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山东省济南市章丘区2020-2021学年九年级上期末数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年山东省济南市章丘区九年级(上)期末数学试卷学年山东省济南市章丘区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 48 分 )分 ) 1如图所示的几何体的左视图是( ) A B C D 2矩形,菱形,正方形都具有的性质是( ) A每一条对角线平分一组对角 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角线互相垂直 3用配方法解一元二次方程 x24x+20,下列配方正确的是( ) A (x+2)22 B (x2)22 C (x2)22 D (x2)26 4如果 3a2b(ab0) ,那么比例式中正确的是( ) A

2、B C D 5在一个不透明的口袋中装有 4 个红球和若干个白球,他们除颜色外其他完全相同通过多次摸球实验后 发现,摸到红球的频率稳定在 25%附近,则口袋中白球可能有( ) A16 个 B15 个 C13 个 D12 个 6如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7) , (1,1) , (4,1) , (6,1) ,以 C,D,E 为顶点的三角形 与ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是( ) A (6,0) B (6,3) C (6,5) D (4,2) 7反比例函数 y图象上三个点的坐标为(x1,y1) 、 (x2,y2) 、 (x3,y3) ,若 x1x20 x3,则 y1,y2,

3、 y3的大小关系是 ( ) Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy1y3y2 8如图,ABC 的顶点都是正方形网格中的格点,则 cosABC 等于( ) A B C D 9如图所示,四边形 ABCD 为O 的内接四边形,BCD110,则BOD 的大小是( ) A100 B140 C130 D120 10如图,竖直放置的杆 AB,在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡 CD 的 D 处,而此时 1 米的杆影长恰好 为 1 米,现量得 BC 为 10 米,CD 为 8 米,斜坡 CD 与地面成 30角,则杆的高度 AB 为( )米 A6+4 B10+4 C8 D6 11如图,矩形 ABCD

4、 的边 AB1,BE 平分ABC,交 AD 于点 E,若点 E 是 AD 的中点,以点 B 为圆心, BE 长为半径画弧,交 BC 于点 F,则图中阴影部分的面积是( ) A B C D 12如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x1,给出下列结论: b24ac;abc0;ac;4a2b+c0,其中正确的个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分,直接填写答案 )分,直接填写答案 ) 13一元二次方程 2x2+3x+10 的两个根之和为 14已知一个菱形的两条对角线长

5、分别为 6cm 和 8cm,则这个菱形的面积为 cm2 15如图,身高为 1.6m 的小李 AB 站在河的一岸,利用树的倒影去测对岸一棵树 CD 的高度,CD 的倒影是 CD,且 AEC在一条视线上,河宽 BD12m,且 BE2m,则树高 CD m 16如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,若 AB8,CD6,则 BE 17对于函数 y,当函数值 y1 时,自变量 x 的取值范围是 18如图,在矩形 ABCD 中,AB8,BC6,连接 BD,点 M,N 分别是边 BC,DC 上的动点,连接 MN, 将CMN 沿 MN 折叠,使点 C 的对应点 P 始终落在 BD 上,当PBM 为直

6、角三角形时,线段 MC 的长 为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 9 小题,共小题,共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19计算:(2)0+tan60 20解方程(x1) (x+2)2(x+2) 21如图,正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,AEBF求证:ACFDBE 22如图,AB 是O 的直径,点 C 在O 上,AD 垂直于过点 C 的切线,垂足为 D (1)若BAD80,求DAC 的度数; (2)如果 AD6,AB8,求 AC 的长 23章丘区某学校为进一步加强和改进学校体育工作,切实提高学生体质健康水

7、平,决定推进“一人一球” 活动计划,学生可根据自己的喜好选修一门球类项目(A:足球,B:篮球,C:排球,D:羽毛球,E: 乒乓球) ,陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后,制成了两幅不完整的统计图(如图) (1)该班共 人; (2)将条形统计图补充完整; (3)该班班委 4 人中,1 人选修足球,1 人选修篮球,2 人选修羽毛球,陈老师要从这 4 人中任选 2 人 了解他们对体育选修课的看法,请你用列表或画树状图的方法,求选出的 2 人中至少有 1 人选修羽毛球 的概率 24如图,RtABC 中,C90,AC6cm,BC8cm,点 P 由 A 出发向点 C 移动,点 Q 由 C 出发向 点

