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2020-2021学年山东省济南市高新区九年级上期末数学试卷(含答案详解)

1、2020-2021 学年山东省济南市高新区九年级(上)期末数学试卷学年山东省济南市高新区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 48 分 )分 ) 1一个直三棱柱如图所示放置,则它的俯视图是( ) A B C D 2A 是锐角,若 sinA,则A( ) A45 B60 C30 D90 3如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,AOB60,AO4,则 AB 的长是( ) A4 B5 C6 D8 4如图,ABOCDO,若 BO8,DO4,CD3,则 AB 的长是( ) A2 B3 C4 D6 5 已知二次函数

2、 yax2+bx+c 的部分图象如图所示, 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解为 ( ) Ax13,x20 Bx13,x21 Cx3 Dx13,x21 6已知点 A(2,y1) ,B(1,y2) ,C(3,y3)都在反比例函数 y的图象上,则 y1,y2,y3的大小 关系正确的是( ) Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 7如图,在ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 边上,DE 与 BC 不平行,那么下列条件中,不能判断 ADEACB 的是( ) AADEC BAEDB C D 8某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下: 射击次数 20

3、 40 100 200 400 1000 “射中 9 环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中 9 环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则该运动员“射中 9 环以上”的概率约为(结果保留一位小数) ( ) A0.7 B0.75 C0.8 D0.9 9如图所示,从一热气球的探测器 A 点,看一栋高楼顶部 B 点的仰角为 30,看这栋高楼底部 C 点的俯 角为 60,若热气球与高楼的水平距离为 30m,则这栋高楼高度是( ) A60m B40m C30m D60m 10如图,边长为 2 的正方形 ABCD 内接于O,则阴影部分

4、的面积为( ) A B C D 11如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的面积为 10,反比例函数 y(x0)与 AB、BC 分别交于 点 D、E,若 AD2BD,则 k 的值为( ) A B C D 12二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:abc0,2a+b0,ba+c,3a+c 0,其中错误的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题: (本大题共二、填空题: (本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 24 分 )分 ) 13如图,在ABC 中,C90,AC3,AB5,sinA 14如图,点 A,B,C 均在O 上

5、,若A64,则COB 的度数为 15公元前 3 世纪,古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡,后来人们把它归纳为“杠杆原理” ,即:阻力 阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头,已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m,则动 力 F(单位:N)关于动力臂 l(单位:m)的函数解析式为 16 如图, 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形, 点 O 为位似中心, 位似比为 2: 3, 点 A 的坐标为 (0, 2) ,则点 E 的坐标是 17如图,平行四边形 ABCD 中,AB4,点 D 的坐标是(0,8) ,以点 C 为顶点的抛物线经过 x 轴上的点 A,B,则此抛物线的解析式

6、为 18如图 1,已知ABC 中,AB10cm,AC8cm,BC6cm如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速 运动,同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,它们的速度均为 2cm/s连接 PQ,设运动的时间 为 t(单位:s) (0t4) 如图,把AQP 沿 AP 翻折,当 t 时,得到的三角形与原三角形组 成的四边形为菱形 三、解答题: (本大题共三、解答题: (本大题共 9 个小题,共个小题,共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19 (6 分)解方程:x22x30 20 (6 分)如图,在ABC

7、 中,AB10,AC8,点 D 在边 AB 上,DEBC 交 AC 于点 E,如果 BD4, 求 AE 的长 21 (6 分)如图,在ABC 中,B45,C75,夹边 BC 的长为 6,求ABC 的面积 22 (8 分)学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话,牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观, 让环保理念深入到学校, 某校张老师为了了解本班学生 3 月植树成活情况, 对本班全体学生进行了调查, 并将调查结果分为了三类:A:好,B:中,C:差,请根据图中信息,解答下列问题: (1)全班学生总人数是 ; (2)在扇形统计图中,b ,C 类的圆心角为 ; (3)张老师在班上随机抽取了 4

