1、专题19 平行四边形 专题知识回顾 1平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。2平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。 3平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4平行四边形的面积：S平行四边形=底边长高
2、=ah专题典型题考法及解析 【例题1】（2019广西池河）如图，在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）ABFBBBCFCACCFDADCF【答案】B【解析】利用三角形中位线定理得到DEAC，结合平行四边形的判定定理进行选择在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，DE是ABC的中位线，DEACA.根据BF不能判定ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误B.根据BBCF可以判定CFAB，即CFAD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确C.根据AC
3、CF不能判定ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误D.根据ADCF，FDAC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误【例题2】（2018湖北黄石）如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角ABD和等腰直角ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由（2）求证：BE=CD，BECD【答案】看解析。【解析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为
4、BD的中点，可得BG=BC，由CGB=45，ADB=45得ADCG，由CBD+ACB=180，得ACBD，得出四边形ACGD为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得DACBAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得BCECAD，易得CBE=ACD，由ACB=90，易得CFB=90，得出结论ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AB=BC，ABD和ACE均为等腰直角三角形，BD=BC=2BC，G为BD的中点，BG=BD=BC，CBG为等腰直角三角形，CGB=45，ADB=45，ADCG，ABD=45，ABC=45CBD=90，ACB
5、=90，CBD+ACB=180，ACBD，四边形ACGD为平行四边形；（2）证明：EAB=EAC+CAB=90+45=135，CAD=DAB+BAC=90+45=135，EAB=CAD，在DAC与BAE中，DACBAE，BE=CD；EAC=BCA=90，EA=AC=BC，四边形ABCE为平行四边形，CE=AB=AD，在BCE与CAD中，BCECAD，CBE=ACD，ACD+BCD=90，CBE+BCD=90，CFB=90，即BECD 专题典型训练题 一、选择题1. （ 福建福州）平面直角坐标系中，已知ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，l )，C（m，n），则点D的坐标是（
6、）A（2 ，l ) B（2，l ) C（1，2 ) D （1，2 )【答案】A【解析】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标A（m，n），C（m，n），点A和点C关于原点对称，四边形ABCD是平行四边形，D和B关于原点对称，B（2，1），点D的坐标是（2，1），故选择A .2.（ 河北省）关于ABCD的叙述，正确的是（ ）A若ABBC，则ABCD是菱形 B若ACBD，则ABCD是正方形C若AC=BD，则ABCD是矩形
7、D若AB=AD，则ABCD是正方形【答案】C【解析】根据菱形、矩形和正方形的判定方法对各选项进行判断.当ABBC时，ABC90，ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故选项A不正确；ACBD，ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故选项B不正确；AC=BD，ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故选项C正确；AB=AD，ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故选项D不正确.3.（湖南湘西）下列说法错误的是（ ）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相
8、等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】D【解析】此题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判断定理可作出判断选项A、B、C都是平行四边形的判定定理，符合选项D条件的除了平行四边形还有等腰梯形，故选择D .4（2019山东临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BMDN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）AOMACBMBMOCBDACDAMBCND【答案】A 【解析】由平行四边形的性质可知：OAOC，OBOD，再证明OMON即可证明四边形AMCN是平行四边形证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD对角线BD上
