1、2020 年 5 月高考数学春季联考数学试卷 一、填空题 1设全集 UR，集合 A1，0，1，2，3，Bx|x2，则 AUB 2复数 的虚部是 3某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时 间，绘成频率分布直方图（如图）则这 100 名同学中学习时间在 68 小时内的同学为 人 4如图是一个算法的流程图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 S 的值为 5某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐， 则三人不在同一个食堂用餐的概率为 6已知正四棱锥的底面边长是 4 ，侧棱长为 5，则该正四棱锥的体积为 7若将函数
2、f（x）sin（2x ）的图象沿 x 轴向右平移 （0）个单位后所得的图象 关于 y 轴对称，则 的最小值为 8已知an为等差数列，其公差为 2，且 a7是 a3与 a9的等比中项，Sn为an前 n 项和，则 S10的值为 9双曲线 1 的一条渐近线与圆 C：（x1） 2+y21 相交于 A，B 两点且ACB 90，则此双曲线的离心率为 10函数 的定义域是 11已知 x，yR，且 x1，若（x1）（y2）1，则 xy+6x+y+6 的最小值为 12 在ABC 中， 若BAC120， BA2， BC3， ， 则 13已知圆 O：x2+y24，直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，A（2，2）
3、，若 AP2+AQ240， 则弦 PQ 的长度的最大值为 14 函数 f （x） 满足 f （x） f （x4） ， 当 x2， 2） 时， f （x） ， ， ， 若函 数 f（x）在0，2020）上有 1515 个零点，则实数 a 的取值范围为 二、解答题：本大题共 6 小题，15-17 题每题 14 分，18-20 题每题 16 分，共计 90 分请在 答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知向量 （cosx，sinx）， （ sinx，sinx），函数 f（x） （1）求函数 f（x）的最小正周期 （2）若 （0， ），f（ ） ，求 sin 的值 16
4、如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，M 是棱 CG 上的一点 （1）求证：BCAM； （2）若 M，N 分别是 CC1，AB 的中点，求证：CN平面 AMB1 17如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD，ABCD，ABBC，AB6 百米，CD 4 百米该区域内原有道路 AC，现新修一条直道 DP（宽度忽略不计），点 P 在道路 AC 上（异于 A，C 两点）， ，DPA （1）用 表示直道 DP 的长度； （2）计划在ADP 区域内修建健身广场，在CDP 区域内种植花草已知修建健身广 场的成本为每平方百米 4 万元，种植花草的成本为每平方百米 2 万元，新建道路 DP 的
5、成本为每百米 4 万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元） 18（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1（ab0）过点（0，1）， 椭圆 C 的离心率 e （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）如图，设直线 l 与圆 x2+y2r2（1r2）相切于点 A，与椭圆 C 相切于点 B，当 r 为何值时，线段 AB 长度最大？并求出最大值 19（16 分）已知函数 f（x）xlnx+a 和函数 g（x）lnxax （1）若曲线 f（x）在 x1 处的切线过点 A（2，2），求实数 a 的值 （2）求函数 h（x）g（x）+x2的单调区间 （3）若不等式 f（x）+g（x）0 对
6、于任意的 x1 恒成立，求实数 a 的最大值 20（16 分）已知等差数列an和等比数列bn的各项均为整数，它们的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 b12a12，b2S354，a2+T211 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）求 Mna1b1+a2b2+a3b3+anbn； （3）是否存在正整数 m，使得 恰好是数列an或bn中的项？若存在，求出所 有满足条件的 m 的值；若不存在，说明理由 选做题【本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若 多做，按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚选修 4-2：矩 阵与变换 21已知二阶