8、 B 移动,两点同时出发,速度均为 1cm/s,运动时间为 t 秒 (1)几秒时PCQ 的面积为 4cm2? (2)是否存在 t 的值,使PCQ 的面积为 5cm2?若存在,求这个 t 值,若不存在,说明理由, (3)几秒时PCQ 的面积最大,最大面积是多少? 25如图,一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y(x0)的图象相交于点 A(1,2) 、点 B( 4,n) (1)求此一次函数和反比例函数的表达式; (2)求AOB 的面积; (3)在 x 轴上存在一点 P,使PAB 的周长最小,求点 P 的坐标 26如图,已知ABC 和ADE 均为等腰三角形,ACBC,DEAE,将这两个三角形

9、放置在一起 (1)问题发现: 如图,当ACBAED60时,点 B、D、E 在同一直线上,连接 CE,则CEB ,线 段 BD、CE 之间的数量关系是 ; (2)拓展探究: 如图,当ACBAED90时,点 B、D、E 在同一直线上,连接 CE,请判断CEB 的度数及线 段 BD、CE 之间的数量关系,并说明理由; (3)解决问题: 如图,ACBAED90,AC2,AE2,连接 CE、BD,在AED 绕点 A 旋转的过程中, 当 DEBD 时,请直接写出 EC 的长 27如图,已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A(1,0) ,B(3,0) ,与 y 轴交于点 C,点 P 是抛物线上一 动点,连

10、接 PB,PC (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,当点 P 在直线 BC 上方时,过点 P 作 PD 上 x 轴于点 D,交直线 BC 于点 E若 PE2ED, 求PBC 的面积; (3)抛物线上存在一点 P,使PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形,求点 P 的坐标 2020-2021 学年山东省济南市章丘区九年级(上)期末数学试卷学年山东省济南市章丘区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题)小题) 1如图所示的几何体的左视图是( ) A B C D 【分析】从左面观察几何体,能够看到的线用实线,看不到的线用虚线 【解答

11、】解:图中几何体的左视图如图所示: 故选:D 2矩形,菱形,正方形都具有的性质是( ) A每一条对角线平分一组对角 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角线互相垂直 【分析】矩形,菱形,正方形都是特殊的平行四边形,因而平行四边形具有的性质就是矩形,菱形,正 方形都具有的性质 【解答】解:矩形,菱形,正方形都具有的性质:对角线互相平分故选:C 3用配方法解一元二次方程 x24x+20,下列配方正确的是( ) A (x+2)22 B (x2)22 C (x2)22 D (x2)26 【分析】移项,配方(方程两边都加上 4) ,即可得出选项 【解答】解:x24x+20, x24x2, x24x+42

12、+4, (x2)22, 故选:C 4如果 3a2b(ab0) ,那么比例式中正确的是( ) A B C D 【分析】先逆用比例的基本性质,把 3a2b 改写成比例的形式,使相乘的两个数 a 和 3 做比例的外项, 则相乘的另两个数 b 和 2 就做比例的内项;进而判断得解 【解答】解:3a2b, a:b2:3,b:a3:2, 即 a:2b:3, 故 A,B 均错误,C 正确,D 错误 故选:C 5在一个不透明的口袋中装有 4 个红球和若干个白球,他们除颜色外其他完全相同通过多次摸球实验后 发现,摸到红球的频率稳定在 25%附近,则口袋中白球可能有( ) A16 个 B15 个 C13 个 D1

