1、 专题专题 18 18 平行四边形平行四边形 知识点知识点 1 1：平行四边形：平行四边形 1. 平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定 （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 知识点知识点 2 2：特殊的平行
2、四边形：特殊的平行四边形 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 （1）矩形的性质： 1）矩形的四个角都是直角； 2）矩形的对角线平分且相等。 （2）矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 2. 菱形的定义 ：邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （1）菱形的性质： 1）菱形的四条边都相等； 2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （2）菱形的判定定理： 1一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、3.四条边相等的四边形是菱形。 （3）菱形的面积 S=1/2ab（a、b 为两条对角线） 4.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形叫做正方形。 （1）正方形的性质： 1）四条边都相等，四个角都是直角。 2）正方形既是矩形，又是菱形。 （2）正方形判定定理： 1）邻边相等的矩形是正方形。 2）有一个角是直角的菱形是正方形。 1.1.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添 辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形 问题转化成常见的
4、三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线； （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形； （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线； （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形； （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。 2.2.四边形中常用辅助线的添法顺口溜四边形中常用辅助线的添法顺口溜 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接
5、证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020绥化）绥化）如图，在 RtABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DEAC于点E，延长DE至 点F，使EFDE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且CDE+EGC180，FG2，GC3下 列结论： DE= 1 2BC；四边形 DBCF是平行四边形； EFEG；BC25 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 【分析】证出DE是ABC的中位线，则DE= 1 2BC；正确；证出 DFBC，则四边形DBCF是平行四边形； 正确； 由直角三角
6、形斜边上的中线性质得出CD= 1 2ABBD， 则 CFCD， 得出CFECDE， 证CDEEGF， 则CFEEGF，得出EFEG，正确；作EHFG于H，由等腰三角形的性质得出FHGH= 1 2FG1，证 EFHCEH，则 = ，求出 EH2，由勾股定理的EF= 5，进而得出BC25，正确 【解答】解；CD为斜边AB的中线，ADBD， ACB90，BCAC， DEAC，DEBC，DE是ABC的中位线，AECE，DE= 1 2BC；正确； EFDE，DFBC， 四边形DBCF是平行四边形；正确；CFBD，CFBD， ACB90，CD为斜边AB的中线，CD= 1 2ABBD，CFCD，CFECDE
7、， CDE+EGC180，EGF+EGC180， CDEEGF，CFEEGF，EFEG，正确； 作EHFG于H，如图所示： 则EHFCHE90，HEF+EFHHEF+CEH90，FHGH= 1 2FG1， EFHCEH，CHGC+GH3+14， EFHCEH， = ， EH 2CHFH414，EH2， EF= 2+ 2= 12+ 22= 5， BC2DE2EF25，正确； 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020辽阳）辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC8BD6，点E是CD 上一点，连接OE，若OECE，则OE的长是（ ） A2 B5 2 C3 D4 【答
8、案】B 【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB，OC，ACBD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据三 角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， OB= 1 2BD= 1 2 63，OAOC= 1 2AC= 1 2 84，ACBD， 由勾股定理得，BC= 2+ 2= 32+ 42=5， AD5， OECE，DCAEOC， 四边形ABCD是菱形，DCADAC，DACEOC，OEAD， AOOC， OE是ADC的中位线， OE= 1 2AD2.5， 【例题 3】 （20202020泰安）泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，