8、名学生,其中 A 类 1 人,B 类 2 人,C 类 1 人,若再从这 4 人中随机抽 取 2 人,请求出全是 B 类学生的概率 23 (8 分)如图,在ABC 中,ACB90,点 O 为边 AC 上一点,以 O 为圆心,AO 为半径的O 与 AB 相交于点 D,且 CD 与O 相切于点 D (1)求证:CDCB; (2)若 CE2,CB3,求 r 24 (10 分)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段 MN,再砌三面墙,围成一个矩形花园 ABCD(围 墙 MN 最长可利用 25m) ,现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料 (1)当 AB 长度是多少时,矩形花园的面积为 150m2; (2

9、)能否围成矩形花园面积为 210m2,为什么? 25 (10 分)如图,直线 yax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,与双曲线 y (x0)相交于点 P, PCx 轴于点 C,且 PC2,点 A 的坐标为(2,0) (1)求直线 AP 和双曲线的解析式; (2)若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点,且 QHx 轴于 H,当以点 Q、C、H 为顶点的三角形与AOB 相似时,求点 Q 的坐标 26 (12 分)如图 1,在ABC 中,ACB90,ACBC,D 为 AB 上一点,连接 CD,将 CD 绕点 C 顺 时针旋转 90至 CE,连接 AE (1)求证:BCDACE; (2

10、)如图 2,连接 ED,若 CD2,AE1,求 AB 的长; (3)如图 3,若点 F 为 AD 的中点,分别连接 EB 和 CF,求证:CFEB 27 (12 分)如图,抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于 A,B 两点(点 A 位于点 B 的左侧) ,与 y 轴相交于 点 C,M 是抛物线的顶点,直线 x1 是抛物线的对称轴,且点 C 的坐标为(0,3) (1)求抛物线的解析式; (2)已知 P 为线段 MB 上一个动点,过点 P 作 PDx 轴于点 D若 PDm,PCD 的面积为 S 求 S 与 m 之间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围; 当 S 取得最值时,求点 P 的

11、坐标 (3)在(2)的条件下,在线段 MB 上是否存在点 P,使PCD 为等腰三角形?如果存在,请求出点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由 2020-2021 学年山东省济南市高新区九年级(上)期末数学试卷学年山东省济南市高新区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 48 分 )分 ) 1一个直三棱柱如图所示放置,则它的俯视图是( ) A B C D 【分析】根据从上面看得到的图形式俯视图,可得答案 【解答】解:其俯视图是一行两个矩形 故选:B 2A 是锐角,若 sinA,

12、则A( ) A45 B60 C30 D90 【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案 【解答】解:A 是锐角,若 sinA,则A30, 故选:C 3如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,AOB60,AO4,则 AB 的长是( ) A4 B5 C6 D8 【分析】根据矩形性质得出 AOOC,BOOD,ACBD,推出 OAOB,得出AOB 是等边三角形, 推出 ABAO4 即可 【解答】解:四边形 ABCD 是矩形, AOOC,BOOD,ACBD, OAOB, AOB60, AOB 是等边三角形, ABAO4, 故选:A 4如图,ABOCDO,若 BO8,DO4,CD3,则 AB 的长是(

13、 ) A2 B3 C4 D6 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系,进而得出答案 【解答】解:ABOCDO, , BO8,DO4,CD3, , 解得:AB6 故选:D 5 已知二次函数 yax2+bx+c 的部分图象如图所示, 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解为 ( ) Ax13,x20 Bx13,x21 Cx3 Dx13,x21 【分析】由抛物线与 x 轴的一个交点坐标及对称轴,可求出抛物线与 x 轴的另一交点坐标,由两交点的 横坐标即可得出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解 【解答】 解: 二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴的

14、一个交点坐标为 (3, 0) , 对称轴为直线 x1, 二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴的另一个交点坐标为12(3) ,0,即(1,0) , 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的解为 x13,x21 故选:D 6已知点 A(2,y1) ,B(1,y2) ,C(3,y3)都在反比例函数 y的图象上,则 y1,y2,y3的大小 关系正确的是( ) Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 【分析】把点 A(2,y1) ,B(1,y2) ,C(3,y3)代入反比例函数的关系式求出 y1,y2,y3,比较 得出答案 【解答】解:把点 A(2,y1) ,B

