1、2020-2021 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分 ）分 ） 1一个直三棱柱如图所示放置，则它的俯视图是（ ） A B C D 2A 是锐角，若 sinA，则A（ ） A45 B60 C30 D90 3如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，AOB60，AO4，则 AB 的长是（ ） A4 B5 C6 D8 4如图，ABOCDO，若 BO8，DO4，CD3，则 AB 的长是（ ） A2 B3 C4 D6 5 已知二次函数
2、 yax2+bx+c 的部分图象如图所示， 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解为 （ ） Ax13，x20 Bx13，x21 Cx3 Dx13，x21 6已知点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）都在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小 关系正确的是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 7如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DE 与 BC 不平行，那么下列条件中，不能判断 ADEACB 的是（ ） AADEC BAEDB C D 8某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20
3、 40 100 200 400 1000 “射中 9 环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中 9 环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则该运动员“射中 9 环以上”的概率约为（结果保留一位小数） （ ） A0.7 B0.75 C0.8 D0.9 9如图所示，从一热气球的探测器 A 点，看一栋高楼顶部 B 点的仰角为 30，看这栋高楼底部 C 点的俯 角为 60，若热气球与高楼的水平距离为 30m，则这栋高楼高度是（ ） A60m B40m C30m D60m 10如图，边长为 2 的正方形 ABCD 内接于O，则阴影部分
4、的面积为（ ） A B C D 11如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的面积为 10，反比例函数 y（x0）与 AB、BC 分别交于 点 D、E，若 AD2BD，则 k 的值为（ ） A B C D 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0，2a+b0，ba+c，3a+c 0，其中错误的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13如图，在ABC 中，C90，AC3，AB5，sinA 14如图，点 A，B，C 均在O 上
5、，若A64，则COB 的度数为 15公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理” ，即：阻力 阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m，则动 力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m）的函数解析式为 16 如图， 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， 点 O 为位似中心， 位似比为 2： 3， 点 A 的坐标为 （0， 2） ，则点 E 的坐标是 17如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，点 D 的坐标是（0，8） ，以点 C 为顶点的抛物线经过 x 轴上的点 A，B，则此抛物线的解析式
6、为 18如图 1，已知ABC 中，AB10cm，AC8cm，BC6cm如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速 运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 2cm/s连接 PQ，设运动的时间 为 t（单位：s） （0t4） 如图，把AQP 沿 AP 翻折，当 t 时，得到的三角形与原三角形组 成的四边形为菱形 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分）解方程：x22x30 20 （6 分）如图，在ABC
7、 中，AB10，AC8，点 D 在边 AB 上，DEBC 交 AC 于点 E，如果 BD4， 求 AE 的长 21 （6 分）如图，在ABC 中，B45，C75，夹边 BC 的长为 6，求ABC 的面积 22 （8 分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观， 让环保理念深入到学校， 某校张老师为了了解本班学生 3 月植树成活情况， 对本班全体学生进行了调查， 并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是 ； （2）在扇形统计图中，b ，C 类的圆心角为 ； （3）张老师在班上随机抽取了 4
8、名学生，其中 A 类 1 人，B 类 2 人，C 类 1 人，若再从这 4 人中随机抽 取 2 人，请求出全是 B 类学生的概率 23 （8 分）如图，在ABC 中，ACB90，点 O 为边 AC 上一点，以 O 为圆心，AO 为半径的O 与 AB 相交于点 D，且 CD 与O 相切于点 D （1）求证：CDCB； （2）若 CE2，CB3，求 r 24 （10 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段 MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围 墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料 （1）当 AB 长度是多少时，矩形花园的面积为 150m2； （2