9、过点B作BFAC交CD于点F，交AC于 点M，过点D作DEBF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM则下列结论： DNBM； EMFN； AEFC； 当AOAD时，四边形DEBF是菱形 其中，正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 【解析】证DNABMC（AAS） ，得出DNBM，ADECBF，故正确；证ADECBF（ASA） ，得 出AEFC，DEBF，故正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EMFN，故正确；证四边形DEBF 是平行四边形，证出ODNABD，则DEBE，得出四边形DEBF是菱形；故正确；即可得出结论 四边形ABCD是矩形， ABCD
10、，ABCD，DAEBCF90，ODOBOAOC，ADBC，ADBC， DANBCM， BFAC，DEBF， DEAC， DNABMC90， 在DNA和BMC中， = = = ， DNABMC（AAS） ， DNBM，ADECBF，故正确； 在ADE和CBF中， = = = ， ADECBF（ASA） ， AEFC，DEBF，故正确； DEDNBFBM，即NEMF， DEBF， 四边形NEMF是平行四边形， EMFN，故正确； ABCD，AECF， BEDF， BEDF， 四边形DEBF是平行四边形， AOAD， AOADOD， AOD是等边三角形， ADODAN60， ABD90ADO30，
11、DEAC， ADNODN30， ODNABD， DEBE， 四边形DEBF是菱形；故正确； 正确结论的个数是 4 个. 平行四边形单元精品检测试卷平行四边形单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1 （20202020台州）台州）下列是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形；它是一个 矩形下列推理过程正确的是（ ） A由推出，由推出 B由推出，由推出 C由推出，由推出 D由推出，由推出 【答案】A 【解析】根据对角线相等的四边形推不出
12、是正方形或矩形即可判断 对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形， 故，错误， 故选项B，C，D错误. 2 （20202020菏泽）菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足 的条件是（ ） A互相平分 B相等 C互相垂直 D互相垂直平分 【答案】C 【解析】由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性 质可知，应为对角线互相垂直的四边形 由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直 3 （20202020连云港）连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD
13、上的A处若DBC24， 则AEB等于（ ） A66 B60 C57 D48 【答案】C 【解析】 由矩形的性质得AABC90， 由折叠的性质得BAEA90， ABEABE= 1 2 （90 DBC）33，即可得出答案 四边形ABCD是矩形， AABC90， 由折叠的性质得：BAEA90，ABEABE， ABEABE= 1 2（90DBC）= 1 2（9024）33， AEB90ABE903357； 4 （20202020黑龙江）黑龙江） 如图， 正方形ABCD的边长为a， 点E在边AB上运动 （不与点A，B重合） ， DAM45， 点F在射线AM上，且AF= 2BE，CF与AD相交于点G，连接
14、EC、EF、EG则下列结论： ECF45； AEG的周长为（1+ 2 2 ）a； BE 2+DG2EG2； EAF的面积的最大值是1 8a 2； 当BE= 1 3a 时，G是线段AD的中点 其中正确的结论是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】正确如图 1 中，在BC上截取BHBE，连接EH证明FAEEHC（SAS）即可解决问题 错误如图 2 中，延长AD到H，使得DHBE，则CBECDH（SAS） ，再证明GCEGCH（SAS） 即可解决问题 正确设BEx，则AEax，AF= 2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题 正确当BE= 1 3a 时，设DGx，则EGx+ 1 3a
15、，利用勾股定理构建方程可得 x= 2即可解决问题 如图 1 中，在BC上截取BHBE，连接EH BEBH，EBH90， EH= 2BE， AF= 2BE， AFEH， DAMEHB45，BAD90， FAEEHC135， BABC，BEBH， AEHC， FAEEHC（SAS） ， EFEC，AEFECH， ECH+CEB90， AEF+CEB90， FEC90， ECFEFC45，故正确， 如图 2 中，延长AD到H，使得DHBE，则CBECDH（SAS） ， ECBDCH， ECHBCD90， ECGGCH45， CGCG，CECH， GCEGCH（SAS） ， EGGH， GHDG+DH