13、2 个 【分析】由摸到红球的频率稳定在 25%附近得出口袋中得到红色球的概率,进而求出白球个数即可 【解答】解:设白球个数为:x 个, 摸到红色球的频率稳定在 25%左右, 口袋中得到红色球的概率为 25%, , 解得:x12, 经检验 x12 是原方程的根, 故白球的个数为 12 个 故选:D 6如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7) , (1,1) , (4,1) , (6,1) ,以 C,D,E 为顶点的三角形 与ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是( ) A (6,0) B (6,3) C (6,5) D (4,2) 【分析】根据相似三角形的判定:两边对应成比例且夹角相等的

14、两三角形相似即可判断 【解答】解:ABC 中,ABC90,AB6,BC3,AB:BC2 A、当点 E 的坐标为(6,0)时,CDE90,CD2,DE1,则 AB:BCCD:DE,CDE ABC,故本选项不符合题意; B、当点 E 的坐标为(6,3)时,CDE90,CD2,DE2,则 AB:BCCD:DE,CDE 与 ABC 不相似,故本选项符合题意; C、当点 E 的坐标为(6,5)时,CDE90,CD2,DE4,则 AB:BCDE:CD,EDC ABC,故本选项不符合题意; D、当点 E 的坐标为(4,2)时,ECD90,CD2,CE1,则 AB:BCCD:CE,DCE ABC,故本选项不符

15、合题意; 故选:B 7反比例函数 y图象上三个点的坐标为(x1,y1) 、 (x2,y2) 、 (x3,y3) ,若 x1x20 x3,则 y1,y2, y3的大小关系是 ( ) Ay1y2y3 By2y1y3 Cy2y3y1 Dy1y3y2 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性,再根据 x1x20 x3即可 得出结论 【解答】解:反比例函数 y中,k30, 此函数图象的两个分支分别位于第一三象限,且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 x1x20 x3, (x1,y1) 、 (x2,y2)在第三象限, (x3,y3)在第一象限, y2y10y3 故选:B 8如

16、图,ABC 的顶点都是正方形网格中的格点,则 cosABC 等于( ) A B C D 【分析】找到ABC 所在的直角三角形,利用勾股定理求得斜边长,进而求得ABC 的邻边与斜边之比 即可 【解答】解:由格点可得ABC 所在的直角三角形的两条直角边为 2,4, 斜边为2 cosABC 故选:B 9如图所示,四边形 ABCD 为O 的内接四边形,BCD110,则BOD 的大小是( ) A100 B140 C130 D120 【分析】根据圆内接四边形的性质求出A,再根据圆周角定理解答 【解答】解:四边形 ABCD 为O 的内接四边形, A180BCD70, 由圆周角定理得,BOD2A140, 故选

17、:B 10如图,竖直放置的杆 AB,在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡 CD 的 D 处,而此时 1 米的杆影长恰好 为 1 米,现量得 BC 为 10 米,CD 为 8 米,斜坡 CD 与地面成 30角,则杆的高度 AB 为( )米 A6+4 B10+4 C8 D6 【分析】如图,延长 AB 交 DT 的延长线于 E首先证明 AE 【解答】解:如图,延长 AB 交 DT 的延长线于 E 1 米的杆影长恰好为 1 米, AEDE, 四边形 BCTE 是矩形, BCET10 米,BECT, 在 RtCDT 中,CTD90,CD8 米,CDT30, DTCDcos3084(米) ,CTCD4(米)

18、, AEDEET+DT(10+4) (米) ,BECT4(米) , ABAEBE(10+4)4(6+4) (米) , 故选:A 11如图,矩形 ABCD 的边 AB1,BE 平分ABC,交 AD 于点 E,若点 E 是 AD 的中点,以点 B 为圆心, BE 长为半径画弧,交 BC 于点 F,则图中阴影部分的面积是( ) A B C D 【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出 AE,BE 的长以及EBF 的度数,进而利用 图中阴影部分的面积S矩形ABCDSABES扇形EBF,求出答案 【解答】解:矩形 ABCD 的边 AB1,BE 平分ABC, ABEEBF45,ADBC, AE

