1、2020-2021 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分 ）分 ） 1如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 2矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ） A每一条对角线平分一组对角 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角线互相垂直 3用配方法解一元二次方程 x24x+20，下列配方正确的是（ ） A （x+2）22 B （x2）22 C （x2）22 D （x2）26 4如果 3a2b（ab0） ，那么比例式中正确的是（ ） A
2、B C D 5在一个不透明的口袋中装有 4 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同通过多次摸球实验后 发现，摸到红球的频率稳定在 25%附近，则口袋中白球可能有（ ） A16 个 B15 个 C13 个 D12 个 6如图，点 A，B，C，D 的坐标分别是（1，7） ， （1，1） ， （4，1） ， （6，1） ，以 C，D，E 为顶点的三角形 与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是（ ） A （6，0） B （6，3） C （6，5） D （4，2） 7反比例函数 y图象上三个点的坐标为（x1，y1） 、 （x2，y2） 、 （x3，y3） ，若 x1x20 x3，则 y1，y2，
3、 y3的大小关系是 （ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy1y3y2 8如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 cosABC 等于（ ） A B C D 9如图所示，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，BCD110，则BOD 的大小是（ ） A100 B140 C130 D120 10如图，竖直放置的杆 AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡 CD 的 D 处，而此时 1 米的杆影长恰好 为 1 米，现量得 BC 为 10 米，CD 为 8 米，斜坡 CD 与地面成 30角，则杆的高度 AB 为（ ）米 A6+4 B10+4 C8 D6 11如图，矩形 ABCD
4、 的边 AB1，BE 平分ABC，交 AD 于点 E，若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心， BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 12如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，给出下列结论： b24ac；abc0；ac；4a2b+c0，其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，直接填写答案 ）分，直接填写答案 ） 13一元二次方程 2x2+3x+10 的两个根之和为 14已知一个菱形的两条对角线长
5、分别为 6cm 和 8cm，则这个菱形的面积为 cm2 15如图，身高为 1.6m 的小李 AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树 CD 的高度，CD 的倒影是 CD，且 AEC在一条视线上，河宽 BD12m，且 BE2m，则树高 CD m 16如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若 AB8，CD6，则 BE 17对于函数 y，当函数值 y1 时，自变量 x 的取值范围是 18如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC6，连接 BD，点 M，N 分别是边 BC，DC 上的动点，连接 MN， 将CMN 沿 MN 折叠，使点 C 的对应点 P 始终落在 BD 上，当PBM 为直
6、角三角形时，线段 MC 的长 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算：（2）0+tan60 20解方程（x1） （x+2）2（x+2） 21如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AEBF求证：ACFDBE 22如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D （1）若BAD80，求DAC 的度数； （2）如果 AD6，AB8，求 AC 的长 23章丘区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水
