1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年广西梧州市高考数学联考试卷（理科） （年广西梧州市高考数学联考试卷（理科） （3 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项在每个小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求）符合题目要求） 1 （5 分）已知集合 Ax|x|2，Bx|0 x7，xN， 则 AB 中元素的个数为 （ ） A2 B3 C4 D5 2 （5 分）若复数 z 满足（2i）z5，则|z|（ ） A 5 5 B5 C5 D25 3 （5 分）2017 年 8 月 1 日是中国人民解
2、放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此 为主题的金银纪念币 如图所示是一枚 8克圆形金质纪念币， 直径22 毫米， 面额100 元 为 了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷 100 粒芝麻，已知恰有 30 粒芝麻落在 军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ） A726 5 2 B363 5 2 C363 10 2 D363 20 2 4 （5 分）设 x，y 满足 2 + 4 1 2 2 ，则 zx+y 的最小值为（ ） A2 B1 C1 D2 5 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的焦点到渐近线的距离为 2，则该双曲 线的离心率为（ ） A23 3 B
3、 5 2 C2 D23 6 （5 分）已知 tan（+ 4）3，则 cos2（ ） A4 5 B 4 5 C3 5 D 3 5 7 （5 分）函数 f（x）= | 的大致图象是（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 8（5分） 已知直线ax+y10与圆C：（x1） 2+ （y+a）21相交于A， B， 且 =0， 则实数a 的值为（ ） A1 7或1 B1 C1 D1 或1 9 （5 分）某几何体的三视图如图，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形， 正视图是边长为2的正方形，则此几何体的表面积为（ ） A8 B4 + 22 C6 + 2 D4 + 42 10 （5 分）若
4、 x1 是函数 f（x）aex+xlnx 的极值点，则曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处 的切线方程是（ ） Ay1 Bx+y10 Cye Dyex 11 （5 分）已知函数 f（x）cos2x+sinx，则下列说法错误的是（ ） Af（x）的一条对称轴为 x= 2 Bf（x）在（ 6 ， 2）上是单调递减函数 Cf（x）的对称中心为（ 2，0） Df（x）的最大值为9 8 12 （5 分）在等腰三角形 ABC 中，ABAC2，顶角为 120，以底边 BC 所在直线为轴 第 3 页（共 18 页） 旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为（ ） A 3 2 B 2 2 C1 2 D
5、 3 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量 =（1，m） ， =（3，2） ，且（ + ） ，则 m 14 （5 分） （ 3 ） 6 的展开式中常数项是 15 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且: ; = ;， b3，则ABC 的周长的最大值是 16 （5 分）已知点 A（0，4） ，抛物线 C：x22py（0p4）的准线为 l，点 P 在 C 上， 作 PHl 于点 H，|PH|PA|，APH120，则 p 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应
6、写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答；第每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答） 17 （12 分）已知数列an是公差为 2 的等差数列，它的前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a7成等 比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列bn满足 bn= 2 3+1 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样， 且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理某市为调
7、查产生的垃圾数量，采用简单 随机抽样的方法抽取 20 个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi） （i1，2，20） ， 其中 xi和 yi分别表示第 i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位： 吨） ，并计算得 20 1 xi80， 20 1 yi4000， 20 1（xi） 280， 20 1（yi） 28000， 20 1 （xi） （yi）700 （1）请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市 10 万人口的县城年垃圾产 生总量约为多少吨？ 参考公式：相关系数 r= =