19、BCBE45, ABAE1,BE, 点 E 是 AD 的中点, AEED1, 图中阴影部分的面积S矩形ABCDSABES扇形EBF 1211 故选:B 12如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)的对称轴为直线 x1,给出下列结论: b24ac;abc0;ac;4a2b+c0,其中正确的个数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用抛物线与 x 轴有 2 个交点和判别式的意义对进行判断; 由抛物线开口方向得到 a0,由抛物线对称轴位置确定 b0,由抛物线与 y 轴交点位置得到 c0, 则可作判断; 利用 x1 时 ab+c0,然后把 b2a 代入可判断; 利用抛物线的对称性

20、得到 x2 和 x0 时的函数值相等,即 x2 时,y0,则可进行判断 【解答】解:抛物线与 x 轴有 2 个交点, b24ac0, 所以错误; 抛物线开口向上, a0, 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧, a、b 同号, b0, 抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方, c0, abc0, 所以正确; x1 时,y0, 即 ab+c0, 对称轴为直线 x1, 1, b2a, a2a+c0,即 ac, 所以正确; 抛物线的对称轴为直线 x1, x2 和 x0 时的函数值相等,即 x2 时,y0, 4a2b+c0, 所以正确 所以本题正确的有:,三个, 故选:C 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小

21、题) 13一元二次方程 2x2+3x+10 的两个根之和为 【分析】设方程的两根分别为 x1、x2,根据根与系数的关系可得出 x1+x2,此题得解 【解答】解:设方程的两根分别为 x1、x2, a2,b3,c1, x1+x2 故答案为: 14已知一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm,则这个菱形的面积为 24 cm2 【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可 【解答】解:一个菱形的两条对角线长分别为 6cm 和 8cm, 这个菱形的面积6824(cm2) 故答案为:24 15如图,身高为 1.6m 的小李 AB 站在河的一岸,利用树的倒影去测对岸一棵树 CD 的高度

22、,CD 的倒影是 CD,且 AEC在一条视线上,河宽 BD12m,且 BE2m,则树高 CD 8 m 【分析】利用相似三角形求对应线段成比例,求解即可 【解答】解:利用ABECDE,对应线段成比例解题, 因为 AB,CD 均垂直于地面,所以 ABCD, 则有ABECDE, ABECDE, , 又AB1.6,BE2,BD12, DE10, , CD8 故填 8 16如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,若 AB8,CD6,则 BE 4 【分析】连接 OC,根据垂径定理得出 CEEDCD3,然后在 RtOEC 中由勾股定理求出 OE 的长 度,最后由 BEOBOE,即可求出 BE 的长

23、度 【解答】解:如图,连接 OC 弦 CDAB 于点 E,CD6, CEEDCD3 在 RtOEC 中,OEC90,CE3,OC4, OE, BEOBOE4 故答案为 4 17对于函数 y,当函数值 y1 时,自变量 x 的取值范围是 x2 或 x0 【分析】先求出 y1 时 x 的值,再由反比例函数的性质即可得出结论 【解答】解:当 y1 时,x2, 当函数值 y1 时,x2 或 x0 故答案为:x2 或 x0 18如图,在矩形 ABCD 中,AB8,BC6,连接 BD,点 M,N 分别是边 BC,DC 上的动点,连接 MN, 将CMN 沿 MN 折叠,使点 C 的对应点 P 始终落在 BD

24、 上,当PBM 为直角三角形时,线段 MC 的长 为 或 【分析】分两种情形:如图 1 中,当PMB90时,四边形 PMCN 是正方形,设 CMPMPNCN x如图 2 中,当BPM90时,点 N 与 D 重合,设 MCMPy分别求解即可 【解答】解:如图 1 中,当PMB90时,四边形 PMCN 是正方形,设 CMPMPNCNx PMCD, , , x, CM 如图 2 中,当BPM90时,点 N 与 D 重合,设 MCMPy CD8,BC6,C90, BD10, PDCD8, PBBDPD1082, BM2PB2+PM2, (6y)222+y2, y, CM, 综上所述,CM 的值为或 故