7、平，决定推进“一人一球” 活动计划，学生可根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E： 乒乓球） ，陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图） （1）该班共 人； （2）将条形统计图补充完整； （3）该班班委 4 人中，1 人选修足球，1 人选修篮球，2 人选修羽毛球，陈老师要从这 4 人中任选 2 人 了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的 2 人中至少有 1 人选修羽毛球 的概率 24如图，RtABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 由 A 出发向点 C 移动，点 Q 由 C 出发向 点
8、 B 移动，两点同时出发，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒 （1）几秒时PCQ 的面积为 4cm2？ （2）是否存在 t 的值，使PCQ 的面积为 5cm2？若存在，求这个 t 值，若不存在，说明理由， （3）几秒时PCQ 的面积最大，最大面积是多少？ 25如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y（x0）的图象相交于点 A（1，2） 、点 B（ 4，n） （1）求此一次函数和反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）在 x 轴上存在一点 P，使PAB 的周长最小，求点 P 的坐标 26如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，ACBC，DEAE，将这两个三角形
9、放置在一起 （1）问题发现： 如图，当ACBAED60时，点 B、D、E 在同一直线上，连接 CE，则CEB ，线 段 BD、CE 之间的数量关系是 ； （2）拓展探究： 如图，当ACBAED90时，点 B、D、E 在同一直线上，连接 CE，请判断CEB 的度数及线 段 BD、CE 之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题： 如图，ACBAED90，AC2，AE2，连接 CE、BD，在AED 绕点 A 旋转的过程中， 当 DEBD 时，请直接写出 EC 的长 27如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线上一 动点，连
10、接 PB，PC （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，当点 P 在直线 BC 上方时，过点 P 作 PD 上 x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E若 PE2ED， 求PBC 的面积； （3）抛物线上存在一点 P，使PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标 2020-2021 学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市章丘区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线 【解答
11、】解：图中几何体的左视图如图所示： 故选：D 2矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ） A每一条对角线平分一组对角 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角线互相垂直 【分析】矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正 方形都具有的性质 【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分故选：C 3用配方法解一元二次方程 x24x+20，下列配方正确的是（ ） A （x+2）22 B （x2）22 C （x2）22 D （x2）26 【分析】移项，配方（方程两边都加上 4） ，即可得出选项 【解答】解：x24x+20， x24x2， x24x+42
12、+4， （x2）22， 故选：C 4如果 3a2b（ab0） ，那么比例式中正确的是（ ） A B C D 【分析】先逆用比例的基本性质，把 3a2b 改写成比例的形式，使相乘的两个数 a 和 3 做比例的外项， 则相乘的另两个数 b 和 2 就做比例的内项；进而判断得解 【解答】解：3a2b， a：b2：3，b：a3：2， 即 a：2b：3， 故 A，B 均错误，C 正确，D 错误 故选：C 5在一个不透明的口袋中装有 4 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同通过多次摸球实验后 发现，摸到红球的频率稳定在 25%附近，则口袋中白球可能有（ ） A16 个 B15 个 C13 个 D1
13、2 个 【分析】由摸到红球的频率稳定在 25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可 【解答】解：设白球个数为：x 个， 摸到红色球的频率稳定在 25%左右， 口袋中得到红色球的概率为 25%， ， 解得：x12， 经检验 x12 是原方程的根， 故白球的个数为 12 个 故选：D 6如图，点 A，B，C，D 的坐标分别是（1，7） ， （1，1） ， （4，1） ， （6，1） ，以 C，D，E 为顶点的三角形 与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是（ ） A （6，0） B （6，3） C （6，5） D （4，2） 【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的