8、1 ()() =1 ()2 =1 ()2 ，对于一组具有线性相关关系的数据 （xi，yi） （i1，2，3，n） ，其回归直线 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分 第 4 页（共 18 页） 别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BC平面 PAC， E 为 PD 的中点，ABCPCD= 3，BC1，PC3 （1）求证：PB平面 ACE； （2）求二面角 APCE 的正弦值 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 A（2，0） ，点 B 为其上顶点，且 直线 AB 斜率
9、为 3 2 （）求椭圆 C 的方程； （）设 P 为第四象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴 交于点 N，求四边形 ABNM 的面积 21 （12 分）已知 a0，函数 f（x）xlnx 1 2 2 +（a1）x （1）若 f（x）为减函数，求实数 a 的取值范围； （2）当 x1 时，求证：f（x） 2 2 （e2.718） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（1，0） ；以原点 O 为极点，x 轴的 非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点 M 的极坐
10、标为(22， 3 4 )，曲线 C1的极坐标方程为 4cos （1）若点 N 为曲线 C1上的动点，求线段 MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程； （2） 在 （1） 的条件下， 若过点 P 的直线 l 与曲线 C2相交于 A， B 两点， 求|PA|PB|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|3x1|+|3x+3| 第 5 页（共 18 页） （1）求不等式 f（x）10 的解集； （2）正数 a，b 满足 a+b2，证明：() + 第 6 页（共 18 页） 2021 年广西梧州市高考数学联考试卷（理科） （年广西梧州市高考数学联考试卷（理科） （
11、3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项在每个小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求）符合题目要求） 1 （5 分）已知集合 Ax|x|2，Bx|0 x7，xN， 则 AB 中元素的个数为 （ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：由|x|2，得2x2，Ax|x|2x|2x2， 又 Bx|0 x7，xN0，1，2，3，4，5，6， ABx|2x20，1，2，3，4，5，60，1，2， 故 AB 中元素的个数为 3， 故选：B 2 （5 分）若复
12、数 z 满足（2i）z5，则|z|（ ） A 5 5 B5 C5 D25 【解答】解：由（2i）z5，可得|2i|z|5，即22+ (1)2|z|5， 即|z|= 5 5 = 5， 故选：C 3 （5 分）2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此 为主题的金银纪念币 如图所示是一枚 8克圆形金质纪念币， 直径22 毫米， 面额100 元 为 了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷 100 粒芝麻，已知恰有 30 粒芝麻落在 军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ） A726 5 2 B363 5 2 C363 10 2 D363 20 2
13、【解答】解：由已知圆形金质纪念币的直径为 22mm，得半径 r11mm， 则圆形金质纪念币的面积为 r2112121， 估计军旗的面积大约是121 30 100 = 363 10 mm2 第 7 页（共 18 页） 故选：C 4 （5 分）设 x，y 满足 2 + 4 1 2 2 ，则 zx+y 的最小值为（ ） A2 B1 C1 D2 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 zx+y 得 yx+z，平移直线 yx+z， 由图象可知当直线 yx+z 经过点 B 时， 直线 yx+z 的截距最小，此时 z 最小 由2 + = 4 2 = 2，解得 = 2 = 0，即 B（
14、2，0） ， 代入目标函数 zx+y 得 z2+02 即目标函数 zx+y 的最小值为 2 故选：D 5 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的焦点到渐近线的距离为 2，则该双曲 线的离心率为（ ） A23 3 B 5 2 C2 D23 【解答】解：取双曲线的右焦点 F（c，0） ，取双曲线的渐近线 y= ，即 bxay0， 依题意得 |;0| 2:2 = 2，即 4b 2a2， 该双曲线的离心率 e= = 2+2 2 =5 2 42 = 5 2 ， 故选：B 6 （5 分）已知 tan（+ 4）3，则 cos2（ ） 第 8 页（共 18 页） A4 5 B 4 5 C3
15、 5 D 3 5 【解答】解：( + 4) = 3， :1 1; = 3， tan2， cos2cos2sin2= 22 2+2 = 12 1+2 = 14 1+4 = 3 5 故选：D 7 （5 分）函数 f（x）= | 的大致图象是（ ） A B C D 【解答】解：函数的定义域为x|x0， f（x）= | = | = f（x） ，则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称， 排除 D， f（1）0，排除 A，B， 故选：C 8（5分） 已知直线ax+y10与圆C：（x1） 2+ （y+a）21相交于A， B， 且 =0， 则实数a 的值为（ ） A1 7或1 B1 C1 D1 或1 【解