7、矩阵 M 的特征值 1 所对应的一个特征向量 （1）求矩阵 M； （2）设曲线 C 在变换矩阵 M 作用下得到的曲线 C的方程为 xy1，求曲线 C 的方程 选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合若直线 l 的 极坐标方程为 sin（ ）3 （1）把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知 P 为椭圆 C： y 21 上一点，求 P 到直线 l 的距离的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23已知实数 x，y，z 满足 x+y+z2，求 2x2+3y2+z2的最小值 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 0 分
8、，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24已知 A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线 C：x22py（p0）上不同两点 （1）若抛物线 C 的焦点为 F，D（x0，y0）为 AB 的中点，且 AF+BF4+2y0，求抛物线 C 的方程； （2）若直线 AB 与 x 轴交于点 P，与 y 轴的正半轴交于点 Q，且 y1y2 ，是否存在直 线 AB，使得 ？若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由 25已知数集 Aa1，a2，an，其中 0a1a2an，且 n3，若对i，j（1i jn），aj+ai与 ajai两数中至少有一个属于
9、 A，则称数集 A 具有性质 P （）分别判断数集0，1，3与数集0，2，4，6是否具有性质 P，说明理由； （）已知数集 Aa1，a2a8具有性质 P，判断数列 a1，a2a8是否为等差数列，若 是等差数列，请证明；若不是，请说明理由 参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需写出解题过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上 1设全集 UR，集合 A1，0，1，2，3， Bx|x2， 则 AUB 1，0， 1 【分析】根据补集与交集的定义，写出UB 与 AUB 即可 【解答】解析：因为全集 UR，集合 Bx|x2， 所以UBx|x2（，2）， 且集合 A
10、1，0，1，2，3， 所以 AUB1，0，1 故答案为：1，0，1 【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目 2复数 的虚部是 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为 a+bi（a，bR）的形式， 即可 解：复数 ， 它的虚部为： ， 故答案为： 【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能 力，常考题型 3某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时 间，绘成频率分布直方图（如图）则这 100 名同学中学习时间在 68 小时内的同学为 30 人 【分析】 利用频率分布直方图中， 频率等于纵坐标乘以
11、组距， 求出在 68 小时外的频率； 利用频率和为 1，求出在 68 小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这 100 名同学中学习时间在 68 小时内的同学的人数 解：这 100 名同学中学习时间在 68 小时外的频率为 （0.04+0.12+0.14+0.05）207 这 100 名同学中学习时间在 68 小时内为 10.70.3 这 100 名同学中学习时间在 68 小时内的同学为 1000.330 故答案为：30 【点评】本题考查频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘 以样本容量 4如图是一个算法的流程图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 S 的值为
12、100 【分析】据流程图可知，计算出 S，判定是否满足 S50，不满足则循环，直到满足就跳 出循环即可 解：由流程图知，第一次循环：x1，S1，不满足 S50 第二次循环：x2，S9；不满足 S50 第三次循环：x3，S36，不满足 S50 第四次循环：x4，S100，满足 S50 此时跳出循环， 所以输出 S100 故答案为：100 【点评】本题考查算法流程图，直到型循环结构循环结构有两种形式：当型循环结构 和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础 题 5某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐， 则三人不在同一