15、(1,y2) ,C(3,y3)代入反比例函数 y的关系式得, y11.5,y23,y31, y2y1y3, 故选:D 7如图,在ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 边上,DE 与 BC 不平行,那么下列条件中,不能判断 ADEACB 的是( ) AADEC BAEDB C D 【分析】由于DAECAB,则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断 【解答】解:DAECAB, 当ADEC 时,ADEACB; 当AEDB 时,ADEACB; 当时,ADEACB 故选:C 8某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下: 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中 9 环以

16、上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中 9 环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则该运动员“射中 9 环以上”的概率约为(结果保留一位小数) ( ) A0.7 B0.75 C0.8 D0.9 【分析】根据大量的实验结果稳定在 0.8 左右即可得出结论 【解答】解:从频率的波动情况可以发现频率稳定在 0.8 附近, 这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率大约是 0.8 故选:C 9如图所示,从一热气球的探测器 A 点,看一栋高楼顶部 B 点的仰角为 30,看这栋高楼底部 C 点的俯 角为 60,若热气球与高楼的水平距离

17、为 30m,则这栋高楼高度是( ) A60m B40m C30m D60m 【分析】 过 A 作 ADBC, 垂足为 D, 在 RtABD 与 RtACD 中, 根据三角函数的定义求得 BD 和 CD, 再根据 BCBD+CD 即可求解 【解答】解:过 A 作 ADBC,垂足为 D 在 RtABD 中,BAD30,AD30m, BDADtan303010(m) , 在 RtACD 中,CAD60,AD30m, CDADtan603030(m) , BCBD+CD10+3040(m) , 即这栋高楼高度是 40m 故选:B 10如图,边长为 2 的正方形 ABCD 内接于O,则阴影部分的面积为(

18、 ) A B C D 【分析】圆的面积减去正方形的面积除以 4 即可求得答案 【解答】解:正方形的边长为 2, 圆的半径为, 阴影部分的面积:, 故选:B 11如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的面积为 10,反比例函数 y(x0)与 AB、BC 分别交于 点 D、E,若 AD2BD,则 k 的值为( ) A B C D 【分析】根据矩形的面积为 10,设 OAa,根据 AD2BD,表示出点 D 的坐标,代入即可求出 k 的值 【解答】解:设 OAa,矩形 OABC 的面积为 10,所以 AB, AD2BD, ADAB, 因此点 D(,a) ,代入反比例函数关系式得,k, 故选:C 1

19、2二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:abc0,2a+b0,ba+c,3a+c 0,其中错误的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0,利用抛物线的对称轴方程得到 b2a0,利用抛物线与 y 轴 的交点在 x 轴下方得到 c0,则可对进行判断;由于 x1 时,ab+c0,再利用 b2a 得到 3a+c0,则可对进行判断 【解答】解:抛物线开口向上, a0, 抛物线的对称轴为直线 x1, b2a0, 2a+b0, 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方, c0, abc0,所以正确; 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(1,

20、0) , yab+c0, b2a, a+cb,a+2a+c0, 3a+c0,所以错误;正确 故选:A 二、填空题: (本大题共二、填空题: (本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 24 分 )分 ) 13如图,在ABC 中,C90,AC3,AB5,sinA 【分析】先利用勾股定理计算出 BC,然后根据正弦的定义求解 【解答】解:C90,AC3,AB5, BC4, sinA 故答案为 14如图,点 A,B,C 均在O 上,若A64,则COB 的度数为 128 【分析】利用圆周角定理可得COB 的度数 【解答】解:A64, COB128, 故答案为:128 15公元前 3

21、世纪,古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡,后来人们把它归纳为“杠杆原理” ,即:阻力 阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头,已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m,则动 力 F(单位:N)关于动力臂 l(单位:m)的函数解析式为 F 【分析】直接利用阻力阻力臂动力动力臂,进而得出动力 F(单位:N)关于动力臂 l(单位:m) 的函数解析式 【解答】解:由题意可得:12000.5Fl, 故 F 故答案为:F 16 如图, 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形, 点 O 为位似中心, 位似比为 2: 3, 点 A 的坐标为 (0, 2) ,则点 E 的坐标是 (3,3)