9、的两点M、N满足BMDN，OBBMODDN，即OMON，四边形AMCN是平行四边形，OMAC，MNAC，四边形AMCN是矩形5.（山东淄博）如图，ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形则图中阴影的面积是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】本题考查三角形的面积的计算，平行四边形的性质，及整体思想，解题关键是能整体求解. 这里两阴影部分以公共边GH为底，则高的和=ABC的BC边的高.设ABC底边BC上的高为h，AGH底边GH上的高为h1，CGH底边GH上的高为h2，则有h=h1+h2SABC=
10、BCh=16，S阴影=SAGH+SCGH=GHh1+ GHh2=GH（h1+h2）=GHh四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，GH=BD=BC.S阴影= （BCh）= SABC=4故选择B二、填空题6（2019广西百色）四边形具有不稳定性如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形ABCD，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则A 【答案】30【解析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形ABCD的底边AD边上的高等于AD的一半，据此可得A为30，平行四边形ABCD的底边AD边上的高等于AD的一半，A306（2019湖南娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于
11、点 O，点 E 是 AD 的中点，BCD 的周长为 18，则DEO 的周长是 【答案】9【解析】E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形，DE= AD= BC，DO=BD，AO=CO，OE= CD，BCD 的周长为 18，BD+DC+B=18，DEO 的周长是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=18=97.（ 2019河南省）如图，在ABCD中，BEAB交对角线AC于点E，若1=20，则2的度数是_.【答案】110【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识思路：首先利用平行四边形的性质求出BAE的度
12、数，再由2是ABE的外角求出2的大小.四边形ABCD是平行四边形ABCD，BAE=1=20BEABABE=902是ABE的外角2=ABE+BAE=90+20=110 ，故答案为110. 8.（ 2019湖北省十堰市）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2cm,AD=4cm,ACBC,则DBC比ABC的周长长_cm.【答案】4【解析】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题的关键是DBC比ABC的周长长等于BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理，分别表示出DBC的周长与ABC的周长，找出BD-AC的值即可.如图，设AC与BD交于点F,因
13、为AB=2cm,AD=4cm,ACBC，所以AC=;因为平行四边形ABCD中，所以，AF=FC,BF=DF; BF=, BD=10;因为DBC的周长=BD+BC+CD=10+AB,ABC的周长=AB+BC+6,所以DBC比ABC的周长长4.F9.(2019浙江金华)如图,已知ABCD，BCDE.若A20，C120，则AED的度数是 . 【答案】80【解析】延长DE交AB于F，根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定AED的度数延长DE交AB于F，因为ABCD，BCDE，所以四边形BCDF为平行四边形，因为C120，所以BFD120，所以AFD60，又A20，所以AED60+2080，故
14、答案为80 .10.（江苏省无锡市）如图，已知OABC的顶点A、C分别在直线x1和x4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_【答案】5【解析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是知道点B到直线x4的距离等于点O到直线x1的距离本题的思路是由平行四边形的中心对称的性质可知点O与点A，点C与点B之间的水平距离相等，可求得点B的横坐标，也就是说点B在一条垂直于x轴的直线上运动，我们只需寻找出点B在什么位置时，OB最短即可顶点A、C分别在直线x1和x4上，O是坐标原点，点B在x5上，当点B在x轴上时，即OB的最小值为5，故答案为5.11. （2019湖北武汉）如图，在ABCD中，E.F是对角
15、线AC上两点，AEEFCD，ADF90，BCD63，则ADE的大小为 【答案】21【解析】设ADEx，AEEF，ADF90，DAEADEx，DEAFAEEF，AEEFCD，DECD，DCEDEC2x，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAEBCAx，DCEBCDBCA63x，2x63x，解得：x21，即ADE21。三、解答题12（2019徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF求证：（1）ECBFCG；（2）EBCFGC【答案】见解析。【解析】依据平行四边形的性质，即可得到ABCD，由折叠可得，AECG，即可得到ECBFCG；依据平行
16、四边形的性质，即可得出DB，ADBC，由折叠可得，DG，ADCG，即可得到BG，BCCG，进而得出EBCFGC证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，由折叠可得，AECG，BCDECG，BCDECFECGECF，ECBFCG；（2）四边形ABCD是平行四边形，DB，ADBC，由折叠可得，DG，ADCG，BG，BCCG，又ECBFCG，EBCFGC（ASA）13（2019湖南郴州）如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF求证：四边形ACDF是平行四边形【答案】见解析【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，FAECDE，