14、两三角形相似即可判断 【解答】解：ABC 中，ABC90，AB6，BC3，AB：BC2 A、当点 E 的坐标为（6，0）时，CDE90，CD2，DE1，则 AB：BCCD：DE，CDE ABC，故本选项不符合题意； B、当点 E 的坐标为（6，3）时，CDE90，CD2，DE2，则 AB：BCCD：DE，CDE 与 ABC 不相似，故本选项符合题意； C、当点 E 的坐标为（6，5）时，CDE90，CD2，DE4，则 AB：BCDE：CD，EDC ABC，故本选项不符合题意； D、当点 E 的坐标为（4，2）时，ECD90，CD2，CE1，则 AB：BCCD：CE，DCE ABC，故本选项不符
15、合题意； 故选：B 7反比例函数 y图象上三个点的坐标为（x1，y1） 、 （x2，y2） 、 （x3，y3） ，若 x1x20 x3，则 y1，y2， y3的大小关系是 （ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy1y3y2 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据 x1x20 x3即可 得出结论 【解答】解：反比例函数 y中，k30， 此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 x1x20 x3， （x1，y1） 、 （x2，y2）在第三象限， （x3，y3）在第一象限， y2y10y3 故选：B 8如
16、图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 cosABC 等于（ ） A B C D 【分析】找到ABC 所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得ABC 的邻边与斜边之比 即可 【解答】解：由格点可得ABC 所在的直角三角形的两条直角边为 2，4， 斜边为2 cosABC 故选：B 9如图所示，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，BCD110，则BOD 的大小是（ ） A100 B140 C130 D120 【分析】根据圆内接四边形的性质求出A，再根据圆周角定理解答 【解答】解：四边形 ABCD 为O 的内接四边形， A180BCD70， 由圆周角定理得，BOD2A140， 故选
17、：B 10如图，竖直放置的杆 AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡 CD 的 D 处，而此时 1 米的杆影长恰好 为 1 米，现量得 BC 为 10 米，CD 为 8 米，斜坡 CD 与地面成 30角，则杆的高度 AB 为（ ）米 A6+4 B10+4 C8 D6 【分析】如图，延长 AB 交 DT 的延长线于 E首先证明 AE 【解答】解：如图，延长 AB 交 DT 的延长线于 E 1 米的杆影长恰好为 1 米， AEDE， 四边形 BCTE 是矩形， BCET10 米，BECT， 在 RtCDT 中，CTD90，CD8 米，CDT30， DTCDcos3084（米） ，CTCD4（米）
18、， AEDEET+DT（10+4） （米） ，BECT4（米） ， ABAEBE（10+4）4（6+4） （米） ， 故选：A 11如图，矩形 ABCD 的边 AB1，BE 平分ABC，交 AD 于点 E，若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心， BE 长为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出 AE，BE 的长以及EBF 的度数，进而利用 图中阴影部分的面积S矩形ABCDSABES扇形EBF，求出答案 【解答】解：矩形 ABCD 的边 AB1，BE 平分ABC， ABEEBF45，ADBC， AE
19、BCBE45， ABAE1，BE， 点 E 是 AD 的中点， AEED1， 图中阴影部分的面积S矩形ABCDSABES扇形EBF 1211 故选：B 12如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，给出下列结论： b24ac；abc0；ac；4a2b+c0，其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用抛物线与 x 轴有 2 个交点和判别式的意义对进行判断； 由抛物线开口方向得到 a0，由抛物线对称轴位置确定 b0，由抛物线与 y 轴交点位置得到 c0， 则可作判断； 利用 x1 时 ab+c0，然后把 b2a 代入可判断； 利用抛物线的对称性
20、得到 x2 和 x0 时的函数值相等，即 x2 时，y0，则可进行判断 【解答】解：抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0， 所以错误； 抛物线开口向上， a0， 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧， a、b 同号， b0， 抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方， c0， abc0， 所以正确； x1 时，y0， 即 ab+c0， 对称轴为直线 x1， 1， b2a， a2a+c0，即 ac， 所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， x2 和 x0 时的函数值相等，即 x2 时，y0， 4a2b+c0， 所以正确 所以本题正确的有：，三个， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小