22、【分析】先利用正方形的性质得到 B(2,2) ,然后把 B 点的横纵坐标分别乘以即可得到 E 点坐标 【解答】解:四边形 ABCO 为正方形, 而 A(0,2) , B(2,2) , 正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图,点 O 为位似中心,位似比为 2:3, E 点坐标为(2,2) ,即 E(3,3) 故答案为(3,3) 17如图,平行四边形 ABCD 中,AB4,点 D 的坐标是(0,8) ,以点 C 为顶点的抛物线经过 x 轴上的点 A,B,则此抛物线的解析式为 y2x2+16x24 【分析】在平行四边形 ABCD 中,根据平行四边形的性质,CDAB 且 CDAB4,且 C 的

23、纵坐标与 D 相同,运用平行四边形的性质,结合图形得出 A(2,0) ,B(6,0) ,C(4,8) ,然后根据待定系数法 即可求得抛物线解析式 【解答】解:在平行四边形 ABCD 中,CDAB 且 CDAB4,点 D 的坐标是(0,8) , 点 C 的坐标为(4,8) , 设抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 H, 则 AHBH2, 点 A,B 的坐标为 A(2,0) ,B(6,0) ,C(4,8) , 设抛物线的解析式为 ya(x4)2+8, 把 A(2,0)代入得,04a+8, 解得 a2, y2(x4)2+8, 抛物线的解析式为 y2x2+16x24, 故答案为 y2x2+16x24 1

24、8如图 1,已知ABC 中,AB10cm,AC8cm,BC6cm如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速 运动,同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,它们的速度均为 2cm/s连接 PQ,设运动的时间 为 t(单位:s) (0t4) 如图,把AQP 沿 AP 翻折,当 t s 时,得到的三角形与原三角形组 成的四边形为菱形 【分析】连接 QQ交 AB 于点 D,根据菱形性质可得 QQAB,ADDPAP,先运用勾股定理逆 定理证明ABC 是直角三角形,依据三角函数定义可得 cosBAC,再根据题意可得:AD5 t,AQ2t,由三角函数定义得:cosBAC,从而建立

25、方程求解即可得到答案 【解答】解:如图,连接 QQ交 AB 于点 D, 四边形 AQPQ是菱形, QQAB,ADDPAP, ADQ90, AB10cm,AC8cm,BC6cm, AC2+BC282+62100,AB2102100, AC2+BC2AB2, ACB90, cosBAC, 根据题意,BPAQ2t, AP102t, AD5t, 在 RtADQ 中,cosBAC, , 解得:t 故答案为:s 三、解答题: (本大题共三、解答题: (本大题共 9 个小题,共个小题,共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19 (6 分)解方程:

26、x22x30 【分析】通过观察方程形式,本题可用因式分解法进行解答 【解答】解:原方程可以变形为(x3) (x+1)0 x30,x+10 x13,x21 20 (6 分)如图,在ABC 中,AB10,AC8,点 D 在边 AB 上,DEBC 交 AC 于点 E,如果 BD4, 求 AE 的长 【分析】求出 AD 长,根据平行线分线段成比例定理得出比例式,再求出答案即可 【解答】解:AB10,BD4, ADABBD6, DEBC, , , 解得:AE4.8 21 (6 分)如图,在ABC 中,B45,C75,夹边 BC 的长为 6,求ABC 的面积 【分析】如图,作 CDAB 于点 D解直角三角

27、形求出 CD,AB 即可解决问题 【解答】解:如图,作 CDAB 于点 D B45,CDAB, BCD45, BC6, CDBD3, 在 RtACD 中,ACD754530, tan30, AD, SABCABCD (3+) 39+3, ABC 的面积是 9+3 22 (8 分)学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话,牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观, 让环保理念深入到学校, 某校张老师为了了解本班学生 3 月植树成活情况, 对本班全体学生进行了调查, 并将调查结果分为了三类:A:好,B:中,C:差,请根据图中信息,解答下列问题: (1)全班学生总人数是 40 人 ; (2)在扇形统