16、，DHBE， EGBE+DG，故错误， AEG的周长AE+EG+AGAE+AHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故错误， 设BEx，则AEax，AF= 2x， SAEF= 1 2 （ax）x= 1 2x 2+1 2ax= 1 2（x 2ax+1 4a 21 4a 2）= 1 2（x 1 2a） 2+1 8a 2， 1 2 0， x= 1 2a 时，AEF的面积的最大值为1 8a 2故正确， 当BE= 1 3a 时，设DGx，则EGx+ 1 3a， 在 RtAEG中，则有（x+ 1 3a） 2（ax）2+（2 3a） 2， 解得x= 2， AGGD，故正确. 5 （20202020
17、黑龙江）黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DHAB于点H，连接OH，若 OA6，OH4，则菱形ABCD的面积为（ ） A72 B24 C48 D96 【答案】C 【解析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度， 最后由菱形的面积公式求得面积 四边形ABCD是菱形， OAOC，OBOD，ACBD， DHAB， BHD90，BD2OH， OH4，BD8， OA6，AC12， 菱形ABCD的面积= 1 2 = 1 2 12 8 = 48 6 （20202020绥化）绥化）如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两
18、边上的点，不能保证ABE和ADF一 定全等的条件是（ ） ABAFDAE BECFC CAEAF DBEDF 【答案】C 【解析】根据菱形的性质可得ABAD，BD，再根据所添加条件，与这个两个条件是否能最终得到全 等三角形的判定条件，进而得出结论 A四边形ABCD是菱形， ABAD，BD， BAFDAE， BAECAF， ABEADF（AAS） ， 故选项A不符合题意； B.四边形ABCD是菱形， ABAD，BD，BCBD， ECFC， BEDF， ABEADF（SAS） ， 故选项B不符合题意； C.四边形ABCD是菱形， ABAD，BD， AEAF， ABE和ADF只满足两边和一边的对角相
19、等，两个三角形不一定全等， 故选项C符合题意； D.四边形ABCD是菱形， ABAD，BD， BEDE， ABEADF（SAS） ， 故选项D不符合题意 7 （20202020贵阳）贵阳）菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的周长是（ ） A5 B20 C24 D32 【答案】B 【解析】根据题意画出图形，由菱形的性质求得OA4，OB3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形 的周长如图所示： 四边形ABCD是菱形，AC8，BD6， ABBCCDAD，OA= 1 2AC4，OB= 1 2BD3，ACBD， AB= 2+ 2= 42+ 32=5， 此菱形的周长4520 8 （202020
20、20南充）南充）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作 EFBD于F，EGAC于G，则四边形EFOG的面积为（ ） A1 4S B1 8S C 1 12S D 1 16S 【答案】B 【解析】由菱形的性质得出OAOC，OBOD，ACBD，S= 1 2ACBD，证出四边形 EFOG是矩形，EFOC，EG OB，得出EF、EG都是OBC的中位线，则EF= 1 2OC= 1 4AC，EG= 1 2OB= 1 4BD，由矩形面积即可得出答案 四边形ABCD是菱形， OAOC，OBOD，ACBD，S= 1 2ACBD， EFBD于F，EGAC于G， 四边形EF
21、OG是矩形，EFOC，EGOB， 点E是线段BC的中点， EF、EG都是OBC的中位线， EF= 1 2OC= 1 4AC，EG= 1 2OB= 1 4BD， 矩形EFOG的面积EFEG= 1 4AC 1 4BD= 1 8S； 9 （20202020黑龙江）黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DHAB于点H，连接OH，若 OA6，S菱形ABCD48，则OH的长为（ ） A4 B8 C13 D6 【答案】A 【解析】由菱形的性质得出OAOC6，OBOD，ACBD，则AC12，由直角三角形斜边上的中线性质得 出OH= 1 2BD，再由菱形的面积求出 BD8，即可得出答案
22、 四边形ABCD是菱形， OAOC6，OBOD，ACBD， AC12， DHAB， BHD90， OH= 1 2BD， 菱形ABCD的面积= 1 2 ACBD= 1 2 12BD48， BD8， OH= 1 2BD4； 10 （20202020荆门）荆门）如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF5，则菱形ABCD的周长为 （ ） A20 B30 C40 D50 【答案】C 【解析】由三角形中位线定理可求AB10，由菱形的性质即可求解 E，F分别是AD，BD的中点， EF是ABD的中位线， EF= 1 2AB5， AB10， 四边形ABD是菱形， ABBCCDAD10， 菱
23、形ABCD的周长4AB40 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 11（20202020甘孜州）甘孜州） 如图， 在ABCD中， 过点C作CEAB， 垂足为E， 若EAD40， 则BCE的度数为 【答案】50 【解析】由平行四边形的性质得出BEAD40，由角的互余关系得出BCE90B50即 可 四边形ABCD是平行四边形， ADBC， BEAD40， CEAB， BCE90B50 12 （20202020无锡）无锡）如图，在菱形ABCD中，B50，点E在CD上，若AEAC，则BAE 【答案】115 【解析】由菱形的性质得出AC平分BCD，ABCD，由平行线