13、个食堂用餐的概率为 【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古 典概型的概率计算公式即可得出 解：a 学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理 b，c 也各有两种选法，根 据乘法原理可知：共有 238 中选法； 其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第 二个食堂， 则他们不同在一个食堂用餐的选法有 826； 他们不同在一个食堂用餐的概率为 故答案为： 【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键 6已知正四棱锥的底面边长是 4 ，侧棱长为 5，则该正四棱锥的体积为 32 【分析】求出棱锥的高与底面
14、面积，即可求解棱锥的体积 解：正四棱锥的底面边长是 4 ，侧棱长为 5，底面对角线长为：8 所以棱锥的高为： 3 所以棱锥的体积为： 4 4 332 故答案为：32 【点评】本题考查棱锥的体积的求法，求解棱锥的高是解题的关键 7若将函数 f（x）sin（2x ）的图象沿 x 轴向右平移 （0）个单位后所得的图象 关于 y 轴对称，则 的最小值为 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 解： 函数 f （x） sin （2x ） 的图象沿 x 轴向右平移 （0） 个单位后所得函数 g （x） sin（2x2 ）的图象， 由于函数 g（x）的图象关于 y 轴对称， 所
15、以：2 k ，整理得： ， 当 k1 时， ， 故答案为： 【点评】 本题考查的知识要点： 三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 8已知an为等差数列，其公差为 2，且 a7是 a3与 a9的等比中项，Sn为an前 n 项和，则 S10的值为 110 【分析】由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数 列的求和公式，计算可得所求和 解：an为等差数列，其公差为 2， 由 a7是 a3与 a9的等比中项，可得 a72a3a9，即（a1 +12）2（a1+4）（a1+16）， 解得 a120， 则
16、S1010（20） 1092110 故答案为：110 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比数列的中项性质， 考查方程思想和化简运算能力，是一道基础题 9双曲线 1 的一条渐近线与圆 C：（x1） 2+y21 相交于 A，B 两点且ACB 90，则此双曲线的离心率为 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与半弦长，圆心到直线的距离满足的 勾股定理求解即可 解：双曲线 1 的一条渐近线：bxay0，圆（x1） 2+y21 相交于 A、B 两 点，圆的圆心（1，0），半径为 1，ACB90， 圆心到直线的距离为： ， 可得： 解得 ba，c a 双曲线的离心率为 故答案
17、为： 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，双曲线的离心率的求法，考查计算 能力 10函数 的定义域是 （1，0）（0，1 【分析】根据函数的定义为使函数的解析式有意义的自变量 x 取值范围，我们可以构造 关于自变量 x 的不等式，解不等式即可得到答案 解：要使函数 有意义，则需满足 且 解之得，1x1 且 x0， 函数 的定义域是（1，0）（0，1 故答案是（1，0）（0，1 【点评】本题考查了函数定义域的求解，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件 11已知 x，yR，且 x1，若（x1）（y2）1，则 xy+6x+y+6 的最小值为 25 【分析】由 x1， （x1） （y2）1
18、，可得 y2变形 xy+6x+y+6（x1） （y2） +8（x1）+2（y2）+16，利用基本不等式的性质即可得出 解：x1，（x1）（y2）1，y2 则 xy+6x+y+6（x1）（y2）+8（x1）+2（y2）+16 2 1725，当且仅当 8（x1）2（y2），x ，y4 xy+6x+y+6 的最小值为 25 故答案为：25 【点评】本题考查基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 12在ABC 中，若BAC120，BA2，BC3， ，则 【分析】本题在ABC 中，根据余弦定理，可列出关于 AC 的一元二次方程，计算出 AC 的长度，然后转化 （ ）并计算值，