17、E是AD的中点，AEDE，又FEACED，FAECDE（ASA），CDFA，又CDAF，四边形ACDF是平行四边形14. (湖南省永州市)如图，四边形ABCD为平行四边形，BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E (1)求证：BE=CD (2)连接BF，若BFAE，BEA=60，AB=4，求平行四边形ABCD的面积 【答案】见解析。【解析】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，AB=CD，ADBE，DAE=AEB又AE平分BAD，DAE=BAE BAE=AEB BE=AB又AB=CD，BE=CD（2）BE=AB，BFAE，AF=EF，ADBE，D=DCE，DAF=FEC， AD
18、FECF(AAS)S平行四边形ABCD=SABEBE=AB，BEA=60，ABE为等边三角形SABE=AEBF=44sin60=44=S平行四边形ABCD=15(2019安徽)如图，点E在ABCD内部，AFBE，DFCE（1）求证：BCEADF；（2）设ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值【答案】见解析。【解析】根据ASA证明：BCEADF；根据点E在ABCD内部，可知：SBEC+SAEDSABCD，可得结论（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，ABC+BAD180，AFBE，EAB+BAF180，CBEDAF，同理得BCEADF，在BCE和ADF中，BCEAD
19、F（ASA）；（2）点E在ABCD内部，SBEC+SAEDSABCD，由（1）知：BCEADF，SBCESADF，S四边形AEDFSADF+SAEDSBEC+SAEDSABCD，ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，216（2019湖南张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BEAB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G（1）求证：BFCF；（2）若BC6，DG4，求FG的长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADCD，ADBC，EBFEAD，BFADBC，BFCF；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，ADC
20、D，FGCDGA，即，解得，FG217. （2019南京）如图，D是ABC的边AB的中点，DEBC，CEAB，AC与DE相交于点F求证：ADFCEF【答案】见解析。【解析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BDCE，依据CEAD，即可得出AECF，ADFE，即可判定ADFCEF证明：DEBC，CEAB，四边形DBCE是平行四边形，BDCE，D是AB的中点，ADBD，ADEC，CEAD，AECF，ADFE，ADFCEF（ASA）18（2018海南）如图，将ABCD的AD边延长至点E，使DE=AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=3，
21、AD=4，A=60，求CE的长【答案】看解析。【解析】考点是平行四边形的判定与性质菁优网版权所有利用平行四边形的性质得出AD=BC，ADBC，进而利用已知得出DE=FC，DEFC，进而得出答案；首先过点D作DNBC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而得出答案（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，ADBC，DE=AD，F是BC边的中点，DE=FC，DEFC，四边形CEDF是平行四边形；（2）解：过点D作DNBC于点N，四边形ABCD是平行四边形，A=60，BCD=A=60，AB=3，AD=4，FC=2，NC=DC=，DN=，FN=，则DF=EC=19（201
22、9辽宁本溪）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ADCD，B45，延长CD到点E，使DEDA，连接AE（1）求证：AEBC；（2）若AB3，CD1，求四边形ABCE的面积【答案】见解析。【解析】证明：（1）ABCD，B45C+B180C135DEDA，ADCDE45E+C180AEBC，且ABCD四边形ABCE是平行四边形AEBC（2）四边形ABCE是平行四边形ABCE3ADDEABCD2四边形ABCE的面积32620.（江苏省扬州市）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处（1）求证：四边形AECF是平行四边
23、形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积【答案】见解析。【解析】（1）证明：折叠，AM=AB，CN=CD，FNC=D=90，AME=B=90，ANF=90，CME=90，四边形ABCD为矩形，AB=CD，ADBC，AM=CN，AMMN=CNMN，即AN=CM，在ANF和CME中，FAN=EMC，AN=CM，ANF=EMC，ANFCME（ASA），AF=CE，又AFCE，四边形AECF是平行四边形；（2）解：AB=6，AC=10，BC=8，设CE=x，则EM=8x，CM=106=4，在RtCEM中，（8x）2+42=x2，解得：x=5，四边形AECF的面积为：ECAB=56=3021.（ 2019四川省凉山州）如图，的对角线、交于点， 过点且与、分别交于点、。试猜想线段、的关系，并说明理由。ABCEDFO【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得到OA与OC相等，ADBC，进而有AFE与CEF相等，再结合对顶角得出AOF与COE全等，得到OE与OF相等，再证明AOE与COF全等，从而得到AE与CF的关系.AE=CF.四边形ABCD为平行四边形，OA=OC，ADBC，AFE=CEF；在AOF和COE中 ，AOFCOE（AAS），OF=OE；在AOE和COF中 ，AOECOF（SAS），AE=CF.