24、的性质得出BAE+AEC180，B+BCD 180，求出BCD130，则ACE= 1 2BCD65，由等腰三角形的性质得出AECACE65， 即可得出答案 四边形ABCD是菱形， AC平分BCD，ABCD， BAE+AEC180，B+BCD180， BCD180B18050130， ACE= 1 2BCD65， AEAC， AECACE65， BAE180AEC115 13 （20202020淮安）淮安）菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的边长为 【答案】5 【解析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC6，BD8，即可得ACBD，OA= 1 2AC3，OB= 1 2BD
25、4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长 菱形ABCD中，AC6，BD8， ACBD，OA= 1 2AC3，OB= 1 2BD4， AB= 2+ 2=5 即这个菱形的边长为：5 14 （20202020枣庄）枣庄）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC8，AECF2，则四边形BEDF的 周长是 【答案】85 【解析】连接BD交AC于点O，则可证得OEOF，ODOB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BDEF，可 证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论 如图，连接BD交AC于点O， 四边形ABCD为正方形， BDAC，ODOBOAOC， AECF2， OAAE
26、OCCF，即OEOF， 四边形BEDF为平行四边形，且BDEF， 四边形BEDF为菱形， DEDFBEBF， ACBD8，OEOF= 84 2 =2， 由勾股定理得：DE= 2+ 2= 42+ 22=25， 四边形BEDF的周长4DE4 25 =85 1515（20192019湖南娄底）湖南娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，BCD 的 周长为 18，则DEO 的周长是 【答案】9 【解析】E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形， E O B A C D DE= 1 2 AD= 1 2 BC，DO= 1 2 BD，AO=CO，
27、 OE= 1 2 CD， BCD 的周长为 18， BD+DC+B=18， DEO 的周长是 DE+OE+DO= 1 2 （BC+DC+BD）= 1 2 18=9 16.16.（20192019 贵州省安顺市）贵州省安顺市） 如图，在 RtABC中，BAC90，AB3，AC4，点D为斜边BC上的一个 动点，过D分别作DMAB于点M，作DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 . 【答案】【答案】 5 12 【解析】【解析】连接AD，即可证明四边形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MNAD，再由三角形的面积关系求出AD 的最小值，即可得出结果 连接AD，如图所示： DMAB，DNAC，AM
28、DAND90， 又BAC90，四边形AMDN是矩形；MNAD， B D M N C A B D M N C A BAC90，AB3，AC4，BC5， 当ADBC时，AD最短， 此时ABC的面积 2 1 BCAD 2 1 ABAC， AD的最小值 5 12 BC ACAB ， 线段MN的最小值为 5 12 。 1717 （ （20192019 湖南张家界）湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为 1，点E，F分别为BC，CD边的中点， 连接AE，BF交于点P，连接PD，则 tanAPD 【答案】2 【解析】解：连接AF， E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， CFBE， 在ABE和BC
29、F中， ， RtABERtBCF（SAS） ， BAECBF， 又BAE+BEA90， CBF+BEA90， BPEAPF90， ADF90， ADF+APF180， A、P、F、D四点共圆， AFDAPD， tanAPDtanAFD2， 故答案为：2 18.18. （20192019 四川省凉山州）四川省凉山州） 如图， 正方形ABCD中，AB12，AEAB， 点P在BC上运动 （不与B、C重合） ， 过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 【答案】4 【解析】先证明BPECQP，得到与CQ有关的比例式，设CQy，BPx，则CP12x，代入解析式， 得到y与x的二次函数式，根据二次
30、函数的性质可求最值 BEP+BPE90，QPC+BPE90， BEPCPQ 又BC90， BPECQP 设CQy，BPx，则CP12x ，化简得y（x 212x） ， 整理得y（x6） 2+4， 所以当x6 时，y有最大值为 4 19 （20202020黔东南州）黔东南州）以ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面 直角坐标系若A点坐标为（2，1） ，则C点坐标为 【答案】 （2，1） 【解析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到 点C的坐标 ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（2，1） ， 点C的坐标为
