为： 2 2 1 3 x y.2 分 由 1 sin 62 可得 311 sincos 222 ， 即直线 l 的直角坐标方程为310xy .4 分 （2）(2,1)A，设点( 3cos ,sin )B，则点 23cos1sin , 22 M ，5 分 点 M 到直线 l
20、 的距离 23cos3(1sin )333 1cossin 22222 22 d 63 sin 242 2 .8 分 当 sin1 4 时，d 的最大值为 63 4 .9 分 即点 M 到直线 l 的距离的最大值为 63 4 ，此时点 B 的坐标为 62 , 22 .10 分 23.（1） 11111122 (2 ) bacac abc abcabcabacb 464 2 b c ，3 分 当且仅当2abc时，等号成立. 又21abc ， 22 2 ab ， 21 2 c 时，等号成立.4 分 111 abc 的最小值为64 2.5 分 （2）由柯西不等式可得： 2222222 (112 )()(2 )1abcabc，7 分 即 222 1 6 abc.8 分 当且仅当 112 abc 时，等号成立. 又21abc ， 1 6 ab， 1 3 c 时，等号成立.9 分 原不等式成立.10 分