9、）能否围成矩形花园面积为 210m2，为什么？ 25 （10 分）如图，直线 yax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与双曲线 y （x0）相交于点 P， PCx 轴于点 C，且 PC2，点 A 的坐标为（2，0） （1）求直线 AP 和双曲线的解析式； （2）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，且 QHx 轴于 H，当以点 Q、C、H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点 Q 的坐标 26 （12 分）如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，D 为 AB 上一点，连接 CD，将 CD 绕点 C 顺 时针旋转 90至 CE，连接 AE （1）求证：BCDACE； （2
10、）如图 2，连接 ED，若 CD2，AE1，求 AB 的长； （3）如图 3，若点 F 为 AD 的中点，分别连接 EB 和 CF，求证：CFEB 27 （12 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴相交于 点 C，M 是抛物线的顶点，直线 x1 是抛物线的对称轴，且点 C 的坐标为（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）已知 P 为线段 MB 上一个动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D若 PDm，PCD 的面积为 S 求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； 当 S 取得最值时，求点 P 的
11、坐标 （3）在（2）的条件下，在线段 MB 上是否存在点 P，使PCD 为等腰三角形？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 2020-2021 学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市高新区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分 ）分 ） 1一个直三棱柱如图所示放置，则它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上面看得到的图形式俯视图，可得答案 【解答】解：其俯视图是一行两个矩形 故选：B 2A 是锐角，若 sinA，
12、则A（ ） A45 B60 C30 D90 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】解：A 是锐角，若 sinA，则A30， 故选：C 3如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，AOB60，AO4，则 AB 的长是（ ） A4 B5 C6 D8 【分析】根据矩形性质得出 AOOC，BOOD，ACBD，推出 OAOB，得出AOB 是等边三角形， 推出 ABAO4 即可 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， AOOC，BOOD，ACBD， OAOB， AOB60， AOB 是等边三角形， ABAO4， 故选：A 4如图，ABOCDO，若 BO8，DO4，CD3，则 AB 的长是（
13、 ） A2 B3 C4 D6 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系，进而得出答案 【解答】解：ABOCDO， ， BO8，DO4，CD3， ， 解得：AB6 故选：D 5 已知二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图所示， 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解为 （ ） Ax13，x20 Bx13，x21 Cx3 Dx13，x21 【分析】由抛物线与 x 轴的一个交点坐标及对称轴，可求出抛物线与 x 轴的另一交点坐标，由两交点的 横坐标即可得出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解 【解答】 解： 二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴的
14、一个交点坐标为 （3， 0） ， 对称轴为直线 x1， 二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴的另一个交点坐标为12（3） ，0，即（1，0） ， 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解为 x13，x21 故选：D 6已知点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）都在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小 关系正确的是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 【分析】把点 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）代入反比例函数的关系式求出 y1，y2，y3，比较 得出答案 【解答】解：把点 A（2，y1） ，B
15、（1，y2） ，C（3，y3）代入反比例函数 y的关系式得， y11.5，y23，y31， y2y1y3， 故选：D 7如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DE 与 BC 不平行，那么下列条件中，不能判断 ADEACB 的是（ ） AADEC BAEDB C D 【分析】由于DAECAB，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断 【解答】解：DAECAB， 当ADEC 时，ADEACB； 当AEDB 时，ADEACB； 当时，ADEACB 故选：C 8某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中 9 环以
