1、2020-2021 学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下式中表示 y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ayx4 Byx2 Cy Dy 2小明乘车从南充到成都，行车的速度 v（km/h）和行车时间 t（h）之间的函数图象是（ ） A B C D 3若 x1+x23，x12+x225，则以 x1，x2为根的一元二次方程是（ ） Ax23x+20 Bx2+3x20 Cx2+3x+20 Dx23x20 4请你判断，x|x|3|x|+20 的实根的个数为（ ） A1 B2
2、 C3 D4 5 一个两位数等于其各数位上数字的积的 3 倍， 且个位上数字比十位上数字大 2， 则这个两位数是 （ ） A24 B35 C42 D53 6已知ABC 三边长是，2，与ABC 相似的三角形三边长可能是（ ） A1， B1， C1， D1， 7如图，ABOCDO，若 BO6，DO3，CD2，则 AB 的长是（ ） A2 B3 C4 D5 8若一元二次方程 x22xm0 无实数根，则反比例函数 y的图象所在的象限是（ ） A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、四象限 D第三、四象限 92sin45的值等于（ ） A1 B C D2 10某烟花爆竹厂从 20 万件同类产品中随机抽取
3、了 100 件进行质检，发现其中有 5 件不合格，那么你估计 该厂这 20 万件产品中合格品约为（ ） A1 万件 B19 万件 C15 万件 D20 万件 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11某县校服生产有甲、乙、丙三种方案，为了了解何种图案更受欢迎，随机调查了某校学生 100 名，其 中有 60 位学生喜欢甲方案，若该校有学生 3000 名，根据你所学的统计知识，估计该校喜欢甲方案的学 生有 人 12一元二次方程 x22x1 的两根 、，则 + 13已知3，则 14某楼梯的侧面如图所示，测得 AC4m，ACB30，则该楼梯的高度 AB 15点 P（1
4、，1）向左平移两个单位后恰好位于双曲线 y上，则 k 16已知，则 三、解答题（三、解答题（86 分）分） 17 （8 分）解方程 （1）3x27x0 （2）x2+4x2 18 （6 分）计算：3tan30+cos45+ 19 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+0 （1）若 x1 是方程的一个解，写出 a，b 满足的关系式？ （2）当 b1 时，利用根的判别式判断方程根的情况 （3）若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的 a，b 的值，并求出此时的方程根 20 （8 分）若 AE 与 BD 相交于点 C，AC3，BC6，CD10，CE5，证明 ABOE 21 （10
5、 分）一艘船以 40km/s 的速度向正东航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 60方向上继续航行 1h到 达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30方向上，已知在灯塔 C 的四周 30km 内有暗礁，问这船继续向东 航行是否安全？ 22 （10 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，AE 与 CD 交于点 F，若 AE 平分BAC， ABAFACAE （1）求证：AFDAEC； （2）若 EGCD，交边 AC 的延长线于点 G，求证：CDCGFCBD 23 （10 分）如图，在 106 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB、线段 EF 的端点均在
6、 小正方形的顶点上 （1）在图中以 AB 为边画 RtABC，点 C 在小正方形的格点上，使BAC90，且 tanACB； （2）在（1）的条件下，在图中画以 EF 为边且面积为 3 的DEF，点 D 在小正方形的格点上，使CBD 45，连接 CD，直接写出线段 CD 的长 24 （10 分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了 某市部分出行市民的主要出行方式 （参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类） ，并将调查结 果绘制成如下不完整的统计图 种类 A B C D E 出行方式 共享单车 步行 公交车 的士 私家车 根据以上信息，回答下列