31、（2，1） 20 （20202020金华）金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 【答案】30 【解析】根据平行四边形的性质解答即可 四边形ABCD是平行四边形， D+C180， 180（54070140180）30 三、解答题三、解答题（6 6 个小题，共个小题，共 6060 分）分） 21 （8 分） （20202020黄冈）黄冈）已知：如图，在ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于 点E，求证：ADCE 【答案】见解析。 【解析】只要证明AODEOC（ASA）即可解决问题； 证明：O是CD的中点， ODCO， 四边形ABCD是平行四
32、边形， ADBC， DOCE， 在ADO和ECO中， = = = ， AODEOC（ASA） ， ADCE 22 （8 分） （20202020孝感）孝感） 如图， 在ABCD中， 点E在AB的延长线上， 点F在CD的延长线上， 满足BEDF 连 接EF，分别与BC，AD交于点G，H 求证：EGFH 【答案】见解析。 【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论 证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ABCFDH， 在BEG与DFH中， = = = ， BEGDFH（ASA） ， EGFH 23 （10 分） （20202020鄂州）鄂州）如图，在平行四边形AB
33、CD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC 的中点，延长BM至点E，使EMBM，连接DE （1）求证：AMBCND； （2）若BD2AB，且AB5，DN4，求四边形DEMN的面积 【答案】见解析。 【分析】 （1）依据平行四边形的性质，即可得到AMBCND； （2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得 到EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积 【解析】 （1）平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， AOCO， 又点M，N分别为OA、OC的中点， AMCN， 四边形ABCD是平行四边形
34、， ABCD，ABCD， BAMDCN， AMBCND（SAS） ； （2）AMBCND， BMDN，ABMCDN， 又BMEM， DNEM， ABCD， ABOCDO， MBONDO， MEDN 四边形DEMN是平行四边形， BD2AB，BD2BO， ABOB， 又M是AO的中点， BMAO， EMN90， 四边形DEMN是矩形， AB5，DNBM4， AM3MO， MN6， 矩形DEMN的面积6424 24 （10 分） （20202020重庆）重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分BAD和DCB，交对角线BD于 点E，F （1）若BCF60，求ABC的度数； （2）求证：
35、BEDF 【答案】见解析。 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到ABCD，根据平行线的性质得到ABC+BCD180，根据角平 分线的定义得到BCD2BCF，于是得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到ABCD，ABCD，BADDCB，求得ABECDF，根据角平分线的定 义得到BAEDCE，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解析】 （1）四边形ABCD是平行四边形， ABCD， ABC+BCD180， CF平分DCB， BCD2BCF， BCF60， BCD120， ABC18012060； （2）四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ABCD，BADDCB， ABECDF， AE，C
36、F分别平分BAD和DCB， BAE= 1 2 ，DCF= 1 2 ， BAEDCE， ABECDF（ASA） ， BECF 25 （12 分） （20202020北京）北京） 如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点， 点F，G在AB上， EFAB，OGEF （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD10，EF4，求OE和BG的长 【答案】见解析。 【解析】 （1）根据菱形的性质得到BDAC，DAOBAO，得到AEOE= 1 2AD，推出 OEFG，求得四边 形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到BDAC，ABAD10，
37、得到OEAE= 1 2AD5；由（1）知，四边形 OEFG是矩 形，求得FGOE5，根据勾股定理得到AF= 2 2=3，于是得到结论 （1）四边形ABCD是菱形， BDAC，DAOBAO， E是AD的中点， AEOE= 1 2AD， EAOAOE， AOEBAO， OEFG， OGEF， 四边形OEFG是平行四边形， EFAB， EFG90， 四边形OEFG是矩形； （2）四边形ABCD是菱形， BDAC，ABAD10，AOD90， E是AD的中点，OEAE= 1 2AD5； 由（1）知，四边形OEFG是矩形，FGOE5， AE5，EF4，AF= 2 2=3， BGABAFFG10352 26 （12 分） （20202020自贡）自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上， 且CEDF，连接AE和BF相交于点M求证：AEBF 【答案】见解析。 【解析】根据矩形的性质可证明AEBBFC（SAS） ，然后根据全等三角形的判定即可求出答案 在正方形ABCD中， ABCDCDAD， CEDF，BECF， 在AEB与BFC中， = = = ， AEBBFC（SAS） ， AEBF