19、再将 、 看作基底向量分 别表示出 和 ，然后代入 进行向量的多项式运算代入数值即可得到结果 解：依题意，画图如下： 在ABC 中，根据余弦定理，可知 cos120 ， 整理，得 AC2+2AC50， 解得 AC1 （舍去），或 AC 1 则 （ ） | |2 4 42 （ 1） cos120 42 （ 1） （ ） 3 ， ， （ ）（ ） | |2 | |2 4 9 3 （ 3） 故答案为： 【点评】本题主要考查向量线性表示和数量积运算问题考查了转化与化归思想，方程 思想，余弦定理，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 13已知圆 O：x2+y24，直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点
20、，A（2，2），若 AP2+AQ240， 则弦 PQ 的长度的最大值为 【分析】设 M 为 PQ 的中点，根据 2（AP2+AQ2）（2AM）2+（2QM）2，化简可得点 M 的轨迹方程，结合图象即可得解 解：设 M 为 PQ 的中点，则 2（AP2+AQ2）（2AM）2+（2QM）2， 即 AP2+AQ22AM2+2QM2， 402AM2+2（OQ2OM2）， AM2+4OM220， AM2OM216， 设 M（x，y），则（x2）2+（y2）2（x2+y2）16，化解得 x+y+20， ，则 故答案为： 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程的求法，考查数形结合思想的运 用，属于
21、中档题 14 函数 f （x） 满足 f （x） f （x4） ， 当 x2， 2） 时， f （x） ， ， ， 若函 数 f（x）在0，2020）上有 1515 个零点，则实数 a 的取值范围为 0， ） 【分析】由已知可得函数周期，结合函数 f（x）在0，2020）上有 1515 个零点，可得 f （x） 在2， 2） 上有 3 个零点， 则需二次函数在2， a上有两个零点， 一次函数在 （a， 2）上有一个零点，结合二次函数零点的分布与系数间的关系列不等式组求解 解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x4），函数的周期为 4， 且至多在2，2）上有 3 个零点，而0，20
22、20）含 505 个周期， 要使函数 f（x）在0，2020）上有 1515 个零点，则 f（x）在2，2）上有 3 个零点 设 g（x）2x+3x2+a3x2+2x+a，该函数为二次函数，在2，2）上至多有两个零点， 则要使 f（x）在2，2）上有 3 个零点，需要函数 h（x）1x 在（a，2）上有一个零 点，即 a1； 函数 g（x）3x2+2x+a 的对称轴方程为 x 2，2）， 则 g（x）在2，a上有两个零点， ，解得 0a 实数 a 的取值范围为0， ） 故答案为：0， ） 【点评】本题考查分段函数零点与方程根的关系，考查二次函数零点的分布与系数之间 的关系，是中档题 二、解答题
23、：本大题共 6 小题，15-17 题每题 14 分，18-20 题每题 16 分，共计 90 分请在 答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知向量 （cosx，sinx）， （ sinx，sinx），函数 f（x） （1）求函数 f（x）的最小正周期 （2）若 （0， ），f（ ） ，求 sin 的值 【分析】先根据向量的数量积以及三角函数的有关知识得到 f（x）sin（2x ） （1）直接代入周期公式即可； （2） 先根据 f （ ） ， 得到 sin （ ） ， 再结合角的范围求得 cos （ ） ， 最后利用 两角和的正弦即可求解结论 解：向量 （cosx
24、，sinx）， （ sinx，sinx）， 函数 f（x） sinxcosx+sin 2x sin（2x ） （1）T ； （2）f（ ）sin（ ） sin（ ） ， （0， ）， ； cos（ ） ； sinsin（ ） sin（ ）cos cos（ ）sin 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 16如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，M 是棱 CG 上的一点 （1）求证：BCAM； （2）若 M，N 分别是 CC1，AB 的中点，求证：CN平面 AMB1 【分析】（1）由已知推导出 CC1BC，BC平面 ACC1A1，由
25、此能证明 BCAM （2） 取 AB1的中点为 Q， 连结 NQ， 推导出四边形 NCMQ 是平行四边形， 从而 NCQM， 由此能证明 CN平面 AMB1 解：（1）证明：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，BC平面 ABC， CC1BC， BCAC，ACCC1C，BC平面 ACC1A1， AM平面 ACC1A1，BCAM （2）证明：取 AB1的中点为 Q，连接 NQ，QM， 在ABB1中，N，Q 分别为 AB，AB1中点，NQAB1，且 NQ ， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BB1CC1，且 BB1CC1，M 为 CC1的中点， CMBB1，且 CM BB1，