25、答案为:或 三解答题三解答题 19计算:(2)0+tan60 【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解:原式 20解方程(x1) (x+2)2(x+2) 【分析】把右边的项移到左边,用提公因式法因式分解可以求出方程的根 【解答】解: (x1) (x+2)2(x+2)0, (x+2) (x12)0, (x+2) (x3)0, x+20,x30, 解得 x12,x23 21如图,正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,AEBF求证:ACFDBE 【分析】根据正方形的性质得到 ABBC,EABCBFABOBCO45,根据全等三角形的

26、 性质得到ABEBCF,由角的和差即可得到结论 【解答】证明:四边形 ABCD 是正方形, ABBC,EABCBFABOBCO45, 在ABE 与BCF 中, ABEBCF, ABEBCF, ACFDBE 22如图,AB 是O 的直径,点 C 在O 上,AD 垂直于过点 C 的切线,垂足为 D (1)若BAD80,求DAC 的度数; (2)如果 AD6,AB8,求 AC 的长 【分析】 (1)连接 OC,根据切线的性质判断出 ADOC,得到DACOCA,再根据 OAOC 得到 OACOCA,可得 AC 平分BAD,则可得出答案 (2)连接 BC,得到ADCACB,根据相似三角形的性质即可求出

27、AC 的长 【解答】解: (1)如图,连接 OC, DC 切O 于 C, OCCF, ADCOCD90, ADOC, DACOCA, OAOC, OACOCA, DACOAC, BAD80, DACBAD8040; (2)连接 BC AB 是直径, ACB90ADC, DACBAC, ADCACB, , AD6,AB8, , AC4 23章丘区某学校为进一步加强和改进学校体育工作,切实提高学生体质健康水平,决定推进“一人一球” 活动计划,学生可根据自己的喜好选修一门球类项目(A:足球,B:篮球,C:排球,D:羽毛球,E: 乒乓球) ,陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后,制成了两幅不完整的

28、统计图(如图) (1)该班共 50 人; (2)将条形统计图补充完整; (3)该班班委 4 人中,1 人选修足球,1 人选修篮球,2 人选修羽毛球,陈老师要从这 4 人中任选 2 人 了解他们对体育选修课的看法,请你用列表或画树状图的方法,求选出的 2 人中至少有 1 人选修羽毛球 的概率 【分析】 (1)由 C 有 12 人,占 24%,即可求得该班的总人数; (2)求出 A 与 E 的人数,即可补全条形统计图; (3) 首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的 2 人至少有 1 人选修羽毛 球的情况,再利用概率公式即可求得答案 【解答】解: (1)该班总人数为 12

29、24%50(人) 故答案为:50; (2)E 组人数为 5010%5(人) ,A 组人数为 507125917(人) , 条形图如图所示: (3)画树状图为:A 表示足球,B 表示羽毛球,C 表示篮球 共有 12 种等可能的结果数,其中选出的 2 人中,至少有 1 人选修羽毛球有 10 种可能, 所以选出的 2 人至少有 1 人选修羽毛球概率为 24如图,RtABC 中,C90,AC6cm,BC8cm,点 P 由 A 出发向点 C 移动,点 Q 由 C 出发向 点 B 移动,两点同时出发,速度均为 1cm/s,运动时间为 t 秒 (1)几秒时PCQ 的面积为 4cm2? (2)是否存在 t 的

30、值,使PCQ 的面积为 5cm2?若存在,求这个 t 值,若不存在,说明理由, (3)几秒时PCQ 的面积最大,最大面积是多少? 【分析】 (1)先求出 PC,CQ 的长,由三角形面积公式可求解; (2)由三角形面积公式可列方程,由根的判别式可求解; (3)由二次函数的性质可求解 【解答】解: (1)两点同时出发,速度均为 1cm/s, PC(6t) (cm) ,CQt(cm) , (6t)t4, t12,t24, 答:经过 2 秒或 4 秒时PCQ 的面积为 4cm2; (2)不存在, 由题意可得(6t)t5, t26t+100, 364040, 不存在 t 的值,使PCQ 的面积为 5cm