16、上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中 9 环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则该运动员“射中 9 环以上”的概率约为（结果保留一位小数） （ ） A0.7 B0.75 C0.8 D0.9 【分析】根据大量的实验结果稳定在 0.8 左右即可得出结论 【解答】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在 0.8 附近， 这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率大约是 0.8 故选：C 9如图所示，从一热气球的探测器 A 点，看一栋高楼顶部 B 点的仰角为 30，看这栋高楼底部 C 点的俯 角为 60，若热气球与高楼的水平距离
17、为 30m，则这栋高楼高度是（ ） A60m B40m C30m D60m 【分析】 过 A 作 ADBC， 垂足为 D， 在 RtABD 与 RtACD 中， 根据三角函数的定义求得 BD 和 CD， 再根据 BCBD+CD 即可求解 【解答】解：过 A 作 ADBC，垂足为 D 在 RtABD 中，BAD30，AD30m， BDADtan303010（m） ， 在 RtACD 中，CAD60，AD30m， CDADtan603030（m） ， BCBD+CD10+3040（m） ， 即这栋高楼高度是 40m 故选：B 10如图，边长为 2 的正方形 ABCD 内接于O，则阴影部分的面积为（
18、 ） A B C D 【分析】圆的面积减去正方形的面积除以 4 即可求得答案 【解答】解：正方形的边长为 2， 圆的半径为， 阴影部分的面积：， 故选：B 11如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的面积为 10，反比例函数 y（x0）与 AB、BC 分别交于 点 D、E，若 AD2BD，则 k 的值为（ ） A B C D 【分析】根据矩形的面积为 10，设 OAa，根据 AD2BD，表示出点 D 的坐标，代入即可求出 k 的值 【解答】解：设 OAa，矩形 OABC 的面积为 10，所以 AB， AD2BD， ADAB， 因此点 D（，a） ，代入反比例函数关系式得，k， 故选：C 1
19、2二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0，2a+b0，ba+c，3a+c 0，其中错误的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，利用抛物线的对称轴方程得到 b2a0，利用抛物线与 y 轴 的交点在 x 轴下方得到 c0，则可对进行判断；由于 x1 时，ab+c0，再利用 b2a 得到 3a+c0，则可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， 2a+b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， abc0，所以正确； 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，
20、0） ， yab+c0， b2a， a+cb，a+2a+c0， 3a+c0，所以错误；正确 故选：A 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13如图，在ABC 中，C90，AC3，AB5，sinA 【分析】先利用勾股定理计算出 BC，然后根据正弦的定义求解 【解答】解：C90，AC3，AB5， BC4， sinA 故答案为 14如图，点 A，B，C 均在O 上，若A64，则COB 的度数为 128 【分析】利用圆周角定理可得COB 的度数 【解答】解：A64， COB128， 故答案为：128 15公元前 3
21、世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理” ，即：阻力 阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m，则动 力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m）的函数解析式为 F 【分析】直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而得出动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m） 的函数解析式 【解答】解：由题意可得：12000.5Fl， 故 F 故答案为：F 16 如图， 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， 点 O 为位似中心， 位似比为 2： 3， 点 A 的坐标为 （0， 2） ，则点 E 的坐标是 （3，3）
22、【分析】先利用正方形的性质得到 B（2，2） ，然后把 B 点的横纵坐标分别乘以即可得到 E 点坐标 【解答】解：四边形 ABCO 为正方形， 而 A（0，2） ， B（2，2） ， 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图，点 O 为位似中心，位似比为 2：3， E 点坐标为（2，2） ，即 E（3，3） 故答案为（3，3） 17如图，平行四边形 ABCD 中，AB4，点 D 的坐标是（0，8） ，以点 C 为顶点的抛物线经过 x 轴上的点 A，B，则此抛物线的解析式为 y2x2+16x24 【分析】在平行四边形 ABCD 中，根据平行四边形的性质，CDAB 且 CDAB4，且 C 的
23、纵坐标与 D 相同，运用平行四边形的性质，结合图形得出 A（2，0） ，B（6，0） ，C（4，8） ，然后根据待定系数法 即可求得抛物线解析式 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，CDAB 且 CDAB4，点 D 的坐标是（0，8） ， 点 C 的坐标为（4，8） ， 设抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 H， 则 AHBH2， 点 A，B 的坐标为 A（2，0） ，B（6，0） ，C（4，8） ， 设抛物线的解析式为 ya（x4）2+8， 把 A（2，0）代入得，04a+8， 解得 a2， y2（x4）2+8， 抛物线的解析式为 y2x2+16x24， 故答案为 y2x2+16x24 1