26、NQMC，且 NQMC，四边形 NCMQ 是平行四边形，NCQM， NC平面 AMB1，QM平面 AMB1，CN平面 AMB1 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 17如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD，ABCD，ABBC，AB6 百米，CD 4 百米该区域内原有道路 AC，现新修一条直道 DP（宽度忽略不计），点 P 在道路 AC 上（异于 A，C 两点）， ，DPA （1）用 表示直道 DP 的长度； （2）计划在ADP 区域内修建健身广场，在CDP 区域内种植花草已知修建健身广 场的成本为每平方百米 4
27、 万元，种植花草的成本为每平方百米 2 万元，新建道路 DP 的 成本为每百米 4 万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元） 【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得 DP ， ， （2） 分别求出 SAPD， SADC， 可得 SDPC， 设三项费用之和为 f （） ， 可得 f （） 12 4 （ ）， ，利用导数求出最值 解：（1）过点 D 作 DDAB，垂足为 D， 在 RtABC 中，ABBC，BAC ，AB6， BC2 ， 在 RtADD中，AD2，DD2 ，AD4， sinDAD ， DAD ， BAC ， ADP ， 在ADP 中，由正弦定理可得 ， DP ， ； （2）
28、在ADP 中，由正弦定理可得 ， AP ， SAPD AP PD sin ， 又 SADCAD DC sinADC 44sin 4 ， SDPCSADCSAPD4 ， 设三项费用之和为 f（）， 则 f（） 4+（4 ）2 412 4（ ）， ， f（）8（ ）， 令 f（）0，解得 ， 当 （ ， ）时，f（）0，函数 f（）单调递减， 当 （ ， ）时，f（）0，函数 f（）单调递增， f（）minf（ ）16 ， 答：三项费用总和的最小值为 16 万元 【点评】本题考查了函数解析式的求解，解三角形，函数最值的计算，属于中档题 18（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1（
29、ab0）过点（0，1）， 椭圆 C 的离心率 e （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）如图，设直线 l 与圆 x2+y2r2（1r2）相切于点 A，与椭圆 C 相切于点 B，当 r 为何值时，线段 AB 长度最大？并求出最大值 【分析】（1）由椭圆的过的店的坐标，及离心率，以及 a，b，c 之间的关系，求出 a，b 的值，进而求出椭圆的标准方程； （2）设直线 l 的方程，由与圆 x2+y2r2（1r2）相切可得圆心到直线的距离为半径， 可得 m，k，r 之间的关系，再由与椭圆联立由相切由判别式等于 0 可得 m，k，r 之间的 关系，求出弦长|AB|的表达式，由均值不等式求出|AB|的最大
30、值 解：（1）由椭圆过的定点坐标及离心率可得 b1， ，又 c2a2b2， 解得：a24，b21， 所以椭圆 C 的标准方程： y 21； （2） 设直线 AB 的方程为： ykx+m， 因为直线 l 与圆 C： x2+y2r2（1r2） 相切于 A， 所以 r ，即 m 2r2（1+k2）， 因为直线 l 与椭圆 C 相切于 B， 联立直线与椭圆的方程： ，整理可得：（1+4k 2）x2+8kmx+4m240 有两个 相等的实数根， 所以64k2m24（1+4k2）（4m24）0，整理可得 m21+4k2， 由可得 ； 设 B（x1，y1），由求根公式可得 x1 ， y1kx1 +mk（ ）
31、+m ， |OB|2x12+x22 5 ， 在直角三角形 OAB 中， |AB|2|OB|2|0A|25 r25（r2 ）541，当 r 44，即 r ， 即 r （1，2）时，|AB|取到最大值，且最大值为 1 【点评】本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相切，直线与圆相切的性质及均值 不等式的应用，属于中档题 19（16 分）已知函数 f（x）xlnx+a 和函数 g（x）lnxax （1）若曲线 f（x）在 x1 处的切线过点 A（2，2），求实数 a 的值 （2）求函数 h（x）g（x）+x2的单调区间 （3）若不等式 f（x）+g（x）0 对于任意的 x1 恒成立，求实数 a 的最