28、计图中,b 60 ,C 类的圆心角为 54 ; (3)张老师在班上随机抽取了 4 名学生,其中 A 类 1 人,B 类 2 人,C 类 1 人,若再从这 4 人中随机抽 取 2 人,请求出全是 B 类学生的概率 【分析】 (1)由 A 类人数及其所占百分比可得总人数; (2)总人数减去 A、B 的人数求得 C 类人数,由 360乘以 C 类所占比例得 C 类的圆心角度数,用 B 的人数除以总人数可得对应百分比; (3)列表得出所有等可能结果,再根据概率公式求解可得 【解答】解: (1)全班学生总人数为:1025%40(人) , 故答案为:40 人; (2)C 类人数为:40(10+24)6(人

29、) , C 类的圆心角为 36054, B 类百分比为100%60%, b60, 故答案为:60,54; (3)列表如下: A B B C A BA BA CA B AB BB CB B AB BB CB C AC BC BC 由表可知,共有 12 种等可能结果,其中全是 B 类学生的有 2 种结果, 全是 B 类学生的概率为 23 (8 分)如图,在ABC 中,ACB90,点 O 为边 AC 上一点,以 O 为圆心,AO 为半径的O 与 AB 相交于点 D,且 CD 与O 相切于点 D (1)求证:CDCB; (2)若 CE2,CB3,求 r 【分析】 (1)连接 OD,由切线的性质得到CD

30、O90,于是得到ADO+BDC90,根据直角三 角形的性质得到A+B90,由等腰三角形的性质得到AADO,等量代换得到BDCB, 即可得到结论; (2)O 的半径为 r,根据勾股定理即可得到 r 【解答】 (1)证明:如图,连接 OD, CD 与圆 O 相切于点 D, CDO90, ADO+BDC90, ACB90, A+B90, ODOA, AADO, BDCB, CDCB; (2)解:设O 的半径为 r, ODOEr, CE2,CB3, CD3,OC2+r, 在 RtODC 中,根据勾股定理,得 r2+32(2+r)2, 解得 r 24 (10 分)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段

31、MN,再砌三面墙,围成一个矩形花园 ABCD(围 墙 MN 最长可利用 25m) ,现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料 (1)当 AB 长度是多少时,矩形花园的面积为 150m2; (2)能否围成矩形花园面积为 210m2,为什么? 【分析】 (1)设 BCxm,则 ABCD(40 x)m,x25,则(40 x)x150,解得:x10 或 30(舍去 30) ,即可求解; (2)由题意得:则(40 x)x210,化简得:x240 x+4200,160044200,即可求解 【解答】解: (1)设 BCxm,则 ABCD(40 x)m,x25, 则(40 x)x150, 解得:x10 或 3

32、0(舍去 30) , 故 x10(m) ; AB15(m) 答:当 AB 长度是 15m 时,矩形花园的面积为 150m2; (2)由题意得:则(40 x)x210, 化简得:x240 x+4200,160044200, 故不能围成矩形花园面积为 210m2 25 (10 分)如图,直线 yax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,与双曲线 y (x0)相交于点 P, PCx 轴于点 C,且 PC2,点 A 的坐标为(2,0) (1)求直线 AP 和双曲线的解析式; (2)若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点,且 QHx 轴于 H,当以点 Q、C、H 为顶点的三角形与AOB 相似

33、时,求点 Q 的坐标 【分析】 (1)把 A 坐标代入直线解析式求出 a 的值,确定出直线解析式,把 y2 代入直线解析式求出 x 的值,确定出 P 坐标,代入反比例解析式求出 k 的值,即可确定出双曲线解析式; (2)设 Q(a,b) ,代入反比例解析式得到 b,分两种情况考虑:当QCHBAO 时;当QCH ABO 时,由相似得比例求出 a 的值,进而确定出 b 的值,即可得出 Q 坐标 【解答】解: (1)把 A(2,0)代入 yax+1 中,求得 a, yx+1, 由 PC2,把 y2 代入 yx+1 中,得 x2,即 P(2,2) , 把 P 代入 y得:k4, 则双曲线解析式为 y;