24、8如图 1，已知ABC 中，AB10cm，AC8cm，BC6cm如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速 运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 2cm/s连接 PQ，设运动的时间 为 t（单位：s） （0t4） 如图，把AQP 沿 AP 翻折，当 t s 时，得到的三角形与原三角形组 成的四边形为菱形 【分析】连接 QQ交 AB 于点 D，根据菱形性质可得 QQAB，ADDPAP，先运用勾股定理逆 定理证明ABC 是直角三角形，依据三角函数定义可得 cosBAC，再根据题意可得：AD5 t，AQ2t，由三角函数定义得：cosBAC，从而建立
25、方程求解即可得到答案 【解答】解：如图，连接 QQ交 AB 于点 D， 四边形 AQPQ是菱形， QQAB，ADDPAP， ADQ90， AB10cm，AC8cm，BC6cm， AC2+BC282+62100，AB2102100， AC2+BC2AB2， ACB90， cosBAC， 根据题意，BPAQ2t， AP102t， AD5t， 在 RtADQ 中，cosBAC， ， 解得：t 故答案为：s 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分）解方程：
26、x22x30 【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答 【解答】解：原方程可以变形为（x3） （x+1）0 x30，x+10 x13，x21 20 （6 分）如图，在ABC 中，AB10，AC8，点 D 在边 AB 上，DEBC 交 AC 于点 E，如果 BD4， 求 AE 的长 【分析】求出 AD 长，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再求出答案即可 【解答】解：AB10，BD4， ADABBD6， DEBC， ， ， 解得：AE4.8 21 （6 分）如图，在ABC 中，B45，C75，夹边 BC 的长为 6，求ABC 的面积 【分析】如图，作 CDAB 于点 D解直角三角
27、形求出 CD，AB 即可解决问题 【解答】解：如图，作 CDAB 于点 D B45，CDAB， BCD45， BC6， CDBD3， 在 RtACD 中，ACD754530， tan30， AD， SABCABCD （3+） 39+3， ABC 的面积是 9+3 22 （8 分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观， 让环保理念深入到学校， 某校张老师为了了解本班学生 3 月植树成活情况， 对本班全体学生进行了调查， 并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是 40 人 ； （2）在扇形统
28、计图中，b 60 ，C 类的圆心角为 54 ； （3）张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中 A 类 1 人，B 类 2 人，C 类 1 人，若再从这 4 人中随机抽 取 2 人，请求出全是 B 类学生的概率 【分析】 （1）由 A 类人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去 A、B 的人数求得 C 类人数，由 360乘以 C 类所占比例得 C 类的圆心角度数，用 B 的人数除以总人数可得对应百分比； （3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）全班学生总人数为：1025%40（人） ， 故答案为：40 人； （2）C 类人数为：40（10+24）6（人
29、） ， C 类的圆心角为 36054， B 类百分比为100%60%， b60， 故答案为：60，54； （3）列表如下： A B B C A BA BA CA B AB BB CB B AB BB CB C AC BC BC 由表可知，共有 12 种等可能结果，其中全是 B 类学生的有 2 种结果， 全是 B 类学生的概率为 23 （8 分）如图，在ABC 中，ACB90，点 O 为边 AC 上一点，以 O 为圆心，AO 为半径的O 与 AB 相交于点 D，且 CD 与O 相切于点 D （1）求证：CDCB； （2）若 CE2，CB3，求 r 【分析】 （1）连接 OD，由切线的性质得到CD
30、O90，于是得到ADO+BDC90，根据直角三 角形的性质得到A+B90，由等腰三角形的性质得到AADO，等量代换得到BDCB， 即可得到结论； （2）O 的半径为 r，根据勾股定理即可得到 r 【解答】 （1）证明：如图，连接 OD， CD 与圆 O 相切于点 D， CDO90， ADO+BDC90， ACB90， A+B90， ODOA， AADO， BDCB， CDCB； （2）解：设O 的半径为 r， ODOEr， CE2，CB3， CD3，OC2+r， 在 RtODC 中，根据勾股定理，得 r2+32（2+r）2， 解得 r 24 （10 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段
31、MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围 墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料 （1）当 AB 长度是多少时，矩形花园的面积为 150m2； （2）能否围成矩形花园面积为 210m2，为什么？ 【分析】 （1）设 BCxm，则 ABCD（40 x）m，x25，则（40 x）x150，解得：x10 或 30（舍去 30） ，即可求解； （2）由题意得：则（40 x）x210，化简得：x240 x+4200，160044200，即可求解 【解答】解： （1）设 BCxm，则 ABCD（40 x）m，x25， 则（40 x）x150， 解得：x10 或 3