32、大值 【分析】（1）先利用导数将 x1 处的切线方程表示出来，然后将点（2，2）代入， 即可求出 a 的值； （2）求出 f（x）的导数，然后判断导数的符号即可； （3）利用判别式判断函数 q（x）f（x）+g（x）的零点情况，然后根据零点研究导数 的符号，确定函数 q（x）的单调性、最值，构造出 a 的不等式求解 解：（1）因为 f（x）lnx+1，f（1）1，结合 f（1）a， 所以 f（x）在 x1 处的切线方程为 yax1，结合切点过 A（2，2）， 2a21，a3 （2）h（x）lnxax+x2的定义域为（0，+） ，则 x 2ax+10，令a28 当0，即 时，h（x）0，所以 h
33、（x）的增区间为（0，+） 当0，即 或 时， 2x2ax+10 有两个不等的实数根即： ， 当 时，x1，x20，h（x）0，所以 h（x）的增区间为（0，+）； 当 时，x10，x20，令 h（x）0，则 0xx1或 xx2；令 h（x）0， 则 x1xx2 所以 h（x）的增区间为（0，x1），（x2，+）；减区间为（x1，x2） （3）令 q（x）f（x）+g（x）（x+1）lnxax+a，显然 q（1）0 ，（x1） 当 a2 时，q（x）0，所以 q（x）在（1，+）上递增，q（x）q（1）0， 符合题意； 当 a2 时， ，所以 q（x）在（1，+）上递增， 且 q（1）2a0，
34、令 xea，显然 ， 故存在唯一实数 x01，使得 q（x0）0， 当 x（1，x0）时，q（x）0；当 x（x0，+）时，q（x）0， 所以 q（x）在（1，x0）递减，所以 q（x0）q（1）0，与 q（x）0 矛盾 综上，a 的最大值为 2 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及最值情况，同时考查学生运用 分类讨论、函数与方程思想解决问题的能力，也体现了对学生的逻辑推理、数学运算等 数学核心素养的考查属于较难的题目 20（16 分）已知等差数列an和等比数列bn的各项均为整数，它们的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 b12a12，b2S354，a2+T211 （1）求数列a
35、n，bn的通项公式； （2）求 Mna1b1+a2b2+a3b3+anbn； （3）是否存在正整数 m，使得 恰好是数列an或bn中的项？若存在，求出所 有满足条件的 m 的值；若不存在，说明理由 【分析】（1）设等差数列an的公差为 d 和等比数列bn的公比为 q，运用等差数列和 等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式； （2）由数列的错位相减法法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和； （3）假设存在正整数 m，使得 恰好是数列an或bn中的项，可设 L， LN*， 化简整理， 结合整数的性质可得 L2 或 3， 分别讨论 L 的值， 解方程可得所求结论 解：（1
36、）设等差数列an的公差为 d 和等比数列bn的公比为 q， 由 b12a12， b2S354， a2+T211， 可得 ， 解得 或 （舍 去）， 则 an1+2（n1）2n1；bn2 3n1； （2）Mna1b1+a2b2+a3b3+anbn1 2+3 6+（2n1） 2 3n1， 3Mn1 6+3 18+（2n1） 2 3n， 两式相减可得2Mn2+2 （6+18+23n1） （2n1） 23n2+4 （2n1） 2 3n， 化简可得 Mn2（n1） 3n+2； （3）由（1）可得 Snn2，Tn3n1， 假设存在正整数 m，使得 恰好是数列an或bn中的项，所以 ， 可设 L，LN*，
37、所以（L1） （m21）（3L）3m，因为 m210，3m0，所以 1L3，由 LN*， 可得 L2 或 3， 当 L2 时，m213m，即 1，可令 f（m） ，f（m+1）f（m） ， 当 m1 时，f（1）f（2），当 m2 时，f（m+1）f（m），可得 f（1）f（2）f （3）f（4）， 由 f（1）0，f（2） ，可得 1 无整数解 当 L3 时，有 m210，即存在 m1 使得 3，是数列an中的第二项， 故存在正整数 m1，使得 恰好是数列an中的项 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位 相减法求和，数列中存在性问题解法，考查方程思想和
38、分类讨论思想，化简运算能力和 推理能力，属于难题 选做题【本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若 多做，按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚选修 4-2：矩 阵与变换 21已知二阶矩阵 M 的特征值 1 所对应的一个特征向量 （1）求矩阵 M； （2）设曲线 C 在变换矩阵 M 作用下得到的曲线 C的方程为 xy1，求曲线 C 的方程 【分析】本题（1）可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得 到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得 到本题结论 解：（1）依题意，得 ，