21、题） 13一元二次方程 2x2+3x+10 的两个根之和为 【分析】设方程的两根分别为 x1、x2，根据根与系数的关系可得出 x1+x2，此题得解 【解答】解：设方程的两根分别为 x1、x2， a2，b3，c1， x1+x2 故答案为： 14已知一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm，则这个菱形的面积为 24 cm2 【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可 【解答】解：一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm， 这个菱形的面积6824（cm2） 故答案为：24 15如图，身高为 1.6m 的小李 AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树 CD 的高度
22、，CD 的倒影是 CD，且 AEC在一条视线上，河宽 BD12m，且 BE2m，则树高 CD 8 m 【分析】利用相似三角形求对应线段成比例，求解即可 【解答】解：利用ABECDE，对应线段成比例解题， 因为 AB，CD 均垂直于地面，所以 ABCD， 则有ABECDE， ABECDE， ， 又AB1.6，BE2，BD12， DE10， ， CD8 故填 8 16如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若 AB8，CD6，则 BE 4 【分析】连接 OC，根据垂径定理得出 CEEDCD3，然后在 RtOEC 中由勾股定理求出 OE 的长 度，最后由 BEOBOE，即可求出 BE 的长
23、度 【解答】解：如图，连接 OC 弦 CDAB 于点 E，CD6， CEEDCD3 在 RtOEC 中，OEC90，CE3，OC4， OE， BEOBOE4 故答案为 4 17对于函数 y，当函数值 y1 时，自变量 x 的取值范围是 x2 或 x0 【分析】先求出 y1 时 x 的值，再由反比例函数的性质即可得出结论 【解答】解：当 y1 时，x2， 当函数值 y1 时，x2 或 x0 故答案为：x2 或 x0 18如图，在矩形 ABCD 中，AB8，BC6，连接 BD，点 M，N 分别是边 BC，DC 上的动点，连接 MN， 将CMN 沿 MN 折叠，使点 C 的对应点 P 始终落在 BD
24、 上，当PBM 为直角三角形时，线段 MC 的长 为 或 【分析】分两种情形：如图 1 中，当PMB90时，四边形 PMCN 是正方形，设 CMPMPNCN x如图 2 中，当BPM90时，点 N 与 D 重合，设 MCMPy分别求解即可 【解答】解：如图 1 中，当PMB90时，四边形 PMCN 是正方形，设 CMPMPNCNx PMCD， ， ， x， CM 如图 2 中，当BPM90时，点 N 与 D 重合，设 MCMPy CD8，BC6，C90， BD10， PDCD8， PBBDPD1082， BM2PB2+PM2， （6y）222+y2， y， CM， 综上所述，CM 的值为或 故
25、答案为：或 三解答题三解答题 19计算：（2）0+tan60 【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式 20解方程（x1） （x+2）2（x+2） 【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解可以求出方程的根 【解答】解： （x1） （x+2）2（x+2）0， （x+2） （x12）0， （x+2） （x3）0， x+20，x30， 解得 x12，x23 21如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AEBF求证：ACFDBE 【分析】根据正方形的性质得到 ABBC，EABCBFABOBCO45，根据全等三角形的
26、 性质得到ABEBCF，由角的和差即可得到结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是正方形， ABBC，EABCBFABOBCO45， 在ABE 与BCF 中， ABEBCF， ABEBCF， ACFDBE 22如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，AD 垂直于过点 C 的切线，垂足为 D （1）若BAD80，求DAC 的度数； （2）如果 AD6，AB8，求 AC 的长 【分析】 （1）连接 OC，根据切线的性质判断出 ADOC，得到DACOCA，再根据 OAOC 得到 OACOCA，可得 AC 平分BAD，则可得出答案 （2）连接 BC，得到ADCACB，根据相似三角形的性质即可求出