34、 (2)设 Q(m,n) , Q(m,n)在 y上, n, 当QCHBAO 时,可得,即, m22n,即 m2, 整理得:m22m80, 解得:m4 或 m2(舍去) , Q(4,1) ; 当QCHABO 时,可得,即, 整理得:2m4, 解得:m1+或 m1(舍) , Q(1+,22) 综上,Q(4,1)或 Q(1+,22) 26 (12 分)如图 1,在ABC 中,ACB90,ACBC,D 为 AB 上一点,连接 CD,将 CD 绕点 C 顺 时针旋转 90至 CE,连接 AE (1)求证:BCDACE; (2)如图 2,连接 ED,若 CD2,AE1,求 AB 的长; (3)如图 3,若

35、点 F 为 AD 的中点,分别连接 EB 和 CF,求证:CFEB 【分析】 (1)由旋转的性质得到 ECDC,ECD90ACB,求得BCDACE,根据全等三 角形的判定定理即可得到结论; (2)由(1)可知 AEBD1,CAEB45CAB,求得EAD90,根据勾股定理即可 得到结论; (3) 如图, 过 C 作 CGAB 于 G, 求得 AGAB, 根据直角三角形的性质得到 CGAB, 即, 由(1)可得:BDAE,根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解: (1)由旋转可得 ECDC,ECD90ACB, BCDACE, 又ACBC, BCDACE(SAS) ; (2)由(1)可知 AE

36、BD1,CAEB45CAB, EAD90, , ; (3)如图,过 C 作 CGAB 于 G,则 AGAB, ACB90,ACBC, CGAB,即, 点 F 为 AD 的中点, FAAD, FGAGAF ABAD(ABAD)BD, 由(1)可得:BDAE, FGAE,即, , 又CGFBAE90, CGFBAE, FCGABE, FCG+CFG90, ABE+CFG90, CFBE 27 (12 分)如图,抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于 A,B 两点(点 A 位于点 B 的左侧) ,与 y 轴相交于 点 C,M 是抛物线的顶点,直线 x1 是抛物线的对称轴,且点 C 的坐标为(0,

37、3) (1)求抛物线的解析式; (2)已知 P 为线段 MB 上一个动点,过点 P 作 PDx 轴于点 D若 PDm,PCD 的面积为 S 求 S 与 m 之间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围; 当 S 取得最值时,求点 P 的坐标 (3)在(2)的条件下,在线段 MB 上是否存在点 P,使PCD 为等腰三角形?如果存在,请求出点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由 【分析】 (1)点 C 坐标代入解析式可求 c 的值,由对称轴可求 b 的值,即可求解; (2)先求出点 M,点 A,点 B 的坐标,利用待定系数法可求 BM 解析式,由三角形的面积公式可求 解; 利用二次函数的性质可求

38、解; (3)分三种情况讨论,利用两点距离公式列出方程可求解 【解答】解: (1)直线 x1 是抛物线的对称轴,且点 C 的坐标为(0,3) , c3,1, b2, 抛物线的解析式为:yx2+2x+3; (2)yx2+2x+3(x1)2+4, 点 M(1,4) , 抛物线的解析式为:yx2+2x+3 与 x 轴相交于 A,B 两点(点 A 位于点 B 的左侧) , 0 x2+2x+3 x13,x21, 点 A(1,0) ,点 B(3,0) , 点 M(1,4) ,点 B(3,0) 直线 BM 解析式为 y2x+6, 点 P 在直线 BM 上,且 PDx 轴于点 D,PDm, 点 P(3,m) ,

39、 SPCDPDODm(3)m2+m, 点 P 在线段 BM 上,且点 M(1,4) ,点 B(3,0) , 0m4 S 与 m 之间的函数关系式为 Sm2+m(0m4) Sm2+m(m3)2+, 当 m3 时,S 有最大值为, 点 P(,3) 0m4 时,S 没有最小值, 综上所述:当 m3 时,S 有最大值为,此时点 P(,3) ; (3)存在, 若 PCPDm 时, PDm,点 P(3,m) ,点 C(0,3) , (30)2+(m3)2m2, m118+6(舍去) ,m2186, 点 P(6+3,186) ; 若 DCPDm 时, (30)2+(3)2m2, m322(舍去) ,m42+2, 点 P(4,2+2) ; 若 DCPC 时, (30)2+(m3)2(30)2+(3)2, m50(舍去) ,m66(舍去) 综上所述:当点 P 的坐标为: (6+3,186)或(4,2+2)时,使PCD 为等腰三 角形