39、即 ，解得 ， M ； （2） 设曲线 C 上一点 P （x， y） 在矩阵 M 的作用下得到曲线 xy1 上一点 P （x， y） ， 则 ，即 ， xy1， （2x+y）（3x）1， 整理得曲线 C 的方程为 6x2+3xy1 【点评】本题考查了矩阵的特征值和特征向量，本题难度不大，属于基础题 选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合若直线 l 的 极坐标方程为 sin（ ）3 （1）把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知 P 为椭圆 C： y 21 上一点，求 P 到直线 l 的距离的最小值 【分析】（1）展
40、开两角差的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线 l 的直角 坐标方程； （2）设 P（ ， ）（02），写出点到直线的距离公式，再由三角函数 求最值 解：（1）由 sin（ ）3 ，得 ， 即 sincos6 直线 l 的直角坐标方程为 xy+60； （2）P 为椭圆 C： y 21 上一点，设为 P（ ， ）（02）， P 到直线 l 的距离 d 当 cos（ ）1 时，d 取得最小值为 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用 三角函数求最值，是中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知实数 x，y，z 满足 x+y+z2，求 2x2+3y2+z
41、2的最小值 【分析】由柯西不等式知：（x+y+z）2（ x）2+（ y）2+z2 （ ）2+（ ）2+12 故 2x2+3y2+z2 ，由此能求出 2x 2+3y2+z2 的最小值 解：由柯西不等式可知： （x+y+z）2（ x）2+（ y）2+z2 （ ）2+（ ）2+12， 故 2x2+3y2+z2 ， 当且仅当 ， 即：x ，y ，z 时， 2x2+3y2+z2取得最小值为 【点评】考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的 灵活运用，属于基础题 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 0 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答 时应写出文字说
42、明、证明过程或演算步骤 24已知 A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线 C：x22py（p0）上不同两点 （1）若抛物线 C 的焦点为 F，D（x0，y0）为 AB 的中点，且 AF+BF4+2y0，求抛物线 C 的方程； （2）若直线 AB 与 x 轴交于点 P，与 y 轴的正半轴交于点 Q，且 y1y2 ，是否存在直 线 AB，使得 ？若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由 【分析】 （1） 利用抛物线的定义， 有 AF+BFy1+y2+p2y0+p4+2y0， 从而求得 p 的值， 即可得解； （2）直线 AB 的斜率一定存在，设其方程为 ykx+m（k0，m0），将
43、其与抛物线的 方程联立，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系，可分别求得 y1+y2 和 y1y2，从而得到 ；作 AAx 轴于 A，BBx 轴于 B，利用三角形相似，可将 转化为 ， 把该等式中的线段全用m和p代换， 化简整理后， 可求得 k 的值，从而得解 解：（1）由抛物线的定义可知，AF+BFy1+y2+p2y0+p4+2y0， p4， 故抛物线 C 的方程为 x28y （2）由题意得，直线 AB 的斜率一定存在，设其方程为 ykx+m（k0，m0），则点 Q（0，m）， 联立 ，得 x22pkx2pm0， x1+x22pk，x1x22pm， ，解得 ， ， 作 AAx 轴于 A，BBx 轴于 B， ， ，则 ， ，解得 ， ， 存在直线 AB 满足题意，其方程为 【点评】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，还借助了三角形相似求线 段比例，考查学生的转化与化归能力和运算能力，属于中档题 25已知数集 Aa1，a2，an，其中 0a1a2an，且 n3，若对i，j（1i jn），aj+ai与 ajai两数中至少有一个属于 A，则称数集 A 具有性质 P （）分别判断数集0，1，3与数集0，2，4，6是否具有性质 P，说明理由； （）已知数集 Aa1，a2a8具有性质 P，判断数列 a1，a2a8是否为