27、AC 的长 【解答】解： （1）如图，连接 OC， DC 切O 于 C， OCCF， ADCOCD90， ADOC， DACOCA， OAOC， OACOCA， DACOAC， BAD80， DACBAD8040； （2）连接 BC AB 是直径， ACB90ADC， DACBAC， ADCACB， ， AD6，AB8， ， AC4 23章丘区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进“一人一球” 活动计划，学生可根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E： 乒乓球） ，陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的
28、统计图（如图） （1）该班共 50 人； （2）将条形统计图补充完整； （3）该班班委 4 人中，1 人选修足球，1 人选修篮球，2 人选修羽毛球，陈老师要从这 4 人中任选 2 人 了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的 2 人中至少有 1 人选修羽毛球 的概率 【分析】 （1）由 C 有 12 人，占 24%，即可求得该班的总人数； （2）求出 A 与 E 的人数，即可补全条形统计图； （3） 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的 2 人至少有 1 人选修羽毛 球的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）该班总人数为 12
29、24%50（人） 故答案为：50； （2）E 组人数为 5010%5（人） ，A 组人数为 507125917（人） ， 条形图如图所示： （3）画树状图为：A 表示足球，B 表示羽毛球，C 表示篮球 共有 12 种等可能的结果数，其中选出的 2 人中，至少有 1 人选修羽毛球有 10 种可能， 所以选出的 2 人至少有 1 人选修羽毛球概率为 24如图，RtABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 由 A 出发向点 C 移动，点 Q 由 C 出发向 点 B 移动，两点同时出发，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒 （1）几秒时PCQ 的面积为 4cm2？ （2）是否存在 t 的
30、值，使PCQ 的面积为 5cm2？若存在，求这个 t 值，若不存在，说明理由， （3）几秒时PCQ 的面积最大，最大面积是多少？ 【分析】 （1）先求出 PC，CQ 的长，由三角形面积公式可求解； （2）由三角形面积公式可列方程，由根的判别式可求解； （3）由二次函数的性质可求解 【解答】解： （1）两点同时出发，速度均为 1cm/s， PC（6t） （cm） ，CQt（cm） ， （6t）t4， t12，t24， 答：经过 2 秒或 4 秒时PCQ 的面积为 4cm2； （2）不存在， 由题意可得（6t）t5， t26t+100， 364040， 不存在 t 的值，使PCQ 的面积为 5cm
31、2 （3）由题意可得：PCQ 的面积（6t）t（t3）2+， 当 t3 时，PCQ 的面积有最大值，最大面积是 25如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y（x0）的图象相交于点 A（1，2） 、点 B（ 4，n） （1）求此一次函数和反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）在 x 轴上存在一点 P，使PAB 的周长最小，求点 P 的坐标 【分析】 （1）先根据点 A 求出 k2值，再根据反比例函数解析式求出 n 值，利用待定系数法求一次函数的 解析式； （2）利用三角形的面积差求解SAOBSAOCSBOC （3）作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，交 x
32、 轴于点 P，此时PAB 的周长最小，设直线 AB 的表达式为 yax+c，根据待定系数法求得解析式，令 y0，即可求得 P 的坐标 【解答】解： （1）反比例 y（x0）的图象经过点 A（1，2） ， k2122， 反比例函数表达式为：y， 反比例 y的图象经过点 B（4，n） ， 4n2，解得 n， B 点坐标为（4，） ， 直线 yk1x+b 经过点 A（1，2） ，点 B（4，） ， ， 解得：， 一次函数表达式为：y+ （2）设直线 AB 与 x 轴的交点为 C，如图 1， 当 y0 时，x+0，x5； C 点坐标（5，0） ，OC5 SAOCOC|yA|525 SBOCOC|yB|
33、5 SAOBSAOCSBOC5； （3）如图 2，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，交 x 轴于点 P，此时PAB 的周长最小， 点 A和 A（1，2）关于 x 轴对称， 点 A的坐标为（1，2） ， 设直线 AB 的表达式为 yax+c， 经过点 A（1，2） ，点 B（4，） ， 解得：， 直线 AB 的表达式为：yx， 当 y0 时，则 x， P 点坐标为（，0） 26如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，ACBC，DEAE，将这两个三角形放置在一起 （1）问题发现： 如图，当ACBAED60时，点 B、D、E 在同一直线上，连接 CE，则CEB 60 ，线 段 BD