31、2 (3)由题意可得:PCQ 的面积(6t)t(t3)2+, 当 t3 时,PCQ 的面积有最大值,最大面积是 25如图,一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y(x0)的图象相交于点 A(1,2) 、点 B( 4,n) (1)求此一次函数和反比例函数的表达式; (2)求AOB 的面积; (3)在 x 轴上存在一点 P,使PAB 的周长最小,求点 P 的坐标 【分析】 (1)先根据点 A 求出 k2值,再根据反比例函数解析式求出 n 值,利用待定系数法求一次函数的 解析式; (2)利用三角形的面积差求解SAOBSAOCSBOC (3)作点 A 关于 x 轴的对称点 A,连接 AB,交 x

32、 轴于点 P,此时PAB 的周长最小,设直线 AB 的表达式为 yax+c,根据待定系数法求得解析式,令 y0,即可求得 P 的坐标 【解答】解: (1)反比例 y(x0)的图象经过点 A(1,2) , k2122, 反比例函数表达式为:y, 反比例 y的图象经过点 B(4,n) , 4n2,解得 n, B 点坐标为(4,) , 直线 yk1x+b 经过点 A(1,2) ,点 B(4,) , , 解得:, 一次函数表达式为:y+ (2)设直线 AB 与 x 轴的交点为 C,如图 1, 当 y0 时,x+0,x5; C 点坐标(5,0) ,OC5 SAOCOC|yA|525 SBOCOC|yB|

33、5 SAOBSAOCSBOC5; (3)如图 2,作点 A 关于 x 轴的对称点 A,连接 AB,交 x 轴于点 P,此时PAB 的周长最小, 点 A和 A(1,2)关于 x 轴对称, 点 A的坐标为(1,2) , 设直线 AB 的表达式为 yax+c, 经过点 A(1,2) ,点 B(4,) , 解得:, 直线 AB 的表达式为:yx, 当 y0 时,则 x, P 点坐标为(,0) 26如图,已知ABC 和ADE 均为等腰三角形,ACBC,DEAE,将这两个三角形放置在一起 (1)问题发现: 如图,当ACBAED60时,点 B、D、E 在同一直线上,连接 CE,则CEB 60 ,线 段 BD

34、、CE 之间的数量关系是 BDCE ; (2)拓展探究: 如图,当ACBAED90时,点 B、D、E 在同一直线上,连接 CE,请判断CEB 的度数及线 段 BD、CE 之间的数量关系,并说明理由; (3)解决问题: 如图,ACBAED90,AC2,AE2,连接 CE、BD,在AED 绕点 A 旋转的过程中, 当 DEBD 时,请直接写出 EC 的长 【分析】 (1)证明ACEABD,得出 CEBD,AECADB,即可得出结论; (2)证明ACEABD,得出AECADB,BDCE,即可得出结论; (3)先判断出 BDCE,再求出 AB2, 当点 E 在点 D 上方时, 先判断出四边形 APDE

35、 是矩形, 求出 APDPAE2, 再根据勾股定理求出, BP6,得出 BD4; 当点 E 在点 D 下方时,同的方法得,APDPAE1,BP6,进而得出 BDBP+DP8,即可 得出结论 【解答】解: (1)在ABC 为等腰三角形,ACBC,ACB60, ABC 是等边三角形, ACAB,CAB60, 同理:AEAD,AEDADEEAD60, EADCAB, EACDAB, ACEABD(SAS) , CEBD,AECADB, 点 B、D、E 在同一直线上, ADB180ADE120, AEC120, CEBAECAEB60, 故答案为 60,BDCE; (2)CEB45,BDCE,理由如下

