1、 平行四边形创新题赏析平行四边形创新题赏析 平行四边形部分是初中数学的重点内容，在各地中考试卷中都占有一定的分量。随着课程改革的进一 步深入，出现了许多构思新、重素质、考能力的创新题型，令人耳目一新；它对培养和考查学生的发散能 力和综合能力大有裨益。现例举中考题几例并加以归类浅析，希望对同学们有所启发。 一、补充说理型一、补充说理型 例例 1. 如图 1，已知四边形 ABCD 是平行四边形，BCD 的平分线 CF 交边 AB 于 F，ADC 的平分线 DG 交边 AB 于 G。 （1）求证：AFGB； （2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得EFG 为等腰直角三角形，并说明理由。 图
2、1 解析：解析：（1）四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD，AGDCDG 又DG 是ADC 的平分线 ADGGDC AGDADG ADAG 同理可得：BFBC 在平行四边形 ABCD 中，ADBC AGBF AFGB （2）可以添加条件ADC90或四边形 ABCD 是矩形 说理如下：四边形 ABCD 是矩形 ADCBCD90 又 DG、CF 平分ADC 和BCD EDCECD45 AGDBFC45，FEG90 即EFG 是等腰直角三角形。 点评：点评：此例把解题的主动性交给学生，让学生添加条件再说理，给学生创造了一个适度的思维空间； 富有创意，活而不难，有利于激发学生的信心和探索欲望。 二
3、、判断类比型二、判断类比型 例例 2. 已知任意任意四边形 ABCD，且线段 AB、BC、CD、DA、AC、BD 的中点分别是 E、F、G、H、P、Q。 （1）若四边形 ABCD 如图 2-1，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“”，错误的在括号里 填“”）。 甲：顺次连接 EF、FG、GH、HE 一定得到平行四边形；（ ） 乙：顺次连接 EQ、QG、GP、PE 一定得到平行四边形。（ ） （2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断。 （3）若四边形 ABCD 如图 2-2，请你判断（1）中的两个结论是否成立？ 解析：解析：（1）甲的判断是正确的；乙的判断是错误的。 （2）对甲说理如下：
4、 连接 EF、FG、GH、HE（如图 2-3） E、F 分别是 AB、BC 的中点 EF 是ABC 的中位线 ，EFACEFAC 1 2 同理，HGAC HGAC 1 2 EFHG，EFHG 四边形 EFGH 是平行四边形 对乙可举反例说明：如图 2-4，在矩形 ABCD 中，顺次连接 EQ、QG、GP、PE 得到一条线段，而不是 一个平行四边形。 （3）对图 2-2，类似于（1）中的结论甲、乙都成立。 点评：点评：此例通过设计问题串，让学生经历判断、归纳，从而建立认识，再作判断；体现了新课程下命 题者关注学生思维过程的良苦用心。 三、猜想证明型三、猜想证明型 例例 3. 已知：如图 3，四边
5、形 ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且 DEBF。 请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条 线段相等（只须证明一组线段相等即可）。 图 3 （1）连接_； （2）猜想_； （3）证明 解析：解析：连接 AF，猜想 AFAE。 证明：连接 AC，交 BD 于 O 四边形 ABCD 是菱形，ACBD 于 O，DOBO DEBF，EOFO AC 垂直平分 EF AFAE 点评：点评：此例要求学生经历探索猜想证明的思维过程，这种螺旋上升的结构符合学生的心理特征和 认知规律。让考生在试卷上留下思维的痕迹，
6、能创造性地激活学生的思维。 四、运动探究型四、运动探究型 例例 5. 如图 4， 已知平行四边形 ABCD 及四边形外一直线l， 四个顶点 A、 B、 C、 D 到直线l的距离分别为 a、 b、c、d。 （1）观察图形，猜想得出 a、b、c、d 满足怎样的关系式？证明你的结论。 （2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论。 解析：解析：（1）acbd 证明：连接 AC、BD，且 AC、BD 相交于点 O，OO1为点 O 到l的距离 图 4 OO1为直角梯形BB D D 11 的中位线 2 111 OODDBBbd 同理：2 111 OOAACCac acbd （2）不