7、问题： （1）参与本次问卷调查的市民共有 人，其中选择 B 类的人数有 人； （2）在扇形统计图中，求 A 类对应扇形圆心角 的度数，并补全条形统计图； （3）该市约有 12 万人出行，若将 A，B，C 这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿 色出行”方式的人数 25 （14 分）如图，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC，ABC 的平分线，过点 A 作 AEAD 交 BD 的延长线于点 E （1）证明：EC （2）如图，如果 AEAB，且 BD：DE2：3，求 cosABC 的值 （3）如果ABC 是锐角且ABC 与ADE 相似，求ABC 的度数 2020-2021 学年湖南
8、省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下式中表示 y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ayx4 Byx2 Cy Dy 【分析】利用反比例函数定义进行解答即可 【解答】解：A、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； B、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； C、不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D 2小明乘车从南充到成都，行车的速度 v（km/h）和行车时间 t（h）之间的
9、函数图象是（ ） A B C D 【分析】根据时间 t、速度 v 和路程 s 之间的关系，在路程不变的条件下，得 v，则 v 是 t 的反比例 函数，且 t0 【解答】解：v（t0） ， v 是 t 的反比例函数， 故选：B 3若 x1+x23，x12+x225，则以 x1，x2为根的一元二次方程是（ ） Ax23x+20 Bx2+3x20 Cx2+3x+20 Dx23x20 【分析】 利用完全平方公式计算出 x1x22， 然后根据根与系数的关系写出以 x1， x2为根的一元二次方程 【解答】解：x12+x225， （x1+x2）22x1x25， 而 x1+x23， 92x1x25， x1x2
10、2， 以 x1，x2为根的一元二次方程为 x23x+20 故选：A 4请你判断，x|x|3|x|+20 的实根的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】先去掉绝对值然后再根据二次函数的性质求出方程的根，从而求解 【解答】解：x0，得 x|x|3|x|+2x23x+20， （x1） （x2）0， 解得 x1 或 2，满足条件； x0，得 x|x|3|x|+2x2+3x+20， x23x20， 94（2）17， x， x0， x， 方程实根的个数为 3 个， 故选：C 5 一个两位数等于其各数位上数字的积的 3 倍， 且个位上数字比十位上数字大 2， 则这个两位数是 （ ） A24 B35
11、C42 D53 【分析】设十位上的数字为未知数，得到两位数个位上的数字，根据关系式两位数等于其各数位上数字 的积的 3 倍列出方程求得十位上的数字，进而求得两位数即可 【解答】解：设十位上的数字为 x，则个位上的数字为 x+2， 10 x+x+23x（x+2） ， （x2） （3x+1）0， 解得 x12，x2（不合题意，舍去） ， 故 x2， 这个两位数为 210+424 故选：A 6已知ABC 三边长是，2，与ABC 相似的三角形三边长可能是（ ） A1， B1， C1， D1， 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论 【解答】解：ABC 三边长是，2， ABC 三边长的比为：2：1
12、：， ABC 相似的三角形三边长可能是 1：， 故选：A 7如图，ABOCDO，若 BO6，DO3，CD2，则 AB 的长是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案 【解答】解：ABOCDO， ， BO6，DO3，CD2， ， 解得：AB4 故选：C 8若一元二次方程 x22xm0 无实数根，则反比例函数 y的图象所在的象限是（ ） A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、四象限 D第三、四象限 【分析】先根据一元二次方程 x22xm0 无实数根判断出 m 的取值范围，再判断出 m+1 的符号进而 可得出结论 【解答】解：一元二次方程 x
13、22xm0 无实数根， 4+4m0，解得 m1， m+10， 反比例函数 y的图象所在的象限是第二、四象限 故选：C 92sin45的值等于（ ） A1 B C D2 【分析】根据 sin45解答即可 【解答】解：2sin452 故选：B 10某烟花爆竹厂从 20 万件同类产品中随机抽取了 100 件进行质检，发现其中有 5 件不合格，那么你估计 该厂这 20 万件产品中合格品约为（ ） A1 万件 B19 万件 C15 万件 D20 万件 【分析】先计算出 100 件样本中合格品的百分比，约等于这 20 万件的合格率，再估计该厂这 20 万件产 品中合格品 【解答】解： （1005）1001