16、答】解：由题直线 ax+y10 与圆 C： （x1）2+（y+a）21 相交于 A，B，且 =0，得CAB 为等腰直角三角形， 所以圆心 C（1，a）到直线 ax+y10 的距离 drsin 45，即|;1| 1:2 = 2 2 ， 整理得 1+a22，即 a21， 第 9 页（共 18 页） 解得 a1 或 1 故选：D 9 （5 分）某几何体的三视图如图，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形， 正视图是边长为2的正方形，则此几何体的表面积为（ ） A8 B4 + 22 C6 + 2 D4 + 42 【解答】 解： 根据几何体的三视图转换为直观图为： 原几何体为横放的一个底面边长为
17、2 正方形，高为2的四棱锥 如图所示： 所以：表= 2 2 + 1 2 2 2 + 1 2 2 2 + 1 2 2 2 + 1 2 2 2 =4+22 故选：B 10 （5 分）若 x1 是函数 f（x）aex+xlnx 的极值点，则曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处 的切线方程是（ ） Ay1 Bx+y10 Cye Dyex 【解答】解：由题意可得 f（x）aex+1+lnx， x1 是函数 f（x）aex+xlnx 的极值点，f（1）ae+10，解得 a= 1 ， f（x）= 1 + ，可得 f（1）= 1 + 1 = 1，切点为（1，1） ， 斜率 kf（1）0， 切线方程为 y1
18、故选：A 第 10 页（共 18 页） 11 （5 分）已知函数 f（x）cos2x+sinx，则下列说法错误的是（ ） Af（x）的一条对称轴为 x= 2 Bf（x）在（ 6 ， 2）上是单调递减函数 Cf（x）的对称中心为（ 2，0） Df（x）的最大值为9 8 【解答】解：函数 f（x）cos2x+sinx， 对于选项 A，f（x）cos（22x）+sin（x）f（x） ， 故函数 f（x）的一条对称轴为 x= 2，故选项 A 正确； 对于选项 B，令 tsinx，则 t1，1， 又 f（x）2sin2x+sinx+1，则 = 22+ + 1 = 2( 1 4) 2 + 9 8， 当 x
19、（ 6 ， 2）时， ( 1 2，1)， 因为 tsinx 在（ 6 ， 2）上是增函数， = 2( 1 4) 2 + 9 8在( 1 2，1)上是减函数， 所以 f（x）在（ 6 ， 2）上是减函数，故选项 B 正确； 对于选项 C，f（x）+f（x）cos2x+sinx+cos（22x）+sin（x）2（cos2x+sinx） 0， 所以 f（x）的对称中心不是（ 2，0） ，故选项 C 错误； 对于选项 D，令 tsinx，则 t1，1， 又 f（x）2sin2x+sinx+1，所以 = 2( 1 4) 2 + 9 8， 当 t= 1 4时，y 的最大值为 9 8，所以 f（x）的最大值
20、为 9 8，故选项 D 正确 故选：C 12 （5 分）在等腰三角形 ABC 中，ABAC2，顶角为 120，以底边 BC 所在直线为轴 旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为（ ） A 3 2 B 2 2 C1 2 D 3 3 【解答】解：如图，由题意可得，几何体的轴截面为边长为 2，邻边的一夹角为 60（ ABA60）的菱形， 第 11 页（共 18 页） 则菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大， 可得内切圆的半径 r|AB|sin30cos30= 3 2 ， 故球的最大体积为 V= 4 3 ( 3 2 )3= 3 2 ， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4
21、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量 =（1，m） ， =（3，2） ，且（ + ） ，则 m 2 3 【解答】解：根据题意，向量 =（1，m） ， =（3，2） ， 则（ + ）（4，m2） ， 若（ + ） ，则有（2）43（m2） ， 解可得 m= 2 3； 故答案为： 2 3 14 （5 分） （ 3 ） 6 的展开式中常数项是 540 【解答】解： （ 3 ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1= 6 （3）rx3r， 令 3r0，求得 r3，可得展开式中常数项是 6 3 （27）540， 故答案为：540 15 （5 分）在ABC
22、中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且: ; = ;， b3，则ABC 的周长的最大值是 9 【解答】解：在ABC 中，因为: ; = ;，由正弦定理可得 : ; = ;， 可得 a2+c2b2ac 因为 b3， 所以 a2+c29ac，即（a+c）293ac 因为 a0，c0， 第 12 页（共 18 页） 所以 ac（: 2 ）2， 所以（a+c）293（: 2 ）2，即 a+c6，当且仅当 ac3 时， （a+c）max6 所以（a+b+c）max9，即ABC 的周长的最大值为 9 故答案为：9 16 （5 分）已知点 A（0，4） ，抛物线 C：x22py（0p4）的准线
23、为 l，点 P 在 C 上， 作 PHl 于点 H，|PH|PA|，APH120，则 p 8 5 【解答】解：设抛物线的焦点为 F（0， 2） ，|AF|4 2， 由抛物线的定义可知：|PH|PF|，因为|PH|PA|，|PA|PF|， 不妨设点 P 在第一象限，过点 P 作 PQy 轴于点 Q， 则 Q 为 AF 的中点，|AQ|FQ|= 1 2|AF|= 1 2(4 2)， 因为APH120，所以|PQ|= 3|AQ|= 3 2 (4 2)， |OQ|FQ|+|OF|= 1 2 (4 2) + 2 = 2 + 4，所以点 P 的坐标为（ 3 2 (4 2)，2 + 4） ， 因为点 P 在