34、、CE 之间的数量关系是 BDCE ； （2）拓展探究： 如图，当ACBAED90时，点 B、D、E 在同一直线上，连接 CE，请判断CEB 的度数及线 段 BD、CE 之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题： 如图，ACBAED90，AC2，AE2，连接 CE、BD，在AED 绕点 A 旋转的过程中， 当 DEBD 时，请直接写出 EC 的长 【分析】 （1）证明ACEABD，得出 CEBD，AECADB，即可得出结论； （2）证明ACEABD，得出AECADB，BDCE，即可得出结论； （3）先判断出 BDCE，再求出 AB2， 当点 E 在点 D 上方时， 先判断出四边形 APDE
35、 是矩形， 求出 APDPAE2， 再根据勾股定理求出， BP6，得出 BD4； 当点 E 在点 D 下方时，同的方法得，APDPAE1，BP6，进而得出 BDBP+DP8，即可 得出结论 【解答】解： （1）在ABC 为等腰三角形，ACBC，ACB60， ABC 是等边三角形， ACAB，CAB60， 同理：AEAD，AEDADEEAD60， EADCAB， EACDAB， ACEABD（SAS） ， CEBD，AECADB， 点 B、D、E 在同一直线上， ADB180ADE120， AEC120， CEBAECAEB60， 故答案为 60，BDCE； （2）CEB45，BDCE，理由如下
36、： 在等腰三角形 ABC 中，ACBC，ACB90， ABAC，CAB45， 同理，ADAE，AED90，ADEDAE45， ，DAECAB， EACDAB， ACEABD， ， AECADB，BDCE， 点 B、D、E 在同一条直线上， ADB180ADE135， AEC135， CEBAECAED45； （3）由（2）知，ACEABD， BDCE， 在 RtABC 中，AC2， ABAC2， 当点 E 在点 D 上方时，如图， 过点 A 作 APBD 交 BD 的延长线于 P， DEBD， PDEAEDAPD， 四边形 APDE 是矩形， AEDE， 矩形 APDE 是正方形， APDPA
37、E2， 在 RtAPB 中，根据勾股定理得，BP6， BDBPAP4， CEBD2； 当点 E 在点 D 下方时，如图 同的方法得，APDPAE2，BP6， BDBP+DP8， CEBD4， 即：CE 的长为 2或 4 27如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线上一 动点，连接 PB，PC （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，当点 P 在直线 BC 上方时，过点 P 作 PD 上 x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E若 PE2ED， 求PBC 的面积； （ 3 ） 抛 物 线 上 存 在 一 点 P ， 使 P
38、BC 是 以 BC 为 直 角 边 的 直 角 三 角 形 ， 求 点 P 的 坐 标 【分析】 （1）用待定系数法求解即可； （2） 先求得点 C 的坐标， 再用待定系数法求得直线 BC 的解析式； 由 PE2ED 可得 PD3ED， 设 P （m， m2+2m+3） ，则 E（m，m+3） ，用含 m 的式子表示出 PD 和 DE，根据 PD3ED 得出关于 m 的方程， 解得 m 的值，则可得 PE 的长，然后按照三角形的面积公式计算即可； （3）分两种情况：点 C 为直角顶点；点 B 为直角顶点过点 C 作直线 P1CBC，交抛物线于点 P1，连接 P1B，交 x 轴于点 D；过点 B
39、 作直线 BP2BC，交抛物线于点 P2，交 y 轴于点 E，连接 P2C， 分别求得直线 P1C 和直线 BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点 P 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（3，0） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）在 yx2+2x+3 中，当 x0 时，y3， C（0，3） 设直线 BC 的解析式为 ykx+b，将 B（3，0） ，C（0，3）代入，得： ， 解得， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 若 PE2ED，则 PD3ED， 设 P（m，m2+2m+3） ， PD 上 x 轴
40、于点 D， E（m，m+3） ， m2+2m+33（m+3） ， m25m+60， 解得 m12，m23（舍） ， m2，此时 P（2，3） ，E（2，1） ， PE2， SPBC233 PBC 的面积为 3； （3）PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形， 有两种情况：点 C 为直角顶点；点 B 为直角顶点 过点 C 作直线 P1CBC，交抛物线于点 P1，连接 P1B，交 x 轴于点 D； 过点 B 作直线 BP2BC，交抛物线于点 P2，交 y 轴于点 E，连接 P2C，如图所示： B（3，0） ，C（0，3） ， OBOC3， BCOOBC45 P1CBC， DCB90， DCO45， 又DOC90， ODC45DCO， ODOC3， D（3，0） ， 直线 P1C 的解析式为 yx+3， 联立， 解得或（舍） ； P1（1，4） ； P1CBC，BP2BC， P1CBP2， 设直线 BP2的解析式为 yx+b， 将 B（3，0）代入，得 03+b， b3， 直线 BP2的解析式为 yx3， 联立， 解得或（舍） ， P2（2，5） 综上，点 P 的坐标为（1，4）或（2，5）