14、00%2019（万件） ，故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11某县校服生产有甲、乙、丙三种方案，为了了解何种图案更受欢迎，随机调查了某校学生 100 名，其 中有 60 位学生喜欢甲方案，若该校有学生 3000 名，根据你所学的统计知识，估计该校喜欢甲方案的学 生有 1800 人 【分析】用该校总人数乘以样本中喜欢甲学生人数占被调查人数的比例即可 【解答】解：估计该校喜欢甲方案的学生有 30001800（人） ， 故答案为：1800 12一元二次方程 x22x1 的两根 、，则 + 1 【分析】直接根据根与系数的关系得出 +2；1，再代入计算即
15、可 【解答】解：一元二次方程 x22x1 的两根 、， +2；1 则 +211 故答案为：1 13已知3，则 2 【分析】直接利用已知将原式变形进而代入求出答案 【解答】解：3， 32 故答案为：2 14某楼梯的侧面如图所示，测得 AC4m，ACB30，则该楼梯的高度 AB 【分析】利用正切三角函数解直角三角形求出 AB 即可 【解答】解：在 RtABC 中， A90，AC4m，ACB30， tanACB ABACtanACB4， 故答案为： 15点 P（1，1）向左平移两个单位后恰好位于双曲线 y上，则 k 1 【分析】根据点的平移规律，得出平移后的点的坐标，将该点坐标代入 y中求 k 即可
16、 【解答】解：点 P（1，1）向左平移两个单位后点的坐标为（1，1） ， 将点（1，1）代入 y中，得 k1， 故答案为1 16已知，则 【分析】直接利用已知变形，进而代入得出答案 【解答】解：， 设 x3a，则 y4a，z5a， 则 故答案为： 三、解答题（三、解答题（86 分）分） 17 （8 分）解方程 （1）3x27x0 （2）x2+4x2 【分析】 （1）利用因式分解法求解可得； （2）利用配方法求解可得 【解答】解： （1）3x27x0， x（3x7）0， 则 x0 或 3x70， 解得 x0 或 x； （2）x2+4x2， x2+4x+42+4，即（x+2）26， 则 x+2，
17、x2 18 （6 分）计算：3tan30+cos45+ 【分析】代入特殊角的三角函数值即可 【解答】解：原式3+ 2+2+1 21 19 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+0 （1）若 x1 是方程的一个解，写出 a，b 满足的关系式？ （2）当 b1 时，利用根的判别式判断方程根的情况 （3）若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的 a，b 的值，并求出此时的方程根 【分析】 （1）代入法可求 a、b 满足的关系式； （2）由方程的系数结合根的判别式、b1，可得出122a，分三种情况判断； （3）由根的判别式b22a0，可得出：若 b2，a2，则原方程为 2x2+2
18、x+0，解之即可得出 结论 【解答】解： （1）把 x1 代入方程可得 a+b+0； （2）b24ab22a， b1， 122a， 当 a时，方程有实数根；当 a时，方程无实数根； （3）方程有两个相等的实数根， b22a0，即 b22a， 取 a2，b2， 则方程为 2x2+2x+0， 解得 x1x2 20 （8 分）若 AE 与 BD 相交于点 C，AC3，BC6，CD10，CE5，证明 ABOE 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等，即可证得两三角形相似，根据相似三角形的性质可得A E，即可得出结论 【解答】证明：AC3，BC6，CD10，CE5， ， ACBECD， ACBECD， A
19、E， ABDE 21 （10 分）一艘船以 40km/s 的速度向正东航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 60方向上继续航行 1h到 达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 30方向上，已知在灯塔 C 的四周 30km 内有暗礁，问这船继续向东 航行是否安全？ 【分析】过 C 作 CDAB 于点 D，根据方向角的定义及余角的性质求出BCA30，ACD60， 证ACB30BAC，根据等角对等边得出 BCAB40 海里，然后解 RtBCD，求出 CD 即可 【解答】解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D如图所示： 根据题意可知BAC906030，DBC903060， DBCACB+BAC， B
20、AC30ACB， BCAB40140（km） ， 在 RtBCD 中，CDB90，DBC60，sinDBC， CD40sin604020（km）30km， 这艘船继续向东航行安全 22 （10 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，AE 与 CD 交于点 F，若 AE 平分BAC， ABAFACAE （1）求证：AFDAEC； （2）若 EGCD，交边 AC 的延长线于点 G，求证：CDCGFCBD 【分析】 （1）先证BAECAF，推出AEBAFC，由等角的补角相等可得出结论； （2）先后证明DCBCEG，GACFB，推出BDCGCE，由相似三角形的性质可得 出结论