24、抛物线上，所以 3 2 (4 2) 2 = 2(2 + 4)， 化简可得：5p2+112p1920，解得 p= 8 5或24（舍去） ， 所以 p= 8 5， 故答案为：8 5 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答；第每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答） 17 （12 分）已知数列an是公差为 2 的等差数列，它的前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a7成等 比数列 第 13 页（共
25、 18 页） （1）求数列an的通项公式； （2）设数列bn满足 bn= 2 3+1 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）因为数列an是公差为 2 的等差数列，且 a1，a3，a7成等比数列， 所以 a32a1a7，则（a1+4）2a1（a1+12） ，解得 a14， 所以 an4+2（n1）2n+2； （2）由（1）可得 Sn= (4+2+2) 2 =n2+3n， bn= 2 3+1 = 3， 所以 Tn= 1 3 + 2 32 + 3 33 + + 3， 则1 3Tn= 1 32 + 2 33 + 3 34 + + 3+1， ，得2 3Tn= 1 3 + 1 32 + 1
26、 33 + + 1 3 3+1 = 1 3(1 1 3) 11 3 3+1 = 1 2 2+3 23+1， 因此 Tn= 3 4 2+3 43 18 （12 分）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样， 且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理某市为调查产生的垃圾数量，采用简单 随机抽样的方法抽取 20 个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi） （i1，2，20） ， 其中 xi和 yi分别表示第 i 个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位： 吨） ，并计算得 20 1 xi80， 20 1 yi4000， 20 1（xi） 280， 20 1（y
27、i） 28000， 20 1 （xi） （yi）700 （1）请用相关系数说明该组数据中 y 与 x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市 10 万人口的县城年垃圾产 生总量约为多少吨？ 参考公式：相关系数 r= =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 ，对于一组具有线性相关关系的数据 （xi，yi） （i1，2，3，n） ，其回归直线 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = 第 14 页（共 18 页） 【解答】 （1）证明：相关系数 r= =1 ()() =1 ()2 =1
28、()2 = 700 808000 = 7 8 =0.875， 因为 y 与 x 的相关系数接近 1， 所以 y 与 x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合 （2）解：由题意得， = =1 ()() =1 ()2 = 700 80 =8.75， = = 4000 20 8.75 80 20 =165， 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 =8.75x+165， 当 x10 时， =8.7510+165252.5， 所以该市 10 万人口的县城年垃圾产生总量约为 252.5 吨 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BC平面 PAC，
29、 E 为 PD 的中点，ABCPCD= 3，BC1，PC3 （1）求证：PB平面 ACE； （2）求二面角 APCE 的正弦值 【解答】 （1）证明：连接 BD，交 AC 于 F 点，连接 EF，则 EFPB， 又 EF平面 ACE，PB平面 ACE， 所以 PB平面 ACE 第 15 页（共 18 页） （2）解：因为 ADBC，BC平面 PAC，所以 AD平面 PAC， 所以 ADPA，ADAC， 在 RtABC 中，CDAB= 3 =2，ACBCtan 3 =3， 在PCD 中，由余弦定理知，PD2CD2+PC22CDPCcosPCD4+922 3 1 2 =7， 在 RtPAD 中，P
30、A2PD2AD26， 所以 PC2AC2+PA2，即 ACPA， 以 A 为原点，AC，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，C（3，0，0） ，D（0，1，0） ，P（0，0，6） ， 所以 =（0，1，6） ， =（3，1，0） ， 因为 AD平面 PAC， =（0，1，0）是平面 PAC 的一个法向量， 设平面 CPE 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则 = 0 = 0 ，即 6 = 0 3 = 0， 令 y= 6，得 x= 2，z1，所以 =（2，6，1） ， 所以 cos ， = | |= 6 13 = 6 3 ， 设二