32、0（舍去 30） ， 故 x10（m） ； AB15（m） 答：当 AB 长度是 15m 时，矩形花园的面积为 150m2； （2）由题意得：则（40 x）x210， 化简得：x240 x+4200，160044200， 故不能围成矩形花园面积为 210m2 25 （10 分）如图，直线 yax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与双曲线 y （x0）相交于点 P， PCx 轴于点 C，且 PC2，点 A 的坐标为（2，0） （1）求直线 AP 和双曲线的解析式； （2）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，且 QHx 轴于 H，当以点 Q、C、H 为顶点的三角形与AOB 相似
33、时，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）把 A 坐标代入直线解析式求出 a 的值，确定出直线解析式，把 y2 代入直线解析式求出 x 的值，确定出 P 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值，即可确定出双曲线解析式； （2）设 Q（a，b） ，代入反比例解析式得到 b，分两种情况考虑：当QCHBAO 时；当QCH ABO 时，由相似得比例求出 a 的值，进而确定出 b 的值，即可得出 Q 坐标 【解答】解： （1）把 A（2，0）代入 yax+1 中，求得 a， yx+1， 由 PC2，把 y2 代入 yx+1 中，得 x2，即 P（2，2） ， 把 P 代入 y得：k4， 则双曲线解析式为 y；
34、 （2）设 Q（m，n） ， Q（m，n）在 y上， n， 当QCHBAO 时，可得，即， m22n，即 m2， 整理得：m22m80， 解得：m4 或 m2（舍去） ， Q（4，1） ； 当QCHABO 时，可得，即， 整理得：2m4， 解得：m1+或 m1（舍） ， Q（1+，22） 综上，Q（4，1）或 Q（1+，22） 26 （12 分）如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，D 为 AB 上一点，连接 CD，将 CD 绕点 C 顺 时针旋转 90至 CE，连接 AE （1）求证：BCDACE； （2）如图 2，连接 ED，若 CD2，AE1，求 AB 的长； （3）如图 3，若
35、点 F 为 AD 的中点，分别连接 EB 和 CF，求证：CFEB 【分析】 （1）由旋转的性质得到 ECDC，ECD90ACB，求得BCDACE，根据全等三 角形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）可知 AEBD1，CAEB45CAB，求得EAD90，根据勾股定理即可 得到结论； （3） 如图， 过 C 作 CGAB 于 G， 求得 AGAB， 根据直角三角形的性质得到 CGAB， 即， 由（1）可得：BDAE，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解： （1）由旋转可得 ECDC，ECD90ACB， BCDACE， 又ACBC， BCDACE（SAS） ； （2）由（1）可知 AE
36、BD1，CAEB45CAB， EAD90， ， ； （3）如图，过 C 作 CGAB 于 G，则 AGAB， ACB90，ACBC， CGAB，即， 点 F 为 AD 的中点， FAAD， FGAGAF ABAD（ABAD）BD， 由（1）可得：BDAE， FGAE，即， ， 又CGFBAE90， CGFBAE， FCGABE， FCG+CFG90， ABE+CFG90， CFBE 27 （12 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴相交于 点 C，M 是抛物线的顶点，直线 x1 是抛物线的对称轴，且点 C 的坐标为（0，
37、3） （1）求抛物线的解析式； （2）已知 P 为线段 MB 上一个动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D若 PDm，PCD 的面积为 S 求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； 当 S 取得最值时，求点 P 的坐标 （3）在（2）的条件下，在线段 MB 上是否存在点 P，使PCD 为等腰三角形？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）点 C 坐标代入解析式可求 c 的值，由对称轴可求 b 的值，即可求解； （2）先求出点 M，点 A，点 B 的坐标，利用待定系数法可求 BM 解析式，由三角形的面积公式可求 解； 利用二次函数的性质可求
38、解； （3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解 【解答】解： （1）直线 x1 是抛物线的对称轴，且点 C 的坐标为（0，3） ， c3，1， b2， 抛物线的解析式为：yx2+2x+3； （2）yx2+2x+3（x1）2+4， 点 M（1，4） ， 抛物线的解析式为：yx2+2x+3 与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 位于点 B 的左侧） ， 0 x2+2x+3 x13，x21， 点 A（1，0） ，点 B（3，0） ， 点 M（1，4） ，点 B（3，0） 直线 BM 解析式为 y2x+6， 点 P 在直线 BM 上，且 PDx 轴于点 D，PDm， 点 P（3，m） ，
39、 SPCDPDODm（3）m2+m， 点 P 在线段 BM 上，且点 M（1，4） ，点 B（3，0） ， 0m4 S 与 m 之间的函数关系式为 Sm2+m（0m4） Sm2+m（m3）2+， 当 m3 时，S 有最大值为， 点 P（，3） 0m4 时，S 没有最小值， 综上所述：当 m3 时，S 有最大值为，此时点 P（，3） ； （3）存在， 若 PCPDm 时， PDm，点 P（3，m） ，点 C（0，3） ， （30）2+（m3）2m2， m118+6（舍去） ，m2186， 点 P（6+3，186） ； 若 DCPDm 时， （30）2+（3）2m2， m322（舍去） ，m42+2， 点 P（4，2+2） ； 若 DCPC 时， （30）2+（m3）2（30）2+（3）2， m50（舍去） ，m66（舍去） 综上所述：当点 P 的坐标为： （6+3，186）或（4，2+2）时，使PCD 为等腰三 角形