36、: 在等腰三角形 ABC 中,ACBC,ACB90, ABAC,CAB45, 同理,ADAE,AED90,ADEDAE45, ,DAECAB, EACDAB, ACEABD, , AECADB,BDCE, 点 B、D、E 在同一条直线上, ADB180ADE135, AEC135, CEBAECAED45; (3)由(2)知,ACEABD, BDCE, 在 RtABC 中,AC2, ABAC2, 当点 E 在点 D 上方时,如图, 过点 A 作 APBD 交 BD 的延长线于 P, DEBD, PDEAEDAPD, 四边形 APDE 是矩形, AEDE, 矩形 APDE 是正方形, APDPA

37、E2, 在 RtAPB 中,根据勾股定理得,BP6, BDBPAP4, CEBD2; 当点 E 在点 D 下方时,如图 同的方法得,APDPAE2,BP6, BDBP+DP8, CEBD4, 即:CE 的长为 2或 4 27如图,已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A(1,0) ,B(3,0) ,与 y 轴交于点 C,点 P 是抛物线上一 动点,连接 PB,PC (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,当点 P 在直线 BC 上方时,过点 P 作 PD 上 x 轴于点 D,交直线 BC 于点 E若 PE2ED, 求PBC 的面积; ( 3 ) 抛 物 线 上 存 在 一 点 P , 使 P

38、BC 是 以 BC 为 直 角 边 的 直 角 三 角 形 , 求 点 P 的 坐 标 【分析】 (1)用待定系数法求解即可; (2) 先求得点 C 的坐标, 再用待定系数法求得直线 BC 的解析式; 由 PE2ED 可得 PD3ED, 设 P (m, m2+2m+3) ,则 E(m,m+3) ,用含 m 的式子表示出 PD 和 DE,根据 PD3ED 得出关于 m 的方程, 解得 m 的值,则可得 PE 的长,然后按照三角形的面积公式计算即可; (3)分两种情况:点 C 为直角顶点;点 B 为直角顶点过点 C 作直线 P1CBC,交抛物线于点 P1,连接 P1B,交 x 轴于点 D;过点 B

39、 作直线 BP2BC,交抛物线于点 P2,交 y 轴于点 E,连接 P2C, 分别求得直线 P1C 和直线 BP2的解析式,将它们分别与抛物线的解析式联立,即可求得点 P 的坐标 【解答】解: (1)抛物线 yx2+bx+c 经过点 A(1,0) ,B(3,0) , , 解得, 抛物线的解析式为 yx2+2x+3; (2)在 yx2+2x+3 中,当 x0 时,y3, C(0,3) 设直线 BC 的解析式为 ykx+b,将 B(3,0) ,C(0,3)代入,得: , 解得, 直线 BC 的解析式为 yx+3, 若 PE2ED,则 PD3ED, 设 P(m,m2+2m+3) , PD 上 x 轴

40、于点 D, E(m,m+3) , m2+2m+33(m+3) , m25m+60, 解得 m12,m23(舍) , m2,此时 P(2,3) ,E(2,1) , PE2, SPBC233 PBC 的面积为 3; (3)PBC 是以 BC 为直角边的直角三角形, 有两种情况:点 C 为直角顶点;点 B 为直角顶点 过点 C 作直线 P1CBC,交抛物线于点 P1,连接 P1B,交 x 轴于点 D; 过点 B 作直线 BP2BC,交抛物线于点 P2,交 y 轴于点 E,连接 P2C,如图所示: B(3,0) ,C(0,3) , OBOC3, BCOOBC45 P1CBC, DCB90, DCO45, 又DOC90, ODC45DCO, ODOC3, D(3,0) , 直线 P1C 的解析式为 yx+3, 联立, 解得或(舍) ; P1(1,4) ; P1CBC,BP2BC, P1CBP2, 设直线 BP2的解析式为 yx+b, 将 B(3,0)代入,得 03+b, b3, 直线 BP2的解析式为 yx3, 联立, 解得或(舍) , P2(2,5) 综上,点 P 的坐标为(1,4)或(2,5)