7、一定成立。 分别有以下情况： 直线l过 A 点时，cbd； 直线l过 A 点与 B 点之间时，cabd； 直线l过 B 点时，cad； 直线l过 B 点时与 D 点之间时，acbd； 直线l过 D 点时，acb； 直线l过 C 点与 D 点之间时，acbd； 直线l过 C 点时，abd； 直线l过 C 点上方时，acbd。 点评：点评：将静态的数学与动态的变化结合起来，给数学以生命，让学生在图形的变化中理解体验变与不 变。本题以“平行四边形”、“线”为背景，在“动”中开拓学生视野，拓宽学生的思维空间，在“静” 中寻找关系，从而找到解决问题的途径。该题较好地考查了学生观察、分析、判断论证能力和探
8、究创新能 力；有利于培养学生严谨的思维习惯和缜密的治学态度。 五、图形设计型五、图形设计型 例例 5. 在ABC 中，借助作图工具可以作出中位线 EF，沿着中位线 EF 一刀剪切后，用得到的AEF 和四边 形 EBCF 可以拼成平行四边形 EBCP，剪切线与拼图如图示 1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计， 并在规定位置画出图示。 图示 1 （1）在ABC 中，增加条件_，沿着_一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与 拼图画在图示 2 的位置； （2）在ABC 中，增加条件_，沿着_一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与 拼图画在图示 3 的位置； （3）在ABC 中，增加条件_，沿着_一刀剪切后可以
9、拼成正方形，剪切线 与拼图画在图示 4 的位置； （4）在ABC（ABAC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪 切线的作法）是_ 然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示 5 的位置。 解：解：（1）方法一：B90，中位线 EF，如图示 2-1。 方法二：ABAC，中线（或高）AD，如图示 2-2。 （2）AB2BC（或者C90，A30），中位线 EF，如图示 3。 （3）方法一：B90且 AB2BC，中位线 EF，如图示 4-1。 方法二：ABAC 且BAC90，中线（或高）AD，如图示 4-2。 （4）方法一：不妨设BC，在 BC 边
10、上取一点 D，作GDBB 交 AB 于 G，过 AC 的中点 E 作 EFGD 交 BC 于 F，则 EF 为剪切线，如图示 5-1。 方法二：不妨设BC，分别取 AB、AC 的中点 D、E，过 D、E 作 BC 的垂线，G、H 为垂足，在 HC 上截取 HFGB，连接 EF，则 EF 为剪切线，如图示 5-2。 方法三：不妨设BC，作高 AD，在 DC 上截取 DGDB，连接 AG，过 AC 的中点 E 作 EFAG 交 BC 于 F，则 EF 为剪切线，如图示 5-2。 点评：点评：重视提高动手操作能力和实践能力，是素质教育新课程的切入点。此类题设计新颖，不落俗套， 为考生画图操作、类比联
11、想、反思探究提供了自由发挥、自主探究的广阔思维空间；对进一步理解和应用 所学知识，发展创新能力、实践能力、操作能力大有裨益；让学生在具体的操作情境中，领悟数学的发展 与形成的真谛。 初三中考作业本有这样一道题:如图所示,已知四边形纸片 ABCD,现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的 平行四边形纸片,如果限定裁剪线有两条,能否做到:_(选填能或不能),请确定裁剪线的位置,并说明拼 接方法:若填不能,请简要说明理由. 拿到此题,学生们感觉无从下手.仔细分析此题,此题涉及到如何剪,如何拼的问题,因而我作了如下的解题分 析. 一.寻找解题思路. (1)由于四边形内角和为 3600,因而可以将四个内角拼成一个周角,可以进行平面镶嵌. (2)由于拼成的四边形是平行四边形,因而必须注意边长的特殊性,可以取各边的中点. 在找到思路的基础上,我们就可动手裁剪-沿对边的中点剪开,分割成四部分. 二.如何拼凑是本题的难点,关键是不能将剪下的图形弄乱.拼时以其中一块图形不动,抓相等的边拼在一起,以 相临两边的中点为旋转中心将其中两块图形转 1800,不相临的第三块图形平移到空缺处. 三.如何说明它是平行四边形. (1)必须说明三点共线.可用两角之和为 1800. (2)必须说明它是平行四边形.可用角的关系证明两组对边平行. 经过以上的分析,裁剪,拼凑,证明,才可完整的完成此题.