21、【解答】 （1）证明：ABAFACAE， ， AE 平分BAC， BAECAE， BAECAF， AEBAFC， 180AEB180AFC， AECAFD； （2）证明：CFEAFDCEF， CECF， DCEG， DCBCEG，GACFB， BDCGCE， ， CDCGFCBD 23 （10 分）如图，在 106 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，线段 AB、线段 EF 的端点均在 小正方形的顶点上 （1）在图中以 AB 为边画 RtABC，点 C 在小正方形的格点上，使BAC90，且 tanACB； （2）在（1）的条件下，在图中画以 EF 为边且面积为 3 的DEF，点 D 在
22、小正方形的格点上，使CBD 45，连接 CD，直接写出线段 CD 的长 【分析】 （1）如图，作BAC90，且边 AC3，才能满足条件； （2） 作 DE2， 连接 DF， 则DEF 是以 EF 为边且面积为 3 的三角形， 连接 BD， CD， 则CBD45 【解答】解： （1）如图， 由勾股定理得：AB2， AC3，BC， AB2+AC2（2）2+（3）226， BC2（）226， AB2+AC2BC2， ABC 是直角三角形，且BAC90， tanACB； （2）如图，SDEF233， BC，CD，BD， BC2+CD252，BD252， BC2+CD2BD2， BCD90，BCCD，
23、CBD45， CD 24 （10 分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了 某市部分出行市民的主要出行方式 （参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类） ，并将调查结 果绘制成如下不完整的统计图 种类 A B C D E 出行方式 共享单车 步行 公交车 的士 私家车 根据以上信息，回答下列问题： （1）参与本次问卷调查的市民共有 800 人，其中选择 B 类的人数有 240 人； （2）在扇形统计图中，求 A 类对应扇形圆心角 的度数，并补全条形统计图； （3）该市约有 12 万人出行，若将 A，B，C 这三类出行方式均视为“绿色出行”方式
24、，请估计该市“绿 色出行”方式的人数 【分析】 （1）由 C 类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以 B 类别百分比即可得； （2）根据百分比之和为 1 求得 A 类别百分比，再乘以 360和总人数可分别求得； （3）总人数乘以样本中 A、B、C 三类别百分比之和可得答案 【解答】解： （1）本次调查的市民有 20025%800（人） ， B 类别的人数为 80030%240（人） ， 故答案为：800，240； （2）A 类人数所占百分比为 1（30%+25%+14%+6%）25%， A 类对应扇形圆心角 的度数为 36025%90，A 类的人数为 80025%200（人） ， 补全条形图
25、如下： （3）12（25%+30%+25%）9.6（万人） ， 答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为 9.6 万人 25 （14 分）如图，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC，ABC 的平分线，过点 A 作 AEAD 交 BD 的延长线于点 E （1）证明：EC （2）如图，如果 AEAB，且 BD：DE2：3，求 cosABC 的值 （3）如果ABC 是锐角且ABC 与ADE 相似，求ABC 的度数 【分析】 （1）由题意：E90ADE，证明ADE90C 即可解决问题 （2）延长 AD 交 BC 于点 F证明 AEBC，可得AFBEAD90，由 BD：DE2：3， 可得 cosABC
26、（3） 因为ABC 与ADE 相似， DAE90， 所以ABC 中必有一个内角为 90因为ABC 是锐角， 推出ABC90接下来分两种情形分别求解即可 【解答】证明： （1）如图 1 中， AEAD， DAE90，E90ADE， AD 平分BAC， BADBAC，同理ABDABC， ADEBAD+DBA，BAC+ABC180C， ADE（ABC+BAC）90C， E90（90C）C （2）延长 AD 交 BC 于点 F ABAE， ABEE， BE 平分ABC， ABEEBC， ECBE， AEBC， AFBEAD90， BD：DE2：3， cosABC （3）ABC 与ADE 相似，DAE90， ABC 中必有一个内角为 90 ABC 是锐角， ABC90 当BACDAE90时， EC， ABCEC， ABC+C90， ABC30， 当CDAE90时，EC45， EDA45， ABC 与ADE 相似， ABC45， 综上所述，ABC30或 45