31、面角 APCE 的平面角为 ，则 sin=1 2 ， = 3 3 ， 所以二面角 APCE 的正弦值为 3 3 20 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 A（2，0） ，点 B 为其上顶点，且 直线 AB 斜率为 3 2 （）求椭圆 C 的方程； （）设 P 为第四象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴 交于点 N，求四边形 ABNM 的面积 【解答】解： （）由题意：设直线 AB： 0 = 3 2 ( + 2)， 令 x0，则 = 3，于是(0，3)， 所以 = 2， = 3， 第 16 页（共 18 页） 椭圆方程
32、为 2 4 + 2 3 = 1 （）设 P（x0，y0） （x00，y00） ，且30 2 + 40 2 = 12， 又(2，0)，(0，3)，所以直线： 0 00 = +2 0+2， 令 = 0，= 20 0+2， 则| = 3 = 3 20 0+2 = 30+2320 0+2 ， 直线： 3 03 = 0 00，令 = 0， = 30 03， 则| = 2 + = 2 + 30 03 = 202330 03 ， 所以四边形 ABNM 的面积为 S= 1 2|AN|BM|= 1 2 30+2320 0+2 202330 03 = 30 240212+4300120+830 2(0030+20
33、23) = 43(0030+2023) 2(0030+2023) = 23， 所以四边形 ABNM 的面积为23 21 （12 分）已知 a0，函数 f（x）xlnx 1 2 2 +（a1）x （1）若 f（x）为减函数，求实数 a 的取值范围； （2）当 x1 时，求证：f（x） 2 2 （e2.718） 【解答】解： （1）由题意知 f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）lnxx+a， 由 f（x）为减函数可知 f（x）0 恒成立， 设 g（x）lnxx+a，g（x）= 1 1， 令 g（x）0 得 x1，当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递增，即 f（x） 单调递增； 当 x
34、（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递减，即 f（x）单调递减， 故 f（x）f（1）1+a0，因此 0a1 （2）证明：由（1）知，当 0a1 时，f（x）为减函数，所以 f（x）f（1）a 3 2， 又 0a1，a 3 2 1 2， 设 y= 2 2 ，eat，则 y= 2 2 ，t（1，e 第 17 页（共 18 页） 又 y= 2 2 ，在区间（1，e上单调递增，所以 y 1 2 1= 1 2 故 f（x）f（1）a 3 2 1 2 2 2 ， 所以当 0a1 时，f（x） 2 2 ， 当 a1 时，由（1）可知，当 x（1，+）时，f（x）单调递减，f（1）a10， f（ea）2a
35、ea，令 h（x）2xex，h（x）2ex， 当 x1 时，h（x）0，h（x）单调递减， 故 h（a）2aeah（1）2e0， 又 ea1，f（x）在（1，+）上单调递减， 故存在 x0（1，ea） ，使得 f（x0）0，即 f（x0）lnx0 x0+a0，即 ax0lnx0， 因此有 f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减， 故 f（x）f（x0）x0lnx0 1 2x0 2+（a1）x0 x0lnx01 2x0 2+（x0lnx01）x0=1 2x0 2x0， 因为函数 F（x）= 1 2 2 在（1，+）上单调递增， 所以 F（x0）F（ea）= 2 2 ，即 f（
36、x0） 2 2 ， 故 f（x）f（x0） 2 2 成立 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（1，0） ；以原点 O 为极点，x 轴的 非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点 M 的极坐标为(22， 3 4 )，曲线 C1的极坐标方程为 4cos （1）若点 N 为曲线 C1上的动点，求线段 MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程； （2） 在 （1） 的条件下， 若过点 P 的直线 l 与曲线 C2相交于 A， B 两点， 求|PA|PB|的值 【解答】解： （1）点 M 的直角坐标方程为（2
37、，2） ， 将 = 2+ 2， = ， = 代入曲线 C1的极坐标方程， 所以曲线 C1的直角坐标方程为 x2+y24x0，整理为（x2）2+y24 设点 T 的坐标为（x，y） ，点 N 的坐标为（m，n） ，则（m2）2+n24 由 T 为 MN 的中点，则有2 = 2 2 = + 2 ， 得 = 2 + 2 = 2 2 ，代入（m2）2+n24，可得 4x2+（2y2）24， 第 18 页（共 18 页） 整理得 x2+（y1）21 故线段 MN 的中点 T 的轨迹 C2的直角坐标方程为 x2+（y1）21 （2）设直线 l 的倾斜角为 ，则直线 l 的参数方程为 = 1 + = （t
38、为参数） ， A，B 对应的参数分别为 t1，t2 将直线 l 的参数方程代入曲线 C2的直角坐标方程后整理得： t2+2（cossin）t+10， 由韦达定理得 t1+t22（cossin） ，t1t21， 所以|PA|PB|t1t2|1 所以|PA|PB|的值的值为 1 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|3x1|+|3x+3| （1）求不等式 f（x）10 的解集； （2）正数 a，b 满足 a+b2，证明：() + 【解答】解： （1）f（x）|3x1|+|3x+3|= 6 + 2， 1 3 4， 1 1 3 6 2， 1 f（x）10， 6 + 2 10 1 3 或6 2 10 1 ， 4 3或 x2， 不等式的解集为x| 4 3或 x2 （2）f（x）|3x1|+|3x+3|（3x1）（3x+3）|4 正数 a，b 满足 a+b2，f（x）2（a+b） ， () 2 + = 2 ()2+ ()2 + ， 当且仅当 ab1 时等号成立， () +
